Методы решения нестандартных уравнений


Методы решения нестандартных уравнений
1 .Метод разложения на множители
Суть этого метода заключается в следующем: уравнение f(х)*g(х)*h(х)=0 можно заменить совокупностью уравнений f(х)=0; g(х)=0; h(х)=0. Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.
Пример 1. Решить уравнение: ( х²+х+2)3х²+5х-14= х²+х+63х²+5х-10Δ Освободимся в уравнении от знаменателей дробей. При этом целесообразно суммы х²+х и 3х²+5х в левой и правой его частях считать за одно слагаемое : ((х²+х)+2)/((3х²+5х)-14)=((х²+х)+6)((3х²+5х)-10).
Теперь получаем (х²+х)(3х²+5х)-10(х²+х)+2(3х²+5х)-20=(х²+х)(3х²+5х)-14(х²+х)+6(3х²+5х)-84, 4(х²+х)-4(3х²+5х)+64=0, х²+х-3х²-5х+16=0,
2х²+4х-16=0, х²+2х-8=0.
Корни последнего уравнения х₁ = 2, х₂ = -4. Сделаем проверку по исходному уравнению: не обращается ли какой-либо из двух знаменателей дробей в этом уравнении в нуль? Оказывается, не обращается. Значит, это корни исходного уравнения.
Ответ: 2, -4.
Пример 2. Решите уравнение: 2х+8+5х+9=3х+15+4х+6.
Δ Представим уравнение в таком виде: 5х+9-4х+6=3х+15-2х+8. Приведем разности в левой и правой частях этого уравнения к общим знаменателям: х-6х+9х+6=х-6х+15х+8, (х-6)(1х+9(х+6)-1х+15(х+8))=0.
Приравняем нулю каждый из множителей в левой части последнего уравнения. Получим х – 6 =0 или 8х= 66, учитывая при этом, что х≠-9, х≠-6, х≠15, х≠-8.Тогда х=6 или х=-334 Ответ: 6,- 334.
Пример 3.Решите уравнение: 3х-1+32х-1=1.
Δ Возведем обе части уравнения в куб. Будем иметь:
х-1+2х-1+33х-1(2х-1)*(3х-1+32х-1)=1,
3х-1(2х-1)*(3х-1+32х-1)=1-х.
А теперь воспользуемся исходным уравнением, на основании которого сумма в скобках равна 1: 3х-12х-1=1-х. Последнее уравнение также возведем в куб:
(х-1)(2х-1)=(1-х)³, (х-1)(2х-1+(х-1)²)=0, (х-1)х²=0.
Отсюда х₁=1, х₂=х₃=0.
Проверка по первоначальному уравнению показывает, что значение х=1 ему удовлетворяет, а значение х=0 – не удовлетворяет.
Ответ: 1.
2.Метод введения новой переменной.
Суть метода: если уравнение ƒ(х)=0 удалось преобразовать к виду р(q(х))=0,
то нужно ввести новую переменную u=q(х), решить уравнение p(u)=0, а затем
решить совокупность уравнений q(х)=u₁; q(х)=u₂…; q(х)=un, где u1, u2 …un – корни уравнения p(u)=0.
Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда завуалирована и «проявляется» лишь в процессе преобразований.
Пример 4. Решите уравнение: (х-1)(х-2)(х-4)(х-8)=4х2.
ΔВ левой части уравнения умножим первый множитель на четвёртый, второй на третий, получим: (х²-6х+8)(х²-6х+8)=4х².
А дальше разделим обе части уравнения на х2, пользуясь тем, что значение х=0 не является корнем уравнения: (х-9+ 8х)(х-6+ 8х)=4.
Введем подстановку: х-9+ 8 х=у. Будем иметь:
y(у+3)=4, у2+3у-4=0; у1=1, у2=-4.
В обоих случаях найдем х, решая совокупность уравнений х-9+8х=0,х-9+8х=-4;х2-10х+8=0,х²-5х+8=0; х₁,₂=5±17.
Ответ: 5±17.
Пример 5.Решите уравнение: (х+3)⁴+(х+5)⁴=16.
Δ Положим х+4=y ,т. к. х+3+(х+5)2=х+4.
Имеем: (y-1)⁴+(y+1)⁴=16.
Теперь нужно в левой части уравнения (y-1) и ( y+1) возвести в квадрат, а затем то, что получилось, ещё раз возвести в квадрат. После упрощений образуется биквадратное уравнение: y⁴+6y²-7=0.
Его корни y₁,₂ =±1. Отсюда х₁=-3, х₂=-5.
Ответ: -3, -5.
Пример 6. Решите уравнение: (х²+3х-4)³+(2х²-5х+3)³=(3х²-2х-1)³.
ΔВведём две подстановки: х²+3х-4=y; 2х²-5х+3=z.
Получим: y³ +z³= (y + z)³ , 3yz (y + z)=0,
(х²+3х-4)(2х²-5х+3)(3х²-2х-1)=0.
Решая уравнения х²+3х-4=0, 2х²-5х+3=0 и 3х²-2х-1=0 найдём все корни
1, 1, 1, -4, 32, - 13.
Ответ: 1, 1,1, -4, 32, - 13.
Пример 7. Решите уравнение: 3х+3х+19=5.
Δ Введем две новые переменные: 3х=у, 3х+19=z.
Получаем систему уравнений:
y+z=5y3=х,z3=х+19.Вычтем третье из второго уравнения системы для того, чтобы исключить х: z3-у3=19.
Для решения системы двух уравнений у+z=5, z3-у3=19
выразим z из первого уравнения и подставим это выражение во второе уравнение:
z=5-у, (5-у)3-у3=19, 125-75у+15у2-2у3=19, 2у3-15у2+75у-106=0.
Из делителей свободного члена последнему уравнению удовлетворяет у=2. Тогда уравнение приводится к виду:
(у-2)(2у2-11у+51)=0.
Так как дискриминант уравнения 2y² -11y+51=0 отрицателен, то других корней у уравнения нет.
Следовательно, х=у3=23=8.
Ответ: 8

3. Функционально-графический метод
Идея графического метода решения уравнения ƒ(х)=q(х) проста и понятна: нужно построить графики функций y= ƒ(х), y = q(х) и найти точки их пересечения - корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Этот метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближённые , а иногда и точные значения корней. В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить опорой на какие – либо свойства функций.
Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.
Пример 8. Решите уравнение: х³-х +4х-х² =х³-3х+2 .
ΔНайдём область определения D уравнения. Она совпадает с множеством всех решений системы неравенств
х³-х≥0,х-х²≥0. Решением первого неравенства является множество -1;0∪1;∞),второго отрезок 0;1. Следовательно, область D состоит всего из двух точек -0 и 1. Значение х=0 не удовлетворяет уравнению, значение х=1- удовлетворяет.
Ответ: 1.
Пример 9. Решите уравнение: 3-х =log5х-3. Δ ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям 3-х≥0 и х-3>0, т. е. ОДЗ есть пустое множество. Следовательно , уравнение не имеет корней.
Ответ: решений нет.
При решении уравнений свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определённую роль. Например, если для всех x из некоторого множества М справедливы неравенства ƒ(х)>А и q(х)<А, где А некоторое число, то на множестве М уравнение ƒ(х)=q(х) решений не имеет.
Пример 10. Решите уравнение: х²-2х+17 =-х²+4х.
ΔСправедливы неравенства : х²-2х+17≥16, -х²+4х≤4.
Тогда множество значений левой части уравнения есть промежуток 4;+∞), а правой – (-∞;4.Следовательно, равенство этих частей возможно только тогда, когда каждая из частей уравнения равна 4. Но левая часть равна 4 прих=1, а правая – при х=2. Это значит, что уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Пример 11. Решите уравнение: 10х⁴+3х³+5х²+5х+8=0.
ΔСделаем уравнение приведённым:
х⁴+310 х³+12 х²+12 х+45=0.
Дополним сумму х⁴ + 310 х³ до квадрата суммы:
(х² +320 х)² +(191400 х²+12 х +45 )=0.
Дискриминант квадратного трёхчлена, стоящего во вторых скобках , отрицателен, поэтому трёхчлен при х сохраняет постоянный знак, а именно положительный. Но тогда вся левая часть уравнения положительна; следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Пример 12. Решите уравнение: 3х+6+3х+25+х=7.
Δ Очевидно один корень уравнения – х=2. Имеет ли оно другие корни?
Левая часть уравнения есть возрастающая функция, как сумма трех возрастающих функций. Но монотонная функция каждое свое значение (в данном случае значение 7) принимает в единственной точке, поэтому других корней у уравнения нет
Ответ: 2.


Приложенные файлы


Добавить комментарий