методические рекомендации для подготовки к ОГЭ по математике часть 1


Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Омский государственный университет путей сообщения»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для подготовки к основному государственному экзамену по математике
часть 1 Алгебра
Преподаватель математики: Абинова Н.А.
Омск 2016
Пояснительная записка
Курс "Подготовка к ОГЭ по математике" направлен на восполнение недостающих знаний, отработку приемов решения заданий различных типов и уровней сложности вне зависимости от формулировки, а также отработку типовых заданий ОГЭ по математике на тестовом материале. Курс составлен на основе обязательного минимума содержания основных образовательных программ и требований к уровню подготовки выпускников основной школы. Цель данного спецкурса: подготовка учащихся к итоговой аттестации, продолжению образования, повышение уровня их математической культуры.
Задачи:
сформировать у учащихся умение определять вид задания, твёрдо знать алгоритм решения;
сформировать высокий уровень активности;
развить интерес к математике;
способствовать профориентации.
Данный курс имеет общеобразовательный, межпредметный характер, освещает роль и место математики в современном мире. Данный курс поможет научить обучающегося технике работы с текстовыми заданиями  и сдачи ОГЭ и в дальнейшем ЕГЭ, которая содержит следующие моменты:
обучение постоянному самоконтролю времени
обучении оценки трудности заданий и разумный выбор последовательности выполнения заданий
обучение спиральному движению по тексту, что предполагает движения от простых типовых к сложным
обучение приемам мысленного поиска способа решений заданий  
В ходе изучения материала данного курса целесообразно сочетать такие формы организации учебной работы, как практикумы по решению задач,  лекции, беседа, тестирование, частично-поисковая деятельность. Развитию математического интереса способствуют математические игры (дидактическая, ролевая), викторины, головоломки. Необходимо использовать элементы исследовательской деятельности. После рассмотрения полного курса учащиеся должны иметь следующие результаты обучения:
уметь определять тип задания, знать алгоритм решения;
уметь применять полученные математические знания в решении жизненных задач;
уметь использовать дополнительную математическую литературу с целью углубления материала основного курса, расширения кругозора и формирования мировоззрения, раскрытия прикладных аспектов математики.
В результате освоения  содержания программы учащийся получает возможность совершенствовать и расширить круг умений, навыков и способов деятельности:
Познавательная деятельность.
Умение самостоятельно и мотивированно организовать свою познавательную деятельность. Создание идеальных и реальных моделей объектов, процессов.
Информационно-коммуникативная деятельность.
Поиск и извлечение нужной информации по заданной теме в источниках различного типа. Умение развернуто обосновать суждение, давать определения, приводить доказательства.
Рефлексивная деятельность.
Владение навыками организации и участие в коллективной деятельности: постановка общей цели и определение средств её достижения, конструктивное восприятие иных мнений и идей, учет индивидуальности партнеров по деятельности, объективное определение своего вклада в общий результат.
Формирование ключевых компетентностей:
готовность к самообразованию;
готовность к использованию информационных ресурсов;
готовность к социальному взаимодействию;
коммуникативная компетентность.
Инструментарием для оценивания результатов могут быть: тестирование, творческие работы.
Задачи курса:
изучить оригинальные приемы тестовых заданий
формировать твердое убеждение в успешности сдачи ОГЭ
развивать исследовательские компетенции в решении математических задач
повысить интерес к предмету.
Структура программы состоит из двух блоков теоретического и практического. Основное содержание предполагает два уровня базовый и повышенный.
В результате работы по программе учащиеся должны знать:
методы проверки правильности решения заданий
методы решения различных видов уравнений и неравенств
основные приемы текстовых задач, а также проверки правильности их решения
методы нахождения статистических характеристик
методы решения геометрических задач
Должны уметь :
проводить преобразования в степенных и дробно-рациональных выражениях
применять свойства арифметических и геометрических прогрессий
решать различные текстовые задачи
находить вероятности случайных событий в простейших случаях
использовать приобретенные знания в различных жизненных ситуациях, практической деятельности
распознавать геометрические фигуры, различать взаимное расположение, изображать геометрические фигуры, выполнять чертежи по условию задачи.
Глава 1. Числа и вычисления.
Универсальные обозначения.
N -множество натуральных чисел. Натуральными числами называются числа,
употребляемые при счете. Самое маленькое натуральное число 1.
Z -множество целых чисел. Целыми числами называются натуральные числа, им противоположные числа и ноль. 0; ±1; ±2; ±3;...
Q -множество рациональных чисел. Рациональными числами называются числа, которые можно представить в виде дроби mn, где mϵZ, nϵZ.
Иррациональными числами называются бесконечные десятичные непериодические дроби.
R-множество действительных чисел. Действительные числа – множество рациональных и иррациональных чисел
п.1.1. Действия с обыкновенными дробями.
основное свойство дроби: ab=a∙mb∙m ,b≠0,m≠0
Пример: Найдите значение выражения 18∙192-20∙19Решение: Вынесем общий множитель за скобки:
18∙192-20∙19 =1918∙19-20=19∙-18=-2Реши сам:
Найдите значение выражения: 198+1112:548Найдите значение выражения: 275∙4Найдите значение выражения: 234+215∙16Найдите значение выражения: 1817:1217+2711Найдите значение выражения: 1118-121п.1.2. Действия с десятичными дробями.
Десятичные числа.
Стандартный вид: 317,3 = 3,173∙ 102
0,00003173 = 3,173∙10-5
Форма записи: 3173 = 3∙ 1000 + 1∙ 100 + 7∙ 10 + 3
Умножение десятичной дроби на 10, 10, 1000 и т.д.: надо перенести десятичную запятую на столько знаков вправо, сколько нулей содержит число 10, 100, 1000 и т.д.
Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.: надо перенести десятичную запятую на один, два, три и т.д. знака влево соответственно.
Сложение и вычитание десятичных дробей выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел. Необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим.
Умножение десятичных дробей. На первом этапе перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку. Затем применяется следующее правило: количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях.
Деление одной десятичной дроби на другую. Сначала переносим десятичные точки в делимом и делителе на число десятичных знаков в делителе, то есть делаем делитель целым числом.
Пример: Найдите значение выражения: 2,42,9-1,4Решение: Сократим 2,42,9-1,4=2,41,5=2415=85=1,6Реши сам:
Найдите значение выражения:6,9+4,10,2.
Найдите значение выражения: 30-0,8∙-102Запишите в ответе номера тех выражений, значение которых равно −5.
1) -4∙1,25+10 2)-4∙-1,25-10 3) 4∙-1,25-10 4) 4∙1,25-10Для каждой десятичной дроби укажите ее разложение в сумму разрядных
слагаемых.
А. 0,7041 Б. 0,7401 В. 7,401
1) 7∙10-1+4∙10-2+1∙10-4 2) 7∙100+4∙10-1+1∙10-33) 7∙10-1+4∙10-2+1∙10-3 4) 7∙10-1+4∙10-3+1∙10-4Найдите значение выражения 0,007 · 7 · 700.
п.1.3. Сравнение чисел.
Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.
Правило сравнения дробей с разными знаменателями
1. привести дроби к общему знаменателю;
2. сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Правило сравнения десятичных дробей:
1. Убедиться, что у обеих десятичных дробей одинаковое количество знаков (цифр) справа от запятой. Если нет, то дописываем (убираем) нужное количество нулей в одной из десятичных дробей.
2. Сравниваем десятичные дроби слева направо. Целую часть с целой, десятые с десятыми, сотые с сотыми и т.д.
3. Когда одна из частей десятичной дроби (целая часть, десятые, сотые и т.д.) окажется больше чем в другой дроби, эта дробь и больше.
Пример: Укажите выражение, значение которого является наименьшим.
1) 20,3 2) 2∙0,3 3) 12-13 4) 12+13
Решение: Упростим заданные числовые выражения:
20,3=2:310=2∙103=2032∙0,3=2∙310=610=3512-13=3∙13∙2-2∙12∙3=3-26=1612+13=3∙13∙2+2∙12∙3=3+26=56Сравним полученные дроби, приведя их к наименьшему общему знаменателю:
10∙2010∙3=20030 3∙63∙10=1830 5∙15∙6=530 5∙55∙6=2530
Наименьшим является третье число.
Правильный ответ указан под номером 3.
Реши сам:
Расположите в порядке возрастания числа 0,1439; 1,3; 0,14.
1) 0,1439; 0,14; 1,3 2) 1,3; 0,14; 0,1439 3) 0,1439; 1,3; 0,14 4) 0,14; 0,1439; 1,3
Расположите в порядке убывания:61100∙0,02 0,112,31000+150+1101) 31000+150+110, 0,112,61100∙0,02 2)0,112, 31000+150+110, 61100∙0,023) 31000+150+110, 61100∙0,02, 0,112 4)61100∙0,02, 0,112, 31000+150+110Какому из данных промежутков принадлежит число 29 ?
1) [0,1; 0,2]2) [0,2; 0,3]3) [0,3; 0,4]4) [0,4; 0,5]
Соотнесите обыкновенные дроби с равными им десятичными.
А. 58 Б. 325 В. 12 Г. 1501) 0,5 2) 0,02 3) 0,12 4) 0,625
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
А Б В Г
Укажите выражения, значения которых равны 0,25.
Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
1) 2,5-94 2) 3:54 3) 12∙67:157 4)343-2,75:11Глава 2. Алгебраические выражения.
п.2.1.Степени и их свойства.

Пример: Найдите значение выражения: 0,6∙-103+50
Решение: 0,6∙-103+50=-600+50=-550Реши сам:
Найдите значение выражения 38∙3539.
Найдите значение выражения 0,9∙-102-120.
Найдите значение выражения 4,9∙10-34∙10-2.
Найдите значение выражения -0,6∙-94+1,9∙-92-4Найдите значение выражения 5∙10-1+6∙10-2+4∙10-4п. 2.2. Действия со степенями.
Пример: Какое из следующих выражений равно? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 3) 4)
Решение: При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются. Таким образом, правильный ответ под номером 1.
Реши сам:
Какое из следующих выражений равно ? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 3) 4)
Представьте выражение  в виде степени с основанием c. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 3) 4)
Найдите значение выраженияпри. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) −125 2) 125 3) 4)
Какому из следующих выражений равна дробь. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 3) 4)
Представьте выражение в виде степени с основанием x. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 3) 4)
п. 2.3. Квадратный корень и его свойства.
Определение: Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a – это неотрицательное число, квадрат которого равен a.
Свойства:

Пример: Найдите значение выражения 511∙2211Решение: Упростим выражение, разложив подкоренные выражения на множители и вынесем за знак корня полные квадраты чисел:
511∙2211=5∙11∙2∙2∙2∙11=5∙2∙2∙2∙11∙11=5∙2∙2∙11=220Реши сам:
Найдите значение выражения 2008. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 5 2) 258 3) 58 4) 40.
Чему равно значение выражения 322В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 6 2) 12 3) 18 4) 36
Найдите значение выражения 11∙22∙11∙34. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 198 2) 1811 3) 3564 4) 2178
Найдите значение выражения 18∙80∙30. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 360 2) 12015 3) 1206 4) 1203Найдите значение выражения. 90∙30∙3. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 903 2) 905 3) 902 4) 90
п. 2.4. Действия с корнями и степенями.
Пример: Значение какого из выражений является числом рациональным? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 6-36+3 2) 5210 3) 35 4) 6-32
Решение:
Упростим каждое выражение.
1) 6-36+3=6-9=-3
2) 5210=51010=0,5103) 35= 154) 6-32 =15-66Рациональным является значение первого выражения.
Реши сам:
Расположите в порядке возрастания числа: 30; 33 ; 5,5. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 30; 33; 5,5 2) 5,5; 33; 30 3) 33; 5,5; 30 4) 33; 30; 5,5
Сравните числа 67+ 61 и 16. В ответе укажите номер правильного варианта.
1)67+ 61 < 16 2)67+ 61 = 16 3)67+ 61 >16
Значение какого из чисел является наибольшим? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 3,6 2) 40,2 3) 644 4) 116∙63Какое из следующих чисел является наименьшим? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 1,7·10−3 2) 2,3·10−4 3) 4,5·10−3 4) 8,9·10−4
Между какими числами заключено число 73 .В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 8 и 9 2) 72 и 74 3) 24 и 26 4) 4 и 5
Глава 3. Алгебраические выражения.
Определение: Алгебраическим выражением называется запись из букв, знаков арифметических действий, чисел и скобок, составленная со смыслом. Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.
Подобные члены - это члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены (члены, не содержащие переменную). Порядок членов в выражении не имеет значения.
Разложение на множители - это нахождение таких чисел, произведение которых приводит к исходному числу. Любое исходное число может иметь несколько множителей.
Вынесение общего множителя за скобки. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона ac + bc = c(a + b)
Использование формул сокращенного умножения. Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.
Квадрат суммы (a+b)2=a2+2ab+b2
Квадрат разности (a-b)2=a2-2ab+b2
Разность квадратов (a+b)(a-b)=a2-b2
Куб суммы (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
Куб разности (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
Сумма кубов ( a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
Разность кубов (a-b)(a2+ab+b2)=a3- b3
Способ группировки. Слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. Т.е. представить многочлен в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель, который можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения.
Способ выделения полного квадрата. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов.
Порядок выполнения операций: Скобки; Степень; Умножение; Деление; Сложение; Вычитание.
п. 3.1. Целые выражения.
Пример: Упростите выражение , найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.
Решение: Упростим выражение:
Найдём значение полученного выражения при :

Реши сам:
Найдите значение выражения при
Найдите значение выражения при
Найдите значение выражения при
Найдите значение при
Найдите значение выражения при
п. 3.2. Рациональные выражения.
Пример: Упростите выражение , найдите его значение при ; . В ответ запишите полученное число.
Решение: Упростим выражение:
Найдём значение выражения при , :

Ответ: 1,5.
Реши сам:
Упростите выражение и найдите его значение при
Найдите значение выражения при
Найдите значение выражения при
Найдите значение выражения при
Найдите значение выражения при a = 7,7.
Глава 4. Уравнения и их системы.
п. 4.1. Линейные уравнения.

Пример: Найдите корни уравнения .
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
Последовательно получаем:

Ответ: −4,5.
Реши сам:
Решите уравнение:
Решите уравнение:
Решите уравнение:
Решите уравнение:
5. При каком значении значения выражений и равны
п. 4.2. Квадратные уравнения.
Определение: Уравнения вида ax2+bx+c=0, где а≠0, b, с-числа, х-неизвестное, называется квадратным уравнением.
Решение:

Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.
если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
если D = 0, то уравнение имеет два одинаковых действительных корня;
если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
Определение: Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов и равен нулю.
Решение:
1) Коэффициент при первой степени переменной равен нулю ( ).
Уравнение принимает вид:
Решим его в общем виде:


2) Свободный член равен нулю ().
Уравнение принимает вид:
Решим его в общем виде:

1)
2)

3) Все коэффициенты, кроме стоящего при квадрате переменной, равны нулю.
Уравнение принимает вид:
Оно имеет только нулевое решение.
Определение: Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида
, то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.
Решение: целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:
Разложение квадратного трехчлена на множители.
ах2+bх+с=а(х-х1)(х-х2), где x1, х2- корни уравнения ах2+bх+с =0
Пример: Решите уравнение: .
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение: По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение −6. Тем самым, это числа −2 и 3.
Реши сам:
Найдите корни уравнения .
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решите уравнение (x+ 2)2=(x− 4)2.
На рисунке изображены графики функцийиВычислите координаты точки B. Запишите координаты в ответе через точку с запятой.

Решите уравнение
Уравнение имеет корни −6; 4. Найдите
п. 4.3. Рациональные уравнения.
Определение: Рациональное уравнение – это равенство двух рациональных (без знака корня) выражений.
Алгоритм решения рациональных уравнений:
Определить ОДЗ;
Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
Решить получившееся целое уравнение;
Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.
Определение: Дробно рациональное уравнение - рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.
Система для решения дробно рациональных уравнений:
Числитель=0Знаменатель ≠0 Пример: Решите уравнение: . Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
Используем свойство пропорции.

Реши сам:
Решите уравнение:
Решите уравнение:
Решите уравнение:
Решите уравнение:
Решите уравнение:
п. 4.4. Системы уравнений.
Определение: Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений — значит найти все её решения или установить, что их нет.
Способы решений системы уравнений.
Способ подстановки. Из какого-либо уравнения следует выразить, одну переменную через другую. Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его. Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной.
Способ сложения. Следует уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной. Складывая или вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное. Подставить найденное значение в одно из исходных уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.
Графический способ. Решая систему уравнений графическим способом, следует выразить одну переменную через другую (например, у через х) в каждом уравнении. Построить в одной системе координат график каждого уравнения. Определить координаты точки пересечения. Сделать проверку.
Пример: Решите систему уравнений В ответе запишите сумму решений системы.
Решение: Разделим обе части первого уравнения на 2 и решим систему методом подстановки:

Ответ: 3,5.
Реши сам:
Решите систему уравнений: В ответе запишите сумму решений системы.
Решите систему уравнений: В ответе запишите сумму решений системы.
Решите систему уравнений: В ответе запишите сумму решений системы.
Решите систему уравнений: В ответе запишите сумму решений системы.
Решите систему уравнений: В ответе запишите сумму решений системы.
Глава 5. Неравенства и их системы.
п. 5.1. Координатная прямая.

На координатной прямой точка с меньшей координатой расположена левее точки с большей координатой.
Любое отрицательное число меньше ( < ) любого положительного.
Из двух отрицательных чисел меньше ( < ) то, модуль которого больше ( > ).
Нуль меньше ( < ) любого положительного числа, но больше ( > ) отрицательного.
Знаки < (меньше) и > (больше) похожи на стрелки и всегда указывают на меньшее число.
Пример: На координатной прямой отмечены числа a и b:

Какое из следующих чисел наибольшее?
1) a+b 2) –a 3) 2b 4) a-b
Решение: Заметим, что a<-2 и 0,5<b<1. Проверим все варианты ответа:
1) a+b<02) –a>23) 2b<24) a-b<0Поэтому наибольшим является число –a .
Правильный ответ указан под номером 2.
Реши сам:
Сравните числа x и y, если x=2,2∙10-2∙3∙10-1, y=0,007.
О числах a, b, c и d известно, что a<b, b=c, d>c . Сравнитe числа d и a. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) d=a 2) d>a 3) d<a 4) Сравнить невозможно
Числа a и b отмечены точками на координатной прямой. Расположите в порядке возрастания числа   1a , 1b и 1. В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 1a;1; 1b 2) 1b;1; 1a 3) 1a;1b;1 4) 1; 1b;1aКакому из данных промежутков принадлежит число 59? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) [0,5;0,6] 2) [0,6;0,7] 3) [0,7;0,8] 4) [0,8;0,9]
На координатной прямой отмечено число c. Расположите в порядке убывания числа c , c2 и 1c . В ответе укажите номер правильного варианта.

1) c2 ; c; 1c 2) c2 ; 1c; c 3) c; c2; 1c 4) c; 1c; c2
п. 5.2. Числа на прямой.
Пример: Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?

В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2 2) 3 3) 7 4) 11Решение: Возведём в квадрат числа 2 , 3 , 7 ,11:
22=2 32=3 72=7 112=11
Число А2 лежит между числами 12=1 и 22 =4 и ближе к числу 22 . Поэтому точкой А отмечено число 3.
Правильный ответ указан под номером 2.
Реши сам:
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу 38 . Какая это точка?

В ответе укажите номер правильного варианта.
1) A 2) B 3) C 4) D
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу 77

Какая это точка? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) точка A 2) точка B 3) точка C 4) точка D
Известно, что число m отрицательное. На каком из рисунков точки с координатами 0, m, 2m, m2 расположены на координатной прямой в правильном порядке?

В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
На координатной прямой отмечено число a.

Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
1) a−8 > 0 2) 7−a< 0 3) a−3 > 0 4) 2 −a> 0
Какому из следующих чисел соответствует точка, отмеченная на координат­ной прямой?

В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 1023 2) 1223 3) 1323 4) 1423п. 5.3. Выбор верного или неверного утверждения.
Абсолютная величина ( модуль ). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числа и нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.
Сложение:
1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.
2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные величины вычитаются (из большей меньшая) и ставится знак числа с большей абсолютной величиной.
Вычитание: Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком.
Умножение: При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак « – » , если знаки сомножителей разные.
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = +
При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + », если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно.
Деление: При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак « – » , если знаки делимого и делителя разные.
+ : + = +
+ : – = –
– : + = –
– : – = +
Пример: Известно, что a>b>c. Какое из следующих чисел отрицательно? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) a-b 2) a-c 3) b-c 4)c-b
Решение: Рассмотрим все варианты ответа:
1) a-b>0 , так как по условию a>b
2) a-c>0, так как по условию a>b>c => a>c
3) b-c >0, так как по условию b>c
4) c-b<0, так как b-c >0. Таким образом, c-b — отрицательное число.
Правильный ответ указан под номером 4.
Реши сам:
Какое из следующих чисел заключено между числами 16 и 14 ? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 0,1 2) 0,2 3) 0,3 4) 0,4
2. На координатной прямой отмечены числа a и b. Какое из следующих утверждений неверно?

1) a+b<0 2) -2<b-1<-1 3) a2b<0 4)-a<0
3. Какое из приведенных ниже неравенств является верным при любых значениях a и b, удовлетворяющих условию a > b? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) b − a < −2 2) a − b > −1 3) a − b < 3 4) b − a > −3
4. На координатной прямой отмечены числа p, q и r.

Какая из разностей p − r, p − q, r − q отрицательна? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) p – r 2) p – q 3) r – q 4) ни одна из них
5. Значение какого из данных выражений положительно, если известно, что x > 0, y < 0?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) xy 2) (x − y)y 3) (y − x)y 4) (y − x)x
п.5.4. Неравенства.
Определение: Неравенством называется выражение вида: a < b (a ≤ b), a > b (a ≥b)

Пример: О числах a и b известно, что a>b. Среди приведенных ниже неравенств выберите верные: В ответе укажите номер правильного варианта.
1) a-b<-3 2) b-a>1 3) b-a<2 4)Верно 1, 2 и 3
Решение: Проверим все варианты ответа:
a-b<-3↔a+3<b - неверно.
b-a>1↔-a>1-b↔a<b-1 - неверно.
b-a<2↔-a<2-b↔a>b-2 -верно
Правильный ответ под номером 3.
Реши сам:
На координатной прямой изображены числа a и c . Какое из следующих неравенств неверно?

1) a-1>c-1 2) -a<-c 3) a6<c6 4) a+3>c+14
Какое из следующих неравенств не следует из неравенства y-x>z? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) y>z+x 2) y-x-z<0 3) z+x-y<0 4)y-z>xИзвестно, что a>b>0. Какое из указанных утверждений верно? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2a+1<0 2) -a>-b 3) 2b>2a 4) 1-a<1-bНа координатной прямой отмечено число a. В ответе укажите номер правильного варианта.

Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
1) -a>-6 2) 5-a<0 3) 1a<0 4) a-7>0На координатной прямой отмечены числа a и b. В ответе укажите номер правильного варианта.

Какое из следующих утверждений относительно этих чисел является верным?
1) a3>0 2) a−b > 0 3) ab < 1 4) a + b > 1
п. 5.5. Решение линейных неравенств.
Алгоритм решения:
1) Раскрыть скобки;
2) Перенести все слагаемые с х влево, а числа вправо, меняя при этом знак на противоположный;
3) Привести подобные слагаемые;
4) Разделить обе части неравенства на число, стоящее перед х (если это число положительное, то знак неравенства не меняется; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный);
5) Перейти от аналитической модели к геометрической модели;
6) Указать множество решений данного неравенства, записав ответ.
Пример: Решите неравенство .
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 3) 4)
Решение: Решим неравенство:
Правильный ответ указан под номером 2.
Реши сам:
Решите неравенство и определите, на каком рисунке изображено множество его решений. В ответе укажите номер правильного варианта.

При каких значениях a выражение 5a + 9 принимает отрицательные значения? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 3) 4)
Решите неравенство В ответе укажите номер правильного варианта.
1) (−4; +∞) 2) (−12; +∞) 3) (−∞; −4) 4) (−∞; −12)
При каких значениях x значение выражения 9x+7 меньше значения выражения
8x−3? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) x > 4 2) x < 4 3) x > − 10 4) x < − 10
Решите неравенство В ответе укажите номер правильного варианта.
1) [−0,4; +∞) 2) (−∞; −2] 3) [−2; +∞) 4) (−∞; −0,4]
п. 5.6.Квадратные неравенства.
Определение: Квадратное неравенство – это неравенство вида: ax2+bx+c>0(<0,≤0,≥0),гдеa≠0
Алгоритм решения:
1) Определяются точки пересечения параболы и оси x с помощью решения уравнения
ax2+bx+c=0.
Если D>0, у уравнения два разных корня, парабола пересекает ось x в двух точках

Если D=0, у уравнения два одинаковых корня, вершина параболы находится на оси x

Если D<0, у уравнения нет реальных корней, парабола не пересекает ось x

2)Учитывая количество корней и знак коэффициента a, чертится график параболы. Если a>0, ветви параболы устремлены вверх, если a<0, то вниз.
3)Выбираются пустые или закрашенные точки, в зависимости от вида знака неравенства:
∙, если стоит знак нестрогого неравенства ≤ или ≥
о, если стоит знак строгого неравенства < или >
4)Закрашивается правильный интервал.
5)Записывается ответ.
Пример: На каком рисунке изображено множество решений неравенства
В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение: Решим неравенство:
Корнями уравнения являются числа 1 и 3. Поэтому
Множество решений неравенства изображено на рис. 1.
Реши сам:
На каком рисунке изображено множество решений неравенства ?
В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Решите неравенство В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 3) 4)
3. Решите неравенство: В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 2) 3) 4)
4. Укажите неравенство, которое не имеет решений. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) x2 − 64 ≤ 0 2) x2+ 64 ≥ 0 3) x2 − 64 ≥ 0 4) x2+ 64 ≤ 0
п. 5.7.Рациональные неравенства.
Определение: Рациональное неравенство – это неравенство с переменными, обе части которого есть рациональные выражения.
Рациональное неравенство будем называть целым, если обе его части – целые рациональные выражения.
Дробно рациональное неравенство – это рациональное неравенство, хотя бы одна часть которого – дробное выражение.
Алгоритм решения:
1) Представить левую часть неравенства в виде функции у = f(x).
2) Найти область определения функции (при которой эта функция имеет смысл).
3) Найти корни функции (нули функции).
4) Определить интервалы знакопостоянства.
5) Определить знак функции на каждом интервале.
6) Выписать значения х, при которых неравенство верно.
Пример: Решите неравенство:
На каком из рисунков изображено множество его решений? В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение: Решим неравенство методом интервалов:
Получаем
Правильный ответ указан под номером 3.
Реши сам:
Решите неравенство: (x+3)(x-5)(x-7)<0
Решите неравенство:
Решите неравенство: x2(5x-4)(x+7)<0.
Известно, что Найдите значения переменной, при которых
Решите неравенство: (x2+1)2−3·x2>(x2−x)·(x2+x).
п. 5.8. Системы неравенств.
Определение: Решить систему неравенств - это значит найти значения неизвестного, которые удовлетворяют КАЖДОМУ неравенству системы.
Алгоритм решения системы неравенств с одним неизвестным:
1) Сначала решаем каждое неравенство системы по отдельности, и на своей оси.
2) Решения всех неравенств совмещаем на одной числовой оси, и находим область, над которой расположено столько "стрелок", сколько неравенств в системе.
Пример: Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств:

Решение: Решим систему:

Искомое наибольшее решение равно −3.
Реши сам:
Найдите наибольшее значение , удовлетворяющее системе неравенств

 
Найдите наибольшее значение , удовлетворяющее системе неравенств:

Решить систему неравенств:

На каком из рисунков изображено множество её решений? В ответе укажите номер правильного варианта.

Решить систему неравенств:

На каком рисунке изображено множество её решений? В ответе укажите номер правильного варианта.

На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств:

Глава 6. Функции и графики.
п. 6.1. Чтение графиков функций.

Пример: Найдите значение a по графику функции y=ax2+bx+c, изображенному на рисунке.

1)-1 2)1 3)2 4)3
Решение: Абсцисса вершины параболы равна −1, поэтому -b2a=-1 откуда b=2a Парабола пересекает ось ординат в точке с ординатой 3, поэтому c=3 Тем самым, уравнение параболы принимает вид y=ax2+2ax+3Поскольку парабола проходит через точку (−1; 2), имеем: 2=a∙-12+2a∙-1+3↔2=-a+3↔a=1Верный ответ указан под номером 2.
Реши сам:
Найдите значение b по графику функции y=ax2+bx+c, изображенному на рисунке.

1) -2 2) 1 3) 2 4) 3
На рисунке изображён график функции y=fx. Какие из утверждений относительно этой функции неверны? Укажите их номера.

1) функция возрастает на промежутке -2;+∞)2) f3>f-3
3) f0=-24) прямая y=2 пересекает график в точках (-2;2) и (5;2).
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
На рисунке изображены графики функций вида y=ax2+bx+c. Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта D.
Графики функций:

Знаки чисел:
1) a > 0, D > 0 2) a > 0, D < 0 3) a < 0, D > 0 4) a < 0, D < 0
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
А Б В Г
Найдите значение k по графику функции y=kx изображенному на рисунке.

На рисунке изображён график квадратичной функции y = f(x). Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера в порядке возрастания.

1) Функция возрастает на промежутке (−∞;  −1].
2) Наибольшее значение функции равно 8.
3) f(−4) ≠ f(2).
п. 6.2. Растяжения и сдвиги.

Пример: Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1) 2) 3) 4)
Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.
А Б В
Решение: Определим вид графика каждой из функций.
1) — уравнение параболы, ветви которой направленны вверх.
2) — уравнение прямой.
3) — уравнение верхней ветви параболы, направленной вправо.
4) — уравнение гиперболы.
Тем самым найдено соответствие: A — 1, Б — 4, В — 2.
Ответ: 142.
Реши сам:
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции: А) Б) В)
Графики:

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
А Б В
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции: А) y =−2x + 4 Б) y =2x – 4 В) y=2x + 4
Графики:

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
А Б В
На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты: А) a > 0, c < 0 Б) a < 0, c > 0 В) a > 0, c > 0
Графики:

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
А Б В
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики:

Коэффициенты: 1) k < 0, b > 0 2) k > 0, b > 0 3) k < 0, b < 0 4) k > 0, b < 0
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
А Б В
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
А) Б) В)

1) 2) 3) 4)
Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.
А Б В
Глава 7. Прогрессии.
п. 7.1. Числовые последовательности.
Определение: Функции, область определения которых является множеством натуральных чисел или его частью, называются числовыми последовательностями.
Числа, записанные в последовательности, называются членами последовательности. Обычно их обозначают маленькими буквами, например, a1,a2,a3,...,an,..., где индекс
1,2,3,4,...,n,... после буквы a указывает на порядковый номер каждого члена последовательности.
Общий вид последовательности, это (an) или a1,a2,a3,...,an,....
an называется общим членом последовательности или n-ым членом, где
n - порядковый номер члена последовательности.
Последовательность возможно задать, указав все её члены или указав общую формулу. Формула показывает, как найти любой член последовательности, если известен порядковый номер n.
Пример: Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Решение: Рассмотрим несколько первых членов последовательности, начиная с



Тем самым, число 3 является членом этой последовательности.
Реши сам:
Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 1?
1) 8 2) 9 3) 10 4) 11
Последовательность задана условиями , . Найдите .
Сколько натуральных чисел n удовлетворяет неравенству ?
Какое из указанных чисел не является членом последовательности
1) 12 2) -13 3) 116 4) 117Последовательность задана формулой Сколько членов в этой последовательности больше 6?
п. 7.2. Арифметическая прогрессия.
Определение: Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией: an+1=an+d, где d – разность прогрессии.
Пример: Дана арифметическая прогрессия: -4;-2;0;… Найдите сумму первых десяти её членов.
Решение: Определим разность арифметической прогрессии:
Сумма первых k-ых членов может быть найдена по формуле
Необходимо найти , имеем:
Реши сам:
Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?
1) 83 2) 95 3) 100 4) 102
Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.
1) -7 2)-8 3) -9 4)-1
Арифметическая прогрессия (an) задана условиями: a1 = 3, an + 1 = an + 4. Найдите a10.
Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:
…; −9; x; −13; −15; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .
Первый член арифметической прогрессии равен −11,9, а разность прогрессии равна 7,8. Найдите двенадцатый член этой прогрессии.
п. 7.3. Геометрическая прогрессия.
Определение: Последовательность, у которой задан первый член b1 ≠0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называется геометрической прогрессией:
bn+1 = bn q, где q – знаменатель прогрессии

Пример: В геометрической прогрессии известно, что . Найти пятый член этой прогрессии.
Решение: В силу формулы имеем:
Реши сам:
Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен 2, а . Найдите сумму первых шести её членов.
В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии. В ответе перечислите через точку с запятой первый, второй и третий члены прогрессии.
Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 17, 68, 272, ... Найдите её четвёртый член.
Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: − 256; 128; − 64; … Найдите сумму первых семи её членов.
Дана геометрическая прогрессия (bn), для которой b5 = −14, b8 = 112. Найдите знаменатель прогрессии.
Глава 8. Практико-ориентированные задачи.
п. 8.1. Пропорции.
Определение: Пропорция — это равенство двух отношений.
или , Числа a и d называют крайними членами пропорции, числа b и c
— средними членами пропорции:
Основное свойство пропорции: Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов
Алгоритм решения задач:
Искомую величину обозначить за х.
По условию задачи составить таблицу.
Указать вид зависимости, поставив стрелочки.
Записать пропорцию, следуя стрелочкам.
Решить пропорцию.
Записать ответ.
Пример: Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении 3:5. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 32 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Ответ укажите в рублях.
Решение: Пусть x млн рублей приходится на одну часть акции, тогда 5х приходится частным акционерам, а 3х — государству. Зная, что вся прибыль составила 32 млн. рублей, составим уравнение:
3х+5х=32, х=4 млн. руб.
Таким образом, частным акционерам приходится в пять раз больше или 20 млн руб.
Ответ: 20 000 000.
Реши сам:
Для фруктового напитка смешивают яблочный и виноградный сок в отношении 13:7. Какой процент в этом напитке составляет виноградный сок?
Во время выборов голоса избирателей между двумя кандидатами распределились в отношении 3:2. Сколько процентов голосов получил проигравший?
Площадь земель крестьянского хозяйства, отведённая под посадку сельско­хозяйственных культур, составляет 24 га и распределена между зерновыми и овощными культурами в отношении 5:3. Сколько гектаров занимают овощные культуры?
Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 1:4. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?
На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 120 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3:5. Сколько голосов получил победитель?
п. 8.2. Проценты.
Определение: Процент — одна сотая доля.
Данные задачи на проценты можно записать в виде следующих соотношений:
все - 100%
часть - часть в %
которые можно записать в виде пропорции все часть = 100%часть в %Используя эту пропорцию можно получить формулы для решения основных типов задач на проценты.
Пример: Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 4 взрослых и 12 школьников?
Решение: Стоимость поездки составляет: 4∙198+12∙(1-0,5) ∙198=10∙198=1980 руб.
Ответ: 1980.
Реши сам:
Чашка, которая стоила 90 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При покупке 10 таких чашек покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?
Городской бюджет составляет 45 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых. Вкладчик положил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
Государству принадлежит 60% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 40 млн. р. Какая сумма в рублях из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Средний вес мальчиков того же возраста, что и Сергей, равен 48 кг. Вес Сергея составляет 120% среднего веса. Сколько весит Сергей?
п. 8.3. Текстовые задачи.
Перед представлением в цирк для продажи было заготовлено некоторое количество шариков. Перед началом представления было продано 25 всех воздушных шариков, а в антракте – еще 12 штук. После этого осталась половина всех шариков. Сколько шариков было первоначально?
На складе есть коробки с ручками двух цветов: чёрные и синие. Коробок с чёрными ручками 4, с синими — 11. Сколько всего ручек на складе, если чёрных ручек 640, коробки одинаковые и в каждой коробке находятся ручки только одного цвета?
За 20 минут велосипедист проехал 7 километров. Сколько километров он проедет за 35 минут, если будет ехать с той же скоростью?
Принтер печатает одну страницу за 12 секунд. Сколько страниц можно напечатать на этом принтере за 8 минут?
Из объявления фирмы, проводящей обучающие семинары: «Стоимость участия в семинаре — 3000 р. с человека. Группам от организаций предоставляются скидки: от 3 до 10 человек — 5%; более 10 человек — 8%». Сколько рублей должна заплатить организация, направившая на семинар группу из 4 человек?
п.8.4. Классическая вероятность.
Определение: Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.
Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.
Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Пример: На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение: Вероятность благоприятного случая (N) — отношение количества благоприятных случаев к количеству всех случаев. В данной задаче благоприятным случаем является взятие на экзамене выученного билета. Всего благоприятных случаев 22(25−3), а количество всех случаев 25. Отношение соответственно равно 2225=0,88Ответ: 0,88.
Реши сам:
Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.
Телевизор у Маши сломался и показывает только один случайный канал. Маша включает телевизор. В это время по трем каналам из двадцати показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где комедия не идет.
На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа нау­гад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
В каждой десятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Варя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите веро­ятность того, что Варя не найдет приз в своей банке.
Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер?
Глава 9. Анализ диаграмм, таблиц, графиков.
п.9.1. Таблицы.
Пример: Дорожный знак, изображённый на рисунке, называется «Ограничение высоты». Его устанавливают перед мостами, тоннелями и прочими сооружениями, чтобы запретить проезд транспортного средства, габариты которого (с грузом или без груза) превышают установленную высоту.

Какому из данных транспортных средств этот знак запрещает проезд? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) молоковозу высотой 3770 мм
2) пожарному автомобилю высотой 3400 мм
3) автотопливозаправщику высотой 2900 мм
4) автоцистерне высотой 3350 мм
Решение: Переведём допустимую высоту в миллиметры: 3,5 м = 3500 мм и сравним с предложенными вариантами:
1) 3770 > 3500 — проезд запрещен.
2) 3400 < 3500 — проезд разрешен.
3) 2900 < 3500 — проезд разрешен.
4) 3350 < 3500 — проезд разрешен.
Таким образом, знак «Ограничение высоты» запрещает проезд молоковозу.
Правильный ответ указан под номером 1.
Реши сам:
На схеме зала кинотеатра отмечены разной штриховкой места с различной стоимостью билетов, а черным закрашены забронированные места на некоторый сеанс.

Сколько рублей заплатят за 5 билетов на этот сеанс пятеро друзей, если они хотят сидеть на одном ряду и выбирают самый дешевый вариант? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 1300 2) 1250 3) 1350 4) 1500
В таблице представлены цены (в рублях) на некоторые товары в трёх магазинах:
Магазин Орехи (за кг.) Шоколад (за плитку) Зефир (за кг.)
«Машенька» 600 45 144
«Лидия» 585 65 116
«Камея» 660 53 225
Лариса Кузьминична хочет купить 0,4 кг орехов, 5 плиток шоколада и 1,5 кг зефира. В каком магазине стоимость такой покупки будет наименьшей, если в «Камее» проходит акция: скидка 20% на орехи и зефир, а в «Машеньке» скидка 10% на все продукты?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) В «Машеньке» 2) В «Лидии» 3) В «Камее» 4) Во всех магазинах стоимость покупки будет одинаковой
В таблице приведены расстояния от Солнца до четырёх планет Солнечной системы. Какая из этих планет дальше всех от Солнца?
Планета Марс Меркурий Нептун Сатурн
Расстояние (в км) 2,280 108 5,790 107 4,497 109 1,427 109
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) Марс 2) Меркурий 3) Нептун 4) Сатурн
В нескольких эстафетах, которые проводились в школе, команды показали следующие результаты:
Команда I эстафета, мин. II эстафета, мин. III эстафета, мин. IV эстафета, мин.
«Непобедимые» 3,0 5,6 2,8 6,8
«Прорыв» 4,6 4,6 2,6 6,5
«Чемпионы» 3,6 4,0 2,3 5,0
«Тайфун» 3,9 5,3 2,0 5,1
За каждую эстафету команда получает количество баллов, равное занятому в этой эстафете месту, затем баллы по всем эстафетам суммируются. Какое итоговое место заняла команда «Чемпио­ны», если победителем считается команда, набравшая наименьшее количество очков? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
В таблице даны результаты олимпиад по истории и обществознанию в 10 «А» классе.
Номер ученикаБалл по историиБалл по обществознанию Балл по историиБалл по историиБалл по обществознанию Балл по обществознанию
5005 45 76
5006 34 23
5011 67 56
5015 78 67
5018 59 79
5020 46 32
5025 54 76
5027 95 88
5029 46 72
5032 83 45
5041 48 66
5042 28 42
5043 63 67
5048 92 83
5054 38 64
Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по двум олимпиадам больше 130 или хотя бы по одному предмету набрано не меньше 70 баллов. Сколько человек из 10 «А», набравших меньше 60 баллов по истории, получат похвальные грамоты? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 5 2) 2 3) 3 4) 4
п. 9.2. Таблицы нормативов.
Пример: В таблице приведены нормативы по бегу на 30 метров для учащихся 9-х классов.
Мальчики Девочки
Отметка «5» «4» «3» «5» «4» «3»
Время, секунды 4,6 4,9 5,3 5,0 5,5 5,9
Какую отметку получит девочка, пробежавшая эту дистанцию за 5,36 секунды?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) Отметка «5». 2) Отметка «4». 3) Отметка «3». 4) Норматив не выполнен.
Решение: Девочка пробежала дистанцию не так быстро, чтобы получить «5», но достаточно быстро, чтобы получить «4».
Реши сам:
В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.
Вещество Дети от 1 года до 14 лет Мужчины Женщины
Жиры 40−97 70-154 60-102
Белки 36−87 65-117 58-87
Углеводы 170-420 257-586
Какой вывод о суточном потреблении жиров 8-летним мальчиком можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки он потребляет 90 г жиров? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) Потребление в норме.
2) Потребление выше рекомендуемой нормы.
3) Потребление ниже рекомендуемой нормы.
4) В таблице недостаточно данных.
Куриные яйца в зависимости от их массы подразделяют на пять категорий: высшая, отборная, первая, вторая и третья. Используя данные, представленные в таблице, определите, к какой категории относится яйцо, массой 65,8 г.
Категория Масса одного яйца, г
Высшая 75,0 и выше
Отборная 65,0 − 74,9
Первая 55,0 − 64,9
Вторая 45,0 — 54,9
Третья 35,0 — 44,9
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) Высшая 2) Отборная 3) Первая 4) Вторая
В таблице приведены размеры штрафов за превышение максимальной раз­решённой скорости, зафиксированное с помощью средств автоматической фиксации, установленных на территории России на 1 января 2013 года.
Превышение скорости, км/ч 11 − 20 21 − 40 41 − 60 61 и более
Размер штрафа, руб. 100 300 1000 2500
Какой штраф должен заплатить владелец автомобиля, зафиксированная скорость которого составила 175 км/ч на участке дороги с максимальной разрешённой скоростью 110 км/ч?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 100 рублей 2) 300 рублей 3) 1000 рублей 4) 2500 рублей
В таблице даны результаты забега мальчиков 8 класса на дистанцию 60 м. Зачет выставляется при условии, что показан результат не хуже 10,5 с.
Номер дорожки I II III IV
Время (в с) 10,6 9,7 10,1 11,4
Укажите номера дорожек, по которым бежали мальчики, получившие зачет. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) только I 2) только II 3) I, IV 4) II, III
В таблице представлены налоговые ставки на автомобили в Москве с 1 января 2013 года.
Мощность автомобиля (в л. с.*) Налоговая ставка (в руб. за л. с. в год)
не более 70 0
71—100 12
101—125 25
126—150 35
151—175 45
176—200 50
201—225 65
226—250 75
свыше 250 150
*л. с. — лошадиная сила
Сколько рублей должен заплатить владелец автомобиля мощностью 185 л. с. в качестве налога за один год? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 45 2) 50 3) 8000 4) 9250
п.9.3. Диаграммы.
Пример:Для квартиры площадью 50м2 заказан натяжной потолок белого цвета. Стоимость работ по установке натяжных потолков приведена в таблице.
Цвет потолка
Цена (в руб.) за 1 м2 (в зависимости от площади помещения)
до 10 м2 от 11 до 30 м2 от 31 до 60 м2 свыше 60 м2
белый 1050 850 700 600
цветной 1200 1000 950 850
Какова стоимость заказа, если действует сезонная скидка в 10%? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 35 000 руб. 2) 3 500 руб. 3) 34 990 руб. 4) 31 500 руб.
Решение: Для определения стоимости работ необходимо умножить площадь квартиры на цену работ по установке потолка соответствующего цвета и площади и затем учесть скидку 10%. По условию задачи площадь равна 50 м2 и потолок белый. Это соответствует цене работ, равной 700 рублей за м2. Таким образом, стоимость работ без скидки равна 35000 рублей. С учетом 10% скидки стоимость уменьшится на 3 500 рублей и станет равна 31 500 рублей.
Правильный ответ указан под номером 4.
Реши сам:
Фонд школьной библиотеки, состоящей из учебной и художественной литературы российских и зарубежных авторов, представлен в виде диаграммы. Сколько примерно книг учебной литературы в библиотеке, если всего в библиотечном фонде 800 книг? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 400 2) 570 3) 300 4) 600
Завуч школы подвел итоги по выбору предметов для сдачи ЕГЭ учащимися 11-х классов. Результаты представлены на диаграмме. Сколько примерно учащихся выбрали для сдачи ЕГЭ физику? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 16 2) 12 3) 14 4) 8
На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км2) стран мира.

Какое из следующих утверждений неверно?
1) Площадь территории Индии составляет 3,3 млн. км2
2) Площадь Китая больше площади Австралии.
3) Россия — крупнейшая по площади территории страна мира.
4) площадь Канады больше площади США на 1,5 млн.км2
На диаграмме показано содержание питательных веществ в какао, молочном шоколаде, фасоли и сушёных белых грибах. Определите по диаграмме, в каком продукте содержание жиров находится в пределах от 15% до 25%

*К прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.
1) какао 2) шоколад 3) фасоль 4)Грибы
В математический кружок ходят школьники 5−8 классов. Данные о количестве школьников, посещающих кружок, представлены на круговой диаграмме. Какое утверждение относительно участников кружка верно, если всего его посещают 60 школьников?
1) Больше трети школьников восьмиклассники.
2) Пятиклассников меньше, чем семиклассников.
3) Семиклассников больше 7 человек.
4) Шестиклассников больше 50% всех школьников.

п. 9.4. Чтение графиков реальных зависимостей.
Пример: В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое еще не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке эта зависимость представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат — масса оставшегося реагента, который еще не вступил в реакцию (в граммах). Определите по графику, сколько граммов реагента вступило в реакцию за три минуты?

Решение: Из графика видно, что за 3 минуты в реакцию не вступило 8 граммов реагента. Таким образом, в реакцию вступило 20 - 8 = 12 граммов вещества.
Реши сам:
На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значением температуры в первой половине этих суток. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Из пункта А в пункт В вышел пешеход, и через некоторое время вслед за ним выехал велосипедист. На рисунке изображены графики движения пешехода и велосипедиста. На сколько километров в час скорость пешехода меньше скорости велосипедиста?

На диаграмме представлены некоторые из крупнейших по площади территории стран мира. Во сколько примерно раз площадь США больше площади Судана? (Ответ округлите до целых.)

На графике показано, сколько человек зарегистрировалось с 13 января по 4 марта 2013 года в качестве участников конференции. По горизонтали указаны числа месяцев, а по вертикали — количество человек.

Во сколько раз возросло количество зарегистрировавшихся с 23 января по 22 февраля?
На рисунке показан график разряда батарейки в карманном фонарике. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по рисунку, какое напряжение будет давать батарейка через 5 часов работы фонарика. Ответ дайте в вольтах.

Глава 10. Представление зависимостей между величинами в виде формул.
п.10.1. Вычисления по формулам.
Пример: В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по формуле С=150+11∙t-5, где t — длительность поездки, выраженная в минутах. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 8-минутной поездки.
Решение: Подставим в формулу значение переменной t:
С=150+11∙t-5=150+11∙8-5=183 рубля
Ответ: 183.
Реши сам:
Площадь параллелограмма S (в м2) можно вычислить по формуле S=a∙b∙sinα, где a и b — стороны параллелограмма (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите площадь параллелограмма, если его стороны 10 м и 12 м и sinα=0,5.
В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле С=6500+4000∙n , где n — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 11 колец.
Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если l = 80 см, n = 1600? Ответ выразите в километрах.
Расстояние s (в метрах) до места удара молнии можно приближённо вычислить по формуле s = 330t, где t — количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома. Определите, на каком расстоянии от места удара молнии находится наблюдатель, если t = 10 с. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.
Из формулы центростремительного ускорения a = ω2R найдите R (в метрах), если ω = 4 с−1 и a = 64 м/с2.
п.10.2. Решение прикладных задач
Пример: За 20 минут велосипедист проехал 7 километров. Сколько километров он проедет за t минут, если будет ехать с той же скоростью? Запишите соответствующее выражение.
Решение: Скорость велосипедиста равна 7 : 20 = 0,35 км/мин. Следовательно, за t минут он проедет 0,35t километров.
Ответ: 0,35t.
Реши сам:
За 5 минут пешеход прошёл a метров. За сколько минут он пройдёт 120 метров, если будет идти с той же скоростью? Запишите соответствующее выражение.
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 6° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.
Закон Менделеева-Клапейрона можно записать в виде PV = νRT, где P — давление (в паскалях), V — объём (в м3), ν — количество вещества (в молях), T — температура (в градусах Кельвина), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К⋅моль). Пользуясь этой формулой, найдите температуру T (в градусах Кельвина), если ν = 68,2 моль, P = 37 782,8 Па, V = 6 м3.
Период колебания математического маятника Т(в секундах) приближенно можно вычислить по формуле T=2l , где l — длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.
Автомобиль проехал 200 километров и израсходовал при этом a литров бензина. Сколько литров бензина потребуется, чтобы проехать 37 километров при таких же условиях езды? Запишите соответствующее выражение.
Литература
1. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Алгебра.2015/ФИПИ.-М.:Интеллект-Центр.2015.-128с
2. Математика/Геометрия/ .Подготовка к ГИА.-Саратов:Лицей,2015.-64с
3. ГИА2013.Математика: типовые экзаменационные материалы/под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко.- М.:Издательство , «Национальное образование» , 2014. 192с.-/ГИА-2014.ФИПИ-школе/
4. Математика.9 класс. Тематические тесты для подготовки к ГИА-9.Алгебра, геометрия, теория вероятностей и статистика: учебно-методическое пособие/под ред .Ф.Ф.Лысенко, С.Ю. Кулабухова. -Ростов н/Д: Легион-М,2015.-288с.-/ГИА-9/
Интернет-ресурсы
http://egeigia.ru/175-video-uroki-egeigia/video-uroki-gia/1059-video-uroki-matematika-gia-52
http://dist-tutor.info/library/index.php
http://specclass.ru/v0871/
http://www.ctege.info/demoversii-oge-2016/ - демо-версия
http://alexlarin.net/ege14.htmlhttp://www.resolventa.ru/demo/demomath.htm справочник математических формул

Приложенные файлы

Добавить комментарий