Методы решения ирратсионалных уравнений и неравенств

Методы решения иррациональных уравнений и неравенств
Иррациональные уравнения и неравенства встречаются в заданиях единого государственного экзамена. Задачи на эту темы есть как в первой части, так и во второй.
Разберем несколько примеров.
Задача 1. Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415 
Решение. Возведем обе части уравнения в третью степень:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: -10.
Задача 2. Найдите корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.  Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
Решение. Возведем в квадрат:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 8.
Задача 3. При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону 13 EMBED Equation.3 1415 , где 13 EMBED Equation.3 1415 м – длина покоящейся ракеты, 13 EMBED Equation.3 1415  км/с – скорость света, а 13 EMBED Equation.3 1415 – скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.
Решение. Найдем, при какой скорости длина ракеты станет равна 5 м. Задача сводится к решению уравнения 13 EMBED Equation.3 1415,  при заданном значении длины покоящейся ракеты 13 EMBED Equation.3 1415 м и известной величине скорости света 13 EMBED Equation.3 1415 км/с: 
13 EMBED Equation.3 1415
 км/с. Если скорость будет превосходить найденную, то длина ракеты будет менее 4 метров, поэтому минимальная необходимая скорость равна  180000 км/с.
Ответ: 180 000.
Задача 4. Решите систему неравенств 
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Решим первое неравенство. 
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
1 случай: 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. 
При этих 13 EMBED Equation.3 1415 выражение 13 EMBED Equation.3 1415 
13 EMBED Equation.3 1415
имеет смысл, поэтому числа 0 и -7 являются решениями неравенства.  2 случай: 13 EMBED Equation.3 1415. 
Решаем неравенство 
13 EMBED Equation.3 1415
Получим: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415  Решением первого неравенства системы является:
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415   или 13 EMBED Equation.3 1415. 
Решим второе неравенство системы:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
Учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415, получаем: 
13 EMBED Equation.3 1415.
Решением второго неравенства системы является: 13 EMBED Equation.3 1415 .13 EMBED Equation.3 1415 , поэтому решением системы неравенств является: 13 EMBED Equation.3 1415  или 13 EMBED Equation.3 1415. 
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача5.  При каждом а решите систему уравнений 
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Запишем второе уравнение в виде 
13 EMBED Equation.3 1415
Геометрический смысл уравнения состоит в том, что сумма расстояний от точек 13 EMBED Equation.3 1415  до точек 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415равно 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку расстояние между точками 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 тоже равно 13 EMBED Equation.3 1415, это означает, что точка 13 EMBED Equation.3 1415должна лежать на отрезке, соединяющем точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Другими словами, она удовлетворяет уравнению 13 EMBED Equation.3 1415  и условию 13 EMBED Equation.3 1415. 

Таким образом, исходная система равносильна системе 

·13 EMBED Equation.3 1415
Подставив 13 EMBED Equation.3 1415 в первое уравнение, получаем 
13 EMBED Equation.3 1415.
Поскольку функция 13 EMBED Equation.3 1415  возрастающая (как сумма двух возрастающих), каждое значение она принимает ровно один раз. Поэтому решение 13 EMBED Equation.3 1415  единственное, ему соответствует 13 EMBED Equation.3 1415. 
Ответ: если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, при остальных 13 EMBED Equation.3 1415 нет решений. 
Задача 6. Найдите все значения 13 EMBED Equation.3 1415, при каждом из которых уравнение 13 EMBED Equation.3 1415  имеет более двух корней.
Решение. Рассмотрим функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Исследуем уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. 
На промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 функция 13 EMBED Equation.3 1415 возрастает.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 убывает на этом промежутке, поэтому уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет не более одного решения на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415, причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, 13 EMBED Equation.3 1415, то есть при 13 EMBED Equation.3 1415. 
При 13 EMBED Equation.3 1415  уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 принимает вид 13 EMBED Equation.3 1415 . При 13 EMBED Equation.3 1415  левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При 13 EMBED Equation.3 1415 это уравнение сводится к квадратному уравнению
13 EMBED Equation.3 1415
дискриминант которого,
13 EMBED Equation.3 1415 ,
поэтому при 13 EMBED Equation.3 1415 это уравнение не имеет корней; при 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение имеет единственный корень, равный 13 EMBED Equation.3 1415; при 13 EMBED Equation.3 1415уравнение имеет два корня. 
Пусть уравнение имеет два корня, 
13 EMBED Equation.3 1415 и  13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда меньший корень 13 EMBED Equation.3 1415 всегда меньше 13 EMBED Equation.3 1415, а больший корень 13 EMBED Equation.3 1415 не превосходит 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415, то есть при 13 EMBED Equation.3 1415 . 
По теореме Виета: 
13 EMBED Equation.3 1415
поэтому знаки корней 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 зависят от знаков выражений 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Значит, при 13 EMBED Equation.3 1415 оба корня отрицательны, при 13 EMBED Equation.3 1415  один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при 13 EMBED Equation.3 1415 оба корня неотрицательны. 
Таким образом, при 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет корней при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, имеет один корень при 13 EMBED Equation.3 1415  и 13 EMBED Equation.3 1415, имеет два корня при13 EMBED Equation.3 1415 . 
Итак, уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет следующее количество корней: 
нет корней при 13 EMBED Equation.3 1415; 
один корень при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415; 
два корня 13 EMBED Equation.3 1415  и 13 EMBED Equation.3 1415;
три корня при 13 EMBED Equation.3 1415. 
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий