Методическая разработка ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ. ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ДГТУ)
АВИАЦИОННЫЙ КОЛЛЕДЖ









ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В
РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ.
ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА

Методическая разработка

по дисциплине ОО.07 Информатика

для студентов специальностей:
15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (ЖКХ)
23.02.05 Эксплуатация транспортного электрооборудования и автоматики (автомобильный транспорт)
24.02.01 Производство летательных аппаратов



Автор: преподаватель Высоцкая Любовь Абдрашитовна






Ростов-на-Дону 2016
Методическая разработка предназначена для выполнения практических работ по дисциплине «Информатика» студентами специальностей:
15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (ЖКХ); 23.02.05 Эксплуатация транспортного электрооборудования и автоматики (автомобильный транспорт);
24.02.01 Производство летательных аппаратов.
В методической разработке приведен теоретический материал, необходимый для изучения основ систем счисления, варианты заданий для самостоятельной работы и примеры их выполнения, а также контрольные задания.



Практическое пособие обсуждено на заседании ЦК «Математических и естественно научных дисциплин», протокол №2 от 06.10.2016.


















СОДЕРЖАНИЕ


HYPER13 TOC \o "1-2" \h \z \u HYPER14HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466406440" HYPER141. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ HYPER13 PAGEREF _Toc466406440 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466406441" HYPER141.1 Понятие об основных системах счисления HYPER13 PAGEREF _Toc466406441 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466406442" HYPER141.2 Перевод чисел из одной системы счисления в другую HYPER13 PAGEREF _Toc466406442 \h HYPER147HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466406443" HYPER141.3 Двоичная арифметика HYPER13 PAGEREF _Toc466406443 \h HYPER1410HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466406444" HYPER141.4 Представление чисел в ЭВМ HYPER13 PAGEREF _Toc466406444 \h HYPER1412HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466406445" HYPER141.5 Задания к самостоятельной работе HYPER13 PAGEREF _Toc466406445 \h HYPER1414HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466406446" HYPER141.6 Пример выполнения работы HYPER13 PAGEREF _Toc466406446 \h HYPER1420HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc466406447" HYPER141.7 Контрольные задания HYPER13 PAGEREF _Toc466406447 \h HYPER1423HYPER15HYPER15
HYPER15
ВВЕДЕНИЕ


При изучении основ информатики существенным является знание систем счисления. Системы счисления, которыми мы пользуемся в настоящее время, основаны на методе, открытом индусскими математиками около 400 г. н.э. Арабы стали пользоваться подобной системой, известной как арабская система счисления, приблизительно в 800 г. н.э., а примерно в 1200 г.н.э. ее начали применять в Европе и в настоящее время используют повсеместно – это десятичная система счисления (по числу пальцев на руках). Можно отметить интересную особенность арабских (индийских) цифр – значение цифры определяется количеством углов в её изображении (HYPER13 EMBED ShapewareVISIO20 HYPER14HYPER15).
Приведём известные из истории системы счисления, основанные на тех же принципах, что и десятичная: пятеричная (количество пальцев на одной руке); двенадцатеричная (дюжина – количество фаланг на пальцах руки, за исключением большого); двадцатеричная; шестидесятеричная.
Основной системой счисления, применяемой в электронно-вычисли-тельных машинах (ЭВМ), является двоичная система, поскольку вычислительные машины построены на схемах с двумя устойчивыми состояниями. Для удобства представления информации в ЭВМ были созданы восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
В данной методической разработке предлагается изучить позиционные системы счисления и методы преобразования чисел из одной системы счисления в другую, а также познакомиться с правилами выполнения арифметических действий над двоичными числами.
1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

1.1 Понятие об основных системах счисления

Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
Непозиционными называются такие системы счисления, в которых каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой символам I, V, X, L, С, D, М соответствуют числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Недостатком этой системы является сложность формальных правил записи чисел и выполнения арифметических действий над ними.
Система счисления называется позиционной, если значение каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Это значение находится в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая в повседневной жизни.
Количество различных цифр, употребляемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления. Так, в десятичной системе используются десять цифр (от 0 до 9), основанием этой системы является число десять.
В позиционных системах счисления числа записываются в виде последовательности символов:
N = an an-1 ... a1 a0 , a-1 a-2 ... а-m (р) (1)
где N – число; ai – цифры (символы) числа; p – основание системы счисления; n, m – порядковый номер разряда для целой (n) и дробной (m) частей числа соответственно.
В этой последовательности запятая отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях). Значение числа, записанного в виде (1), может быть найдено по следующей формуле:
N = an
·pn+an-1
·pn-1+ ... +a0
·p0+a-1
·p-1+a-2
·p-2+ ...+а-m
·p-m. (2)
В десятичной системе счисления мы производим вычисления по формуле (2) практически не задумываясь. Возьмём для примера десятичное число 123,45:
2 1 0 -1 -2
123,45 (10) = 1
·102+2
·101+3
·100+4
·10-1+5
·10-2 = 100+20+3+0,4+0,05.

Здесь и в дальнейшем основание системы счисления, в которой представлено число, будем указывать в виде нижнего индекса в скобках.

Помимо десятичной, в ЭВМ применяются и другие позиционные системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.
Двоичная система счисления.
Используется две цифры: 0 и 1. Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным кодом. Примеры представления чисел в двоичной системе счисления представлены в таблице 1.
Восьмеричная система счисления.
Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употреблялась в ЭВМ первого и второго поколений как вспомогательная для записи адресов и данных в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (табл. 1). Триада получается путем добавления, при необходимости, незначащих нулей.

Таблица 1
Представление чисел в различных системах счисления
Десятичная (Основание 10)
Римская
Двоичная
(основание 2)
Восьмеричная (Основание 8)
Двоичная
(триады)
Шестнадцатеричная
(Основание 16)
Двоичная
(тетрады)

0

0
0
000
0
0000

1
I
1
1
001
1
0001

2
II
10
2
010
2
0010

3
III
11
3
011
3
0011

4
IV
100
4
100
4
0100

5
V
101
5
101
5
0101

6
VI
110
6
110
6
0110

7
VII
111
7
111
7
0111

8
VIII
1000
10

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Шестнадцатеричная система счисления.
Для изображения чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр - латинскими буквами: 10-A, 11-B, 12-C, 13-D, 14-E, 15-F. Шестнадцатеричная система используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада, или полубайт) (табл. 1).

1.2 Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда (2) с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.
Пример.
а) Перевести 10101101,101(2) в десятичную систему счисления
10101101,101(2) = 1
·27 + 0
·26 + 1
·25 + 0
·24 + 1
·23 + 1
·22 + 0
·21 + 1
·20 + 1
·2-1 + + 0
·2-2 + 1
·2-3  =  173,625(10)

б) Перевести 703,04(8) в десятичную систему счисления
703,04(8) = 7
·82 + 0
·81 + 3
·80+ 0
·8-1 + 4
·8-2 = 451,0625(10)

в) Перевести B2E,4(16) в десятичную систему счисления
B2E,4(16) = 11
·162 + 2
·161 + 14
·160 + 4
·16-1 = 2862,25(10)

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основании той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное, меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.
Пример.
а) Перевести 181(10) в восьмеричную систему счисления

_181
8


176
_22
8

5
16
2


6



Результат: 181(10) = 265(8)

б) Перевести 622(10) в шестнадцатеричную систему счисления

_622
16


48
_38
16

_142
32
2

128
6


14




Результат: 622(10) = 26E(16)

Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.
Пример.
Перевести 0,3125(10) в восьмеричную систему счисления

0 , 3125
(
8

2
5000
(
8

4
0000




Результат: 0,3125(10) = 0,24(8)

Замечание. Конечной десятичной дроби может соответствовать бесконечная (периодическая) дробь в недесятичной системе счисления. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.

Пример.
Перевести 0,65(10) в двоичную систему счисления с точностью до 6 знаков после запятой.

0, 65
(
2

1
3
(
2

0
6
(
2

1
2
(
2

0
4
(
2

0
8
(
2

1
6
(
2


...


Результат: 0,65(10) 
· 0,101001 (2)

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Пример.
Перевести 23,125(10) в двоичную систему счисления

Переведем целую часть:

_
23
2





22
_11
2




1
10
_5
2




1
4
_2
2




1
2
1





0




Переведем дробную часть:

0, 125
(
2

0
250
(
2

0
50
(
2

1
0



Таким образом: 0,125(10) = 0,001(2); 23(10) = 101112.
Результат: 23,125(10) = 10111,001(2).

Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби дробями в любой системе счисления.
Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) – для восьмеричной системы счисления или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) – для шестнадцатеричной системы счисления (табл. 1), после чего отбрасывают незначащие нули в старших и младших разрядах.

Пример.
а) Перевести 305,4(8) в двоичную систему счисления
3
0
5
,
4
(8)
= 11000101,1(2)

011
000
101

100




б) Перевести 7B2, E(16) в двоичную систему счисления
7
В
2
,
Е
(16)
= 11110110010,111(2)

0111
1011
0010

1110



Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от десятичной точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой (табл. 1).

Пример.
а) Перевести 1101111001,1101(2) в восьмеричную систему счисления
001
101
111
001
,
110
100
= 1571,64(8)

1
5
7
1

6
4



б) Перевести 11111111011,100111(2) в шестнадцатеричную систему счисления
0111
1111
1011
,
1001
1100
= 7FB,9C(16)

7
F
B

9
С


Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно удобно осуществлять через двоичную систему с помощью триад и тетрад.
Пример.
Перевести 175,24(8) в шестнадцатеричную систему счисления
1
7
5
,
2
4
(8)
= 1111101,0101(2) = 0111 1101 , 0101 (2) = 7D,5(16)

001
111
101

010
100

7 D 5


1.3 Двоичная арифметика

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами такие же, как и в десятичной системе, и задаются таблицами двоичного сложения, вычитания и умножения (табл. 2). Подобные таблицы для восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления приведены в Приложении.
Таблица 2
Арифметические действия над двоичными числами
Таблица двоичного сложения
Таблица двоичного вычитания
Таблица двоичного умножения

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=0+перенос
1+1+1=1+ перенос
0-0=0
1-0=1
1-1=0
0-1=1 и заём единицы из старшего разряда
0Ч0=0
0Ч1=0
1Ч0=0
1Ч1=1


При сложении двоичных чисел производится сложение цифр слагаемых в каждом разряде и единиц переноса из соседнего младшего разряда, если они имеются. При этом необходимо учитывать, что в двоичной системе переполнение разряда наступает при количестве единиц, больше либо равным двум. В случае переполнения нужно вычесть из текущего разряда число, равное основанию системы (в данном случае – два), и добавить единицу переноса в следующий старший разряд.
Прежде чем рассматривать приведенные ниже примеры, полезно попробовать получить для различных систем счисления порядковые последовательности путём прибавления единицы к предыдущему числу, начиная с нуля, а затем сравнить их с соответствующими столбцами таблицы 1. Затем попробуйте получить последовательности путём вычитания в обратном порядке.

Пример.
Выполнить сложение двоичных чисел:

а) 1101 и 101.
единицы переноса


1

1



1
1
0
1

+







1
0
1

1
0
0
1
0

Результат: 1101+101=10010.
б) 1101, 101 и 111.


1





1
1
1



1
1
0
1

+







1
0
1

+







1
1
1

1
1
0
0
1

Результат: 1101+101+111=11001.

При вычитании двоичных чисел, аналогично вычитанию десятичных, может возникнуть необходимость займа единицы из предыдущего старшего разряда. Эта занимаемая единица переносится в текущий разряд как двойка (количество единиц, равное основанию).
Пример.
Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X - Y.

.
.

.


_1
0
0
1
0



1
0
1

0
1
1
0
1

Результат 10010 - 101=1101.

Умножение двоичных чисел оказывается гораздо проще десятичных и сводится к операциям сдвига и сложения.

Пример.
Заданы двоичные числа X=1001 и Y=101. Вычислить X ( Y.




1
0
0
1





1
0
1




1
0
0
1


1
0
0
1




1
0
1
1
0
1

Результат: 1001Ч101=101101.

Выполнение деления в двоичной системе также проще, чем в десятичной, и сводится к операциям сравнения, сдвига и вычитания.

Пример.
Заданы двоичные числа X=1100,011 и Y=10,01. Вычислить X: Y

_
1
1
0
0
0
1,
1
1
0
0
1


1
0
0
1



1
0
1,
1



_
1
1
0
1









1
0
0
1









_
1
0
0
1









1
0
0
1












0





Результат. 1100,
·

Приложенные файлы

Добавить комментарий