Методы решения задач на комбинации

Методы решения задач на комбинации
геометрических тел

Одной из наиболее сложных тем при изучении стереометрии является решение задач на комбинации различных геометрических тел.
При решении задач на комбинации многогранников, цилиндра, конуса и шара необходимо иметь набор моделей и готовые чертежи комбинаций указанных фигур. Всего встречается девять комбинаций многогранников с цилиндром, конусом и шаром:
шар и пирамида;
шар и призма;
шар и конус;
шар и цилиндр;
конус и пирамида;
конус и призма;
конус и цилиндр;
цилиндр и пирамида;
цилиндр и призма.
Наибольшие трудности при изображении комбинаций фигур возникают в тех случаях, когда одна из фигур – шар. В таких задачах изображение самого шара, как правило, бывает излишним – достаточно лишь указать его центр и точки касания с различными плоскостями и прямыми. Необходимо записывать полное обоснование нахождения положения центра шара, вписанного в многогранник или описанного около него.
При решении задач на комбинации фигур полезно делать различные вспомогательные планиметрические чертежи, т. е. "выносы плоских конфигураций", изображение которых искажено пространственной перспективой. В этих случаях недостаточно знать только определение сферы, описанной или вписанной в тот или иной многогранник. Следует учитывать ряд факторов связанных с вписанными и описанными сферами (шарами).
Решая вспомогательные планиметрические задачи следует пользоваться свойствами и признаками касательной к окружности и касательной плоскости к сфере.


Касательная к окружности
Касательная плоскость к сфере

Определение





Свойство




Признак
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а общая точка прямой и окружности – точкой касания.

Радиус окружности, проведенный в точку касания прямой и окружности, перпендикулярен к касательной.


Если прямая перпендикулярна к радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она является касательной к этой окружности.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а общая точка плоскости и сферы – точкой касания.

Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.


Комбинации шара и призмы
Если в призму вписан шар, то:
высота призмы равна диаметру шара;
точки касания шара с боковыми гранями принадлежат сечению призмы плоскостью, проходящей через середину высоты призмы (центр шара) перпендикулярно боковым ребрам (см. слайд 4).
Окружность, получающуюся при пересечении сферы плоскостью, проходящей через центр шара, называют большой окружностью шара; следовательно, точки касания шара, вписанного в призму, с ее боковыми гранями расположены на большой окружности этого шара.
Однако, не для всякой призмы существует описанный шар. Для того чтобы около призмы можно было описать шар, необходимо и достаточно, чтобы: 1) призма была прямой; 2) около ее основания можно было бы описать окружность.
Справедливо следующее утверждение: если около призмы описан шар, то центр шара является серединой высоты призмы, проведенной через центр окружности, описанной около основания призмы.

Комбинации шара и пирамиды
При решении задач на комбинации шара и пирамиды необходимо учитывать следующие теоремы:
Т е о р е м а 1. Если в пирамиду вписан шар, то его центр является точкой пересечения биссектральных плоскостей всех двугранных углов пирамиды.
Биссектральной плоскостью двугранного угла называется множество точек, равноудаленных от граней данного двугранного угла. Центр шара, вписанного в пирамиду, всегда находится внутри пирамиды, так как все точки биссектральной плоскости расположены между гранями двугранного угла.
Из множества пирамид, в которые можно вписать шар, следует особо рассмотреть пирамиды, у которых двугранные углы при основании равны, или (что то же самое) все боковые грани составляют равные углы с плоскостью основания. В таких пирамидах высота пересекает основание в центре вписанной в него окружности, а высоты всех боковых граней равны. Биссектрисы линейных углов двугранных углов при основании пирамиды пересекают высоту пирамиды в одной точке, являющейся центром вписанного шара. Шар касается основания пирамиды в центре вписанной в него окружности, а боковых граней – в точках, принадлежащих высотам боковых граней (см. слайд 2).
Т е о р е м а 2. Если около пирамиды описан шар, то его центр является точкой пересечения всех плоскостей, проведенных через середины ребер пирамиды перпендикулярно к этим ребрам.
Т е о р е м а 3.Для того, чтобы около пирамиды можно было описать шар, необходимо и достаточно, чтобы около ее основания можно было описать окружность.
Особое внимание следует уделить пирамидам, у которых все боковые ребра равны, или (что то же самое) одинаково наклонены к плоскости основания. У таких пирамид высота пересекает основание в центре окружности, описанной около него, и центр шара, описанного около пирамиды, лежит на высоте пирамиды или на ее продолжении за плоскость основания.
При решении задач, в условии которых дан шар, описанный около пирамиды или конуса, целесообразно высоту пирамиды (конуса) продолжить до пересечения с шаровой поверхностью, получить прямоугольный треугольник, в котором диаметр шара будет гипотенузой, а боковое ребро (или образующая конуса) – одним из катетов, и воспользоваться теоремой планиметрии о свойстве высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла на гипотенузу.


Формулы для расчета площади поверхности и объема.



d
Sбок
Sосн
Sпов
V

Цилиндр
-
2
·Rh

·R2
Sбок + 2Sосн

·R2h

Конус
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

·Rd

·R2
Sбок + Sосн
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Шар
-
-
-
4
·R2
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415



R – радиус цилиндра, конуса, шара.
h – высота цилиндра, конуса.
d – образующая конуса.
Sбок – площадь боковой поверхности.
Sосн – площадь основания.
Sпов – площадь полной поверхности.
V – объем.








13PAGE 15


13PAGE 14115





Приложенные файлы


Добавить комментарий