Методы решений квадратных уравнений 8 класс


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Методы решения квадратных уравненийУравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы. С.Коваль 1. Теоретическая разминка.2. Тест.3. Практикум. 4. Историческая справка.5. Презентация специальных методов решения квадратных уравнений.6. Общие методы решения квадратных уравнений6. Домашнее задание.План урока Термин «квадратное уравнение» впервые ввёл Кристиан ВольфКристиан Вольф - знаменитый немецкий философ. Родился в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника.Изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию. Английский математик, который ввёл термин «дискриминант».Сильвестр Джеймс Джозеф В 13 – 16 веках даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов произвел в 1544 году немецкий математик Михаэль Штифель. Михаэль Штифель Уравнение какого вида называют квадратным?Как по названиям различают коэффициенты а, в и с?Объясните, в чём заключается смысл ограничения в определении квадратного уравнения (а ≠ 0).Перечислите виды квадратных уравнений.Какое квадратное уравнение называется приведённым,а какое неприведённым? Приведите примеры.Какое квадратное уравнение называется полным, а какое неполным? Приведите примеры.Что называют корнем квадратного уравнения?Что значит решить квадратное уравнение?Сколько корней имеет квадратное уравнение?Способы решения неполных квадратных уравнений.Что называют дискриминантом квадратного уравнения?Как с помощью дискриминанта различают квадратные уравнения по числу корней?Правило решения полного квадратного уравнения.ВОПРОСЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ РАЗМИНКИ Неполные квадратные уравнения Если < 0, то корней нет Если > 0, то РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙв=0ах2+с=0с=0ах2+вх=0в,с=0ах2=0подробнееподробнееподробнее Алгоритм решения1.Переносим с в правую часть уравнения.ах2 = -с.2. Делим обе части уравнения на а ≠ 0.х2= 3.Если >0 - два решения: х1 = и х2 = - Если <0 - нет решений. ах2+с=0в=0 Выносим x за скобки: х (ах + в) = 0.2. «Разбиваем» уравнение на два:x = 0 или ах + в = 0.3. Два решения: х = 0 и х = (а≠0).Алгоритм решенияах2+вх=0с=0 1. Делим обе части уравнения на а≠0.х2 = 02. Одно решение: х = 0.Алгоритм решенияах2=0в,с=0 D < 0Корней нетD = 0D > 0 b = 2k (четное число) Специальные методыМетод выделения квадрата двучленаМетод «переброски» старшего коэффициентаНа основании теорем Цель: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.Пример: Метод выделения квадрата двучленаХ2 – 6х+5=0 Метод выделения квадрата двучлена (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.Решим уравнение х2 - 6х + 5 = 0.х2 - 6х + 5 = 0,(х2 - 2∙3х +9)+ 5-9 = 0,(х -3)2 – 4 = 0.(х -3)2 = 4.х – 3 = 2; х – 3 = -2.х = 5, х =1.Ответ: 5; 1. Корни квадратных уравнений и связаны соотношениямииВ некоторых случаях бывает удобно решать сначала не данное квадратное уравнение, а приведенное, полученное «переброской» коэффициента а .Пример:Метод «переброски» старшего коэффициента Метод “переброски” старшего коэффициента ax2 + bx + c = 0 и y2+ by + ac = 0 связаны соотношениями:Решите уравнение 2х2 - 9х – 5 = 0.у2 - 9у - 10 = 0.D=81+40=121, получаем корни: у=-1;у= 10,далее возвращаемся к корням исходного уравнения: х = - 0,5; х = 5.Ответ: -0,5; 5. На основании теорем:1. Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй 2. Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1, а второй Примеры: Теорема 1. Если в квадратном уравнении a + b + c = 0, то один из корней равен 1, а второй равенРешите уравнение 137х2 + 20х – 157 = 0.137х2 + 20х – 157 = 0.a = 137, b = 20, c = -157.a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.x1 = 1, х =Ответ: 1; .. Теорема 2. Если в квадратном уравнении a + c = b, то один из корней равен -1, а второй равен Решите уравнение 200х2 + 210х + 10 = 0.200х2 + 210х + 10 = 0.a = 200, b = 210, c = 10.a + c = 200 + 10 = 210 = b.х1 = -1, х2 = -Ответ: -1; -0,05 Общие методыРазложение на множители;Введение новой переменной;Графический метод. Метод разложения на множителипривести квадратное уравнение общего вида к виду А(х)·В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.Цель:Вынесение общего множителя за скобки;Использование формул сокращенного умножения;Способ группировки.Способы: Решите уравнение 4х2 + 5х + 1 = 0.4х2 + 5х + 1 = 0.4х2 + 4х + х + 1 = 0.(4х2 + 4х) + (х + 1) = 0.4х(х + 1) + (х + 1) = 0.(х + 1)(4х+1) = 0.Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю.х + 1 = 0 или 4х + 1 = 0, х = -1 или х = -0,25.Ответ: -1; -0,25. Метод разложения на множители Введение новой переменной.Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.Решите уравнение (2х+3)2 = 3(2х+3) – 2. Метод введения новой переменнойРешите уравнение (2х+3)2 = 3(2х+3) – 2.(2х+3)2 = 3(2х+3) – 2.Пусть: 2х + 3= t.Произведем замену переменной: t2 = 3t - 2. t2 -3t + 2 = 0, D =9-4∙2=1, D > 0.t1 = 1, t2 = 2.Произведем обратную замену и вернемся к переменной х:2х + 3=1 или 2х + 3=2 , х = -1 или х = -0,5. Ответ: -1; -0,5. Графический методДля решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций y = f(x), y = g(x) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.Пример: Графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества. ПрактикумУравнениеabcb2 - 4acx1x2x1+ x2x1 · x2x2- 7x + 12 = 05-7-65x2 = 15x30-75
Проверь себя!Уравнениеabcb2 - 4acx1x2x1+ x2x1 · x2x2- 7x + 12 = 01-7121437125x2- 7x - 6 = 05-7-61692-0,61,4-1,25x2 = 15x5-15022503303x2 - 75 = 030-759005-50-25 ТЕСТ№1№2№3№4№5№6бдвдав № уравнения№ метода1100x2 + 53x – 153 = 0 220x2 - 6x = 03299x2 + 300x + 1 = 043x2 - 5x + 4 = 0 57x2 + 8x + 2 = 0635x2 – 8 = 074x2 – 4x + 3 = 08(x – 8)2 – (3x + 1)2 = 094(x – 1)2 + 0,5(x – 1) – 1 = 01012x2 = 03. в=0ах2+с=02. с=0ах2+вх=01. в,с=0ах2=04. b - нечётноеах2+bx+с=05. b - чётноеах2+bx+с=06. Теорема Виета.7. Метод выделения квадрата двучлена.8. Метод «переброски» старшего коэффициента.9. Т1 или Т2.10. Метод разложения на множители.11. Метод введения новой переменной.



Приложенные файлы


Добавить комментарий