Методы решений ирратсионалныкх уравнений

Методы решения иррациональных уравнений

Учитель высшей
квалификационной категории
лицей №5 Вахитовского
района г. Казани
Козлова Галина Васильевна

В данной статье рассматриваются различные способы решения иррациональных уравнений, систем иррациональных уравнений: приемы, опирающиеся на использование различных свойств функции, векторный метод решения иррациональных уравнений, графический способ решения иррациональных уравнений, метод подстановки.

Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Построим графики функций 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

Сколько решений имеет уравнение 13 EMBED Equation.3 1415?
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415





1






13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415





Графический способ решения






Ответ: 2 корня

Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
ОДЗ: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:

2
Подбором находим, что уравнение имеет корень х=2. так как в области определения уравнения, т.е. на отрезке [1;3], функция возрастает, а функция 13 EMBED Equation.3 1415 убывает, то других корней уравнение не имеет. Итак, х=2 – единственный корень уравнения.


Решить уравнение13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Замечаем, что 13 EMBED Equation.3 1415- корень уравнения (2). Но, как и в примере3, утверждать, что это единственный корень уравнения, мы пока не можем, поскольку и функция 13 EMBED Equation.3 1415, и функция 13 EMBED Equation.3 1415 возрастают в области определения уравнения (2), т.е. на луче [13 EMBED Equation.3 1415]. Если в примере 3 нам удалось преобразовать уравнение к такому виду, что одна часть представляла собой убывающую, а другая – возрастающую функцию, то здесь нам этого не удается. Поступим по-другому.
Найдем производные функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. И вычислим их в точке х=1 (в точке пересечения графиков этих функций). Имеем
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415. Далее, 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
·.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то графики функций 13 EMBED Equation.3 1415 имеют общую касательную в точке (1;1) . Но поскольку функция13 EMBED Equation.3 1415 выпукла вниз, а функция 13 EMBED Equation.3 1415 выпукла вверх, то их графики расположены по разные стороны от общей касательной, а поэтому уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет только один корень.
Итак, х=1 – единственный корень уравнения (2).

Ответ: 1.



Векторный метод.
Решим уравнение векторным методом 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415
т.е. 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 а следовательно 13 EMBED Equation.3 1415
3
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.



Решить данную систему иррациональных уравнений, используя теорему Виета и метод подстановки.

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 По теореме Виета а=5, b=3
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Ответ: (23;5), (11;27)



7. Сколько решений, в зависимости от значения а, имеет уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415=а; ?

Построим графики функций у =13 EMBED Equation.3 1415
у =а13 EMBED Equation.3 1415

Графиком функции у =13 EMBED Equation.3 1415 является полуокружность R=1.
Найдем точки пересечения графика функции у =13 EMBED Equation.3 1415 с осью ОХ, решая уравнение у=0
y
4х-13 EMBED Equation.3 1415-3=0 y=a
х13 EMBED Equation.3 1415-4х-3=0
По теореме Виета

13 EMBED Equation.3 1415
1 2 3 x
13 EMBED Equation.3 1415=1 13 EMBED Equation.3 1415=3




Ответ: если 13 EMBED Equation.3 1415 нет решений
если 13 EMBED Equation.3 1415 одно решение
если 13 EMBED Equation.3 1415 2 решения







4





































Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий