Методы реш.ур


ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ


В помощь учителю.
Учитель математики Сыроватская Е.А.

В школьном курсе математики решаются различные уравнения: линейные, иррациональные, логарифмические, показательные, тригонометрические и другие.
С решением уравнений учащиеся встречаются не только на уроках алгебры при решении непосредственно уравнений, систем уравнений, задач на составление уравнений, но и на уроках геометрии, физики, химии, биологии.
Следовательно, основная задача, стоящая перед школьным курсом математики - научить учащихся решать уравнения разных типов и разными способами.
Алгебраическим уравнением называется уравнение вида
fx=0, где f(x) - некоторый многочлен. Решить уравнение - значит найти множество всех корней (решений) этого уравнения на его области определения или доказать, что решений нет.
Число a называется корнем уравнения fx=0 с переменной x, если выполняется равенство fa=0 В процессе решения уравнений обычно производим некоторые преобразования, т.е. последовательно заменяем данное уравнение другими уравнениями, равносильными (эквивалентными) данному, или уравнениями – следствиями.
Два уравнения fx=gx и f1(x)=g1(x) называются равносильными на некотором множестве M , если они имеют в этом множестве одни и те же решения, т. е. каждый корень данного уравнения, принадлежащий множеству М, является корне полученного уравнения, и, наоборот, каждый корень уравнения f1(x)=g1(x), принадлежащий множеству М, является корнем уравнения fx=gx.Пример: х+4=3х и х-2=0 равносильные. Т. к. каждое из них имеет единственный корень х=2 на множестве R. {х-4=3х}⇔{х-2=0}
Уравнение f1(x)=g1(x) называется следствием уравнения fx=gx, если при переходе от уравнения fx=gx к уравнению f1(x)=g1(x) не происходит потери корней, т.е. все корни данного уравнения являются корнями уравнения следствия. {f(x)=g(x)}⇒{f1(x)=g1(x)}.
Пример: {х=1}⇒{x2=1}, где х=1 является единственным корнем первого уравнения, и вместе с тем это число – корень второго уравнения.
Решение уравнений школьного курса алгебры основано на шести теоремах о равносильности.
Теорема 1. Если какой – либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному: f(x)=φx+g(x)⇒fx-φx=gx. Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 3. Показательное уравнение af(x)=ag(x) ( где a>0;a≠1)
Равносильно уравнению fx=gx.
Теорема 4. Если обе части уравнения fx=gx умножить на одно и то же выражение h(x), которое:
а) имеет смысл всюду в области определения ( в области допустимых значений ) уравнения fx=gx б) нигде в этой области не обращается в ноль, т. е. получится уравнение fx*hx=gx*h(x), равносильное данному.
Теорема 5. Если обе части уравнения fx=gx неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень n получится уравнение, равносильное данному: f(x)n=g(x)n
Теорема 6. Если f(x)>0 и g(x)>0, то логарифмическое уравнение logaf(x)= logag(x), где a>0, a≠1, равносильно уравнению fx=gx. Решение многих уравнений легче осуществить за счет перехода к равносильным уравнениям или уравнениям – следствиям.
При решении уравнений любых видов используются наиболее общие методы решения уравнений.
Первый метод – метод замены уравнения h(f(x))=h(f(x)) уравнением fx=gx. Этот метод применяется при решении показательных уравнений af(x)=aa(x) (a>0, a≠1, когда от данного уравнения переходим к уравнению fx=gx.При решении логарифмических уравнений, когда переходим от уравнения logaf(x)= logag(x) к уравнению fx=gx (где f(x)>0; g(x)>0); при решении иррациональных уравнений, когда переходим от уравнения nfx= nf(x) к уравнению fx=gx, при xϵОДЗ .Этот метод можно применять только в том случае, когда y=h(x)- монотонная функция, которая свое значение применяет по одному разу. Например, y=x7- возрастающая функция, поэтому от уравнения можно перейти к уравнению 2х+2=5х-9, откуда находим х=113.
Расширение ОДЗ здесь не произошло, значит это равносильное преобразование уравнения.
Если же y=h(x) немонотонная функция, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корня. Так заменить уравнение (2x+2)4=(5x-9)4 уравнением 2x+2=5x-9 нельзя, т.к. произошла потеря корня х=1. По той же причине нельзя переходить от уравнения sin17x=sin7x к уравнению 17x=7x.
Пример: решить уравнение log2x=log2(6-x2) . Потенцируя, получим: x=6-x2, x2+x-6=0, x1=2, x2=-3.
С учетом ОДЗ получим х=2. Значение х=2. Значение х=-3 не удовлетворяет ОДЗ. Ответ: х=2.
Второй метод – метод разложения на множители Этот метод основан на теореме: произведение нескольких функций обращается в ноль только и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом существуют. Уравнение f(x)*g(x)*h(x)=0 можно заменить совокупностью уравнений: fx=0gx=0hx=0 , если x ∈ОДЗРешив уравнения этой совокупности, мы должны взять те корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.
Пример: решить уравнение: (x+2 -3)(2x2+6x+5-1)lnx-8=0
Область допустимых значений уравнения задается системой неравенств: x+2≥0x-8>0⇒x>-2x>8⇒x>8 Решение уравнения сводится к решению совокупности трех уравнений: x+2=32x2+6x+5=1lnx-8=0 ⇒ x+2=9x2+6x+5=0x-8=1 ⇒x1=7x2=-1;x3=-5x4=9
Из четырех корней лишь х=9 удовлетворяет ОДЗ. Ответ: х=9.
Пример: решить уравнение: x3-7x+6=0
Заменим данное уравнение равносильным x3-x-6x+6=0, группируем слагаемые (x3-x)-(6x-6)=0
(x2-1)x-6(x-1)=0
(x-1)(x+1)x-6(x-1)
(x-1)(x2+x-6)=0⇔ x-1=0 или x2+x-6=0
X1=1; x2=2, x3=-3.
Все три значения переменной являются корнями заданного уравнения.
Третий метод – метод введения новой переменной. Этот метод основан на том, что если уравнение f(x)=0 можно преобразовать к виду p(q(x))=0 то нужно ввести новую переменную U=q(x), решить уравнение p(U)=0, а затем решить совокупность уравнений: qx=U1qx=U2…………..qx=Un, где U1, U2,…Un - корни уравнения p(U)=0
Удачный выбор переменной намного упростит решение уравнения.
Пример: решить уравнение: x2-x+2+x2-x+7=2x2-2x+21 Удачной будет замена x2-x=U, тогда данное уравнение примет вид: U+2+U+7=2U+21.
Возведем обе части уравнения во вторую степень:
(U+2+U+7)2=(2U+21)2,
U+2+2U+2(U+7)+U+7=2U+21,
2U2+9U+14=12,
U2+9U+14=6,
U2+9U+14=36,
U2+9U-22=0, U1=2, U2= -11- посторонний корень, т.к. -11+2, -11+7, 2*-11+21- не существуют в области действительных чисел
Возвращаемся к исходной переменной: x2-x=2; x2-x-2=0; x1=2, x2= -1.
Пример: Решить уравнение: 3x+17=43x-2 Преобразуем данное уравнение, заменив его равносильным: 3x*3+17=4*323x .
При решении этого уравнения уместна замена 3x=a, где а>0. Получим уравнение 3a+17=36a и далее имеем: 3a2+a=252 3a2+a-252=0, a1=9, a2= -283 (не удовлетворяет условию) Возвращаясь к исходной переменной, получим: 3x=9, 3x=32, x=2. Ответ: x=2
Пример: Решить уравнение: 1+2(sinx+cosx)=12(sinx-cosx)2
1+2(sinx+cosx)=12(sin2x-2sinx*cosx+cos 2 x) |*2 2+22(sinx+cosx)=1-2sinx*cosx Выполним замену переменной: sinx+cosx=t, тогда (sinx+cosx)2=t2, t2=1+2sinx*cosx, 2sinx*cosx=t2-1 Исходное уравнение примет вид: 2+22t=1-(t2-1) t2+22t=0 t(t+22)=0⇔t=0 или t+22=0 Возвращаемся к замене переменной sinx+cosx=0 или sinx+cosx+22=0(решений нет) tg x=-1 x=-π4+πn, nϵΖ Ответ: x=-π4+πn, nϵΖ
Пример: Решить уравнение: lg2x3+log0.110x-7=0 Используя свойства логарифмов, упростим каждое из слагаемых уравнения: lg2x3=(3lgx)2=9lg2x, log0.110x= -lg10x= -(lg10+lgx)= -1-lgx Исходное уравнение примет вид: 9lg2x-lg x-8=0, область определения уравнения x>0 Замена переменной очевидна lg x=U, тогда 9U2-U-8=0 Решаем полученное квадратное уравнение: D=1+4*9*8=289=172, U=1±1718 ; U1=1; U2= -1618=-89 ; Далее lg x=1 или lg x= -89 ; x1=10, x2=10-89 Ответ: x1=10, x2=10-89 , с учетом области определения.
Четвертый метод - функционально-графический. Идея этого метода состоит в том, что для решения уравнения fx=gx надо построить графики функций y=f(x), y=g(x) и найти точки их пересечения- корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Этот метод позволяет определить число корней уравнения, указать значение корня, найти приближенные, а иногда и точные значения корней.
Пример: Решить графически уравнение: x=x-2 Построим графики функций: y=x, D(y)=[0;+∞); E(y)=[0;+∞) y=|x-2|, D(y)=R; E(y)=[0;+∞)


В некоторых случаях построение графиков можно заменить опорой на свойства функций. Если одна из функций y=f(x), y=g(x) возрастает, а другая убывает, то уравнение fx=gx либо не имеет корней, либо имеет один корень, который можно угадать.
Пример. Решить уравнение: 6x=2-x. Функция y=6x возрастает на множестве [0;+∞). Функция y=2-x убывает на множестве R. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень. «Угадываем» корень уравнения, х=1.
Пятый метод- метод оценок значений функций. Предварительная оценка левой части или правой части уравнения помогает решить уравнение или убедиться в том, что уравнение не имеет решений. Пример. Решить уравнение: 2sin5х+2cos8х=5 Оценим левую часть уравнения: т.к. |sinx|≤1, то |2sin5x+3cos8x|≤2|sinh5x|+3|cos8x|≤5. Следовательно, данное уравнение не имеет корней. Пример. Решить уравнение: log5(5х-4)=1-х . Левая часть уравнения является возрастающей функцией, а правая- убывающей функцией. Следовательно, уравнение имеет единственный корень: х=1 (ОДЗ: 5х-4>0 5х>4) Ответ: х=1.
В школьном курсе математики решение уравнений занимает одно из центральных мест. Не может быть какого-то единого и, более того, всеобщего метода решения уравнений. Для каждого типа уравнений разработаны нестандартные приемы, вытекающие из общих идей, но часто более эффективные в конкретных ситуациях.
Литература:
«Лекции и задачи по элементарной математике», В.Г. Болтянский и др., изд. «Наука», Москва, 1972г., стр.276-287.
Газета «Математика», №47-2000г., «Алгебраические уравнения в курсе элементарной математики», стр.15-17.
Учебник «Алгебра и начала анализа 10-11 кл»., А.Д. Мордкович, Москва, 2000г., стр.302-304.
«Подготовка к письменному экзамену за курс средней школы», Г.В. Дорофеев, изд. «Дрофа», Москва, 2001г.
«Математика»(подготовка к ЕГЭ-2004), Лысенко Ф.Ф. и др., Ростов-на-Дону, 2003.
Учебник «Алгебра и начала анализа 11кл.», М.И. Башмаков., Москва, изд. «Просвещение», 1993г.

Приложенные файлы


Добавить комментарий