Методы решения показателныкх уравнений


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Различные методы решения показательных уравнений Работа ученика 10 класса МБОУ СОШ №1 г.ЗверевоКоролёва АндреяКонсультанты:педагог дополнительного образования Куц Федор Ивановичучитель математики Мищенко Татьяна Васильевна Определение. Показательным уравнением называется уравнение вида : ax = b, где а ≠ 1, а > 0 , х - неизвестная величина. 1) Основной метод. Уравнение вида ax = b, где а ≠ 1, а > 0 при b < 0 не имеет корней, при b > 0 решается логарифмированием обеих частей по основанию а: = , откуда х = . Пример. 23х = 7. = ; 3х∙ = ; 3х = ; х = Ответ. х = 2) Приведение к одному основанию. А) Уравнения вида a x = b приводятся к виду: a x = , откуда х = или a x = a t, откуда х = t. Пример. 1) 32х = 17. 32х = ; 2х = ; х = . Ответ. х = . 2) 23х = 8. 23х =23; 3х = 3; х = 1. Ответ. х = 1.  2) Приведение к одному основанию. Б) Уравнение вида = при а ≠ 1 и а > 0 равносильно уравнению f(x) = g(x). Пример. 5х ∙ 0,2 = ∙ .5х∙5-1 = ∙ ; 5х – 1 = ; х – 1 = ; 2х – 2 = 3х + 1; х = - 3. Ответ. х = - 3. 3) Вынесение общего множителя за скобку. Степень с наименьшим показателем выносится за скобку. Пример. 7х + 7х+ 2 = 350.7х ∙ (1+ 72) = 350; 7х ∙50 = 350; 7x = ; 7х = 7; х = 1. Ответ. х = 1. 4) Составление отношения. Уравнение вида A∙ax = B∙bx сводится к уравнению: = . Пример. 5х = 8х. =1; = ; х = 0. Ответ. х = 0. 5) Способ группировки. А) Степени с одинаковыми основаниями собирают в одной из частей уравнения, затем используют способы: вынесение общего множителя за скобку и составление отношений. Пример. 4х + 3х - 1 = 4х - 1 + 3х + 2 .4х - 4х - 1 = 3х + 2 - 3х – 1; 4х – 1(4 – 1) = 3х – 1(33 - 1); 4х – 1 ∙3 = 3х – 1 ∙ 26; Делим обе части уравнения на 3∙3х – 1 = ; = ; х – 1 = ; х = + 1. Ответ. х = + 1. 5) Способ группировки. Б) Слагаемые группируются так, чтобы левую часть уравнения можно было разложить на множители, а в правой получить ноль.Пример. - 49 + 3 = 147. - 49 + 3 -147 = 0; - 49 ) + (3 - 147) = 0; ( - 49) + 3 - 49) = 0; - 49) ( + 3) = 0. – 49 = 0 или + 3 = 0.1) = 49; = 72; х – 5 = 2; х = 7.2) = - 3 нет корней, т.к. > 0. Ответ. х = 7. 6) Замена переменной (сведение уравнения к квадратному уравнению). А) Показательные уравнения вида: A∙a2x + B∙ax + C = 0, где A ≠ 0, B, C – некоторые числа, a > 0, a ≠ 1, заменой ax = t (t > 0) сводятся к квадратным уравнениям.  Пример. 1) 3∙25х - 14∙5х - 5 = 0. 3∙52х - 14∙5х - 5 = 0. Сделав замену 5х = t (t > 0), получим уравнение 3t2 - 14t - 5 = 0. t1,2 = = = . t1= 5; t2 = - = - . t2 = - не удовлетворяет условию t > 0. Возвращаясь к переменной х, имеем: 5х = 5, откуда х = 1. Ответ. х = 1. 6) Замена переменной (сведение уравнения к квадратному уравнению). Б) Показательные уравнения вида: A∙ax + + C = 0, где A ≠ 0, B, C – некоторые числа, a > 0, a ≠ 1, заменой ax = t (t > 0) сводятся к квадратным уравнениям. Пример. 3х+1 - 25 = . 3∙3х - 25 = . Сделав замену 3х = t (t > 0), получим уравнение: 3t - 25 = , 3t2 - 25t = 18, 3t2 - 25t - 18 = 0. t1,2 = = = . t1= 9; t2 = - = - . t2 = - не удовлетворяет условию t > 0. Возвращаясь к переменной х, имеем: 3х = 9, откуда х = 2. Ответ. х = 2. 6) Замена переменной (сведение уравнения к квадратному уравнению). В) Показательные уравнения вида: A∙ax + B∙a -x + C = 0 , где A ≠ 0, B, C – некоторые числа, a > 0, a ≠ 1, заменой ax = t (t > 0) сводятся к квадратным уравнениям. Пример. 13х + 1 - 12∙13 - х = 1. 13∙13х - 12∙13 - х - 1 = 0; 13∙132х - 12 - 13х = 0. Сделав замену 13х = t (t > 0), получим уравнение: 13t2 - t - 12 = 0, откуда t1= 1; t2 = - . t2 = - не удовлетворяет условию t > 0.Возвращаясь к переменной х, имеем: 13х = 1; 13х = 130 , откуда х = 0. Ответ. х = 0. 7) Метод почленного деления. Показательные уравнения вида: A∙a2x + B∙ax∙bx + C∙b2x = 0, где A , B, C – некоторые числа, a > 0, a ≠ 1, b > 0 , b ≠ 1 называются однородными уравнениями и они сводятся к квадратным уравнениям путем деления каждого слагаемого на (a2x или b2x) и введением новой переменной t = (t = ), где t>0.  Пример. 3∙16х + 2∙81х = 5∙36х. 3∙42х +2∙92х – 5∙4х∙9х = 0. Поделив обе части уравнения на 92х, имеем 3∙ - 5∙ + 2 = 0. Сделав замену = t, t > 0, получим уравнение 3t2 - 5t + 2 = 0, откуда t1= 1; t2 = . Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая: 1) = 1, = , х = 0. 2) = , = , 2х = 1 , х = 0,5. Ответ. х1 = 0, х2 = 0,5. 8) Основания степеней члены геометрической прогрессии. Показательные уравнения вида: A∙ + B + C∙ = 0, где A, B, C – некоторые числа, причем A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0; a, b, c – являются последовательными членами геометрической прогрессии, путем деления на любую из степеней , , и введением новой переменной сводятся к квадратному уравнению. Пример. + = 4,25∙ . ОДЗ уравнения х ≠0.Преобразуем уравнение так, чтобы показатели степени были одинаковыми. + = 4,25∙ .Так как числа 100, 50, 25 являются последовательными членами геометрической прогрессии со знаменателем 0,5 ,то разделив обе части уравнения, например, на , получаем: + 1 = 4,25∙ ; - 4,25∙ + 1 = 0; - 4,25∙ + 1 = 0,Обозначив = t (t > 0), получаем квадратное уравнение t2 - 4,25t + 1 = 0, корни которого t1 = 4, t2 = .Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:1) = 4, = 22, = 2, х = .2) = , = 2-2, = - 2, х = - . Ответ. х1 = , х2 = - . 9) «Завуалированное» обратное число. Основания степеней взаимно обратные числа. Пример. + = 62.Заметим, что (4 + )( 4 - ) = 16 - 15 = 1.Используя подстановку у = , где у > 0, тогда = , получим уравнение у + = 62.у2 - 62у + 1 = 0, откуда у 1,2 = 31 ± = 31 ± = 31 ± .Преобразуем выражение 31 ± = 16 ± + 15 =Возвращаясь к переменной х, имеем: 1) , х = 2. = , = , = , х = - 2. Ответ. х1 = 2, х2 = - 2. 10) Неочевидная замена. Показатели степеней преобразуют так, чтобы можно было ввести замену переменной. Пример. = 10 + 3 .Заметим, что + = = =5, отсюда =5 - . Введем замену = у, у > 0, тогда = = 2⁵: = .Имеем у =10 + 3 ; уІ -10у - 96 = 0, откуда у1= - 6, у2 = 16.у1= - 6 не удовлетворяет условию у > 0. Возвращаясь к переменной х, имеем: = 16; = 2⁴; = 4; 3х – 5 = 4х – 8; х = 3. Ответ. х = 3. 11) Логарифмирование обеих частей уравнения. Логарифмируя обе части уравнения по основанию, равному одному из оснований степени, получаем более простое уравнение.  Пример. 61/х ∙ 2х = 12.Логарифмируем по основанию 2. = ; + = ; + х = ; +1) + х = + 2; + 1 + х2 = х ∙ ( + 2);х2 –( + 2)∙х +( + 1) = 0.По теореме, обратной теореме Виета: х1 =1, х2 = + 1. Ответ. х1 =1, х2 = + 1. 12) Использование монотонности. Используя свойства монотонных функций, путем рассуждений находим корни уравнения. Пример. 1) 2х + 5х = 29.f (x) = 2х + 5х возрастает на R, графиком у = 29 является горизонтальная прямая. f (2) = 29, т.е. имеется только одна точка пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Следовательно, х = 2 единственный корень. Ответ х = 2. 13) Метод подбора. Подбором находится корень уравнения, а затем доказывается, что корень единственный, используя монотонность показательной функции. Пример. 12х + 5х = 13х.Числа 5;12;13 – пифагоровы, т.е. 122 + 52 = 132, следовательно, х = 2 – корень уравнения.Покажем, что других корней нет.Разделив обе части уравнения на 13х и применив свойства степеней, получим: + = 1. В левой части уравнения убывающая функция ( как сумма убывающих функций), а в правой горизонтальная прямая, графики пересекаются только в одной точке. Ответ х = 2. 14) Уравнения, правая часть которых представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Применяя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сводят уравнение к более простому виду. Пример. 2х - 1 + 2х - 4 + 2х - 2 = 6,5 + 3,25 + 1,625 + …В правой части уравнения записана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом b1= 6,5 и знаменателем q = = = .Найдем сумму этой прогрессии по формуле S = . S = = 13.Исходное уравнение принимает вид: 2х - 1 + 2х - 4 + 2х - 2 = 13; 2х - 4(23 + 1 + 22) = 13; 2х - 4∙13 = 13; 2х - 4 = 1; 2х - 4 = 20; х – 4 = 0; х = 4. Ответ х = 4. 15)Показательно - степенные уравнения. Пример. = . Поскольку основанием левой и правой части является не число, а функция f(x) = |x - 3|, то данное уравнение относится к показательно - степенным уравнениям. Мы должны рассмотреть это уравнение как показательное с основанием больше нуля и не равным единице и как степенное с основанием равным единице.1) При |х - 3| > 0,т.е. х ≠ 3, имеем = ; х2 – 2х = 3; х2 – 2х – 3 = 0; х1 = - 1, х2 = 3.х = 3 не удовлетворяет условию х ≠ 3, поэтому не является корнем исходного уравнения.Если х = -1, то | х - 3| = |-1 - 3| = |- 4| = 4 ≠ 1. х = -1 корень исходного уравнения.2)|х - 3| = 1 при х2 – 2х ≥ 0.Решим уравнение : |х - 3| = 1. х – 3 = 1 или х - 3 = - 1. х1 = 4, х2 = 2.Решим неравенство х2 – 2х ≥ 0, х (х - 2) ≥ 0. Откуда х ≤ 0 или х ≥ 2.Найденные корни х1 = 4, х2 = 2 удовлетворяют условию х ≥ 2. Ответ. х1 = 4, х2 = 2, х3= - 1. 16) Показательно - логарифмические уравнения. Если в уравнении содержится выражение вида , то для нахождения корней уравнения необходимо сначала прологарифмировать обе его части по тому же основанию, что и основание логарифма, стоящего в показателе степени, а затем решить полученное алгебраическое уравнение относительно . Пример. = 4.ОДЗ уравнения: х > 0, х ≠ 1.Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2: = ; ∙ = 2; - - 2 = 0. Пусть = t , тогда t2 - t - 2 = 0, откуда t = 2, t = -1,Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:1) = 2, х = 4.2) = - 1, х = . Оба значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ. х1 = 4, х2 = . 17) Уравнения содержащие модуль. А) В решении уравнений используются свойства модуля. Пример. 1) 72х + 3|7х -5| = 7х +1 + 6.1) Если 7х - 5 ≥ 0, т.е. 7х ≥ 5, то |7х -5| = 7х - 5 и уравнение примет вид: 72х + 3(7х -5) = 7х +1 + 6; 72х + 3∙7х - 15 - 7∙7х - 6 = 0; 72х - 4∙7х - 21 = 0. Пусть у = 7х, у > 0, тогда имеем уравнение у2 - 4у - 21 = 0, корни которого у1 = 7, у2 = - 3. у2 = - 3 не удовлетворяет условию у > 0.Следовательно, 7х = 7, откуда х = 1. 2) Если 7х -5 < 0, т.е. 7х < 5, то |7х -5| = - (7х -5) и уравнение примет вид: 72х - 3(7х -5) = 7х +1 + 6; 72х - 3∙7х + 15 - 7∙7х - 6 = 0; 72х - 10∙7х + 9 = 0. Пусть у = 7х, у > 0, тогда имеем уравнение у2 - 10у + 9 = 0, корни которого у1 = 1, у2 = 9.Оба значения удовлетворяют условию у > 0, следовательно, имеем два уравнения1) 7х = 1, откуда х = 0.2) уравнение 7х = 9 не удовлетворяет условию 7х < 5. Ответ. х1 = 1, х2 = 0. 17) Уравнения содержащие модуль. Б) В решении уравнений используются свойства модуля. Пример. 3|х - 1| = 3|х + 3|.Так как 3 > 0, 3 ≠ 1, то исходное уравнение равносильно уравнению |х - 1| = |х + 3|.Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х- 1)2 = (х + 3)2, откуда х2 – 2х + 1 = х2 + 6х + 9; 8х = - 8; х = - 1.Проверка. Л.ч. 3|х - 1| =3|- 1 - 1| = 3|- 2| = 32 = 9. П.ч. 3|х + 3| =3|- 1 + 3| = 3|2| = 32 = 9. 9 = 9. х = - 1 – корень уравнения. Ответ. х = -1. 18) Уравнения содержащие тригонометрические функции. Пример. 1 + = 3∙ .Преобразуем показатель степени, стоящий в правой части уравнения: = = = - tg x = (1 - tg x).Тогда исходное уравнение примет вид: 1 + = 3∙ ;1 + = 3∙ ; 1 + = . Обозначив = у, у > 0, имеем1 + у = ; у2 + у – 6 = 0, откуда у1 = 2, у2 = - 3.у2 = - 3 не удовлетворяет условию у > 0, следовательно, = 2, tg x = 1, x = + n, n Z. Ответ. x = + n, n Z. 19) Метод оценок. Пример. ( - )х = 51,2.Оценим приближенно число - . Так как 81 < 125 < 625, то есть 34 < 125 < 54, то (3;5). Так как 0,1296< 0,2 < 0,2401,тоесть 0,64 < 0,2 < 0,74,то (0,6;0,7).Следовательно, - (2,3;4,4). Учитывая, что в правой части стоит рациональное число, то и в левой части будет число рациональное. Из интервала (2,3;4,4) только при х = 4 может получиться рациональное число в левой части. Подставим х = 4 в левую часть уравнения: ( - )4 = ( )4 – 4∙( )3 ∙ + 6( )2 ∙ ( )2 – - 4∙ ∙ ( )3 +( )4 = 125 – 4 ∙ ∙ + 6 ∙ – 4 ∙ + 0,2 =125 – 100 + 30 – 4 + 0,2 = 51,2. х = 4 – корень уравнения. Ответ. х = 4. 20) Графический метод. В одной системе координат строят графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Находят абсциссы точек пересечения. Производят проверку. Пример. = х - .  В одной системе координат строим графики функций у = и у = х - . Из рисунка видно, что графики функций пересекаются в точке с абсциссой х =1. Проверка показывает, что х = 1 – корень данного уравнения: = , 1 - = . Покажем, что других корней нет. Функция у = убывающая, а функция у = х - возрастающая, тогда по теореме о встречной монотонности, уравнение имеет не более одного корня. Ответ. х = 1.        21) Переменная является показателем корня. Если в показательном уравнении содержатся радикалы вида ,то следует учитывать, что корень определен при натуральных значениях х не меньших 2 ( , 2). Необходимо помнить, что функции у = и у = имеют разные области определения. Первая определена при , 2, а вторая при х ≠ 0. Пример. = 225.Исходное уравнение равносильно системе Преобразовав уравнение системы к виду = 152, имеем = 2, откуда х = . Но х = не удовлетворяет условию , 2, т.е. уравнение не имеет корней. Ответ. Нет корней. 22) Применение теоремы о встречной монотонности. Если на промежутке Х функция f(x) возрастает, а функция g(x) – убываетили постоянна, то исходное уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного корня.Пример. 3х – 2 = .Поскольку основание 3 больше 1, то показательная функция у1=3х-2возрастает на всем множестве, тогда как правая часть уравнения – функцияу2= – убывает на множествах ( -∞;0) и (0;∞). Таким образом, в силутеоремы о встречной монотонности, данное уравнение имеет единственныйкорень, либо корней вообще не имеет. Подберем целый положительный корень этого уравнения среди делителейчисла 9: х = 3 дает верное равенство 33 – 2 = .Итак, х = 3 - единственный корень этого уравнения.Ответ. х = 3. 23) Оценочная(«граничная») задача. Производится оценка множеств значений правой и левой частей уравнения.Если правая часть ограничена снизу, а левая часть ограничена сверху, торавенство возможно только в общей точке.Пример. = 5 + 4sin x.Для решения оценим множество значений функции F = из левой частиуравнения и функции G = 5 + 4sin x из правой части.Начнем с функции F = , которая определена на множестве R.Поскольку | х - | ≥ 0, то ≥ 30 = 1, следовательно, 9 ∙ ≥ 9∙1 = 9.Таким образом, F ≥ 9.Перейдем к нахождению множества значений функции G = 5 + 4sin x. Так как -1 ≤ sin x ≤ 1, то - 4 ≤ 4sin x ≤ 4, а 1 ≤ 5 + 4sin x ≤ 9, т.е.1 ≤ G ≤ 9.Поскольку F ≥ 9 и G ≤ 9, то равенство F = G возможно лишь при условии F = 9 и G =9, т.е.Первое уравнение имеет единственный корень х = , который и будет единственнымрешением системы в том случае, если он удовлетворяет второму уравнению.Подставляя х = во второе уравнение, получаем sin = 1- верно. Ответ. х = . Литература: 1) Тестовые задания по математике для слушателей подготовительных курсов ИГАСУ Сост. Ж.Н.Аксенова, П.Б.Татиевский. Иваново, 2006.2)А.Н.Рурукин Пособие для интенсивной подготовки к выпускному, вступительному экзамену и ЕГЭ по математике М.: ВАКО, 2004.3)А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир . Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов .М.: Илекса, 2003.4)В.Ф.Чаплыгин, Н.Б.Чаплыгина.Конкурсные задачи по математике: Сборник задач. Ярославль, 2005.5) В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина. ЕГЭ-2007.Математика. Тематические тренировочные задания М.: Эксмо, 2007.

Приложенные файлы


Добавить комментарий