Исследовательская работа «Золотое сечение в математике»


«Юность науки »






Секция: естественно-технические науки (математика)

Тема: Золотое сечение как математический язык красоты






Учреждение: МБОУ «Логовская средняя общеобразовательная школа»



Автор работы ученик 6 класса Липатников Данил
Научный руководитель учитель математики Кардакова Ю.И.








2015г.
Оглавление
Введение…………………………………………………………………….……..3
Глава 1 «Золотое сечение» как математический язык красоты………………..5
Возникновение понятия «Золотое сечение», «золотые» фигуры..………...5
Глава 2. Экспериментальная часть……………………………………………....8
2.1 Методика проведения исследования……………………………..……..…...8
2.2 Результаты исследования…………………………………………...……..…9
Заключение……………………………………………………………………….20
Список литературы………………………………………………………………21
Приложение 1…………………………………………………………………….22
Приложение 2…………………………………………………………………….23





















Во все времена люди через восприятие определяли для себя красоту и гармоничность окружающего мира. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна гармония, воспринимаются, как красивое, и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.
Красота геометрических форм в объектах окружающей действительности издавна
привлекала внимание ученых, многие умы пытались подчинить красоту и гармонию форм математическим формулам и расчетам.
Одним из таких математических обоснований красоты является пропорция «Золотое сечение». На данном этапе развития научно-исследовательской деятельности достаточно много внимания уделено этому вопросу, а именно, проблеме поиска золотой пропорции в предметах архитектуры, в мире растений и животных, в мире музыки и искусства, в медицине и антропологии. Исследования по этим вопросам не совсем однозначны, некоторые исследования подтверждают наличие «божественной пропорции», некоторые опровергают теорию красоты и гармонии посредствам «золотого сечения».
Нам же хотелось изучить и исследовать, при наличии имеющегося математического аппарата, геометрические фигуры со свойством золотого сечения, назовём их «золотыми», определить присутствие этих объектов в окружающем мире, их восприятие человеком. Содержание данной работы является непосредственным показателем математической красоты, элементом формирования межпредметных связей и единства образовательного пространства.
Объект исследования: предметы окружающего мира, имеющие геометрические формы.
Предмет исследования: свойства «золотых» геометрических фигур.
Гипотеза: объекты, обладающие свойством золотого сечения, присутствуют в нашей жизни, обладают гармоничностью форм и приятны для восприятия человеком.
Цель: определить влияние «золотого сечения» на геометрические фигуры и объекты окружающей действительности.
Задачи работы:
Изучить свойства «золотых» фигур.
Провести исследования с «золотым» прямоугольником.
Найти и изучить объекты окружающего мира со свойством «золотого сечения».
Составить мозаики Пенроуза, проверить свойства.
Изучить рынок форм тротуарной плитки.
Создать модель квазикристалла.
Новизна исследования: раскрыть красоту форм геометрических объектов с «золотым сечением», провести повторное исследование.
Практическая значимость:
Использование приобретенных знаний, умений и навыков исследовательской работы при дальнейшем изучении математики и других школьных предметов.
Методы исследования:
эмпирический (наблюдение, эксперимент, измерение, статистический анализ), теоретический (работа с информацией), моделирование.




























Глава 1 Золотое сечение как математический язык красоты
Возникновение понятия «Золотое сечение» и его определение
Анализ литературы по данному вопросу позволил установить, что впервые понятие золотой пропорции, т.е золотого сечения, появилось в трудах Пифагора, а затем имело продолжение в работах других великих учёных Греции. Тогда сущность «золотой пропорции» состояла в том, что одна часть целого должна так, относится к другой, как целое к большей части. Такая пропорция стала называться «золотой», «божественной». Её стали массово использовать в архитектуре, искусстве. Тому подтверждение, исследования предметов архитектуры и полотен художников того времени. В эпоху итальянского Возрождения золотая пропорция становится показателем, критерием красоты многих направлений деятельности человека. В это время именно Леонардо да Винчи называет золотую пропорцию «золотым сечением», видимо на основании разделения целого на части. С тех пор начались массовые исследования по данной тематике. Этой проблемой занимались: Лука Пачоли, Иоганн Кеплер, Цейзинг и многие другие.
Но определить понятие «золотое сечение» ещё не значит его изучить. Мы займемся изучением этого понятия и понятием «золотых» фигур, их свойств, средствами имеющегося у нас математического аппарата.
В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

Рис. 1. Пропорциональное деление отрезка
Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
с : b = b : а.
c:b=b:a=1,618033988749894 – число Ф.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробьюb= 0,618..., если c принять за единицу, a = 0,382. Числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На последовательности Фибоначчи и их научном авторе остановимся поподробнее.
С историей «золотого сечения» косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:
Месяцы 0 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 и т.д.
Пары кроликов 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 и т.д.
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в «золотой» пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры, а последовательность Фибоначчи, как мы отметим во второй главе, прослеживается в объектах созданных человеком.
«Золотой» прямоугольник.
Прямоугольник называется «золотым», если отношение большей стороны к меньшей, равно Ф. В исследовательской части мы покажем, какие объекты из нашей жизни являются «золотыми» прямоугольниками, а здесь рассмотрим интересные свойства таких прямоугольников.
Существует свойство, по которому можно узнать «золотые» прямоугольники, не проводя никаких измерений. Если поставить два равных прямоугольника, так как на рисунке и провести диагональ горизонтально лежащего прямоугольника, то продолжение диагонали пройдет через дальнюю вершину вертикально стоящего прямоугольника.
320040148590320040148590

1254125-159385




Рис.2. Иллюстрация свойства «золотых» прямоугольников

«Золотой» треугольник.
Равнобедренный треугольник называется «золотым», если отношение длины большей стороны к меньшей равно Ф=1,618. Причем у этих треугольников углы равны 360, 720 и 720.

Рис.3. Построение «золотого» треугольника
Итак, мы научились строить «золотой» треугольник. Практическое применение «золотого» треугольника при создании различных мозаик мы рассмотрим в следующем параграфе. Навык пригодится нам при построении правильного пятиугольника.
Пентаграмма.
Правильный пятиугольник нам интересен как средство построения пентаграммы-звезды. Именно пентаграмма состоит из отрезков, разделенных золотым сечением, именно она является символом гармонии, красоты и является тайным знаком древних тайных сообществ. Итак, начнем с построения правильного пятиугольника.

Рис.4 Построение пентаграммы
Красота и правильность этой фигуры поражает. Она вся подчинена правилу золотого сечения. Звезды и в нашей жизни встречаются довольно часто, как символы, эмблемы, например на флагах многих стран. Значит, в присутствии «золотых» фигур в нашей жизни не приходится сомневаться.
Исследуя теорию по нашей теме, мы невольно обратили внимание на разговоры о египетских пирамидах. Пирамиды тоже в некоторой степени чудесное, удивительное, гармоничное строение. И оказалось, что в построении пирамид также заложены свойства золотого сечения. Мало того, Интернет загружен высказываниями о чудодейственных свойствах таких пирамид. Подтверждение этих свойств маловероятно, да и наша задача - изучить геометрические свойства и вопросы построения пирамид.
Итак, завершающим этапом в практической части данной работы является построение пирамиды со свойствами золотого сечения.
Чтобы построить пирамиду в пропорциях золотого сечения, надо:
1. Начертить квадрат.
2. Построить диагонали данного квадрата.
3. В точку пересечения диагоналей опустить высоту, равную стороне квадрата, деленной на 1,618.
4. Верхнюю точку высоты пирамиды соединить с четырьмя вершинами основания.
SO=AB:1.618
Рис.5. Пирамида со свойством «золотого» сечения
Рисунок на плоскости не даёт полного представления о таких пирамидах, поэтому мы решили создать модель пирамиды со свойством золотого сечения. Фото-материал выложен в приложение 1.
Таким образом, мы получим правильную четырехугольную пирамиду, в которой высота и сторона основания обладают свойством золотого сечения.
Итак, в результате проделанной работы были рассмотрены основные «золотые» фигуры, их свойства, алгоритмы построения. Уже на данном этапе наглядного представления геометрических фигур со свойствами «золотого» сечения можно однозначно сделать вывод о присутствии этих объектов в нашей жизни, об их красоте и математической гармоничности.

Глава 2. Экспериментальная часть
Методика проведения исследования
Наше исследование можно поделить на две части.
Эксперимент Фехнера
В 1876 г. немецкий экспериментальный психолог Густав Теодор Фехнер провел исследование со взрослыми людьми. Он попросил их из нескольких прямоугольников выбрать тот, который больше всего понравится. Подавляющее большинство выбрали прямоугольники с «золотым» отношением сторон или другие близкие варианты.
В прошлом году мы проводили такой эксперимент со школьниками с пятого по одиннадцатый класс. В этом году мы повторили данный эксперимент, с целью проверки изменилось ли восприятие гармонии у детей с возрастом.
На доску при помощи магнитной ленты крепились четыре прямоугольника, один из которых обладал «золотыми» свойствами, а другой был близок к этим пропорциям.

402272573660



235585028575



-71755391160




-7175571755






Рис.6. Прямоугольники из нашего эксперимента
Прямоугольники пронумеровывались, и ребятам предлагалось выбрать тот, который больше всего понравится. Результаты и личные данные записывались на предварительно розданных карточках.
Исследование предметов окружающего мира
На этом этапе исследования проводился поиск предметов (из нашей жизни) со свойством золотого сечения. Мы работали в два этапа, сначала предполагали наличие у предмета «золотых» свойств, а потом путем измерений подтверждали или опровергали предположение. Мы не будем подробно в нашей работе останавливаться на тех предметах окружающего мира, которые мы измерили, но у них не оказалось нужных свойств. Мы более подробно опишем «золотые» предметы. И как оказалось, «золотые» фигуры окружают нас повсюду.
2.2 Результаты исследования
Результаты эксперимента прошлого года
При повторении эксперимента Фехнера, мы получили результаты, которые занесли в таблицу. Всего в эксперименте принимало участие 84 ученика с пятого по одиннадцатый класс Логовской школы.
Таблица 1. Результаты проведения эксперимента в 2014 году
Номер прямоугольника Всего по классам № 1 № 2 (ближе к золотому) № 3 (золотой) № 4
Номер класса Дев. Мал. Всего Дев. Мал. Дев. Мал. Дев. Мал. Дев. Мал.
5 класс 6 10 16 2 2 2 4 1 3 1 1
6 класс 8 5 13 - 2 3 - 3 1 2 2
7 класс 7 8 15 2 1 2 3 3 2 - 2
8 класс 9 8 17 2 2 2 2 3 3 2 1
9 класс 6 7 13 - 1 2 1 3 4 1 1
10 класс 4 1 5 1 1 2 - 1 - - -
11 класс 4 1 5 - - 1 1 2 - 1 -
ВСЕГО 44 40 84 7 9 14 11 16 13 7 7
84 16 25 29 14

Для более наглядного представления данных воспользуемся диаграммой.


Рис.7 Диаграмма результатов выбора прямоугольника
1 прямоугольник – выбрали 19% учащихся;
2 прямоугольник (ближе к золотому) – выбрали 30% учащихся;
3 прямоугольник («золотой») – выбрали 34% учащихся;
4 прямоугольник – выбрали 17% учащихся.
Таким образом, в результате проведения эксперимента, мы получили результаты, подтверждающие гипотезу о том, что «Геометрические фигуры, обладающие свойством золотого сечения, более приятны для человека, в нашем случае для учащихся 5-11 классов Логовской школы». Причем, как показало исследование, прямоугольник с параметрами, близкими к «золотым», также понравился детям больше других.
Далее мы решили выяснить, кто, мальчики или девочки больше восприимчивы к геометрической красоте фигур. Другими словами, определить процент девочек и мальчиков, выбравших «золотой» прямоугольник и близкий к нему.
Таблица 2. Распределение результатов среди девочек
Всего девочек Выбрали 2 и 3 Остальные
44 30 14
Затем мы составили по результатам исследования диаграмму распределения выбора прямоугольников для мальчиков и девочек отдельно.

Рис. 8. Сравнение выбора прямоугольников с номерами 2 и 3 среди девочек.
Диаграмма показывает, что 68 % всех девочек выбрали прямоугольники с номерами 2 и 3.

Таблица 3. Распределение результатов среди мальчиков.
Всего мальчиков Выбрали 2 и 3 Остальные
40 24 16



Рис.9 Сравнение выбора прямоугольников с номерами 2 и 3 среди мальчиков.
Диаграмма показывает, что 60 % всех мальчиков выбрали прямоугольники с номерами 2 и 3.
Анализируя результаты, можно сделать вывод о том, что девочкам в большей степени, чем мальчикам, понравились «золотой» прямоугольник и близкий к нему.
Результаты эксперимента 2015 года
Эксперимент проводился среди учащихся 6-11 класса(те классы, которые участвовали в прошлом году)
Таблица 4. Результаты проведения эксперимента в 2015 году
Номер прямоугольника Всего по классам № 1 № 2 (ближе к золотому) № 3 (золотой) № 4
Номер класса Дев. Мал. Всего Дев. Мал. Дев. Мал. Дев. Мал. Дев. Мал.
6 класс 6 10 16 - 2 3 4 3 2 - 2
7 класс 8 5 13 2 - 2 3 3 2 1 -
8 класс 7 8 15 1 2 2 2 3 3 1 1
9 класс 9 8 17 2 1 2 2 4 4 1 1
10 класс 2 2 4 1 - - 1 1 1 - -
11 класс 4 1 5 - - 1 1 1 1 1 -
ВСЕГО 36 34 70 6 5 10 13 15 13 4 4
70 11 23 28 8

В прошлом году 64% учеников выбрали «золотой» прямоугольник и близкий к нему, а в этом году-73%. По этим результатам можно предположить, что чем старше становится человек, тем лучше он видит гармонию в окружающем мире, чтобы увидеть разницу в результатах более наглядно мы составили таблицу по классам.
Таблица 5. Сравнительная таблица
Результаты
2014 года Результаты
2015 года
Номер класса №1 и
№ 4 №2 и №3 №1 и
№ 4 №2 и №3
6 класс 38% 62% 25% 75%
7 класс 47% 53% 21% 79%
8 класс 33% 67% 33% 67%
9 класс 41% 59% 29% 71%
10 класс 40% 60% 25% 75%
11 класс 20% 80% 20% 80%
На основании данных таблицы можно сделать вывод, что чем старше становится человек, тем лучше он видит гармонию и красоту форм. Наше исследование можно продолжить, провести его со взрослыми и даже пожилыми людьми.
2. Результаты исследования предметов окружающего мира.
Данное исследование заключалось в измерении предметов окружающего мира, которые имеют геометрические формы и широко используются в жизнедеятельности человека.
Первое, на что мы обратили внимание, это геометрическая красота государственных флагов стран. На олимпиаде было явно видно присутствие на многих флагах пентаграммы - пятиконечной звезды, все стороны которой находятся в пропорциях золотого сечения. Пентаграмма – это не просто красивая фигура, это символ, со своей историей.

Рис.10 Флаг Вьетнама.
Обратившись к географии, мы выяснили, что сейчас в мире около 200 независимых государств, более точную цифру называют 193. Мы подсчитали в учебнике географии за 2003г, что стран с государственным флагом, на котором есть пентаграмма – 43.

Рис.11 Сравнение количества государственных флагов, имеющих пентаграмму
И мы получили, что около 20% стран мира символом на государственном флаге выбрали пентаграмму – «золотую» звезду. Таким образом, можно сделать вывод, что пентаграмма играет в нашей жизни роль символа, несущего красоту, пропорциональность, статичность, незыблемость.
Но как оказалось, стороны государственных флагов относятся друг к другу как 2:3, а это элементы последовательности Фибоначчи, которые имеют отношения очень близкие к «золотым». Таким образом, можно сделать важный вывод об использовании геометрических форм с «золотыми» свойствами в современном мире.
В мире электроники также достаточно много примеров.
У большинства планшетов, на базе андроида, отношение сторон 10:16, что близко к 1,618.

Рис. 12 Изображение планшета
Отношение сторон экранов современных телевизоров не обладает свойством «золотой пропорции», а вот старые образцы близки к этому.
А вот наличие «золотого сечения» в размерах пластиковых карт очевидно. Мы продемонстрируем это на свойстве прямоугольников с золотым сечением (об этом говорилось выше). Мы взяли две банковские карты и расположили их так, как на картинке, провели диагональ лежащей карты, и её продолжение прошло через вершину второй карты. Значит, пластиковые карты также обладают золотой пропорциональностью.


Рис. 13 Демонстрация свойства «золотых» прямоугольников

О красоте, пропорциональности и гармоничности египетских пирамид говорят на протяжении всего существования человечества. Оказывается, в формах пирамиды также заложена золотая пропорция. Мы, конечно, не можем измерить реальные размеры пирамиды и удостовериться самим, мы поверили литературным источникам и попробовали создать её модель. Так, чтобы высота пирамиды была в 1,618 раз меньше стороны основания.

Рис. 14 Сравнение реальной пирамиды с построенной моделью
Фотографии процесса работы выложили в Приложение 1.
Проходя по городским улицам, мы обратили внимание на формы тротуарной плитки. Как правило, это квадраты и прямоугольники. С их помощью легче всего заполнить плоскость. Необходимое условие полного заполнения, это сумма углов фигур должна быть 3600. Такие рисунки называются периодической, повторяющейся мозаикой(7).
Мы составили рисунки периодических мозаик из «золотых» треугольников
Рис.15 Периодическая мозаика из «золотых» треугольников.
Долгое время предполагали, что не существует плиток и даже наборов из нескольких различных плиток, копии которых могли бы устилать плоскость, только не периодически. Однако в середине  60-х гг. XX века эта гипотеза была опровергнута, для чего понадобился набор из более чем 20 000 разных видов плиток. Шаг за шагом число плиток удавалось уменьшить, и, наконец, через десять лет английскому математику Роджеру Пенроузу удалось обойтись всего двумя очень простыми фигурками.
Английский математик Роджер Пенроуз придумал в 1973 году такую штуку – особенную мозаику из геометрических фигур. Называться она стала, соответственно, мозаикой Пенроуза. Мозаика Пенроуза представляет собой узор, собранный из «золотых» ромбов. Ими можно замостить бесконечную плоскость без пробелов.


Рис.16 Мозаика Пенроуза.

Мозаика Пенроуза обладает свойствами:

1. Отношение числа широких ромбов к числу тонких оказывается всегда равно так называемому "золотому" числу 1,618...
2.Она не переходит в себя ни при каких сдвигах, т.е. не периодична
3.Обладает вращательной симметрией пятого порядка. Угол поворота кратен 360° / 5 = 72.
Мы составили мозаики и проверили эти свойства.

Рис.17 Мозаика Пенроуза.
Оказалось, что отношение широких ромбов к тонким стремится к числу 1,62 по мере увеличения мозаики, а в маленьких мозаиках оно меньше(0,5; 1,2; 1,3;…1,5..). Можно лишь предположить, что отношение когда-то достигнет 1,62.
Если ромб, с одним из углов равным 720, разделить как показано на рисунке 17, то можно создавать ещё более красивые плиточные рисунки.

Рис. 18 Разделение ромба.

Рис.19 Плиточный рисунок
Изучение вопроса по данной теме натолкнуло нас на использование «»золотых
фигур в дорожной архитектуре.


В Финляндии.
Рис.20 Мозаика Пенроуза в дорожной архитектуре.

Возник вопрос, а в России производители форм для тротуарной плитки имеют в ассортименте «золотые» фигуры?
Мы изучили предложения нескольких компаний:
«ТехТрон» строительное оборудование
http://tehtron.com/about/
ООО ПК «Лобас»
http://lobas.su/photogallery/gal-tp-domino/http://formiplitki.com/concrete-technology
Все предлагаемые формы позволяют выкладывать периодические рисунки. «Золотых» фигур в ассортименте нет, что открывает перспективы развития для компаний изготовляющих строительное оборудование.
Таким образом, «золотые» фигуры находят применение в дорожной архитектуре и их свойства позволяют создавать необычные, красивые плиточные рисунки.
Работы Пенроуза так и остались бы в рамках занимательной математики, если бы не открытие квазикристаллов (твердое вещество с запрещенной симметрией).
Известно, что плотное заполнение пространства, без пробелов, возможно при использовании фигур на рисунке. Все кристаллы состоят из таких элементарных частиц, на вершинах, которых располагаются атомы.

Рис.21 Элементы кристаллов.
Какого же было удивление ученых, когда под микроскопом, при изучении неизвестного вещества, они увидели такое изображение.

Рис.22 Квазикристалл под микроскопом.
Квазикристаллы наблюдались впервые Данoм Шехтманом в экспериментах в 1982 году, за что ему в 2011 году была присвоена Нобелевская премия по химии. .Но ведь ни икосаэдрами, ни додекаэдрами заполнить пространство нельзя. Значит, решил Шехтман, заполнение не периодическое и обладающее симметрией 5 порядка, в квазикристаллах очень причудливое заполнение пространства, на самом деле там две или три элементарных ячейки, два или три типа элементарных ячеек, которые причудливым образом друг с другом комбинируются. Причем, мозаика Пенроуза является моделью квазикристалла на плоскости. Мы создали модель квазикристалла из «золотых ромбоэдров» и убедились в наличии связи с мозаикой Пенроуза.


Рис.23 Модель квазикристалла и мозаика Пенроуза.

Таким образом, мы получили ещё одно подтверждение присутствия «золотого сечения» в нашей жизни.
Некоторые ученые считают, что квазикристаллы являются переходным звеном между камнем и растениями. А мы знаем, что растения в расположении лепестков на стебле содержат золотое сечение и ещё цветы могут иметь симметрию пятого порядка.
Рис.24 Симметрия пятого порядка в мире растений.

Вывод: исследования, проведенные нами, показали, что предметы геометрической формы со свойством «золотого» сечения присутствуют в современном мире и обладают красотой, гармоничностью форм, совершенством, притягивающим человека. Развитие данной темы мы видим в поисках «золотого сечения» в бизнесе, в гармоничном построении жизнедеятельности человека.




























Заключение

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой предмета. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
Данная проблема при развитии математического аппарата может иметь продолжение, как при изучении чисел Фибоначчи, так и применении в других областях, например, архитектуре, медицине, бизнесе и т.д.
В результате проведенного исследования можно сделать выводы:
Прямоугольники, обладающие свойством «золотого сечения», воспринимаются учащимися как красивые и гармоничные.
В современном мире присутствуют объекты со свойством «золотого сечения», неся заложенную в формах красоту и привлекательность для человека.
В форме пирамид присутствуют «золотые» пропорции.
Развитие дорожной архитектуры возможно при использовании «золотых» фигур и мозаик Пенроуза.
«Золотое сечение» имеет место в строении квазикристаллов, привнося в мир неживой природы гармонию «живой» красоты.
 
















Список литературы

1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: гуманитарно-математический курс. – М.: Школа-пресс, 1998.
2. Васюткинский Н.Н. Золотая пропорция. – М., 1990.
3. Волошинов А.В. Математика и искусство. – М., 1992.
4. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М., 1994.
5 Гарднер М. От мозаик пенроуза к надежным шифрам: Пер. с англ.-М.:Мир,1993.-416 с.,ил.
 6. Киви, Берд. Книга о странном : М: Бестселлер, 2003:201 с.: ил 
7. Кованцов Н.И. Математика и романтика. – Киев, 1976.
8. Математический энциклопедический словарь – М.: Советская энциклопедия, 1988.
9. Мир математики: в 40т.Т.1:ФернандоКорбалан. Золотое сечение. Математический язык красоты, 2014.-160 с.

Электронные ресурсы
http://math-prosto.ru/?page=pages/pogovorim/gold_section.phphttp://www.goldenmuseum.com/03NatureMan_rus.html .





































Приложенные файлы

Добавить комментарий