Некоторые следствия из аксиом стереометрии


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Некоторые следствия из аксиом стереометрииПонарьина Евгения ВалентиновнаМБОУ СОШ №432016 годг.Воронеж Аксиомы стереометрииАксиома 1 (А1)Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.Аксиома 2 (А2)Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Аксиома 3 (А3).Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Решим задачуДано: ABCD – плоский четырехугольник, M  ABCТребуется:Найти прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС. Теорема 1 Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.Дано:Прямая a, M  a .Доказать:1) Существует плоскость α, a ϵ α, M ϵ α.2) Плоскость α единственна Доказательство первого пункта:Докажем, что существует плоскость α, a ϵ α, M ϵ α. На прямой a выберем любые две точки Р и Q:  P,Q ϵ a. Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой.По аксиоме А1, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, т.е. Плоскость α , которая содержит и прямую a, и точку М, существует. Доказательство второго пункта:Следует доказать единственность такой плоскости.Предположим, что существует иная плоскость α’, которая проходит и через точку М, и через прямую a. Например, это будет плоскость, проходящая через точки , P’, Q’ прямой a, и точку M. Но тогда эта плоскость α’ проходит и через прямую a, и через точку М, а значит, и через точки Р, Q, M. А через три точки Р, Q, M, не лежащие на одной прямой, в силу 1 аксиомы, проходит только одна плоскость. Значит, эта плоскость α’ совпадает с плоскостью α. Значит, единственность доказана. Вся теорема доказана. Теорема 2Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.Дано: a∩b=MДоказать:1) Существует плоскость α, aϵα, bϵα.2) Такая плоскость α единственна. Доказательство:На прямой b возьмем точку N, которая не совпадает с точкой М, то есть  Nϵb, NM .Тогда имеем точку N, которая не принадлежит прямой a. По предыдущей теореме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. Назовем ее плоскостью α. Значит, такая плоскость, которая проходит через прямую a и точку N, существует. Но эта плоскость также проходит и через всю прямую b, так как две точки М и N прямой b лежат в этой плоскости (аксиома A2). То есть и прямая a и прямая b принадлежат плоскости α.  Значит, существует такая плоскость, которая проходит через две пересекающиеся прямые, что и требовалось доказать в первом пункте. Докажем единственность этой плоскости.Предположим противное. Пусть существует иная плоскость α’, такая, которая проходит и через прямую a, и через прямую b. Но тогда она также проходит и через прямую a, и точку N. Но по предыдущей теореме эта плоскость единственна, т.е. плоскость α’  совпадает с плоскостью α.Значит, мы доказали существование единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые. Решение задачДано:  – куб ABCDA1B1C1D1Какой плоскости принадлежат отрезок АВ и точка D1?Найдите прямую пересечения плоскостей  D1B1B и B1A1D1.Какие плоскости пересекаются в точке А?

Приложенные файлы

  • pptx file6
    Размер файла: 620 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий