Методы решения тригонометрических уравнений кондрашева с.м.сошно28


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙАвтор:Кондрашева Светлана Михайловна, учитель математикиМОБУ СОШ№28 ст. Вознесенской Лабинского района АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ:тригонометрические уравнения из года в год встречаются среди заданий ЕГЭ;в школьной программе отводится мало времени на изучение данной темы;уравнения повышенной сложности изучаются на факультативных занятиях в ознакомительном порядке. ЦЕЛЬ РАБОТЫ:изучить методы решения тригонометрических уравнений; исследовать применение их к решению уравнений повышенной сложности и заданий различного содержания. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ:- рассмотреть исторические сведения о тригонометрических уравнениях;- изучить общие сведения о простых тригонометрических уравнениях;- изучить методы решения тригонометрических уравнений;- исследовать применение методов решения тригонометрических уравнений к решению уравнений повышенной сложности и заданий на нахождение дополнительных условий;- подготовить упражнения и составить тест для самостоятельного решения учащихся. ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЙ:1.Анализ методов решения тригонометрических уравнений наиболее часто применяемых на практике.2.Применение различных методов исследования: изучение литературы, материалов учебных интернет – сайтов по данной теме; консультации с преподавателем; применение различных методов решения тригонометрических уравнений на практике.3. Анализ и подбор заданий для самостоятельного решения разной сложности.4.Самостоятельное решение уравнений. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ:1. Из истории тригонометрии.2. Общие сведения о тригонометрических уравнениях.3. Методы решения тригонометрических уравнений.4. Приемы решения тригонометрических уравнений, требующих искусственных преобразований.5. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях. 6. Применение рассмотренных методов решения тригонометрических уравнений. 7. Приложение 1. Тест по теме «Тригонометрические уравнения» и ответы к нему. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Алгебраические уравнения относительно одной из тригонометрических функций.2 sin2 х + cosх – 1 = 0 2tg х – 3 ctg х – 1 = 02 ( 1 - cos2x ) + cosх – 1 = 0, 2 - 2 cos2x + cosх – 1 = 0, 2 cos2x – cos х – 1 = 0. Пусть cos х = t, где -1≤t≤1, тогда 2 t2 - t – 1 = 0, D = 9, t1= 1 , t2= -0,5cos х = 1 cos х = -0,5 х = 2πn, nϵZ;х = ± 2π/3 + 2πn, nϵZ Ответ: 2πn, ± 2π/3 + 2πn, nϵZ2tg х- – 1 = 0, 0=2 tg2x – tg х – 3 = 0. Пусть tg х = t, тогда 2 t2 - t – 3 = 0D= 25, t1= 1,5 , t2= -1 tg х = 1,5 tg х = -1х = arctg 1,5 + πn, nϵZ х = -π/4 + πn, nϵZОтвет: arctg 1,5 + πn, - π/4 + πn, nϵZ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА УРАВНЕНИЯ4 cos2x + cos 2 х= 5sin4 х + cos22x = 24×0,5(1 + cos 2х)+cos2х = 5, 2 + 2cos 2х + cos 2x = 5, cos 2х = 1, 2х = 2 πn, nϵZ, х = πn, nϵZОтвет: πn, nϵZ¼(1-cos2x)2+cos2 2x=2, ¼(1-2cos2x+cos2 2x)+cos2 2x =2,5cos2 2x -2cos2x-7=0. Пусть cos2x=t, тогда 5t2 -2t-7=0, D=144, t1= 1,4, t2= -1, cos2x=-1X= π/2 + πn, nϵZ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ И СЛЕДСТВИЙ ИЗ НИХ:sinх+sin3х+sin 5х=0cos 2х+cos4х –cos 3х = 0(sin 5X + sin х) + sin 3х =0, 2sin3хcos 2х + sin 3х = 0, sin 3х (2cos 2х+ 1) = 0,sin 3х = 0или2cos 2х + 1 = 03х = πn, х = πn/3 , n ϵ Zили cos 2х = - 1/2, х = ± π/3 + πn, n ϵ ZОтвет: πn/3 , ± π/3 + πn, n ϵ Z.(cos 4х+ cos 2х) –cos 3х = 0, 2cos 3х cos х – cos 3х = 0, cos 3х (2cos х - 1) = 0,cos 3х = 0 или 2cosх – 1 = 0; тогда х = π/6 + πn/3 или х=± π/3 + 2πn, n ϵ ZОтвет: х = π/6 + πn/3 , х=± π/3 + 2πn, n ϵ Z ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ:7 sin2 х = 8sinхcosх - cos2x 6 sin2 х + 3sinXcosX - 2 cos2x = 37 sin2 х - 8sin X cos X + cos2x = 0, 7 tg2x - 8tgX + 1 = 0. Пусть tgX = t, тогда7 t2– 8t + 1 = 0 D= 9, t1= 1, t2=1/7. tg X = 1, X =π/4 + πn, n ϵ Z. tgх = 1/7, х = arctg1/7+ πn, n ϵ ZОтвет: π/4+ πn, arctg1/4+ πn, nϵ Z3sin2 х +3sinXcosX - 5cos2x = 0, 3 tg2x + 3 tgX – 5 = 0, D = 69, tgx =(√69-3)/6 , tgx= (√69+3)/6 , Ответ: X= arctg ((√69-3)/6 ) + πn, n ϵ Z X = - arctg ((√69+3)/6 ) + πn, n ϵ Z ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ТРЕБУЮЩИХ ИСКУССТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функциюcos 2X + cos 5X =0,5 + cos 4X (* на cos X )cos 2Xcos X + cos 5X cos X =0,5 cos X + cos 4Xcos Xcos 2X 2cos X + cos 5X2cos X = cos X + cos 4X2cos X2cos Xcos 2X + 2cos Xcos 5X – 2cos Xcos 4X = cos Xcos X + cos 3X + cos 6X + cos 4X–(cos 3X + cos 5X)–cos X = 0cos 3X + cos 6X + cos 4X – cos 3X – cos 5X = 0cos 6X – cos 5X + cos 4X = 0, 2cos 5Xcos X – cos 5X = 0, cos 5X (2cos X – 1 ) = 0cos 5X = 0 или 2cos X – 1 = 0. X = π/10 + πn/5 , n ϵ Z ; X =π/3 + 2πn, n ϵ ZОтвет: X = π/10 + πn/5 , n ϵ Z ; X =π/3 + 2πn, n ϵ Z прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, одной и той же тригонометрической функции4 – 4cos 2X – 1+cos 4X = 16 sin6 x, 4–4cos2X + 2 cos2 2x - 1 -1 = 16 sin6 x2–4cos 2X + 2 cos2 2x = 16 sin6 x , -2cos 2X + cos2 2x + 1 = 8sin6 x ,cos 2X ( cos 2X - 2 ) = 8 sin6 x – 1cos 2X ( cos 2X – 2 ) = ( 2 sin2 x - 1 )( 4 sin4 x + 2 sin2 x + 1)cos 2X ( cos 2X – 2 ) =- cos 2X ( 4 sin4 x + 2 sin2 x + 1)cos 2X ( cos 2X – 2 ) + cos 2X( 4 sin4 x + 2 sin2 x + 1) = 0cos 2X ( cos 2X – 2 + 4sin4 x + 2sin2 x + 1 ) = 0cos 2X = 0 или sin4 x = 0. X = π/4 + πn/2 , n ϵ Z или X = πn, n ϵ ZОтвет: π/4 + πn/2 , n ϵ Z или πn, n ϵ Z тождественные преобразования одной из частей уравнения:sin 5X=-1/4 sinX (sin 5X-sin3X ) + ( sin 3X-sin X ) + sin X = -1/4sin X, 2cos 4Xsin X +2cos 2Xsin X + sin X + 1/4sin X = 0sin X ( 2cos 4X + 2cos 2X +5/4 ) = 0. sin X= 0, X = πn, n ϵ Z или2cos 4X +2cos 2X + 5/4 = 0,2 ( 2 cos22x – 1 ) + 2cos 2X +5/4 = 0, 4 cos22x + 2cos 2X – 2 + 5/4 = 0, 4 cos22x + 2cos 2X – 3/4 =016 cos22x + 8cos 2X -3 = 0.Пустьcos 2X= t,тогда16 t2 + 8t –3 = 0, D= 64, t1 = 1/4, t2 =-3/4сos 2X = 1/4 , cos 2X = -3/4 . X = ± 0,5arccos1/4 + πn, n ϵ Z, X = ± 0,5( π - arccos3/4) + πn/2 , n ϵ ZОтвет: X = πn, ± 0,5arccos 1/4+ πn; ± 0,5( π - arccos3/4) + πn/2 , n ϵ Z СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

Приложенные файлы


Добавить комментарий