методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине математика 2 курс СПО (23.02.06)


Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Омский государственный университет путей сообщения»
структурное подразделение среднего профессионального образования
«Омский техникум железнодорожного транспорта»
(СП СПО ОТЖТ)
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по выполнению практических работ
Учебная дисциплина ЕН. 01
индекс Математика
наименование
Шифр специальности (ей): 23.02.06 Преподаватель(ли): Абинова Н.А.
(фамилия, имя, отчество)

СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ
Методист СП СПО ОТЖТ Заместитель руководителя по учебной работе
_________________Я. С. Чугурова_____________ С. А. Писаренко
«____» __________________201__ г.
«____» ________________ 201__ г.
«____» ________________ 201__ г.
«____» ________________ 201__ г.
«____» ________________ 201__ г.
«____» ________________ 201__ г.
«____» ________________ 201__ г.
«____» ________________ 201__ г.
«____» ________________ 201__ г. «____» ________________ 201__ г.
Рассмотрен предметно-цикловой комиссией естественнонаучных и математических дисциплин
«____»______________201__г Протокол №_____ _______________
(подпись ПЦК)
«____»______________201__г Протокол №_____ _______________
(подпись ПЦК)
«____»______________201__г Протокол №_____ _______________
(подпись ПЦК)
«____»______________201__г Протокол №_____ _______________
(подпись ПЦК)
«____»______________201__г Протокол №_____ _______________
(подпись ПЦК)
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Омский государственный университет путей сообщения»
структурное подразделение среднего профессионального образования
«Омский техникум железнодорожного транспорта»
(СП СПО ОТЖТ)
Специальность 23.02.06 «Техническая эксплуатация подвижного состава»
Практическая работа № _______
____________________________________________________________________________________________________________________________________
(название практической работы)
Дисциплина ____математика______________________________________
Студент гр.____________
(номер группы, курс)
__________________ ____________
(подпись студента) (И., О., Фамилия студента)
________________
(дата)
Преподаватель
____________________ ______________
(подпись преподавателя) (И. О. Фамилия преподавателя)
_____________________
(дата)
__________________________________
(оценка)
Омск 2016
СОДЕРЖАНИЕ
Пояснительная записка……………………………………………………………..
Практическая работа№ 1. Комплексные числа и действия над ними. Решение задач для нахождения полного сопротивления электрической цепи переменного тока с помощью комплексных чисел.……............................................................................................. Практическая работа № 2. Построение графа по условию ситуационных задач: в управлении инфраструктурами на транспорте; в структуре взаимодействия различных видов транспорта………………………………………………………………………
Практическая работа № 3. Применение обыкновенных дифференциальных уравнений при решении профессиональных задач…………………………………………………
Практическая работа № 4. Решение прикладных задач с применением числовых рядов……………………………………………………………………………………
Практическая работа № 5. Решение прикладных задач с использованием комбинаторики.................................................................................................................
Практическая работа № 6. Решение прикладных задач на нахождение вероятности события………………………………………………………………………………….
Практическая работа № 7. . Решение задач на нахождение по таблично заданной функции (при n=2), функции, заданной аналитически…………………………………….
Практическая работа № 8. Решение прикладных задач с использованием метода Эйлера ................................................................................................................................
Образец выполнения практической работы.............................................................
Литература.....................................................................................................................
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Методические указания по выполнению практической работы предназначены для студентов очного отделения специальности 23.02.06
Программой учебной дисциплины «Математика» на проведение практических занятий для базового уровня профессионального образования предусмотрено 16 часов. Практические занятия проводятся в учебных кабинетах. Продолжительность каждого занятия 2 часа.
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать основные понятия и методы математическо-логического синтеза и анализа логических устройств; решать прикладные электротехнические задачи методом комплексных чисел.
Уметь применять математические методы дифференциального и интегрального исчисления для решения профессиональных задач; применять основные положения теории вероятностей и математической статистики в профессиональной деятельности; использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях;
Студенты предварительно должны подготовиться к занятию: изучить содержание работы на занятии, порядок ее выполнения, повторить теоретический материал, связанный с данной работой.
Методические указания содержат приложение, в котором представлен пример оформления практической работы.
Задания на практическую работу
Все задания на практические работы составлены в 30 вариантах. Вариант практической работы соответствует номеру студента по списку в журнале.
Таблица вариантов практической работы
№ варианта Номера задач № варианта Номера задач
1 1,7,13,19,25 16 3,8,13,21,28
2 2,8,14,20,26 17 2,7,13,20,26
3 3,9,15,21,27 18 1,12,13,24,25
4 4,10,16,22,28 19 2,11,14,23,26
5 5,11,17,23,29 20 3,10,15,22,27
6 6,12,18,24,30 21 4,9,16,21,28
7 1,8,15,22,29 22 5,8,17,20,29
8 2,9,16,23,30 23 6,7,18,19,30
9 3,10,17,24,29 24 1,11,15,21,29
10 4,11,18,22,30 25 2,10,16,20,30
11 5,12,15,23,29 26 3,9,17,19,26
12 6,8,16,24,30 27 4,8,18,21,28
13 6,11,16,21,26 28 5,7,15,20,27
14 5,10,15,20,25 29 6,8,16,22,25
15 4,9,14,19,27 30 1,7,17,21,29
Практическая работа № 1.
Тема: Комплексные числа и действия над ними. Решение задач для нахождения полного сопротивления электрической цепи переменного тока с помощью комплексных чисел
Цель работы: Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Комплексные числа и действия над ними».
Задание: Даны числа:
1. z1=-2+3i z2=7-2i4. z1=2-4i z2=-4+6i2. z1=-3 – 5i z2=7-2i5. z1=7+6i z2=7-6i3. z1=1-2i z2=2+3i6. z1=5+2i z2=3-2iНайти: z1+z2; z1-z2; z1·z2; z1z2
Задание: Выполнить умножение:
7.
10.
8.
11.
9.
12.
Задание: Выполнить деление, используя алгебраическую форму комплексного числа:
13. 3(cos π6 + i sin π6): 4(cos π3 + i sin π3) 16. 2(cos 1200 + i sin 1200):4(cos 900 + i sin 900)
14. 6(cos 1600 + i sin 1600):3(cos 400 + i sin 400)
17. 10(cos1200+ i sin450):5(cos1200+ i sin45)
15. 4(cos300 + i sin450) : 12(cos300 + isin450)
18. 6(cos 600 + i sin 900):3(cos 600 + i sin 900)
Задание: Представить в показательной форме числа:
19. z = 6 + 2i322. z = 1 - i3
20. z = -3 – 3 i23. z = 3 + i
21. z = 32+ 3i224. z = 3 + i3
Задание: Даны числа. Найти в показательной форме а) z13, б) 3z2, в) z1∙z2 г)z1z2:
25. z1=1-2i, z2=2+3i28. z1==-3 – 5 i , z2=7-2 i.
26. z1=7+6i, z2=7-6i29. z1=-2+3 i, z2=7-2i.
27. z1=2-4i , z2=-4+6 i30. z1=5+2i , z2=3-2iПояснения к работе:
Необходимые формулы:
Опр. 1: Числа вида, а+bi, где а и b действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными числами.
i2=-1Опр. 2: Числа а+bi и c+di называются равными если a=с и b=d
Опр.3: Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаком перед мнимой частью.
Опр.4: Модулем комплексного числа z=a+bi называется длина вектора z, который можно найти по формуле: r=z=a2+b2 Опр.5: Аргументом комплексного числа называется угол α, который образует вектор z с положительным направлением оси абсцисс.
cosφ=ar sinφ=brФормы комплексных чисел
z = a+b i – алгебраическая форма комплексного числа
z = r (cosφ + i sinφ) – тригонометрическая форма комплексного числа
z = reiφ – показательная форма комплексного числа
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
a+bi+c+di=a+c+b+dia+bi-c+di=a-c+(b-d)ia+bi∙c+di=ac-bd)∙ad+cbia+bic+di=ac+bdc2+d2+cb+adc2+d2iДействия над комплексными числами в тригонометрической форме
z1z2 = r1r2 (cos φ1+φ2+i sin⁡(φ1+φ2)) 2. z1 z2 = r1 r2 (cos φ1-φ2 +i sin⁡(φ1-φ2))3. zn= rn (cosφ∙ n + i sinφ ∙ n) формула Муавра
4. nz = nr (cos φ+2πRn + i sin φ+2πRn), R = 0,1,2… , n-1
Действия над комплексными числами в показательной форме
z1z2 = r1r2 ei(φ1+φ2) 2. z1 z2 = r1 r2 ei(φ1-φ2)3. zn = rn eiφ4. nz =nr eφ+2πRni, R =0,1,2… , n-1
-156210291465Геометрическая интерпретация комплексного числа

Геометрическая интерпретация комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу z = a + b i ставится в соответствие точка координатной плоскости (х, у) таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу х=а, а коэффициент при мнимой части – ординату точки у= b.
Правило перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической
1. Находим модуль по формуле r =a2+b22. Для нахождения угла φ определяем геометрически, в какой четверти находится точка Z
3. Составляем уравнение cosφ = ar, sinφ = br , и по решению одного из них находим угол φ.4. Записываем комплексное число в тригонометрической форме z = r (cosφ + i sinφ).
Значения тригонометрических функций
0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2) 360° (2π)


N/A N/A
N/A N/A N/A
Формулы приведения




Содержание отчета
Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.
Цель работы
Задание
Выполненная практическая работа в соответствии с заданием
Ответы на контрольные вопросы
Вывод
Контрольные вопросы:
Дайте определение комплексного числа.
Запишите формулу нахождения модуля комплексного числа.
Запишите правило перехода из алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую.
Запишите показательную форму комплексного числа.
Дайте определение сопряженных комплексных чисел.
Практическая работа № 2.
Тема: Построение графа по условию ситуационных задач: в управлении инфраструктурами на транспорте; в структуре взаимодействия различных видов транспорта.
Цель работы: Закрепить и систематизировать знания по теме: «Основы дискретной математики».
Задание: Выполните задание по теме: Граф и его элементы.
А) Запишите количество ребер и вершин графа;
В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа, представленного на рисунке;
С) Запишите номера вершин, имеющих одинаковую степень:
1. 4.
2. 5.
3.
6.
Задание: Выполните задание по теме: Граф и его элементы.
Граф задан диаграммой.
А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5. Составьте простую цепь, соединяющую эти вершины.
В) Постройте простой цикл, содержащий вершину V4.
С) Определите вид заданного графа
7. V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7

10. V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7

8. V7
V1
V2
V3
V4
V5
V6


V1
V2
V3
V4
V5
V6
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7

11. V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7

9. 12. Задание: Выполните задание по теме: Понятие дерева в теории графов:
13. Сколько различных способов обедов можно выбрать в вагоне-ресторане, если бы на каждый обед выбирать одно холодное блюдо, одно первое, одно второе, одно третье? В меню на этот раз были выставлены студень, красная икра, свежепосоленная рыба; на первое – уха из стерляди, щи с грибами; на второе – осетрина жаренная, теленок жареный на вертеле; на третье – арбузы, груши.
16. Перечислите все возможные сочетания деловой одежды, если у вас в гардеробе брючный костюм черного цвета, белая и голубая блузки, синяя юбка и серый джемпер.
14. Изобразите дерево возможных исходов при троекратном бросании монеты. 17. Волейбольная сетка имеет вид прямоугольника размером 5×10 клеток. Какое наибольшее число верёвочек можно перерезать так, чтобы сетка не распалась на куски?
15. Нарисуйте граф с семью вершинами, в котором для любых двух вершин существует только один связывающий их путь.
18. Рассади участников «Большой восьмерки» за круглым столом всеми возможными способами.
Задание: Графы и логические задачи:
19. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что:
Вода и молоко не в бутылке.
Сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом.
В банке не лимонад и не вода.
Стакан стоит между банкой и сосудом с молоком.
В каком сосуде находится, какая из жидкостей?
22. Какое наименьшее число переливаний необходимо для того, чтобы с помощью 7-и 11-литровых сосудов и крана с водой отмерить 2 литра?
20. На улице, встав в кружок, беседуют Аня, Валя, Галя и Надя.
Девочка в зеленом платье – не Аня и не Валя – стоит между девочкой в голубом платье и Надей.
Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом и Валей. Какого цвета платье у каждой из девочек?
23. В семье четверо детей. Им 5, 8, 13 и 15 лет. Зовут их Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори, а сумма лет Ани и Веры делится на три?
21. В Артеке за круглым столом оказалось пятеро ребят из Москвы, Санкт-Петербурга, Новгорода, Перми и Томска: Юра, Толя, Алеша, Коля и Витя. Москвич сидел между Томичем и Витей, санкт-петербуржец – между Юрой и Толей, а напротив него сидел пермяк и Алеша. Коля никогда не был в Санкт-Петербурге, Юра не бывал в Москве и Томске, а Томич с Толей регулярно переписываются. Определите, кто в каком городе живет.
24. Беседуют трое друзей – Белокуров, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас – блондин, другой – брюнет, третий – рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из друзей?
Задание: Выполните задание по теме: Сетевые графы: В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями. Числа, стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями. Если пересечение строки и столбца пусто, то станции не являются соседними. Укажите схему, соответствующую таблице.
25. A B C D E F
A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7
F 7 28. A B C D E F
A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6
F 6 26. А В С D
А 4 5
В 4 3 6
С 3 D 5 6 29. A B C D E F
A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5
F 5
27. А В С D Е
А 1 4 1
В 1 3 С 4 2
D 3 E 1 2 30. А В С D Е
А 3 1 В 4 1
С 3 4 2
D 1 E 1 Пояснения к работе:
Необходимые формулы:
Граф- это множество точек или вершин и множество линий или ребер, соединяющих между собой все или часть этих точек. Вершины, прилегающие к одному и тому же ребру, называются смежными.
Если ребра ориентированны, что обычно показывают стрелками, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом.
Если ребра не имеют ориентации, граф называется неориентированным.

Петля- это дуга, начальная и конечная вершина которой совпадают.
Простой граф- граф без кратных ребер и петель.
Степень вершины- это удвоенное количество петель, находящихся у этой вершины плюс количество остальных прилегающих к ней ребер.
Пустым называется граф без ребер.
Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежные.
Путь в ориентированном графе — это последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей.
Маршрут в графе путь, ориентацией дуг которого можно пренебречь.
Цепь- маршрут, в котором все ребра попарно различны.
Цикл- замкнутый маршрут, являющийся цепью.
Граф называется связным, если любая пара его вершин связана.
Дерево — это связный граф без циклов.
Содержание отчета
Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.
Цель работы
Задание
Выполненная практическая работа в соответствии с заданием
Ответы на контрольные вопросы
Вывод
Контрольные вопросы:
Дайте определение графа.
Сформулируйте понятие смежных ребер.
Дайте определение правильного графа.
Запишите формулу суммы степеней графа.
Дайте определение изолированной вершины графа.
Практическая работа № 3.
Тема: Применение обыкновенных дифференциальных уравнений при решении профессиональных задач.
Цель работы: Закрепить и систематизировать знания по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения».
Задание: Проверить подстановкой, что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения:
1. y=3x+1 ; xy/=y-14. y=3x3-2x; dy=3x2-2 dx2. y=x2+x+C; dy=2x+15. y=Ce2x ; y/=2y3. y=x ; 2yy/=16. y=Cx+1 ; xy/=y-1Задание: Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных:
7. cosxy/=1+ysinx10. xy/-y=08. yy/+x=011. y/=sinx9. y/=y12. x2y/+y=0Задание: Найти частные решения уравнений первого порядка, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
13. 2y/x=y, y0=1, при x0=416. xdxy-dy+dx4y=0,
y≠0 , y0=-5, при x0=314. x2y+y2=0, y0=1, при x0=-417. y/=y4x , y0=-10, при x0=1615. xy/=ylnx, y0=1,при x0=e18. x2∂y∂x=y, y0=5 при x0=0Задание: Решить линейные уравнения первого порядка:
19. y/-yx=x22. y/+2yx=x320. y/+x2y=2e-x3323. y/-y=ex21. y/=x+y24. xy/+y=3Задание: Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений:
25. xdy-ydx=ydy, если при x=-1, y=1 28. 1-xdy-y-1dx=0, если при x=2, y=3 26. y2-3x2dy+2xydx=0, если при x=1, y=-229. 2x+1dy-ydx=0, если при x=1, y=227. x+3dy-y+2dx=0, если при x=2, y=3 30. x2+1dy=2xydx, если при x=1, y=2Пояснения к работе:
Необходимые формулы:
Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка
y' = f(x,y) с разделяющими переменными
Рассмотрим производную y' как отношение дифференциалов ,
Перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):
Разделим обе части уравнения на h(y) ≠ 0
Запишем уравнение в форме:
Проинтегрируем дифференциальное уравнение:
где C − постоянная интегрирования.
Вычислим интегралы, получаем выражение

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка
вида
Пусть y = uv, тогда по правилу дифференцирования произведения функций и линейное дифференциальное уравнения первого порядка примет вид или
Выберем функцию v(x) так, чтобы в этом уравнении выражение в скобках обратилось в нуль:
Разделим в уравнении переменные.
Выполним почленное интегрирование, найдём функцию v. Так как функция v - решение уравнения, то её подстановка в уравнение даёт
Найдём функцию u как общее решение этого уравнения.
Найдем решение исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Оно равно произведению функций y = uv.
Содержание отчета
Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.
Цель работы
Задание
Выполненная практическая работа в соответствии с заданием
Ответы на контрольные вопросы
Вывод
Контрольные вопросы:
Дайте определение дифференциального уравнения.
Дайте определение общего решения дифференциального уравнения.
Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными.
Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка.
Запишите формулу уравнение Бернулли.
Практическая работа № 4.
Тема: Решение прикладных задач с применением числовых рядов.
Цель работы: Закрепить и систематизировать знания по теме: «Ряды».
Задание: Найдите первые четыре члена ряда по заданному члену:
1. un=1(2n+1)2n-14. un=3n+1n2+13n-12. un=n+1(2n-1)3n-15. un=3n-2n2-13n-13. un=3n+2(3n-1)2n-16. un=12n(3-2n)Задание: Найти формулу общего члена ряда по его данным первым членам:
7. 1−8+27−64+125−216+343−…. 10. 12+34+56+78+…8. 12+14+18+116+… 11. 13-15+17-19+…9. 12.
Задание: Найти предел частичной суммы ряда limn→∞Snи сделать вывод о сходимости или расходимости ряда:
13. n=1∞1n(n+1)16. n=1∞14(n+1)14. n=1∞13n-117. n=1∞12n-12n+115. n=1∞13n-23n+118. n=1∞12nЗадание: Исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера:
19. n=1∞n3∙2n22.
20. n=1∞1n423. n=1∞1(n+1)∙3n21. n=1∞3n-12n24.
Задание: Разложите в ряд Фурье функцию:
25. fx=-x при-π<x<0,0 при 0<x<π28. fx=-1 при-π<x<0,1 при 0<x<π26. fx=1 при 0<x<π2,12при π2≤x<π29. fx=x при 0≤x≤π2,0 при π2≤x≤π27. fx=0 при 0≤x≤π,x при π≤x≤2π30. fx=-1 при-π≤x≤0,3 при 0<x<πПояснения к работе:
Необходимые формулы:
Частичная сумма ряда
Пусть — числовой ряд.
Число называется n-ой частичной суммой ряда .
Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
Признак Даламбера:
Если для ряда с положительными членами существует , то при p<1 ряд сходится, при p>1 ряд расходится, при p=1 вопрос о сходимости остается открытым.
Разложение в ряд Фурье периодических функций Т=2L,

Коэффициенты Фурье
;
;
; n = 1, 2, 3, …:; ; , n = 1, 2, 3, …
Содержание отчета
Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.
Цель работы
Задание
Выполненная практическая работа в соответствии с заданием
Ответы на контрольные вопросы
Вывод
Контрольные вопросы:
Дайте определение числового ряда.
Перечислите виды рядов.
Дайте определение понятию «сходящийся» и «расходящийся ряд.
Сформулируйте признак Даламбера.
Запишите общий вид тригонометрического ряда Фурье.
Практическая работа № 5.
Тема: Решение прикладных задач с использованием комбинаторики.
Цель работы: Закрепить и систематизировать знания по теме «Основы теории вероятности и математической статистики».
Задание: Вычислить:
1. 4!+6!6!4. 5!3!+4!2. 16!14!∙3!5. 6!∙5!6!+5!3. 42!40!6. 7!+3!3!Задание: Решить задачу на определение вероятности:
7. Вероятность облачного дня в течение недели равна 0,653. Какова вероятность солнечного дня? 10. Из слова ФАКТОРИАЛ выбирается одна буква. Какова вероятность, что это буква А?
8. Колода в 36 карт делится пополам. Какова вероятность того, что одной половине не будет дам? 11. На полку ставят 4-х томное издание. Какова вероятность того, что поставят в беспорядке?
9. В первой урне 3 белых и 6 чёрных шаров. Во второй 5 красных и 6 чёрных шаров. Из каждой урны не глядя берут по одному шару. Какова вероятность того, что из первой урны взят чёрный шар, а из второй – красный? 12. Абитуриент не знает 15 вопросов программы из 45. В билете 2 вопроса Какова вероятность того, что он вытянет билет, где оба вопроса ему известны?
Задание: Решить задачу на перестановки:
13. Сколькими способами можно выписать в колонку фамилии 30 студентов 16. Сколькими способами можно составить расписание из тех же 6 предметов, если требуется, чтобы урок физкультуры был последним
14. Сколько различных 5-значных чисел, все цифры которых различны можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7, 8 17. Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, если среди них 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом
15. Четыре лектора должны прочитать по одной лекции. Сколько имеется вариантов составления расписания 18. 50 депутатов парламента рассаживаются в зале заседаний, в котором 50 мест. Сколько у них есть вариантов это сделЗадание: Решить задачу на сочетания:
19. В урне находятся 7 белых, 5 красных и 8 синих шаров. Сколькими способами из них можно выбрать 6 шаров так, чтобы среди них было 3 белых, 1 красный и 2 синих 22. Из колоды в 36 карт нужно выбрать 6 карт так, чтобы среди них оказалось 4 карты черной масти и 2 карты красной масти. Сколькими способами это можно сделать
20. Студентам дали список из10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами студент может выбрать из них 6 книг 23. Сколькими способами из имеющихся в магазине 12 бордовых, 15 красных и 10 розовых роз можно составить букет из 7 цветов так, чтобы в него входили 3 красных, 2 розовые и 2 бордовые розы
21. Из 30 студентов группы нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор. 24. Личный состав отделения милиции состоит из 10 сержантов, 7 лейтенантов и 5 капитанов. Из них нужно составить группу, в состав которой войдут 4 сержанта, 3 лейтенанта и 1 капитан. Сколькими способами это можно сделать
Задание: Решить задачу на размещения:
25. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов. 28. На 7 сотрудников выделены 5 различных путевок. Сколькими способами их можно распределить среди сотрудников
26. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда 29. В группе 20 юношей и 20 девушек. Для участия в конкурсе «Студенческая весна» нужно выделить танцевальный дуэт, дуэт певцов и гимнастический дуэт (каждый из которых состоит из юноши и девушки). Сколькими способами это можно сделать, если все участники поют, танцуют и выполняют гимнастические упражнения?
27. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 различных цветов 30. На 7 сотрудников выделены 5 различных путевок. Сколькими способами их можно распределить среди сотрудников
Контрольные вопросы:
Дайте определение перестановок. Запишите формулу для вычисления числа перестановок из mэлементов.
Дайте определение размещений. Запишите формулу для вычисления числа размещений из mэлементов по n.
Дайте определение сочетаний. Запишите формулу для вычисления числа сочетаний из mэлементов по n.
Дайте определение вероятности события.
Дайте определение достоверных событий.
Практическая работа № 6.
Тема: Решение прикладных задач на нахождение вероятности события
Цель работы: Закрепить и систематизировать знания по теме «Основы теории вероятности и математической статистики».
Задание: Решить задачу на использование классического определения вероятности:
1. Из букв слова «вероятность» наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что выбранная буква будет: А-согласной; В – гласной; С – буква «о». 4. В урне 6 белых и 4 черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны вынимают еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.
2. Из урны, содержащей 10 белых шаров и 8 черных, вынимают подряд все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар. 5. Бросаются две монеты. Какова вероятность, что обе монеты упадут «решкой» кверху.
3. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Найти вероятность следующих событий:
А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7;
В-сумма номеров вынутых шаров равна 11;
С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11.
6. Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?
Задание: Решить задачу на использование классического определения вероятности:
7. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий:
А- появление не менее 4 очков;
В- появление не более 4 очков. 10. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что абсолютная величина выпавших очков равна 2?
8. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность того, что оба раза появиться одинаковое число очков. 11. В лотерее 1000 билетов. Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей, на 4 билета -100 рублей, на десять – по 20 рублей, на тридцать – по 10 рублей, на пятьдесят - по 5 рублей, на двести – по 1 рублю, остальные билеты без выигрыша. Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей?
9. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
А- сумма выпавших очков равна 6.
В- произведение выпавших очков равно 6. 12. Произвольным образом выбирается двузначное число. Какова вероятность того, что это число окажется:
А-кратным 3;
В- кратным 6;
С- кратным 50.
Задание: Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей:
13. В ящике находятся пуговицы различных цветов белых– 50%; красных – 20%; зеленых – 20%; синих - 10%. Какова вероятность того, что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета. 16. В магазин поступили телевизоры, 60% которых поставило предприятие, 25% -второе и 15% - третье. Какова вероятность того, что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии.
14. Вероятность того, что стрелок, произведя выстрел выбивает 10 очков, равна 0,4; 9 очков -0,3 и, наконец 8 или меньше очков – 0,3. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков. 17. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0,85, а для второго -0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен.
15. При записи фамилий участников соревнований, общее число которых 420 оказалось, что начальной буквой фамилий у 10 из них была «А», у 6-«Е», у 9-«И», у 12-«О», у 5-«У», у 3-«Ю», у всех остальных фамилия начиналась с согласной. Определить вероятность, что фамилия участника начинается с гласной. 18. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута пика или туз?
Задание: Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей:
19. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное или кратное трем число очков. 22. Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А, В, С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,6, а из города В-0,1. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.
20. Найти вероятность того, что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому одновременно. 23. Из первого предприятия поступило 200 пробирок, из которых 190 стандартных, а со второго – 300, из которых 280 стандартных. Найти вероятность того, что взятая наугад пробирка будет стандартной.
21. В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного. Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся черными. 24. В мастерской два мастера работают независимо друг от друга. Вероятность того, что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера, равна 0,9, для второго мотора эта вероятность того, что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера.
Задание: Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей:
25. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос? 28. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго -0,8, для третьего – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка попадут в цель.
26. Вероятность того, что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 0,05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня? 29. В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну. После этого из урны берется еще один шар. Найти вероятность того, что оба вынутые шара будут белыми.
27. Вероятность того, что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен, равна 0,8; второй -0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что он сдаст только первый экзамен. 30. В урне 3 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.
Пояснения к работе:
Необходимые формулы:

Содержание отчета
Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.
Цель работы
Задание
Выполненная практическая работа в соответствии с заданием
Ответы на контрольные вопросы
Вывод
Контрольные вопросы:
Запишите определение вероятности.
Запишите свойства вероятности.
Запишите теорему сложения вероятностей.
Запишите теорему вероятности произведения двух зависимых событий.
Запишите формулу Байеса.
Практическая работа № 7.
Тема: Решение задач на нахождение по таблично заданной функции (при n=2), функции, заданной аналитически
Цель работы: Закрепить и систематизировать знания по теме «Основные численные методы».
Задание: Составить таблицу конечных разностей функций, заданных аналитически, от начального значения х0 до конечного х7, приняв шаг равным h:
1. y=x3-x2+6x-8, x0=0 h=14. y=2x3-8x+20, x0=0,5 h=0,52. y=5x3-8x+4, x0=0 h=25. y=x4-2x2+1, x0=0 h=0,53. y=x4-2x2+10, x0=0 h=0,26. y=0,5x3+2x2-3x+8, x0=1 h=1Задание: Построить таблицу разностей функции y=f(x), заданной таблично:
7. x 1 2 3 4 5 6 7
y 7,5 2 -3,5 -6 -2,5 10 34,5
10. x 1 2 4 5 6 7
y 6 16 36 72 130 216 336
8. x 1 2 3 4 5 6 7
y -3,9 -0,2 6,7 17,4 32,5 52,6 78,3
11. x 1 2 3 4 5 6 7
y -3 -6 -3 12 45 102 189
9. x 1 2 3 4 5 6 7
y -3,9 -5,2 -3,3 2,4 12,5 27,6 48,3
12. x 1 2 3 4 5 6 7
y 0 8 30 72 140 240 378
Задание: Найти значения первой и второй производных функции, заданной таблично, в точках x=a+bn:
13. x=2,4+0,05n
x 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4
y(x) 3,526 3,782 3,945 4,043 4,104 4,155
n=1
14. x=4,5-0,06n
x 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6
y(x) 4,222 4,331 4,507 4,775 5,159 5,683
n=5
15. x=1,6+0,08n
x 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
y(x) 10,517 10,193 9,807 8,387 8,977 8,637
n=2
16. x=2,4+0,05n
x 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4
y(x) 3,526 3,782 3,945 4,043 4,104 4,155
n=3
17. x=4,5-0,06n
x 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6
y(x) 4,222 4,331 4,507 4,775 5,159 5,683
n=7
18. x=1,6+0,08n
x 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
y(x) 10,517 10,193 9,807 8,387 8,977 8,637
n=4
Задание: По табличным данным найти аналитическое выражение первой производной:
19. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 8 6 10 26 60 118 206 330 496
20. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y -2 15 58 139 270 463 730 1083 1534
21. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y -1,5 16 70,5 180 362,5 636 1018,5 1528 2182,5
22. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 5,5 18 40,5 76 127,5 198 290,5 408 553,5
23. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 7 24 63 136 255 432 679 1008 1431
24. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 0 18 78 204 420 750 1218 1848 2664
Задание: Вычислить значения первой и второй производной функции в точке x0, методом численного дифференцирования. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой:
25. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 8 6 10 26 60 118 206 330 496
x0=1,5
26. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y -2 15 58 139 270 463 730 1083 1534
x0=2,5
27. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y -1,5 16 70,5 180 362,5 636 1018,5 1528 2182,5
x0=1,25
28. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 5,5 18 40,5 76 127,5 198 290,5 408 553,5
x0=1,75
29. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 7 24 63 136 255 432 679 1008 1431
x0=2,2
30. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 0 18 78 204 420 750 1218 1848 2664
x0=2,1
Пояснения к работе:
Необходимые формулы:
Задача численного дифференцирования состоит в приближенном вычислении производных функции f(x) по заданным в конечном числе точек значениям этой функции.
Один из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции f(x) в некоторых узлах x0 , x1 , ... , xN строят интерполяционный полином PN(x) (обычно в форме Лагранжа) и приближенно полагают f (r)(x) ≈P(r)N(x),
0 ≤ r ≤ N
В ряде случаев наряду с приближенным равенством удается (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член R (погрешность численного дифференцирования):
f (r) (x) = P(r)N(x) + R, 0 ≤ r ≤ N
Такие формулы называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой входит величина (hi=xi - xi-1) в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования. Формулы с отброшенными остаточными членами называются просто формулами численного дифференцирования.
Формулы численного дифференцирования с остаточными членами для первой (r=1) и второй (r=2) производных в узлах, расположенных с постоянным шагом hi≡h > 0:
r=1, N=1 (два узла): f '(x0 ) = (f1 - f0 )/h - hf ''(ξ)/2
f '(x1 ) = (f1 - f0 )/h + hf ''(ξ)/2
r=1, N=2 (три узла): f '(x0 ) = (-3f0 + 4f1 - f2)/2h + h2f '''(ξ)/3
f '(x1 ) = (f2 - f0)/2h - h2f '''(ξ)/6
f '(x2 ) = (f0 - 4f1 + 3f2)/2h + h2f '''(ξ)/3
r=2, N=2 (три узла): f ''(x0 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 - hf '''(ξ)
f ''(x1 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 - h2f (4) (ξ)/12
f ''(x2 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 + hf '''(ξ)
r=2, N=3 (четыре узла): f ''(x0 ) = (2f0 - 5f1 + 4f2 - f3 )/h2 + 11h2f (4)(ξ)/12
f ''(x1 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 - h2f (4)(ξ)/12
f ''(x2 ) = (f0 - 2f1 + f3 )/h2 - h2f (4)(ξ)/12
f ''(x3 ) = (-f0 + 4f1 - 5f2 + 2f3 )/h2 + 11h2f (4)(ξ)/12
В приведенных формулах ξ есть некоторая точка (своя для каждой из формул) из интервала (x0 , xN). Остаточные члены этих формул находятся с помощью формулы Тейлора. При этом предполагается, что на отрезке [x0 , xN] у функции f(x) непрерывна производная, через которую выражается остаточный член. При четном N в среднем узле для четной производной порядок точности формулы на единицу больше, чем в остальных узлах. Поэтому рекомендуется по возможности использовать формулы численного дифференцирования с узлами, расположенными симметрично относительно той точки, в которой ищется производная.
Содержание отчета
Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.
Цель работы
Задание
Выполненная практическая работа в соответствии с заданием
Ответы на контрольные вопросы
Вывод
Контрольные вопросы:
Запишите основные задачи численного дифференцирования.
Запишите формулы вычисления погрешности вычислений.
Запишите 1-ый интерполяционный многочлен Ньютона.
Запишите 2-ой интерполяционный многочлен Ньютона.
Запишите первую и вторую формулы Ньютона в узлах для вычисления производных на краях таблицы.
Практическая работа № 8.
Тема: Решение прикладных задач с использованием метода Эйлера
Цель работы: Закрепить и систематизировать знания по теме «Основные численные методы».
Форма выполнения задания: кроссворд.
Пояснения к работе:
Методические рекомендации по составлению кроссвордов
В процессе работы необходимо:
просмотреть и изучить необходимый материал, как в лекциях, так и в дополнительных источниках информации;
составить список слов раздельно по направлениям;
составить вопросы к отобранным словам;
проверить орфографию текста, соответствие нумерации;
оформить готовый кроссворд.
Общие требования при составлении кроссвордов:
Не допускается наличие "плашек" (незаполненных клеток) в сетке кроссворда;
Не допускаются случайные буквосочетания и пересечения;
Загаданные слова должны быть именами существительными в именительном падеже единственного числа;
Двухбуквенные слова должны иметь два пересечения;
Трехбуквенные слова должны иметь не менее двух пересечений;
Не допускаются аббревиатуры (ЗиЛ и т.д.), сокращения (детдом и др.);
Не рекомендуется большое количество двухбуквенных слов;
Все тексты должны быть написаны разборчиво, желательно отпечатаны.
Требования к оформлению:
На каждом листе должна быть фамилия автора, а также название данного кроссворда;
Рисунок кроссворда должен быть четким;
Сетки всех кроссвордов должны быть выполнены в двух экземплярах:
1-й экз. - с заполненными словами;
2-й экз. - только с цифрами позиций.
Ответы публикуются отдельно. Ответы предназначены для проверки правильности решения кроссворда и дают возможность ознакомиться с правильными ответами на нерешенные позиции условий, что способствует решению одной из основных задач разгадывания кроссвордов — повышению эрудиции и увеличению словарного запаса.
Критерии оценивания составленных кроссвордов:
Четкость изложения материала, полнота исследования темы;
Оригинальность составления кроссворда;
Практическая значимость работы;
Уровень стилевого изложения материала, отсутствие стилистических ошибок;
Уровень оформления работы, наличие или отсутствие грамматических и пунктуационных ошибок;
Количество вопросов в кроссворде, правильное их изложения.
Содержание отчета
Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.
Цель работы
Задание
Выполненная практическая работа в соответствии с заданием
Ответы на контрольные вопросы
Вывод
Контрольные вопросы:
Что называется решением обыкновенного  дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка
Сформулируйте задачу Коши.
В чем заключается графическая интерпретация метода Эйлера.
Основная идея метода Эйлера-Коши.
Запишите формулу трапеций.
Образец выполнения работы:
Практическая работа №1
Действие над комплексными числами в алгебраической форме
Цель работы: научиться выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме, решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.
Вычислить: i+i2+i3+i4+i5Решение: i+i2+i3+i4+i5=i-1-i+1+i=iНайти x и у из равенства: 5x-2i+(y-4)i=6+3iРешение: 5x-2i+(y-4)i=6+3i
5x-6i+yi=6+3i
5x+(y-6)i=6+3i
5x=6y-6=3
x=65=115
y=3+6=9Ответ: (115; 9)Дано: z1=-5+3i z2=2-4iНайти: а) z1+z2 ; б) z1-z2; в)z1∙z2; г)z1z2.
Решение:
а) z1+z2=-5+3i+2-4i=-5+3i+2-4i=-3-iб)z1-z2=-5+3i-2-4i=-5+3i-2+4i=-7+7iв)z1∙z2=-5+3i2-4i=-10+20i+6i-12i2=2+26iг)z1z2=-5+3i2-4i=-5+3i2+4i2-4i2+4i=-10-20i+6i+12i24-16i2=-22-14i20=-2220-1420i=-1110-710i=-1,1-0,7iВыполните действия:
5+3i2-4i2-i3+4i=10-20i+6i-12i26+8i-3i-4i2=22-14i10+5i=22-14i10-5i10+5i10-5i=220-110i-140i+70i2100-25i2=150-250i125=1,2-2iРешить уравнение:
x2+4x+13=0x1,2=-4±16-4∙132=-4±-362=-4±6i2x1=-42+62i=-2+3ix2=-2-3iКонтрольные вопросы:
Дайте определение комплексного числа
Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y.
Запишите правило равенства комплексных чисел
Два комплексных числа z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) называются равными, если x1 = x2 и y1 = y2;
Запишите правило суммы комплексных чисел.
Суммой комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z вида
z = (x1 + x2, y1 + y2);
Запишите правило деления комплексных чисел
Частным комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z такое, что . Отсюда находим
Сформулируйте понятие сопряженных чисел
Комплексное число называется сопряженным по
отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.
Вывод: В результате выполнения практической работы я научился выполнять основные действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме. Закрепил основные понятия и определения по данной теме
Литература:
Основные источники:
Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012.
Богомолов Н.В. Математика 5-е изд., пер. и доп. Учебник для СПО – М: Издательство Юрайт, 2015
Богомолов Н.В. Задачи по математике с решениями.: Учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений. – М.: Издательство Юрайт, 2015
Дополнительные источники:
1. Сайт: http://school-collection.edu.ru2. «Математика»: учебно-методическая газета.
3. «Квант». Форма доступа: www.kvant.mirror1.mccme.ruЭлектронная библиотека. Форма доступа: www.math.ru/lib

Приложенные файлы

  • docx 2 kurs spo 2
    Размер файла: 230 kB Загрузок: 15

Добавить комментарий