Министерство общего и профессионального образования Ростовской области
государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Ростовской области
«Миллеровский техникум агропромышленных технологий и управления (ДСХТ)»
Методические рекомендации
по выполнению практических занятий
учебная дисциплина ОУДП. 10 «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»
программы подготовки специалистов среднего звена
по специальности 40.02.01 Право и организация среднего звена
г. Миллерово
2016 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Темы практических занятий
для обучающихся по специальности
40.02.01 Право и организация социального обеспечения
страницы
Практическое занятие № 1. «Действия над степенями с рациональным и действительным показателем»
5
Практическое занятие № 2. «Преобразование логарифмических выражений. Решение упражнений»
7
Практическое занятие № 3. «Преобразование алгебраических выражений»
9
Практическое занятие № 4. «Преобразование простейших тригонометрических выражений»
11
Практическое занятие № 5. «Решение тригонометрических уравнений»
13
Практическое занятие № 6. «Преобразование графиков функций»
15
Практическое занятие № 7. «Решение уравнений и систем уравнений различных видов»
18
Практическое занятие № 8. «Решение неравенств и их систем»
20
Практическое занятие № 9. «Использование координатно-векторного метода при решении геометрических задач»
27
Практическое занятие № 10. «Параллельное и ортогональное проектирование. Изображение пространственных фигур»
29
Практическое занятие № 11. «Многогранники. Решение задач»
34
Практическое занятие № 12. «Тела и поверхности вращения. Решение задач»
36
Практическое занятие № 13. «Решение задач на вычисление объемов пространственных тел и их простейших комбинаций»
38
Практическое занятие № 14. «Исследование функции с помощью производной»
23
Практическое занятие № 15. «Решение задач на нахождение интеграла. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интеграла»
25
Введение
УВАЖАЕМЫЙ ОБУЧАЮЩИЙСЯ!
Методические указания по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для выполнения практических работ созданы Вам в помощь для работы на занятиях, подготовки к ним, правильного составления проектов документов.
Приступая к выполнению практической работы, Вы должны внимательно прочитать цель занятия, ознакомиться с краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практической работы, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения зачета по дисциплине и допуска к дифференцированному зачету и экзамену, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическую работу Вы должны найти время для ее выполнения или пересдачи.
Внимание! Если в процессе подготовки к практическим работам или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.
Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери его кабинета.
Желаем Вам успехов!!!
АЛГЕБРА
Тема. Корни, степени и логарифмы.
Название практической работы
«Действия над степенями с рациональным и действительным показателем»
Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Свойства корней и степеней»; закрепить умения использовать полученные знания для преобразования алгебраических выражений.
Контрольные вопросы.
Определение корня натуральной степени из числа.
Основные свойства корня натуральной степени из числа.
Определение степени с рациональным показателем.
Основные свойства степени с рациональным показателем.
Понятие степени с действительным показателем.
Теорема о сравнении степени с действительным показателем.
Примеры и последовательность выполнения заданий
Пример 1. Возвести в степень 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Вычислить13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. Упростить выражение.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. Избавиться от иррациональности в знаменателе.
Чтобы уничтожить иррациональность в знаменателе, нужно знаменатель и числитель дроби умножить на такое выражение, которое в произведении со знаменателем дает рациональное выражение в знаменателе.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Выполнить следующие задания.
Задание 1. Возвести в степень 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 2. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 3. Упростить выражение
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 4. Избавиться от иррациональности в знаменателе.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 5. Упростить выражение.
13 EMBED Equation.3 1415
Задание 6. Вычислить значение выражения.
13 EMBED Equation.3 1415
АЛГЕБРА
Тема. Корни, степени и логарифмы.
Название практической работы
«Преобразования логарифмических выражений. Решение упражнений»
Цель занятия: Обеспечить закрепление понятий: логарифм числа, десятичный и натуральный логарифм; формировать умения и навыки применения свойств логарифма к решению задач.
Контрольные вопросы.
Понятие логарифма числа.
Основное логарифмическое тождество.
Понятие десятичного логарифма числа.
Понятие натурального логарифма числа.
Основные свойства логарифмов.
Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
Примеры и последовательность выполнения заданий.
Пример 1. Вычислить. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Вычислить.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415 Пример 3. Упростить выражение. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. Вычислить. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 5. Решить уравнение. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
Выполнить следующие задания.
Задание 1. Вычислить.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задание 3. Упростить выражение
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задание 4. Вычислить
13 EMBED Equation.3 1415
Задание 5. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
АЛГЕБРА
Тема. Корни, степени и логарифмы.
Название практической работы
«Преобразование алгебраических выражений»
Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Свойства корней и степеней»; закрепить умения использовать полученные знания для преобразования алгебраических выражений.
Контрольные вопросы.
Определение корня натуральной степени из числа.
Основные свойства корня натуральной степени из числа.
Определение степени с рациональным показателем.
Основные свойствастепени с рациональным показателем.
Понятие логарифма числа. Основное логарифмическое тождество.
Свойства логарифма.
Формулы сокращенного умножения.
Примеры и последовательность выполнения заданий.
Пример 1. Упростить выражение.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Выделим общий множитель в числителе и знаменателе первой дроби данного выражения. Для этого представим числитель в виде
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Проверить справедливость равенства.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Рассмотрим равенство 13 EMBED Equation.3 1415. Очевидно, что если оно верно, то верно и заданное равенство. Пусть13 EMBED Equation.3 1415Проанализировав выражения, получим, что a> 0, b> 0. Если при этом выполняется равенствоa2 = b2, то a = b. Находим
13 EMBED Equation.3 1415
Так какa2 = b2, то a = b, т.е. заданное равенство справедливо.
Выполнить следующие задания.
Задание 1. Вычислить.
13 EMBED Equation.3 1415;
Задание 2. Упростить выражение.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 3. Докажите, что выражение 13 EMBED Equation.3 1415 обращается в ноль при13 EMBED Equation.3 1415.
Задание 4. Найдите lgx, если 13 EMBED Equation.3 1415.
ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
Тема. Преобразования простейших тригонометрических выражений.
Название практической работы
«Преобразование простейших тригонометрических выражений»
Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Основы тригонометрии»; закрепить умения использовать полученные знания для преобразования тригонометрических выражений.
Контрольные вопросы.
Дайте определение тригонометрическим функциям через единичную окружность?
Какой координате точки соответствует значение синуса угла?
Какой координате точки соответствует значение косинуса угла?
Перечислите основные тригонометрические тождества.
Как определяются знаки тригонометрических функций по четвертям?
Какие тригонометрические функции являются четными и какие - нечетными? Почему?
Выразите тригонометрические функции через синус, косинус, тангенс и котангенс соответственно.
При каких вычислениях необходимо знание формул приведения?
Сформулируйте правило записи формул приведения.
Как выполняется понижение степени тригонометрических функций?
При каких вычислениях необходимо знание формул сложения?
При каких вычислениях необходимо знание формул двойного и половинного аргумента?
Примеры и последовательность выполнения заданий.
Пример 1.
Вычислить а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
А) 13 EMBED Equation.3 1415
Б) 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2.
13 EMBED Equation.3 1415
Найти: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
А) Из основного тригонометрического тождества получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 следовательно 13 EMBED Equation.3 1415III четверти. Косинус в третьей четверти имеет отрицательный знак. Значит 13 EMBED Equation.3 1415.
Б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3.
Упростить выражение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4.
Доказать тождество 13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство
13 EMBED Equation.3 1415
Выполнить следующие задания
Задание 1.
Вычислить а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 2.
13 EMBED Equation.3 1415
Найти: а) 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 3.
Упростить выражение 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 4.
Доказать тождество.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
Тема. Тригонометрические уравнения и неравенства.
Название практической работы
«Решение тригонометрических уравнений»
Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Тригонометрические уравнения», проверить умение пользоваться различными методами для решения конкретных задач.
Контрольные вопросы.
Определение обратных тригонометрических функций.
Решение простейших тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.
Понятие однородного уравнения и алгоритм решения однородных уравнений.
Алгоритм решения тригонометрических уравнений с помощью формул понижения степени.
Решение тригонометрических уравнений методом группировки и разложения на множители.
Решение тригонометрических уравнений методом преобразования сумм в произведение и произведения в суммы.
Примеры и последовательность выполнения заданий.
Рекомендации по решению тригонометрических уравнений.
Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов.
Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.
Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.
Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения. Например, 13 EMBED Equation.3 14155. Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя.
Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5.
Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента: 13 EMBED Equation.3 1415
Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:
13 EMBED Equation.3 1415
Выполнить следующие задания
Решить тригонометрические уравнения.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
Тема. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции.
Название практической работы
«Преобразование графиков функций»
Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о функциях; отработать навыки и рассмотреть приемы построения графиков функций.
Контрольные вопросы.
Какая функция называется степенной?
От чего зависят график и свойства степенной функции?
Через какую точку проходит график любой степенной функции?
Область определения логарифмической функции.
Область значения логарифмической функции.
При каком условии логарифмическая функция возрастает (убывает)?
Верно ли, что логарифмическая функция имеет график, проходящий через точку(0;1)?
Является ли логарифмическая функция четной (нечетной)?
Какая функция называется показательной?
Какова область определения показательной функции?
При каком условии показательная функция является возрастающей?
При каком условии показательная функция является убывающей?
Назвать область определения, множество значений, четность, период функций: у=sinх, у=cosх, у=tgх, у=ctgх.
Сформулируйте определения обратных тригонометрических функций.
Примеры и последовательность выполнения заданий.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Выполнить следующие задания.
Построить графики функций:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
y = 1/3sinx
y = |cos1/2x|
у = 13 QUOTE 1415
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Тема. Уравнения и системы уравнений.
Название практической работы
«Решение уравнений и систем уравнений различных видов»
Цель занятия: Закрепить и обобщить знания об уравнениях и их системах; совершенствовать умения и навыки решения уравнений различных типов и их систем.
Контрольные вопросы.
Понятие рационального уравнения и основные методы их решения.
Понятие иррационального уравнения и основные методы их решения.
Основные приемы решения логарифмических и показательных уравнений.
Основные методы решения систем уравнений.
Примеры и последовательность выполнения заданий.
Пример 1. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Проверка: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: x = -1
Пример 2. Рассмотрим решение показательного уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
Используя свойства показательной функции 13 EMBED Equation.3 1415, преобразуем уравнение,
13 EMBED Equation.3 1415
Вынесем общий множитель 3х за скобки:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ. 1
Пример 3. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
Обозначая 13 EMBED Equation.3 1415, получаем уравнение
y2 – 5y + 6 = 0,
корни этого уравнения: y1 = 2, y2 = 3. Таким образом, исходное уравнение эквивалентно двум уравнениям вида:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
решения которых: x = 4 и x = 8.
Ответ: x = 4, x = 8.
Выполнить следующие задания
Задание 1. Решить уравнение.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
е) 13 EMBED Equation.3 1415
ж) 13 EMBED Equation.3 1415
з) 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 14
15
Задание 2. Решить систему уравнений
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г)
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Тема. Неравенства и системы неравенств.
Название практической работы
«Решение неравенств и их систем»
Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о неравенствах; совершенствовать умения и навыки решения неравенств различных типов и их систем.
Контрольные вопросы.
Понятие неравенства.
Основные виды неравенств.
Методы решения рациональных неравенств.
Метод равносильных переходов при решении логарифмических неравенств.
Показательная функция, ее свойства. Простейшие показательные неравенства.
Логарифмическая функция, ее свойства. Простейшие логарифмические неравенства.
Примеры выполнения заданий.
Пример 1. Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Приведем неравенство к стандартному виду:
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем критические точки:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Построим числовую прямую, полученные точки разобьют ее на интервалы. Определим знак на каждом из интервалов:
Так как неравенство < 0 , следовательно, выберем те промежутки, которые имеют знак минус. Решениями неравенства являются следующие промежутки:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Решить иррациональное неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Исходное неравенство равносильно системе неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415Решим каждое неравенство в отдельности:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решением данного неравенства является отрезок [13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415]
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решениями второго неравенства являются промежутки 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Запишем найденные решения в систему неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Так как 2 > 1, функция возрастает, следовательно
x2 – 3x +3 > x2 – 2x +5
-3x + 2x > 5 – 3
- x > 2
x < 2
Пример 4. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415, так как е > 1, то функция возрастающая, следовательно, получим систему неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: x > 1.
Выполнить следующие задания
Решить неравенства.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
9(3x - 1 + 3x < 36
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема. Производная.
Название практической работы
«Исследование функции с помощью производной»
Цель занятия: Закрепить и обобщить умения и навыки исследования функций и построения графиков с помощью производной.
Контрольные вопросы.
Определение точки минимума и точки максимума.
Определение критической точки.
Необходимое условие, чтобы точка х0 была точкой экстремума.
Алгоритм нахождения критических точек функции.
Определение стационарных точек.
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума функции).
Достаточные условия существования экстремума функции .
Достаточный признак возрастания, убывания функции.
Алгоритм нахождения экстремумов функции.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Выпуклость функции. Точки перегиба.
Примеры выполнения заданий.
Задание. Исследовать функцию 13 EMBED Equation.3 1415 и построить ее график.
Решение.
Область определения – множество действительных чисел.
Точки пересечения с осями координат:
если x = 0, то y = 0 – точка А (0,0);
если y = 0, то решим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Получили еще две точки В (13 EMBED Equation.3 1415; 0) и С (13 EMBED Equation.3 1415; 0).
Четность, нечетность: 13 EMBED Equation.3 1415 - функция не является ни четной, ни нечетной.
Находим производную. 13 EMBED Equation.3 1415.
Стационарные точки. Приравняем производную к нулю: 13 EMBED Equation.3 1415, получим x = -1, x = 0, x= 2 – стационарные точки.
Промежутки возрастания и убывания. Найденные точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка, определим знак производной на этих промежутках.
Точки экстремума. x = -1, x = 2 – точки минимума; x = 0 – точка максимума.
Выпуклость и точки перегиба.
Найдем вторую производную: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем точки перегиба: 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - точки перегиба
Определим знак второй производной на интервалах:
Составим таблицу.
x
x < -1
- 1
– 1 < x < 0
0
0 < x < 2
2
x > 2
3
f (x)
-
0
+
0
-
0
+
f(x)
-5/12
min
0
max
-8/3
min
9/4
Выполнить следующие задания.
Задание 1. Исследовать функцию и построить ее график.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанном промежутке
у = (х-3)2(х-2) на отрезке [1;4]
у =1/3 х3 + х2 на отрезке [-4;1]
у = - 2/3 х3 + 2х – 4/3 на отрезке [-1,5;1,5]
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема. Первообразная и интеграл.
Название практической работы
«Решение задач на нахождение интеграла. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интеграла»
Цель занятия: Закрепить и обобщить умения и навыки вычисления определенного интеграла методом непосредственного интегрирования и нахождения площади фигуры, ограниченной линиями.
Контрольные вопросы.
Понятие первообразной функции.
Основные правила нахождения первообразной функции.
Неопределенный интеграл и его свойства.
Определенный интеграл и его свойства.
Формула Ньютона-Лейбница.
Примеры выполнения заданий.
При непосредственном интегрировании следует пользоваться таблицей интегралов. Интегрируя функции, содержащие переменную в знаменателе дроби или под знаком радикала, нужно вводить степень с отрицательным или дробным показателем.
Пример 1. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Для вычисления значения определенного интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Берем неопределенный интеграл и находим любую первообразную, затем вычисляем разность ее значений, соответствующих верхнему и нижнему пределов.
Пример 3. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415 Пример 5. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями y = -0,5x + 2, y = 0, x = -3 и x = 2.
Решение. Выполним построение фигуры. Строим прямую y = - 0,5x + 2 по двум точкам. Найдем эти точки. Пусть x = 0, тогда y = 2. Получили первую точку А(0; 2). Пусть y = 0, тогда x = 4. Получили вторую точку В(4; 0).
Т.о. f(x) = -0,5x + 2, а = -3, b = 2, находим площадь по формуле 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: S = 11, 25 (кв. ед.)
Пример 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и
Решение
Для нахождения пределов интегрирования решаем уравнение:
Искомая площадь равна:
Выполнить следующие задания.
Задание 1. Найти неопределенный интеграл.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) г) 13 EMBED Equation.3 1415 д) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 2. Вычислить определенный интеграл.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415 д)13 EMBED Equation.3 1415
Задание 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой: у = 4 – х2.
Найти площадь фигуры, ограниченной параболами 13 EMBED Equation.3 1415
Геометрия
Тема. Координаты и векторы.
Название практической работы
«Использование координатно-векторного метода при решении геометрических задач»
Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Координаты вектора. Скалярное произведение векторов»; закрепить умения использовать полученные знания для решения геометрических задач.
Контрольные вопросы.
Понятие прямоугольной системы координат в пространстве. Ее элементы.
Понятие вектора. Действия над векторами в координатной форме.
Скалярное произведение векторов.
Угол между векторами.
Длина вектора. Разложение вектора по координатным векторам.
Формула Расстояния между двумя точками. Координаты середины отрезка
Примеры и последовательность выполнения заданий.
Пример 1. В ABC вершины A (2; 0; 3), B (0; 1; 2), C (1; 2; 4). Определить вид ABC.
Решение.
Сравним длины сторон: AB = = AC== BC== AC >AB = BC – ABC – непрямоугольный, т.к. AC2
· AB2 + BC2 => 14
· 6 + 6 AC2 = AB2 + BC2 - 2AB
· BC
·cos
· (теорема косинусов) 14 = 12 – 12 cos
· cos
· = – 13 EMBED Equation.3 1415 < 0 =>
· – тупой ABC – равнобедренный, тупоугольный.
Пример 2. Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если A(6; 7; 8), B(8; 2; 6), C(4; 3; 2), D(2; 8; 4).
Решение.
смежные стороны равны
Найдем середину отрезка BD и AC:
B (8; 2; 6) D (2; 8; 4) x0 = = 5 y0 = = 5 z0 = = 5
A (6; 7; 8) C (4; 3; 2) x' = = 5 y' = = 5 z' = = 5
Середина отрезков BD и AC точка O(5;5;5). Диагонали точкой пересечения делятся пополам в параллелограмме. Четырехугольник ABCD – ромб. Проверим, не квадрат ли это? Решение: BD = BD2
· AB2 + AD2 76
· 33 + 33 => ABCD – не квадрат
Пример 3. Выяснить при каких значениях m и n данные векторы коллинеарные: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
У коллинеарных векторов соответствующие коэффициенты пропорциональны. Запишем соответствующую пропорцию, из которой найдем m и n:
13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: m = -2, n = -2.5.
Выполнить задания
Задание 1.
Дан треугольник АВС с вершинами А(11;-2;-9), В(2;6;-4), С(8;-6;-8). Найдите длину медианы АК.
Задание 2.
а) Найдите значения m и n, при которых векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 коллинеарные, если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415. Сравните с прямым углом угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
в) Найдите угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
г) Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить |(- 413 EMBED Equation.3 1415+ 513 EMBED Equation.3 1415)| – (413 EMBED Equation.3 1415- 313 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415
Задание 3.
а) Доказать, четырехугольник АВСД – прямоугольник, если А(4;-4;3), В(1;2;4), С(-2;1;1), Д(1;-5;0).
б) Даны вершины ромба A(14; -8; -1), B(7; 3; -1), C(-6; 4; -1), D(1; -7; 1). Найти периметр, площадь и углы ромба.
Геометрия
Тема. Прямые и плоскости в пространстве.
Название практической работы
«Параллельное и ортогональное проектирование. Изображение пространственных фигур»
Цель занятия: рассмотреть понятие параллельного и ортогонального проектирования точки и фигуры на плоскости; рассмотреть свойства параллельного проектирования; показать учащимся наиболее наглядные способы изображения фигур на плоскости.
В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование (в черчении говорят «проецированием»).
Пусть
· - некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая. Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью
· называется параллельной проекцией точки A на плоскость
· в направлении прямой l. Обозначим ее A'. Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией A на плоскость
· считается точка пересечения прямой l с плоскостью
·.
Плоскость
· будем называть плоскостью проекций. Прямая l определяет направление проектирования. Все параллельные ей прямые называются проектирующими.
Точки, принадлежащие плоскости
·, совпадают со своими проекциями на эту плоскость
Свойства параллельного проектирования.
Свойство 1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Свойство 2. Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок, в зависимости от того лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, или нет. Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на прямой, не параллельной и не совпадающей с прямой l. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.
Свойство 3. Если две параллельные прямые не параллельны прямой l, то их проекции в направлении l могут быть или параллельными прямыми или одной прямой.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Свойство 4. Проекцией точки, лежащей на некоторой прямой, является точка, лежащая на проекции данной прямой – свойство принадлежности.
Ортогональная проекция.
Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекции П’.
В этом случае нетрудно установить соотношение между длиной натурального отрезка и длиной его проекции. Если отрезок AB образует с плоскостью проекций угол
·, то, проведя AB*
·A’ B’ (рис.2), получим из прямоугольного треугольника AB*B, что AB*=ABcos
· или A’ B’= ABcos
·.
Так как ортогональное проецирование – разновидность параллельного, то ему присущи те же свойства.
Изображение плоских фигур.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 141513 EMBED PowerPoint.Slide.12 141513 EMBED PowerPoint.Slide.12 141513 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Закрепление изученного.
Выполнение практической работы.
Задание 1.Построить изображение тетраэдра A0B0C0D0 и его высоты с помощью параллельного проецирования.
Гранями тетраэдра являются треугольники. Спроектируйте основание тетраэдра в произвольный треугольник.
Спроектируйте вершину тетраэдра в том же направлении в произвольную точку плоскости
·.
Соедините эту точку с вершинами треугольника. Полученный четырехугольник и является изображением тетраэдра.
Для изображения высоты тетраэдра, используйте свойство 2 параллельного проецирования (проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок, в зависимости от того лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, или нет. Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на прямой, не параллельной и не совпадающей с прямой l. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка).
Задание 2. Построить изображение прямоугольного параллелепипеда A0B0C0D0E0F0G0H0 с помощью параллельного проецирования.
Выберем три ребра прямоугольного параллелепипеда исходящие из одной вершины и изобразим их в виде трех произвольных отрезков, исходящих из одной точки.
Все остальные ребра параллелепипеда изображаются следующим образом: каждый из них параллелен одному из построенных отрезков и равен ему по длине.
Задание 3. Построить изображение пирамиды S0A0B0C0D0 и ее высоты, в основании которой лежит прямоугольник с помощью параллельного проецирования.
Изображение основание пирамиды строят по правилам построения плоских фигур.
За изображение вершины можно взять любую точку, не принадлежащую сторонам изображения основания.
Задание 4. Построить изображение прямой призмы, в основании которой лежит равнобедренная трапеция.
Какова бы ни была форма призмы, изобразим ее основание по правилу построения трапеции и согласно свойствам проектирования.
Одно из боковых ребер изобразим произвольно: любым по длине и направлению отрезком.
Все остальные ребра изображаются параллельными и равными по длине построенному ранее.
Задание 5. Все ребра тетраэдра ABCD имеют равные длины, К – середина ребра BD.
1.Постройте две прямые KM и KN, перпендикулярные соответственно AD и DC и пересекающие их соответственно в точках M и N.
2.Построй те точку пересечения плоскости KMN с прямой, соединяющей вершину D и точку пересечения медиан противолежащей грани.
Геометрия
Тема. Многогранники.
Название практической работы
«Многогранники. Решение задач»
Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о выпуклых многогранниках, совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей многогранников.
Контрольные вопросы.
Понятие многогранника, выпуклого многогранника.
Призма. Элементы призмы. Свойства призмы.
Параллелепипед. Свойства параллелепипеда. Куб.
Пирамида. Элементы пирамиды. Свойства пирамиды.
Примеры выполнения заданий.
Пример 1. Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна 13 EMBED Equation.3 1415дм, а диагональ боковой грани равна 13 EMBED Equation.3 1415дм. Найдите диагональ данной призмы и площадь боковой поверхности.
Решение. В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат. Необходимо найти диагональ призмы BD1.
Рассмотрим треугольник BD1D: угол D1DB = 900, BD = 13 EMBED Equation.3 1415дм. Чтобы найти BD1, необходимо знать сторону треугольника D1D.
Рассмотрим треугольник AB1B: угол B1BA = 900, AB1 = 13 EMBED Equation.3 1415дм, B1B = D1D. Для того чтобы найти B1B, необходимо знать сторону треугольника AB.
Рассмотрим треугольник ABD: угол BAD = 900, AB = AD (так как ABCD – квадрат). Следовательно, получим BD2 = AB2 + AD2 = 2AB2. Таким образом,
(13 EMBED Equation.3 1415)2 = 2AB2, 18 = 2AB2, AB2 = 9, AB = 3 дм.
Из треугольника AB1B: BB12 = AB12 – AB2 = (13 EMBED Equation.3 1415)2 – 32 = 32 – 9 = 23, BB1 = 13 EMBED Equation.3 1415дм.
B1B = D1D = 13 EMBED Equation.3 1415дм.
Из треугольника BD1D: BD12 = BD2 + DD12 = (13 EMBED Equation.3 1415)2 + (13 EMBED Equation.3 1415)2 = 18+23 = 41, BD1 = 13 EMBED Equation.3 1415дм.
13 EMBED Equation.3 1415дм.
Ответ: BD1 = 13 EMBED Equation.3 1415дм, Sбок = 1213 EMBED Equation.3 1415дм.
Пример 2. В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности.
Решение.
Поскольку основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, то AO является радиусом описанной вокруг основания окружности. (Это следует из свойств правильной пирамиды).
Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, найдем из его свойств:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим треугольник MOA – прямоугольный: MO = 10 см, AO = 13 EMBED Equation.3 1415. По т. Пифагора получим
MA = 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим треугольник MBК – прямоугольный: MB = MA = 13 EMBED Equation.3 1415, BK = Ѕ BC = 8 см. По т. Пифагора получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ : 13 EMBED Equation.3 1415
Выполнить следующие задания.
Задача 1.
Основанием прямой призмы служит ромб; диагонали призмы равны 20 и 18 дм; высота призмы 16 дм. Найти сторону основания призмы.
Задача 2.
Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 и 16 см, а боковые ребра равны 13 EMBED Equation.3 1415см. Найдите высоту пирамиды.
Задача 3.
Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5 и 3 см и углом 120 градусов между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2, найти площадь боковой поверхности.
Задача 4.
В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды.
Геометрия
Тема. Тела и поверхности вращения.
Название практической работы
«Тела и поверхности вращения. Решение задач»
Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о телах вращения; совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей тел вращения.
Контрольные вопросы.
Конус. Площадь полной и боковой поверхности.
Цилиндр. Площадь полной и боковой поверхности.
Примеры выполнения заданий.
Пример 1. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 313 EMBED Equation.3 1415см. Найдите площадь поверхности цилиндра.
Решение. Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле: Sполн = 2
·r (r + h). Для нахождения Sполн необходимо знать радиус и высоту цилиндра.
Рассмотрим треугольник АВD – прямоугольны й: угол ABD = 900, АD = 13 EMBED Equation.3 1415см. Найдем катеты AB и BD.
Так как ABCD – квадрат, следовательно AB = BD. Обозначим AB = x.
По теореме Пифагора получим: AD2 = AB2 + BD2 = x2 + x2 = 2x2. Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415.
AB = BD = 3 см.
AB = h = 3см, BO1 = r = Ѕ BD = 1.5 см.
13 EMBED Equation.3 1415дм.
Ответ: Sполн = 13,5 см2.
Пример 2. Около конуса, высота которого равна 13 EMBED Equation.3 1415см и радиус основания 10 см, описана пирамида. Основанием пирамиды является ромб с острым углом 30°. Найдите угол наклона образующей конуса к плоскости основания, площадь осевого сечения конуса, площадь полной поверхности конуса, площадь полной поверхности пирамиды.
Решение.
Найдем площадь полной поверхности конуса по формуле S=
·R(R + l).
R = 10 см. Необходимо найти образующую конуса l = MN.
Рассмотрим
· MON – прямоугольный: MO = 13 EMBED Equation.3 1415см, NO = 10 см. По теореме Пифагора получим, MN2 = MO2 + ON2 = (13 EMBED Equation.3 1415)2 + 102 = 300 + 100 = 400, следовательно, MN = 20 см. Тогда Sполн = 10
· (10 + 20) = 300П см2.
Найдем угол наклона образующей конуса к плоскости основания - 13 EMBED Equation.3 1415. Для этого рассмотрим
· MON – прямоугольный: 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем площадь осевого сечения конуса – площадь
· MNH: S
·MNH = Ѕ NH MO = Ѕ 20
· 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 см2.
Найдем площадь полной поверхности пирамиды: Sполн = Sосн + 4SAMB.
В основании пирамиды лежит ромб. Найдем площадь ромба. Для этого рассмотрим
· ADB: 13 EMBED Equation.3 1415= 300. AD = AB = 2R = 20 см.
S
·ADB =Ѕ AD
·AB
·Sin13 EMBED Equation.3 1415= Ѕ 20
· 20
· sin300 = 200
·1/2 = 100 см2.
SABCD = 2 S
·ADB = 200 см2.
S
·AMB = Ѕ AB
·MN = Ѕ 20
·20 = 200 см2.
Sполн = Sосн + 4SAMB = 200 + 4
·200 = 1000 см2.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415= 600, Sсеч = 13 EMBED Equation.3 1415 см2, Sполн кон = 300П см2, Sполн пир = 1000 см2.
Выполнить следующие задания.
Задача 1.
В цилиндре проведена параллельно оси плоскость, отсекающая от окружности дугу в 120є. Длина оси равна 5, ее расстояние от секущей плоскости 2. Определите площадь сечения, объем и площадь полной поверхности цилиндра.
Задача 2.
Радиус основания конуса равен 20 см, образующая – 20,5 см. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию , на расстоянии 1,5 см от его вершины. Найдите радиус полученного сечения, объем и площадь полной поверхности конуса.
Задача 3. Прямоугольный параллелепипед со сторонами 6 дм и 8 дм и высотой, равной 14 дм, вписан в цилиндр. Найдите радиус основания цилиндра, площадь осевого сечения цилиндра, площадь полной поверхности цилиндра и параллелепипеда.
Задача 4. Треугольник АВС со сторонами АВ = 41 см, АС = 15 см и ВС = 52 см вращается вокруг прямой, содержащей его большую сторону. Найдите высоты конусов, из которых составлено тело вращения, площадь осевого сечения и площадь полной поверхности тела вращения.
Задача 5. Тело получено при вращении ромба со стороной 18 см и углом 60° вокруг стороны. Найдите расстояние от его образующей до оси вращения, высоты получившихся конуса и цилиндра, площадь полной поверхности тела вращения.
Геометрия
Тема. Измерения в геометрии.
Название практической работы
«Решение задач на вычисление объемов пространственных тел и их простейших комбинаций»
Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о выпуклых многогранниках;
совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей многогранников, построение сечений.
Контрольные вопросы.
Понятие многогранника.
Понятие тела вращения.
Параллелепипед. Площадь полной поверхности и объем параллелепипеда.
Призма. Площадь полной и боковой поверхностей, объем призмы.
Пирамида. Площадь полной и боковой поверхностей, объем пирамиды.
Цилиндр. Площадь полной и боковой поверхностей, объем цилиндра.
Конус. Площадь полной и боковой поверхностей, объем конуса.
Шар. Площадь полной и боковой поверхностей, объем шара.
Алгоритм решения задач, связанных с использованием формул S и V
Запиши одну из формул для нахождения S или V.
Подставь в формулу все известные величины.
Задай вопрос: «Какие величины ещё неизвестны?», и ответь на него.
Найди неизвестное через известное, но неиспользованное ещё в решении.
Вычисли S или V.
Применение полученного алгоритма к решению задач.
Задача 1. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг?
Решение
Задача 2. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с углом 300. Гипотенуза этого треугольника равна боковому ребру и равна 6. Найти объем призмы.
Решение
V = Sосн
· Н.
V = Sосн
· 6
Sосн - ?. Sосн = Ѕ AB
· BC
BC = Ѕ AC = 3; AB = 13 EMBED Equation.3 1415
Sосн = Ѕ 13 EMBED Equation.3 1415
· 3 = 13 EMBED Equation.3 1415
5. V = 13 EMBED Equation.3 1415
· 6 = 13 EMBED Equation.3 1415
Выполнить следующие задания.
Задача 1. Боковые ребра прямой треугольной призмы равны 15, а расстояния между ними 26, 25 и 17. Найти ее объем и площадь полной поверхности.
Задача 2. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 9 м, а стороны оснований 5м и 7м. Найти объем пирамиды и площадь ее боковой поверхности.
Задача 3. В цилиндр вписан шар радиуса R. Найти боковую поверхность и объем цилиндра.
Задача 4. Внешний диаметр полого шара 18 см, толщина стенок 3 см. Найти объем материала, из которого изготовлен шар.
Задача 5. Сторона основания правильной треугольной призмы равна a, площадь боковой поверхности равна сумме площадей оснований. Найти объем призмы.
Задача 6. Прямоугольный треугольник, катеты которого 12 и 16 см, вращается вокруг гипотенузы. Найти объем тела вращения.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Для обучающихся
Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. - М.: 2013
Атанасян Л.С. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углуб. уровни. – М.:Просвещение, 2014
Баврин И.И. Математика: учебник и практикум для СПО – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2016
Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждение нач. и сред. проф. образования – 7-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2013
Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие. - М.: 2012
Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для образоват. учреждение нач. и сред. проф. образования – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2013
Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10 кл. - М.: 2014
Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 11 кл. - М.: 2014
Богомолов Н.В. Математика. Задачи с решениями. В 2 ч. Часть 1: учебное пособие для СПО -2-е изд., испр. и доп. – М.: Издательство Юрайт. 2016
Богомолов Н.В. Математика. Задачи с решениями. В 2 ч. Часть 2: учебное пособие для СПО -2-е изд., испр. и доп. – М.: Издательство Юрайт. 2016
Богомолов Н.В. Математика: учебник для СПО – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт. 2016
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб пособие для СПО – 11-е изд.. перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт. 2015
Кремен Н.Ш., Константинова О.Г. Фридман М.Н. Математика: учеб. пособие для СПО – 10-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт. 2016
Интернет-ресурсы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - Электронный учебник «Математика в школе, XXI век».
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - информационные, тренировочные и контрольные материалы.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов, Башмаков Марк Иванович.
13 PAGE \* MERGEFORMAT 142115
13 EMBED Equation.3 1415
+
+
3 4,5
-2
+
+
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
+
+
-1 2
-1,5 -1 2
-1 2
13 EMBED Equation.3 1415
-1,5
13 EMBED Equation.3 1415
- 1 0 2
· - 0,5
· 1,2
y
x
x = -3
x = 2
А(0; 2)
B(4; 0)
S
Рис. 1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
A
B
C
D
О1
О
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
А
В
С
А1
В1
С1
300
900
6
6
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativesEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native../../../../../MyWorks/анализ уроков/13.docРисунок 270Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native4Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native(Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1145Рисунок 1146Рисунок 1147Рисунок 1156Рисунок 1176Рисунок 1177Рисунок 1179Рисунок 1180Рисунок 1181Рисунок 1182Рисунок 1183Фигура в пространстве
·9Её изображение на плоскости
·2Произвольный треугольник6Произвольный треугольник6Прямоугольный треугольник
·6Произвольный треугольник6Равнобедренный треугольник/Произвольный треугольник6Фигура в пространстве
·9Её изображение на плоскостиПроизвольный параллелограммПроизвольная трапецияПроизвольный параллелограмм
государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Ростовской области
«Миллеровский техникум агропромышленных технологий и управления (ДСХТ)»
Методические рекомендации
по выполнению практических занятий
учебная дисциплина ОУДП. 10 «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»
программы подготовки специалистов среднего звена
по специальности 40.02.01 Право и организация среднего звена
г. Миллерово
2016 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Темы практических занятий
для обучающихся по специальности
40.02.01 Право и организация социального обеспечения
страницы
Практическое занятие № 1. «Действия над степенями с рациональным и действительным показателем»
5
Практическое занятие № 2. «Преобразование логарифмических выражений. Решение упражнений»
7
Практическое занятие № 3. «Преобразование алгебраических выражений»
9
Практическое занятие № 4. «Преобразование простейших тригонометрических выражений»
11
Практическое занятие № 5. «Решение тригонометрических уравнений»
13
Практическое занятие № 6. «Преобразование графиков функций»
15
Практическое занятие № 7. «Решение уравнений и систем уравнений различных видов»
18
Практическое занятие № 8. «Решение неравенств и их систем»
20
Практическое занятие № 9. «Использование координатно-векторного метода при решении геометрических задач»
27
Практическое занятие № 10. «Параллельное и ортогональное проектирование. Изображение пространственных фигур»
29
Практическое занятие № 11. «Многогранники. Решение задач»
34
Практическое занятие № 12. «Тела и поверхности вращения. Решение задач»
36
Практическое занятие № 13. «Решение задач на вычисление объемов пространственных тел и их простейших комбинаций»
38
Практическое занятие № 14. «Исследование функции с помощью производной»
23
Практическое занятие № 15. «Решение задач на нахождение интеграла. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интеграла»
25
Введение
УВАЖАЕМЫЙ ОБУЧАЮЩИЙСЯ!
Методические указания по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для выполнения практических работ созданы Вам в помощь для работы на занятиях, подготовки к ним, правильного составления проектов документов.
Приступая к выполнению практической работы, Вы должны внимательно прочитать цель занятия, ознакомиться с краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практической работы, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения зачета по дисциплине и допуска к дифференцированному зачету и экзамену, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическую работу Вы должны найти время для ее выполнения или пересдачи.
Внимание! Если в процессе подготовки к практическим работам или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.
Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери его кабинета.
Желаем Вам успехов!!!
АЛГЕБРА
Тема. Корни, степени и логарифмы.
Название практической работы
«Действия над степенями с рациональным и действительным показателем»
Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Свойства корней и степеней»; закрепить умения использовать полученные знания для преобразования алгебраических выражений.
Контрольные вопросы.
Определение корня натуральной степени из числа.
Основные свойства корня натуральной степени из числа.
Определение степени с рациональным показателем.
Основные свойства степени с рациональным показателем.
Понятие степени с действительным показателем.
Теорема о сравнении степени с действительным показателем.
Примеры и последовательность выполнения заданий
Пример 1. Возвести в степень 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Вычислить13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. Упростить выражение.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. Избавиться от иррациональности в знаменателе.
Чтобы уничтожить иррациональность в знаменателе, нужно знаменатель и числитель дроби умножить на такое выражение, которое в произведении со знаменателем дает рациональное выражение в знаменателе.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Выполнить следующие задания.
Задание 1. Возвести в степень 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 2. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 3. Упростить выражение
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 4. Избавиться от иррациональности в знаменателе.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 5. Упростить выражение.
13 EMBED Equation.3 1415
Задание 6. Вычислить значение выражения.
13 EMBED Equation.3 1415
АЛГЕБРА
Тема. Корни, степени и логарифмы.
Название практической работы
«Преобразования логарифмических выражений. Решение упражнений»
Цель занятия: Обеспечить закрепление понятий: логарифм числа, десятичный и натуральный логарифм; формировать умения и навыки применения свойств логарифма к решению задач.
Контрольные вопросы.
Понятие логарифма числа.
Основное логарифмическое тождество.
Понятие десятичного логарифма числа.
Понятие натурального логарифма числа.
Основные свойства логарифмов.
Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
Примеры и последовательность выполнения заданий.
Пример 1. Вычислить. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Вычислить.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415 Пример 3. Упростить выражение. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. Вычислить. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 5. Решить уравнение. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
Выполнить следующие задания.
Задание 1. Вычислить.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задание 3. Упростить выражение
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задание 4. Вычислить
13 EMBED Equation.3 1415
Задание 5. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
АЛГЕБРА
Тема. Корни, степени и логарифмы.
Название практической работы
«Преобразование алгебраических выражений»
Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Свойства корней и степеней»; закрепить умения использовать полученные знания для преобразования алгебраических выражений.
Контрольные вопросы.
Определение корня натуральной степени из числа.
Основные свойства корня натуральной степени из числа.
Определение степени с рациональным показателем.
Основные свойствастепени с рациональным показателем.
Понятие логарифма числа. Основное логарифмическое тождество.
Свойства логарифма.
Формулы сокращенного умножения.
Примеры и последовательность выполнения заданий.
Пример 1. Упростить выражение.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Выделим общий множитель в числителе и знаменателе первой дроби данного выражения. Для этого представим числитель в виде
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Проверить справедливость равенства.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Рассмотрим равенство 13 EMBED Equation.3 1415. Очевидно, что если оно верно, то верно и заданное равенство. Пусть13 EMBED Equation.3 1415Проанализировав выражения, получим, что a> 0, b> 0. Если при этом выполняется равенствоa2 = b2, то a = b. Находим
13 EMBED Equation.3 1415
Так какa2 = b2, то a = b, т.е. заданное равенство справедливо.
Выполнить следующие задания.
Задание 1. Вычислить.
13 EMBED Equation.3 1415;
Задание 2. Упростить выражение.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 3. Докажите, что выражение 13 EMBED Equation.3 1415 обращается в ноль при13 EMBED Equation.3 1415.
Задание 4. Найдите lgx, если 13 EMBED Equation.3 1415.
ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
Тема. Преобразования простейших тригонометрических выражений.
Название практической работы
«Преобразование простейших тригонометрических выражений»
Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Основы тригонометрии»; закрепить умения использовать полученные знания для преобразования тригонометрических выражений.
Контрольные вопросы.
Дайте определение тригонометрическим функциям через единичную окружность?
Какой координате точки соответствует значение синуса угла?
Какой координате точки соответствует значение косинуса угла?
Перечислите основные тригонометрические тождества.
Как определяются знаки тригонометрических функций по четвертям?
Какие тригонометрические функции являются четными и какие - нечетными? Почему?
Выразите тригонометрические функции через синус, косинус, тангенс и котангенс соответственно.
При каких вычислениях необходимо знание формул приведения?
Сформулируйте правило записи формул приведения.
Как выполняется понижение степени тригонометрических функций?
При каких вычислениях необходимо знание формул сложения?
При каких вычислениях необходимо знание формул двойного и половинного аргумента?
Примеры и последовательность выполнения заданий.
Пример 1.
Вычислить а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
А) 13 EMBED Equation.3 1415
Б) 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2.
13 EMBED Equation.3 1415
Найти: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
А) Из основного тригонометрического тождества получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 следовательно 13 EMBED Equation.3 1415III четверти. Косинус в третьей четверти имеет отрицательный знак. Значит 13 EMBED Equation.3 1415.
Б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3.
Упростить выражение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4.
Доказать тождество 13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство
13 EMBED Equation.3 1415
Выполнить следующие задания
Задание 1.
Вычислить а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 2.
13 EMBED Equation.3 1415
Найти: а) 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 3.
Упростить выражение 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 4.
Доказать тождество.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
Тема. Тригонометрические уравнения и неравенства.
Название практической работы
«Решение тригонометрических уравнений»
Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Тригонометрические уравнения», проверить умение пользоваться различными методами для решения конкретных задач.
Контрольные вопросы.
Определение обратных тригонометрических функций.
Решение простейших тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.
Понятие однородного уравнения и алгоритм решения однородных уравнений.
Алгоритм решения тригонометрических уравнений с помощью формул понижения степени.
Решение тригонометрических уравнений методом группировки и разложения на множители.
Решение тригонометрических уравнений методом преобразования сумм в произведение и произведения в суммы.
Примеры и последовательность выполнения заданий.
Рекомендации по решению тригонометрических уравнений.
Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов.
Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.
Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.
Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения. Например, 13 EMBED Equation.3 14155. Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя.
Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5.
Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента: 13 EMBED Equation.3 1415
Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:
13 EMBED Equation.3 1415
Выполнить следующие задания
Решить тригонометрические уравнения.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
Тема. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции.
Название практической работы
«Преобразование графиков функций»
Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о функциях; отработать навыки и рассмотреть приемы построения графиков функций.
Контрольные вопросы.
Какая функция называется степенной?
От чего зависят график и свойства степенной функции?
Через какую точку проходит график любой степенной функции?
Область определения логарифмической функции.
Область значения логарифмической функции.
При каком условии логарифмическая функция возрастает (убывает)?
Верно ли, что логарифмическая функция имеет график, проходящий через точку(0;1)?
Является ли логарифмическая функция четной (нечетной)?
Какая функция называется показательной?
Какова область определения показательной функции?
При каком условии показательная функция является возрастающей?
При каком условии показательная функция является убывающей?
Назвать область определения, множество значений, четность, период функций: у=sinх, у=cosх, у=tgх, у=ctgх.
Сформулируйте определения обратных тригонометрических функций.
Примеры и последовательность выполнения заданий.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Выполнить следующие задания.
Построить графики функций:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
y = 1/3sinx
y = |cos1/2x|
у = 13 QUOTE 1415
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Тема. Уравнения и системы уравнений.
Название практической работы
«Решение уравнений и систем уравнений различных видов»
Цель занятия: Закрепить и обобщить знания об уравнениях и их системах; совершенствовать умения и навыки решения уравнений различных типов и их систем.
Контрольные вопросы.
Понятие рационального уравнения и основные методы их решения.
Понятие иррационального уравнения и основные методы их решения.
Основные приемы решения логарифмических и показательных уравнений.
Основные методы решения систем уравнений.
Примеры и последовательность выполнения заданий.
Пример 1. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Проверка: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: x = -1
Пример 2. Рассмотрим решение показательного уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
Используя свойства показательной функции 13 EMBED Equation.3 1415, преобразуем уравнение,
13 EMBED Equation.3 1415
Вынесем общий множитель 3х за скобки:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ. 1
Пример 3. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
Обозначая 13 EMBED Equation.3 1415, получаем уравнение
y2 – 5y + 6 = 0,
корни этого уравнения: y1 = 2, y2 = 3. Таким образом, исходное уравнение эквивалентно двум уравнениям вида:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
решения которых: x = 4 и x = 8.
Ответ: x = 4, x = 8.
Выполнить следующие задания
Задание 1. Решить уравнение.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
е) 13 EMBED Equation.3 1415
ж) 13 EMBED Equation.3 1415
з) 13 EMBED Equation.3 141513 QUOTE 14
15
Задание 2. Решить систему уравнений
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
г)
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Тема. Неравенства и системы неравенств.
Название практической работы
«Решение неравенств и их систем»
Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о неравенствах; совершенствовать умения и навыки решения неравенств различных типов и их систем.
Контрольные вопросы.
Понятие неравенства.
Основные виды неравенств.
Методы решения рациональных неравенств.
Метод равносильных переходов при решении логарифмических неравенств.
Показательная функция, ее свойства. Простейшие показательные неравенства.
Логарифмическая функция, ее свойства. Простейшие логарифмические неравенства.
Примеры выполнения заданий.
Пример 1. Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Приведем неравенство к стандартному виду:
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем критические точки:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Построим числовую прямую, полученные точки разобьют ее на интервалы. Определим знак на каждом из интервалов:
Так как неравенство < 0 , следовательно, выберем те промежутки, которые имеют знак минус. Решениями неравенства являются следующие промежутки:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Решить иррациональное неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Исходное неравенство равносильно системе неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415Решим каждое неравенство в отдельности:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решением данного неравенства является отрезок [13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415]
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решениями второго неравенства являются промежутки 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Запишем найденные решения в систему неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Так как 2 > 1, функция возрастает, следовательно
x2 – 3x +3 > x2 – 2x +5
-3x + 2x > 5 – 3
- x > 2
x < 2
Пример 4. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415, так как е > 1, то функция возрастающая, следовательно, получим систему неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: x > 1.
Выполнить следующие задания
Решить неравенства.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
9(3x - 1 + 3x < 36
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема. Производная.
Название практической работы
«Исследование функции с помощью производной»
Цель занятия: Закрепить и обобщить умения и навыки исследования функций и построения графиков с помощью производной.
Контрольные вопросы.
Определение точки минимума и точки максимума.
Определение критической точки.
Необходимое условие, чтобы точка х0 была точкой экстремума.
Алгоритм нахождения критических точек функции.
Определение стационарных точек.
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума функции).
Достаточные условия существования экстремума функции .
Достаточный признак возрастания, убывания функции.
Алгоритм нахождения экстремумов функции.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Выпуклость функции. Точки перегиба.
Примеры выполнения заданий.
Задание. Исследовать функцию 13 EMBED Equation.3 1415 и построить ее график.
Решение.
Область определения – множество действительных чисел.
Точки пересечения с осями координат:
если x = 0, то y = 0 – точка А (0,0);
если y = 0, то решим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Получили еще две точки В (13 EMBED Equation.3 1415; 0) и С (13 EMBED Equation.3 1415; 0).
Четность, нечетность: 13 EMBED Equation.3 1415 - функция не является ни четной, ни нечетной.
Находим производную. 13 EMBED Equation.3 1415.
Стационарные точки. Приравняем производную к нулю: 13 EMBED Equation.3 1415, получим x = -1, x = 0, x= 2 – стационарные точки.
Промежутки возрастания и убывания. Найденные точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка, определим знак производной на этих промежутках.
Точки экстремума. x = -1, x = 2 – точки минимума; x = 0 – точка максимума.
Выпуклость и точки перегиба.
Найдем вторую производную: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем точки перегиба: 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - точки перегиба
Определим знак второй производной на интервалах:
Составим таблицу.
x
x < -1
- 1
– 1 < x < 0
0
0 < x < 2
2
x > 2
3
f (x)
-
0
+
0
-
0
+
f(x)
-5/12
min
0
max
-8/3
min
9/4
Выполнить следующие задания.
Задание 1. Исследовать функцию и построить ее график.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанном промежутке
у = (х-3)2(х-2) на отрезке [1;4]
у =1/3 х3 + х2 на отрезке [-4;1]
у = - 2/3 х3 + 2х – 4/3 на отрезке [-1,5;1,5]
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема. Первообразная и интеграл.
Название практической работы
«Решение задач на нахождение интеграла. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интеграла»
Цель занятия: Закрепить и обобщить умения и навыки вычисления определенного интеграла методом непосредственного интегрирования и нахождения площади фигуры, ограниченной линиями.
Контрольные вопросы.
Понятие первообразной функции.
Основные правила нахождения первообразной функции.
Неопределенный интеграл и его свойства.
Определенный интеграл и его свойства.
Формула Ньютона-Лейбница.
Примеры выполнения заданий.
При непосредственном интегрировании следует пользоваться таблицей интегралов. Интегрируя функции, содержащие переменную в знаменателе дроби или под знаком радикала, нужно вводить степень с отрицательным или дробным показателем.
Пример 1. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Для вычисления значения определенного интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Берем неопределенный интеграл и находим любую первообразную, затем вычисляем разность ее значений, соответствующих верхнему и нижнему пределов.
Пример 3. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415 Пример 5. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями y = -0,5x + 2, y = 0, x = -3 и x = 2.
Решение. Выполним построение фигуры. Строим прямую y = - 0,5x + 2 по двум точкам. Найдем эти точки. Пусть x = 0, тогда y = 2. Получили первую точку А(0; 2). Пусть y = 0, тогда x = 4. Получили вторую точку В(4; 0).
Т.о. f(x) = -0,5x + 2, а = -3, b = 2, находим площадь по формуле 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: S = 11, 25 (кв. ед.)
Пример 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и
Решение
Для нахождения пределов интегрирования решаем уравнение:
Искомая площадь равна:
Выполнить следующие задания.
Задание 1. Найти неопределенный интеграл.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) г) 13 EMBED Equation.3 1415 д) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 2. Вычислить определенный интеграл.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415 д)13 EMBED Equation.3 1415
Задание 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой: у = 4 – х2.
Найти площадь фигуры, ограниченной параболами 13 EMBED Equation.3 1415
Геометрия
Тема. Координаты и векторы.
Название практической работы
«Использование координатно-векторного метода при решении геометрических задач»
Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Координаты вектора. Скалярное произведение векторов»; закрепить умения использовать полученные знания для решения геометрических задач.
Контрольные вопросы.
Понятие прямоугольной системы координат в пространстве. Ее элементы.
Понятие вектора. Действия над векторами в координатной форме.
Скалярное произведение векторов.
Угол между векторами.
Длина вектора. Разложение вектора по координатным векторам.
Формула Расстояния между двумя точками. Координаты середины отрезка
Примеры и последовательность выполнения заданий.
Пример 1. В ABC вершины A (2; 0; 3), B (0; 1; 2), C (1; 2; 4). Определить вид ABC.
Решение.
Сравним длины сторон: AB = = AC== BC== AC >AB = BC – ABC – непрямоугольный, т.к. AC2
· AB2 + BC2 => 14
· 6 + 6 AC2 = AB2 + BC2 - 2AB
· BC
·cos
· (теорема косинусов) 14 = 12 – 12 cos
· cos
· = – 13 EMBED Equation.3 1415 < 0 =>
· – тупой ABC – равнобедренный, тупоугольный.
Пример 2. Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если A(6; 7; 8), B(8; 2; 6), C(4; 3; 2), D(2; 8; 4).
Решение.
смежные стороны равны
Найдем середину отрезка BD и AC:
B (8; 2; 6) D (2; 8; 4) x0 = = 5 y0 = = 5 z0 = = 5
A (6; 7; 8) C (4; 3; 2) x' = = 5 y' = = 5 z' = = 5
Середина отрезков BD и AC точка O(5;5;5). Диагонали точкой пересечения делятся пополам в параллелограмме. Четырехугольник ABCD – ромб. Проверим, не квадрат ли это? Решение: BD = BD2
· AB2 + AD2 76
· 33 + 33 => ABCD – не квадрат
Пример 3. Выяснить при каких значениях m и n данные векторы коллинеарные: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
У коллинеарных векторов соответствующие коэффициенты пропорциональны. Запишем соответствующую пропорцию, из которой найдем m и n:
13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: m = -2, n = -2.5.
Выполнить задания
Задание 1.
Дан треугольник АВС с вершинами А(11;-2;-9), В(2;6;-4), С(8;-6;-8). Найдите длину медианы АК.
Задание 2.
а) Найдите значения m и n, при которых векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 коллинеарные, если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415. Сравните с прямым углом угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
в) Найдите угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
г) Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить |(- 413 EMBED Equation.3 1415+ 513 EMBED Equation.3 1415)| – (413 EMBED Equation.3 1415- 313 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415
Задание 3.
а) Доказать, четырехугольник АВСД – прямоугольник, если А(4;-4;3), В(1;2;4), С(-2;1;1), Д(1;-5;0).
б) Даны вершины ромба A(14; -8; -1), B(7; 3; -1), C(-6; 4; -1), D(1; -7; 1). Найти периметр, площадь и углы ромба.
Геометрия
Тема. Прямые и плоскости в пространстве.
Название практической работы
«Параллельное и ортогональное проектирование. Изображение пространственных фигур»
Цель занятия: рассмотреть понятие параллельного и ортогонального проектирования точки и фигуры на плоскости; рассмотреть свойства параллельного проектирования; показать учащимся наиболее наглядные способы изображения фигур на плоскости.
В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование (в черчении говорят «проецированием»).
Пусть
· - некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая. Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью
· называется параллельной проекцией точки A на плоскость
· в направлении прямой l. Обозначим ее A'. Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией A на плоскость
· считается точка пересечения прямой l с плоскостью
·.
Плоскость
· будем называть плоскостью проекций. Прямая l определяет направление проектирования. Все параллельные ей прямые называются проектирующими.
Точки, принадлежащие плоскости
·, совпадают со своими проекциями на эту плоскость
Свойства параллельного проектирования.
Свойство 1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Свойство 2. Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок, в зависимости от того лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, или нет. Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на прямой, не параллельной и не совпадающей с прямой l. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.
Свойство 3. Если две параллельные прямые не параллельны прямой l, то их проекции в направлении l могут быть или параллельными прямыми или одной прямой.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Свойство 4. Проекцией точки, лежащей на некоторой прямой, является точка, лежащая на проекции данной прямой – свойство принадлежности.
Ортогональная проекция.
Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекции П’.
В этом случае нетрудно установить соотношение между длиной натурального отрезка и длиной его проекции. Если отрезок AB образует с плоскостью проекций угол
·, то, проведя AB*
·A’ B’ (рис.2), получим из прямоугольного треугольника AB*B, что AB*=ABcos
· или A’ B’= ABcos
·.
Так как ортогональное проецирование – разновидность параллельного, то ему присущи те же свойства.
Изображение плоских фигур.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 141513 EMBED PowerPoint.Slide.12 141513 EMBED PowerPoint.Slide.12 141513 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Закрепление изученного.
Выполнение практической работы.
Задание 1.Построить изображение тетраэдра A0B0C0D0 и его высоты с помощью параллельного проецирования.
Гранями тетраэдра являются треугольники. Спроектируйте основание тетраэдра в произвольный треугольник.
Спроектируйте вершину тетраэдра в том же направлении в произвольную точку плоскости
·.
Соедините эту точку с вершинами треугольника. Полученный четырехугольник и является изображением тетраэдра.
Для изображения высоты тетраэдра, используйте свойство 2 параллельного проецирования (проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок, в зависимости от того лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, или нет. Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на прямой, не параллельной и не совпадающей с прямой l. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка).
Задание 2. Построить изображение прямоугольного параллелепипеда A0B0C0D0E0F0G0H0 с помощью параллельного проецирования.
Выберем три ребра прямоугольного параллелепипеда исходящие из одной вершины и изобразим их в виде трех произвольных отрезков, исходящих из одной точки.
Все остальные ребра параллелепипеда изображаются следующим образом: каждый из них параллелен одному из построенных отрезков и равен ему по длине.
Задание 3. Построить изображение пирамиды S0A0B0C0D0 и ее высоты, в основании которой лежит прямоугольник с помощью параллельного проецирования.
Изображение основание пирамиды строят по правилам построения плоских фигур.
За изображение вершины можно взять любую точку, не принадлежащую сторонам изображения основания.
Задание 4. Построить изображение прямой призмы, в основании которой лежит равнобедренная трапеция.
Какова бы ни была форма призмы, изобразим ее основание по правилу построения трапеции и согласно свойствам проектирования.
Одно из боковых ребер изобразим произвольно: любым по длине и направлению отрезком.
Все остальные ребра изображаются параллельными и равными по длине построенному ранее.
Задание 5. Все ребра тетраэдра ABCD имеют равные длины, К – середина ребра BD.
1.Постройте две прямые KM и KN, перпендикулярные соответственно AD и DC и пересекающие их соответственно в точках M и N.
2.Построй те точку пересечения плоскости KMN с прямой, соединяющей вершину D и точку пересечения медиан противолежащей грани.
Геометрия
Тема. Многогранники.
Название практической работы
«Многогранники. Решение задач»
Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о выпуклых многогранниках, совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей многогранников.
Контрольные вопросы.
Понятие многогранника, выпуклого многогранника.
Призма. Элементы призмы. Свойства призмы.
Параллелепипед. Свойства параллелепипеда. Куб.
Пирамида. Элементы пирамиды. Свойства пирамиды.
Примеры выполнения заданий.
Пример 1. Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна 13 EMBED Equation.3 1415дм, а диагональ боковой грани равна 13 EMBED Equation.3 1415дм. Найдите диагональ данной призмы и площадь боковой поверхности.
Решение. В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат. Необходимо найти диагональ призмы BD1.
Рассмотрим треугольник BD1D: угол D1DB = 900, BD = 13 EMBED Equation.3 1415дм. Чтобы найти BD1, необходимо знать сторону треугольника D1D.
Рассмотрим треугольник AB1B: угол B1BA = 900, AB1 = 13 EMBED Equation.3 1415дм, B1B = D1D. Для того чтобы найти B1B, необходимо знать сторону треугольника AB.
Рассмотрим треугольник ABD: угол BAD = 900, AB = AD (так как ABCD – квадрат). Следовательно, получим BD2 = AB2 + AD2 = 2AB2. Таким образом,
(13 EMBED Equation.3 1415)2 = 2AB2, 18 = 2AB2, AB2 = 9, AB = 3 дм.
Из треугольника AB1B: BB12 = AB12 – AB2 = (13 EMBED Equation.3 1415)2 – 32 = 32 – 9 = 23, BB1 = 13 EMBED Equation.3 1415дм.
B1B = D1D = 13 EMBED Equation.3 1415дм.
Из треугольника BD1D: BD12 = BD2 + DD12 = (13 EMBED Equation.3 1415)2 + (13 EMBED Equation.3 1415)2 = 18+23 = 41, BD1 = 13 EMBED Equation.3 1415дм.
13 EMBED Equation.3 1415дм.
Ответ: BD1 = 13 EMBED Equation.3 1415дм, Sбок = 1213 EMBED Equation.3 1415дм.
Пример 2. В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности.
Решение.
Поскольку основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, то AO является радиусом описанной вокруг основания окружности. (Это следует из свойств правильной пирамиды).
Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, найдем из его свойств:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим треугольник MOA – прямоугольный: MO = 10 см, AO = 13 EMBED Equation.3 1415. По т. Пифагора получим
MA = 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим треугольник MBК – прямоугольный: MB = MA = 13 EMBED Equation.3 1415, BK = Ѕ BC = 8 см. По т. Пифагора получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ : 13 EMBED Equation.3 1415
Выполнить следующие задания.
Задача 1.
Основанием прямой призмы служит ромб; диагонали призмы равны 20 и 18 дм; высота призмы 16 дм. Найти сторону основания призмы.
Задача 2.
Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 и 16 см, а боковые ребра равны 13 EMBED Equation.3 1415см. Найдите высоту пирамиды.
Задача 3.
Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5 и 3 см и углом 120 градусов между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2, найти площадь боковой поверхности.
Задача 4.
В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды.
Геометрия
Тема. Тела и поверхности вращения.
Название практической работы
«Тела и поверхности вращения. Решение задач»
Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о телах вращения; совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей тел вращения.
Контрольные вопросы.
Конус. Площадь полной и боковой поверхности.
Цилиндр. Площадь полной и боковой поверхности.
Примеры выполнения заданий.
Пример 1. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 313 EMBED Equation.3 1415см. Найдите площадь поверхности цилиндра.
Решение. Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле: Sполн = 2
·r (r + h). Для нахождения Sполн необходимо знать радиус и высоту цилиндра.
Рассмотрим треугольник АВD – прямоугольны й: угол ABD = 900, АD = 13 EMBED Equation.3 1415см. Найдем катеты AB и BD.
Так как ABCD – квадрат, следовательно AB = BD. Обозначим AB = x.
По теореме Пифагора получим: AD2 = AB2 + BD2 = x2 + x2 = 2x2. Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415.
AB = BD = 3 см.
AB = h = 3см, BO1 = r = Ѕ BD = 1.5 см.
13 EMBED Equation.3 1415дм.
Ответ: Sполн = 13,5 см2.
Пример 2. Около конуса, высота которого равна 13 EMBED Equation.3 1415см и радиус основания 10 см, описана пирамида. Основанием пирамиды является ромб с острым углом 30°. Найдите угол наклона образующей конуса к плоскости основания, площадь осевого сечения конуса, площадь полной поверхности конуса, площадь полной поверхности пирамиды.
Решение.
Найдем площадь полной поверхности конуса по формуле S=
·R(R + l).
R = 10 см. Необходимо найти образующую конуса l = MN.
Рассмотрим
· MON – прямоугольный: MO = 13 EMBED Equation.3 1415см, NO = 10 см. По теореме Пифагора получим, MN2 = MO2 + ON2 = (13 EMBED Equation.3 1415)2 + 102 = 300 + 100 = 400, следовательно, MN = 20 см. Тогда Sполн = 10
· (10 + 20) = 300П см2.
Найдем угол наклона образующей конуса к плоскости основания - 13 EMBED Equation.3 1415. Для этого рассмотрим
· MON – прямоугольный: 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем площадь осевого сечения конуса – площадь
· MNH: S
·MNH = Ѕ NH MO = Ѕ 20
· 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 см2.
Найдем площадь полной поверхности пирамиды: Sполн = Sосн + 4SAMB.
В основании пирамиды лежит ромб. Найдем площадь ромба. Для этого рассмотрим
· ADB: 13 EMBED Equation.3 1415= 300. AD = AB = 2R = 20 см.
S
·ADB =Ѕ AD
·AB
·Sin13 EMBED Equation.3 1415= Ѕ 20
· 20
· sin300 = 200
·1/2 = 100 см2.
SABCD = 2 S
·ADB = 200 см2.
S
·AMB = Ѕ AB
·MN = Ѕ 20
·20 = 200 см2.
Sполн = Sосн + 4SAMB = 200 + 4
·200 = 1000 см2.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415= 600, Sсеч = 13 EMBED Equation.3 1415 см2, Sполн кон = 300П см2, Sполн пир = 1000 см2.
Выполнить следующие задания.
Задача 1.
В цилиндре проведена параллельно оси плоскость, отсекающая от окружности дугу в 120є. Длина оси равна 5, ее расстояние от секущей плоскости 2. Определите площадь сечения, объем и площадь полной поверхности цилиндра.
Задача 2.
Радиус основания конуса равен 20 см, образующая – 20,5 см. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию , на расстоянии 1,5 см от его вершины. Найдите радиус полученного сечения, объем и площадь полной поверхности конуса.
Задача 3. Прямоугольный параллелепипед со сторонами 6 дм и 8 дм и высотой, равной 14 дм, вписан в цилиндр. Найдите радиус основания цилиндра, площадь осевого сечения цилиндра, площадь полной поверхности цилиндра и параллелепипеда.
Задача 4. Треугольник АВС со сторонами АВ = 41 см, АС = 15 см и ВС = 52 см вращается вокруг прямой, содержащей его большую сторону. Найдите высоты конусов, из которых составлено тело вращения, площадь осевого сечения и площадь полной поверхности тела вращения.
Задача 5. Тело получено при вращении ромба со стороной 18 см и углом 60° вокруг стороны. Найдите расстояние от его образующей до оси вращения, высоты получившихся конуса и цилиндра, площадь полной поверхности тела вращения.
Геометрия
Тема. Измерения в геометрии.
Название практической работы
«Решение задач на вычисление объемов пространственных тел и их простейших комбинаций»
Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о выпуклых многогранниках;
совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей многогранников, построение сечений.
Контрольные вопросы.
Понятие многогранника.
Понятие тела вращения.
Параллелепипед. Площадь полной поверхности и объем параллелепипеда.
Призма. Площадь полной и боковой поверхностей, объем призмы.
Пирамида. Площадь полной и боковой поверхностей, объем пирамиды.
Цилиндр. Площадь полной и боковой поверхностей, объем цилиндра.
Конус. Площадь полной и боковой поверхностей, объем конуса.
Шар. Площадь полной и боковой поверхностей, объем шара.
Алгоритм решения задач, связанных с использованием формул S и V
Запиши одну из формул для нахождения S или V.
Подставь в формулу все известные величины.
Задай вопрос: «Какие величины ещё неизвестны?», и ответь на него.
Найди неизвестное через известное, но неиспользованное ещё в решении.
Вычисли S или V.
Применение полученного алгоритма к решению задач.
Задача 1. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг?
Решение
Задача 2. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с углом 300. Гипотенуза этого треугольника равна боковому ребру и равна 6. Найти объем призмы.
Решение
V = Sосн
· Н.
V = Sосн
· 6
Sосн - ?. Sосн = Ѕ AB
· BC
BC = Ѕ AC = 3; AB = 13 EMBED Equation.3 1415
Sосн = Ѕ 13 EMBED Equation.3 1415
· 3 = 13 EMBED Equation.3 1415
5. V = 13 EMBED Equation.3 1415
· 6 = 13 EMBED Equation.3 1415
Выполнить следующие задания.
Задача 1. Боковые ребра прямой треугольной призмы равны 15, а расстояния между ними 26, 25 и 17. Найти ее объем и площадь полной поверхности.
Задача 2. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 9 м, а стороны оснований 5м и 7м. Найти объем пирамиды и площадь ее боковой поверхности.
Задача 3. В цилиндр вписан шар радиуса R. Найти боковую поверхность и объем цилиндра.
Задача 4. Внешний диаметр полого шара 18 см, толщина стенок 3 см. Найти объем материала, из которого изготовлен шар.
Задача 5. Сторона основания правильной треугольной призмы равна a, площадь боковой поверхности равна сумме площадей оснований. Найти объем призмы.
Задача 6. Прямоугольный треугольник, катеты которого 12 и 16 см, вращается вокруг гипотенузы. Найти объем тела вращения.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Для обучающихся
Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. - М.: 2013
Атанасян Л.С. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углуб. уровни. – М.:Просвещение, 2014
Баврин И.И. Математика: учебник и практикум для СПО – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2016
Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждение нач. и сред. проф. образования – 7-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2013
Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие. - М.: 2012
Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для образоват. учреждение нач. и сред. проф. образования – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2013
Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10 кл. - М.: 2014
Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 11 кл. - М.: 2014
Богомолов Н.В. Математика. Задачи с решениями. В 2 ч. Часть 1: учебное пособие для СПО -2-е изд., испр. и доп. – М.: Издательство Юрайт. 2016
Богомолов Н.В. Математика. Задачи с решениями. В 2 ч. Часть 2: учебное пособие для СПО -2-е изд., испр. и доп. – М.: Издательство Юрайт. 2016
Богомолов Н.В. Математика: учебник для СПО – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт. 2016
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб пособие для СПО – 11-е изд.. перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт. 2015
Кремен Н.Ш., Константинова О.Г. Фридман М.Н. Математика: учеб. пособие для СПО – 10-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт. 2016
Интернет-ресурсы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - Электронный учебник «Математика в школе, XXI век».
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - информационные, тренировочные и контрольные материалы.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов, Башмаков Марк Иванович.
13 PAGE \* MERGEFORMAT 142115
13 EMBED Equation.3 1415
+
+
3 4,5
-2
+
+
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
+
+
-1 2
-1,5 -1 2
-1 2
13 EMBED Equation.3 1415
-1,5
13 EMBED Equation.3 1415
- 1 0 2
· - 0,5
· 1,2
y
x
x = -3
x = 2
А(0; 2)
B(4; 0)
S
Рис. 1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
A
B
C
D
О1
О
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
А
В
С
А1
В1
С1
300
900
6
6
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativesEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native../../../../../MyWorks/анализ уроков/13.docРисунок 270Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native4Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native(Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1145Рисунок 1146Рисунок 1147Рисунок 1156Рисунок 1176Рисунок 1177Рисунок 1179Рисунок 1180Рисунок 1181Рисунок 1182Рисунок 1183Фигура в пространстве
·9Её изображение на плоскости
·2Произвольный треугольник6Произвольный треугольник6Прямоугольный треугольник
·6Произвольный треугольник6Равнобедренный треугольник/Произвольный треугольник6Фигура в пространстве
·9Её изображение на плоскостиПроизвольный параллелограммПроизвольная трапецияПроизвольный параллелограмм
Приложенные файлы
