Методы решения основных типов тригонометрических уравнений 2


Тригонометрические уравнения. Основные методы решений
 
 
 
Методы решения тригонометрических уравнений.
 Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: 
 преобразование уравнения для получения его простейшего вида  
и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.
Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.
 
1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры
   ( метод замены переменной и подстановки ).
  
2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.
 
    П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .
 
    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:
 
                                                               sin x + cos x – 1 = 0 ,
 
 преобразуем и разложим на множители выражение в    левой части уравнения:
                              
    П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.
 
    Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
 
                                            sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
 
                                            sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
                               
    П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 
     Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,
 
                               2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x , 
                               cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,
    
                               cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
                              1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,
                            
3. Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:
 
   а)  перенести все его члены в левую часть;
   б)  вынести все общие множители за скобки;
   в)  приравнять все множители и скобки нулю;
   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на 
        cos ( или sin ) в старшей степени; 
   д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . 
 
    П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
 
    Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
 
                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
 
                             tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,
 
                             корни этого уравнения:  y1 = 1,  y2 = 3,  отсюда
                             1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,
                              
 
4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:
 
    П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7. 
    Р е ш е н и е .  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
                                                                         = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
                             2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
                             tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:
 
                                           a sin x + b cos x = c ,
 
    где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1.  Тогда можно обозначить их соответственно как cos  и sin  ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
 
 
6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.
    
    П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin x · sin 3x = cos 4x.
 
    Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:
 
                                        cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
 
                                                 cos 8x = 0 ,
 
                                                 8x = / 2 + k ,
 
                                                 x = / 16 + k / 8 .
 
7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.
                                                                                                                                             
      П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .
  
                               
                             Таким образом, решение даёт только первый случай.
 


Приложенные файлы


Добавить комментарий