Краевое государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Исследовательская работа
Применение систем линейных уравнений в экономике
Выполнил: Чудов В.С.
Горобец Н.Б
Руководитель: Янченко Н.А.,
Преподаватель математики
Ачинск,
2016
Содержание
Введение............3
1. Системы n линейных уравнений с n переменными.4
1.1. Постановка задачи ..4
1.2. Метод Крамера ...........5
1.3. Метод обратной матрицы5
1.4. Метод Гаусса....5
1.5. Применение средств Excel к решению систем линейных уравнений5
2.Решение задач с практическим содержанием......6
Заключение...................9
Список используемой литературы...................10
Приложения ......11
Введение
Большой объем расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений. Многие задач управленческого и экономического, технологического характера строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к ним.
Актуальность темы заключается в том, что известные приемы и методы решения систем линейных уравнений применимы для решения задач с практическим содержанием, в частности связанных со специальностью «Прикладная информатика в экономике».
Цель работы: рассмотреть различные способы решения систем линейных уравнений, показать примеры их практического применения.
Задачи работы
анализ методической и научной литературы по теме.
изучение математических методы решения систем уравнений;
изучение возможностей электронных таблиц MS EXCEL при решении систем линейных уравнений
решение задач с практическим содержанием разными способами.
Объект исследования: задачи с практическим содержанием, сводящиеся к линейным системам.
Предмет исследования: способы и методы решения систем линейных уравнений.
Методы исследования: анализ и синтез.
Практическая значимость состоит в формировании компетентности прикладного использовании знаний, умений и навыков, знакомство с возможностями применения информационных технологий.
1. Системы n линейных уравнений с n переменными
1.1 Постановка задачи
Пусть дана система линейных уравнений. Если число уравнений системы равно числу неизвестных (m=n) называется квадратной.
13 QUOTE 1415
Решением системы называется такой набор 13 EQ x\s\do6(1), x\s\do6(2), , x\s\do6(n)15, который обращает все уравнения системы в тождества. Рассмотрим некоторые примеры.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной, если у нее нет ни одного решения. Совместная система вида называется определенной, если она имеет единственное решение; если у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной.[3, с.99]
В работе рассматриваются наиболее известные и простых в вычислительном плане методы решения квадратных систем линейных уравнений: метод Крамера, матричный способ, метод Гаусса.
1.2. Метод Крамера
Из коэффициентах при неизвестных составим матрицу А, а из свободных членов матрицу столбец В, т.е. А= 13 QUOTE 1415 В=13 QUOTE 1415
Определитель матрицы А обозначим
· и назовем определителем системы.
· =13 QUOTE 1415
Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при х1, х2,.хn на столбец свободных членов, то получим n определителей (для n неизвестных)
· х1 = 13 QUOTE 1415
· х2= 13 QUOTE 1415
· хn= 13 QUOTE 1415
Тогда формулы Крамера запишутся так: x1=
·х1 /
·, x2=
·х2/
·, xn=
·хn /
·.
Если определитель системы
· = 0, то возможны два варианта:
1)
· = 0 и каждый определитель
·xi = 0. В этом случае система имеет бесконечно много решений.
2)
· = 0 и хотя бы один из определителей
·хi отличен от нуля. Это имеет место тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных, кроме xi, пропорциональны. [1, с.87].
1.3 Матричный способ
В матричной форме систему линейных уравнений можно записать так: АХ=В, где А– матрица коэффициентов системы; Х – матрица-столбец неизвестных; В – матрица-столбец свободных членов. Если А квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А дает единичную матрицу. А-1А=А А-1=Е. [1, с.78]. Обратная матрица находится по формуле А-1= 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Чтобы решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы нужно:
1) найти обратную матрицу А-1; 2) найти произведение обратной матрицы на матрицу свободных членов, т.е. А-1В; 3) пользуясь определением обратных матриц, записать ответ
Х= А-1В. [1, с.82].
1.4. Метод Гаусса
Систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей. Эти действия называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).
При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:
1) умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и тоже число;
2) сложение и вычитание уравнений; 3) перестановку уравнений системы;
4) исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю. [1, с.89].
1.5. Применение средств Excel к решению систем линейных уравнений
С ростом числа переменных в системе, её решение усложняется и становиться почти невозможным для вычислений «вручную». В таких случаях все вычисления производят
с помощью современных вычислительных средств и компьютерных программ.
Одним из таких средств является Microsoft Excel. В библиотеке Excel в разделе математических функций есть функции для работы с матрицами: МОБР( параметр)- обращение матрицы; МОПР (параметр)- вычисление определителя; МУМНОЖ( список параметров)- умножение матриц. [3,с. 306]
Для решения систем линейных уравнений по формулам Крамера нужно:
разместим на рабочем листе матрицу А системы и вспомогательные матрицы;
применим функцию МОПРЕД(матрица),вычислим определители всех
матриц.( Приложение 1)
по формулам Крамера найдем решение системы, введя в ячейки формулы.
(Приложение 2)
Для решения системы с помощью обратной матрицы нужно:
в диапазон ячеек таблицы ввести матрицу А коэффициентов системы и матрицу В свободных членов; выделить в свободном столбце диапазон ячеек равный числу переменных в системе и ввести в него формулу = МУМНОЖ(МОБР(А);В); нажать сочетание клавиш < Ctrl>+ + ; в выделенном диапазоне появятся ответы. ( Приложение 3).
2. Решение задач с практическим содержанием
Системы линейных уравнений широко используются в задачах экономики, физики, химии и других науках. Умение решать системы линейных уравнений - это лишь метод для решения более сложных практических задач. Одна из них - задача планирования выпуска продукции, сводятся к решению систем линейных уравнений.
Задача 1. Швейная фабрика в течении трех дней производила костюмы, плащи и куртки. Известны объемы выпуска продукции за три дня и денежные затраты на производство за эти три дня. Найти себестоимость единицы продукции каждого вида.
День
Объем выпуска продукции( единиц)
Затраты
(тыс.усл.ед)
Костюмы
Плащи
Куртки
I
50
10
30
176
II
35
25
20
168
III
40
20
30
184
Как известно, решение прикладной задачи ведётся по известной трехэтапной схеме: формализация; математизация; интерпретация. [6]
Решение: 1 этап (формализация). Пусть х (тыс.усл.ед)-затрат на производство костюма, у-затраты на производство одного плаща, z- затрат на производство куртки.
Зная затраты на каждый день и количество произведенной продукции за день, составим систему линейных уравнений:
13 QUOTE 1415
2 этап (математизация). 1) Метод Крамера
·= 13 QUOTE 1415 = 50*25*30+35*20*30+10*20*40-30*25*40-50*20*20-5*10*30=6000.
Так как определитель не равен нулю, то система совместна и имеет решение.
·x= 13 QUOTE 1415 =176*25*30+168*20*30+10*20*184-30*25*184-176*20*20- 168*10*30=10800
·y=13 QUOTE 1415= 50*168*30+35*184*30+176*20*40-30*168*40-50*20*184- 35*176*30=15600
·z= 13 QUOTE 1415= 50*25*184+35*20*176+10*168*40-176*25*40-50*20*168-35*10*184=12000
x =
·x/
·=10800/6000=1,8; y=
·y/
·=15600/6000=2,6; z=
·z/
·=12000/6000=2.
2) Решим систему с помощью обратной матрицы.
Значение определителя матрицы А мы уже подсчитали в предыдущем способе.
·= 6000. Для вычисления обратной матрицы найдем алгебраические дополнения.
A11=13 QUOTE 1415 = 350 A12 = -13 QUOTE 1415 = -250 A13=13 QUOTE 1415 = -300
A21= - 13 QUOTE 1415 = 300 A22=13 QUOTE 1415 = 300 A23 = - 13 QUOTE 1415 = -600
A31=13 QUOTE 1415 = -550 A32 = - 13 QUOTE 1415 =50 A33=13 QUOTE 1415 = 900
A-1=13 QUOTE 1415 - обратная матрица.
Найдем произведение обратной матрицы на матрицу свободных членов
X=A-1B=13 QUOTE 1415
3) Решим систему методом Гаусса 13 QUOTE 1415
Запишем расширенную матрицу 13 QUOTE 1415
Поменяем местами 1 и 2 столбцы матрицы местами 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415Разделим первую строчку системы на 10: 13 QUOTE 1415
Умножим первую строчку на (-25) и прибавим ко второй: 13 QUOTE 1415
Умножим первую строчку на (-20) и прибавим к третьей: 13 QUOTE 1415
Умножим вторую строчку на (-2),а третью – на 3. Результат их сложения запишем в третьей строке: 13 QUOTE 1415. Прямой ход завершен.
Выполним обратный ход с помощью последовательных подстановок.
Из третьей строки: 20z=40; z=40/20; z=2.
Из второй: -90x -55z =-272; -90x-55*2=-272; -90x=-272+110; -90x=-162; x=162/90; x=1,8.
Из первой строки: y+5x+3z=17,6; y+5*1,8+3*2=17,6; y+9+6=17,6; y=2,6.
III этап (интерпретация). Себестоимость 1,8 тыс.усл.ед для производства одного костюма, 2,6 тыс.усл.ед- для производства одного плаща и 2 тысячи усл.ед. - для производства одного плаща.
Заключение
В работе рассмотрены три наиболее часто применяемых метода решения систем линейных уравнений. При оценке методов решения задач значение имеют такие свойства, как универсальность и простота применения для вычислений.
Изучив основные методы решения систем линейных уравнений, проанализировав их преимущества и недостатки можно сделать выводы.
Метод Крамера является наиболее простым, позволяет найти решение по формулам, через известные коэффициенты. Недостатком метода является трудоемкость вычисления определителей, когда число уравнений системы больше трех, но с применением вычислительных средств (таблиц Excel) эта проблема исчезает.
Матричный метод так же дает четкий алгоритм решения, метод подходит для систем у которых определитель основной матрицы отличен от нуля. Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы достаточно сложно. Упростить вычислительную работу помогут электронные таблицы.
Метод Гаусса является менее трудоемким в плане вычислений т.к. не нужно вычислять определители и обратные матрицы. К недостаткам метода можно отнести то, что метод не дает четкой последовательности вычислительных действий.
При выборе способа решения практических задач, нужно оценить ее сложность и применить наиболее простой в применении. Большое упрощение вычислений дает применение информационных технологий.
Список использованной литературы
Высшая математика для экономистов: [Учебник для вузов]/ Н.Ш. Кремер
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Приложения
Приложение 1.
Приложение 2.
Приложение 3.
Приложение 4.
Приложение 5.
13PAGE 15
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14215
1
15
Исследовательская работа
Применение систем линейных уравнений в экономике
Выполнил: Чудов В.С.
Горобец Н.Б
Руководитель: Янченко Н.А.,
Преподаватель математики
Ачинск,
2016
Содержание
Введение............3
1. Системы n линейных уравнений с n переменными.4
1.1. Постановка задачи ..4
1.2. Метод Крамера ...........5
1.3. Метод обратной матрицы5
1.4. Метод Гаусса....5
1.5. Применение средств Excel к решению систем линейных уравнений5
2.Решение задач с практическим содержанием......6
Заключение...................9
Список используемой литературы...................10
Приложения ......11
Введение
Большой объем расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений. Многие задач управленческого и экономического, технологического характера строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к ним.
Актуальность темы заключается в том, что известные приемы и методы решения систем линейных уравнений применимы для решения задач с практическим содержанием, в частности связанных со специальностью «Прикладная информатика в экономике».
Цель работы: рассмотреть различные способы решения систем линейных уравнений, показать примеры их практического применения.
Задачи работы
анализ методической и научной литературы по теме.
изучение математических методы решения систем уравнений;
изучение возможностей электронных таблиц MS EXCEL при решении систем линейных уравнений
решение задач с практическим содержанием разными способами.
Объект исследования: задачи с практическим содержанием, сводящиеся к линейным системам.
Предмет исследования: способы и методы решения систем линейных уравнений.
Методы исследования: анализ и синтез.
Практическая значимость состоит в формировании компетентности прикладного использовании знаний, умений и навыков, знакомство с возможностями применения информационных технологий.
1. Системы n линейных уравнений с n переменными
1.1 Постановка задачи
Пусть дана система линейных уравнений. Если число уравнений системы равно числу неизвестных (m=n) называется квадратной.
13 QUOTE 1415
Решением системы называется такой набор 13 EQ x\s\do6(1), x\s\do6(2), , x\s\do6(n)15, который обращает все уравнения системы в тождества. Рассмотрим некоторые примеры.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной, если у нее нет ни одного решения. Совместная система вида называется определенной, если она имеет единственное решение; если у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной.[3, с.99]
В работе рассматриваются наиболее известные и простых в вычислительном плане методы решения квадратных систем линейных уравнений: метод Крамера, матричный способ, метод Гаусса.
1.2. Метод Крамера
Из коэффициентах при неизвестных составим матрицу А, а из свободных членов матрицу столбец В, т.е. А= 13 QUOTE 1415 В=13 QUOTE 1415
Определитель матрицы А обозначим
· и назовем определителем системы.
· =13 QUOTE 1415
Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при х1, х2,.хn на столбец свободных членов, то получим n определителей (для n неизвестных)
· х1 = 13 QUOTE 1415
· х2= 13 QUOTE 1415
· хn= 13 QUOTE 1415
Тогда формулы Крамера запишутся так: x1=
·х1 /
·, x2=
·х2/
·, xn=
·хn /
·.
Если определитель системы
· = 0, то возможны два варианта:
1)
· = 0 и каждый определитель
·xi = 0. В этом случае система имеет бесконечно много решений.
2)
· = 0 и хотя бы один из определителей
·хi отличен от нуля. Это имеет место тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных, кроме xi, пропорциональны. [1, с.87].
1.3 Матричный способ
В матричной форме систему линейных уравнений можно записать так: АХ=В, где А– матрица коэффициентов системы; Х – матрица-столбец неизвестных; В – матрица-столбец свободных членов. Если А квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А дает единичную матрицу. А-1А=А А-1=Е. [1, с.78]. Обратная матрица находится по формуле А-1= 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Чтобы решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы нужно:
1) найти обратную матрицу А-1; 2) найти произведение обратной матрицы на матрицу свободных членов, т.е. А-1В; 3) пользуясь определением обратных матриц, записать ответ
Х= А-1В. [1, с.82].
1.4. Метод Гаусса
Систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей. Эти действия называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).
При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:
1) умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и тоже число;
2) сложение и вычитание уравнений; 3) перестановку уравнений системы;
4) исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю. [1, с.89].
1.5. Применение средств Excel к решению систем линейных уравнений
С ростом числа переменных в системе, её решение усложняется и становиться почти невозможным для вычислений «вручную». В таких случаях все вычисления производят
с помощью современных вычислительных средств и компьютерных программ.
Одним из таких средств является Microsoft Excel. В библиотеке Excel в разделе математических функций есть функции для работы с матрицами: МОБР( параметр)- обращение матрицы; МОПР (параметр)- вычисление определителя; МУМНОЖ( список параметров)- умножение матриц. [3,с. 306]
Для решения систем линейных уравнений по формулам Крамера нужно:
разместим на рабочем листе матрицу А системы и вспомогательные матрицы;
применим функцию МОПРЕД(матрица),вычислим определители всех
матриц.( Приложение 1)
по формулам Крамера найдем решение системы, введя в ячейки формулы.
(Приложение 2)
Для решения системы с помощью обратной матрицы нужно:
в диапазон ячеек таблицы ввести матрицу А коэффициентов системы и матрицу В свободных членов; выделить в свободном столбце диапазон ячеек равный числу переменных в системе и ввести в него формулу = МУМНОЖ(МОБР(А);В); нажать сочетание клавиш < Ctrl>+
2. Решение задач с практическим содержанием
Системы линейных уравнений широко используются в задачах экономики, физики, химии и других науках. Умение решать системы линейных уравнений - это лишь метод для решения более сложных практических задач. Одна из них - задача планирования выпуска продукции, сводятся к решению систем линейных уравнений.
Задача 1. Швейная фабрика в течении трех дней производила костюмы, плащи и куртки. Известны объемы выпуска продукции за три дня и денежные затраты на производство за эти три дня. Найти себестоимость единицы продукции каждого вида.
День
Объем выпуска продукции( единиц)
Затраты
(тыс.усл.ед)
Костюмы
Плащи
Куртки
I
50
10
30
176
II
35
25
20
168
III
40
20
30
184
Как известно, решение прикладной задачи ведётся по известной трехэтапной схеме: формализация; математизация; интерпретация. [6]
Решение: 1 этап (формализация). Пусть х (тыс.усл.ед)-затрат на производство костюма, у-затраты на производство одного плаща, z- затрат на производство куртки.
Зная затраты на каждый день и количество произведенной продукции за день, составим систему линейных уравнений:
13 QUOTE 1415
2 этап (математизация). 1) Метод Крамера
·= 13 QUOTE 1415 = 50*25*30+35*20*30+10*20*40-30*25*40-50*20*20-5*10*30=6000.
Так как определитель не равен нулю, то система совместна и имеет решение.
·x= 13 QUOTE 1415 =176*25*30+168*20*30+10*20*184-30*25*184-176*20*20- 168*10*30=10800
·y=13 QUOTE 1415= 50*168*30+35*184*30+176*20*40-30*168*40-50*20*184- 35*176*30=15600
·z= 13 QUOTE 1415= 50*25*184+35*20*176+10*168*40-176*25*40-50*20*168-35*10*184=12000
x =
·x/
·=10800/6000=1,8; y=
·y/
·=15600/6000=2,6; z=
·z/
·=12000/6000=2.
2) Решим систему с помощью обратной матрицы.
Значение определителя матрицы А мы уже подсчитали в предыдущем способе.
·= 6000. Для вычисления обратной матрицы найдем алгебраические дополнения.
A11=13 QUOTE 1415 = 350 A12 = -13 QUOTE 1415 = -250 A13=13 QUOTE 1415 = -300
A21= - 13 QUOTE 1415 = 300 A22=13 QUOTE 1415 = 300 A23 = - 13 QUOTE 1415 = -600
A31=13 QUOTE 1415 = -550 A32 = - 13 QUOTE 1415 =50 A33=13 QUOTE 1415 = 900
A-1=13 QUOTE 1415 - обратная матрица.
Найдем произведение обратной матрицы на матрицу свободных членов
X=A-1B=13 QUOTE 1415
3) Решим систему методом Гаусса 13 QUOTE 1415
Запишем расширенную матрицу 13 QUOTE 1415
Поменяем местами 1 и 2 столбцы матрицы местами 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415Разделим первую строчку системы на 10: 13 QUOTE 1415
Умножим первую строчку на (-25) и прибавим ко второй: 13 QUOTE 1415
Умножим первую строчку на (-20) и прибавим к третьей: 13 QUOTE 1415
Умножим вторую строчку на (-2),а третью – на 3. Результат их сложения запишем в третьей строке: 13 QUOTE 1415. Прямой ход завершен.
Выполним обратный ход с помощью последовательных подстановок.
Из третьей строки: 20z=40; z=40/20; z=2.
Из второй: -90x -55z =-272; -90x-55*2=-272; -90x=-272+110; -90x=-162; x=162/90; x=1,8.
Из первой строки: y+5x+3z=17,6; y+5*1,8+3*2=17,6; y+9+6=17,6; y=2,6.
III этап (интерпретация). Себестоимость 1,8 тыс.усл.ед для производства одного костюма, 2,6 тыс.усл.ед- для производства одного плаща и 2 тысячи усл.ед. - для производства одного плаща.
Заключение
В работе рассмотрены три наиболее часто применяемых метода решения систем линейных уравнений. При оценке методов решения задач значение имеют такие свойства, как универсальность и простота применения для вычислений.
Изучив основные методы решения систем линейных уравнений, проанализировав их преимущества и недостатки можно сделать выводы.
Метод Крамера является наиболее простым, позволяет найти решение по формулам, через известные коэффициенты. Недостатком метода является трудоемкость вычисления определителей, когда число уравнений системы больше трех, но с применением вычислительных средств (таблиц Excel) эта проблема исчезает.
Матричный метод так же дает четкий алгоритм решения, метод подходит для систем у которых определитель основной матрицы отличен от нуля. Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы достаточно сложно. Упростить вычислительную работу помогут электронные таблицы.
Метод Гаусса является менее трудоемким в плане вычислений т.к. не нужно вычислять определители и обратные матрицы. К недостаткам метода можно отнести то, что метод не дает четкой последовательности вычислительных действий.
При выборе способа решения практических задач, нужно оценить ее сложность и применить наиболее простой в применении. Большое упрощение вычислений дает применение информационных технологий.
Список использованной литературы
Высшая математика для экономистов: [Учебник для вузов]/ Н.Ш. Кремер
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Приложения
Приложение 1.
Приложение 2.
Приложение 3.
Приложение 4.
Приложение 5.
13PAGE 15
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14215
1
15
