Симметрия как критерий математической красоты

ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АЛТАЙСКОГО КРАЯ
КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«АЛТАЙСКИЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»




СИММЕТРИЯ КАК КРИТЕРИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КРАСОТЫ
Исследовательская работа

Выполнил студентка I курса
специальности ПБ группы 1111
Поливода Дарья Андреевна

Руководитель:
Преподаватель математики
Сатюкова Жаннета Эдуардовна



Барнаул 2015
Содержание
Ведение . 3

Основная часть 5

Что такое симметрия? .5

Виды симметрии..5

Симметрия как критерий математической красоты.6

Правильные многогранники..13

Симметрия законов природы15

Симметрия в архитектуре..16

Заключение..19

Литература..21

ВВЕДЕНИЕ
В мире существует большое количество видов симметрии. Цель данной работы – изучить математическую литературу, выбрать материал о симметрии и попытаемся ответить на следующие вопросы:
- Что же такое симметрия, и какие виды симметрий существуют в природе?
- Что представляет собой симметрия законов природы?
- Найти примеры различных видов симметрии в формах живой и неживой природы, в повседневной жизни человека и объектах его деятельности.
Термином «симметрия», что в буквальном смысле значит соразмерность (пропорциональность, однородность, гармония), Пифагор Регийский обозначил пространственную закономерность в расположении одинаковых частей фигуры или самих фигур. Симметрия может проявляться в перемещениях, поворотах или отражениях в зеркале. Среди элементов симметрии различают: оси симметрии, плоскости симметрии, центр симметрии и зеркальные оси.
Существуют достаточно много видов симметрии, но основными из них являются симметрии относительно точки, прямой и плоскости.
Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образцы, чей вид неизменно привлекает наше внимание и ласкает наш взгляд. К числу таких образцов относятся некоторые кристаллы и микробы, многие животные и растения. Поворотная симметрия часто встречается в животном мире. Примерами могут служить морская звезда и панцирь морского ежа. Симметрия обнаруживается также и на атомном уровне. Она проявляется в недоступных непосредственному наблюдению геометрически упорядоченных атомных структурах молекул. Снежинка обладает удивительнейшей гексагональной симметрией. Другой вид симметрии, часто наблюдаемый в природе и в созданных человеком вещах, так называемая зеркальная симметрия. Человеческое тело, тела насекомых, птиц и животных обладает (приближенно) зеркальной симметрией относительно вертикальной оси.
Морская звезда обладает и центральной симметрией, имеет бесконечное множество осей симметрии и, наконец, имеет бесконечное множество плоскостей симметрии.
Еще более ярко и систематически симметричность структуры материи обнаруживается в неживой природе, особенно в кристаллах. Кристаллы – это твердые тела, имеющие естественную форму многогранника.
Широко используя идею симметрии, ученые обращаются не только к сферической форме, но также к правильным выпуклым многогранникам.
Понятие симметрии хорошо знакомо и играет важную роль в повседневной жизни. Многим творениям человеческих рук умышленно придается симметричная форма как из эстетических, так и практических соображений.
Понятие симметрии не ограничивается симметрией объектов. Оно распространяется также на физические явления и управляющие ими физические законы.
Многие ученые приходят к выводу, что симметрия как раз и может служить объективным критерием красоты математической формулы.
Именно так обстоит сегодня дело с красотой математических формул, выражающих физические законы. Открытие их симметрии позволяет гораздо более широкому, чем прежде, кругу людей договориться о том, что это за красота: ведь симметрия – одна из немногих признаваемых всеми примет прекрасного.
Рассмотрим примеры симметрии в природе более подробно.









«Мир полон удивительной красоты и благородства, которые вы должны открывать прежде всего сами. Нужно учиться видеть и слышать, готовиться к встрече с чудом».
А.Н.Колмогоров

Что такое симметрия?
Попробуем ответить на вопрос: «Что же такое симметрия?»
Симметрия – это греческое слово, обозначающее соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей предмета по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости
Предметы, обладающие такими свойствами, называются симметричными.
Определение симметрии по Г. Вейлю: «Симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали». Это определение появилось еще в XIX веке.

Виды симметрии
Существуют достаточно много видов симметрии, но основными из них являются симметрии относительно точки, прямой и плоскости.
Симметрия относительно точки называется центральной симметрией.
Симметрия относительно прямой называется осевой симметрией.
Симметрия относительно плоскости называется отображением пространства на себя.
В работе я подробно исследую различные виды симметрии, встречающиеся в живой и неживой природе.

Симметрия как критерий математической красоты
Красота есть истина, а истина красота.
Джон Китс
Красота понятие туманное, однако нет сомнений в том, что именно она служит источником вдохновения ученых. В некоторых случаях, когда дальнейший путь не ясен, именно математическая красота и изящество ведут ученых к истине. Математик интуитивно чувствует, что природа предпочитает красивые «решения» некрасивым. До сих пор это убеждение, несмотря на его субъективизм, служило надежным и могущественным спутником математиков.
Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образцы, чей вид неизменно привлекает наше внимание и ласкает наш взгляд. К числу таких образцов относятся некоторые кристаллы и микробы, многие животные и растения. Мы постоянно любуемся прелестью каждого отдельного цветка, мотылька или раковины и всегда пытаемся проникнуть в тайну их красоты. Нас удивляет и архитектура пчелиных сот, и расположение семян подсолнечника и винтообразной расположение листьев на стебле растения.
В своих размышлениях над картиной мироздания человек с давних времен активно использовал идею симметрии. Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна. Исходя из соображений симметрии, они высказали ряд догадок. Так, Пифагор, считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, делал вывод о сферичности Земли и о ее движении по сфере. Широко используя идею симметрии, ученые любили обращаться не только к сферической форме, но также к правильным выпуклым многогранникам. Впервые пифагорейцы установили поразительный факт – существует всего пять правильных выпуклых многогранников разной формы. Впоследствии они были подробно описаны Платоном и стали называться в математике платоновыми телами. Следует отметить, что вносимая симметрией упорядоченность проявляется, прежде всего, в ограничении многообразия возможных структур, в сокращении числа возможных вариантов. Фантазируя на эту тему, известный современный популяризатор науки Мартин Гарднер пишет: «Может быть, наступит день, когда физики откроют математические ограничения, которым должно удовлетворять число элементарных частиц и основных законов природы».
В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы, симметрия внешней формы которых является следствием их внутренней симметрии – упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов (наличия кристаллической решетки).

В мире растений ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы, плоды; для стволов деревьев характерна симметрия конуса. Иногда высказывается мнение, что «пристрастие» растений к поворотной симметрии 5-го порядка, которая, как известно, принципиально невозможна в периодических структурах, можно объяснить обусловленной такой симметрией гарантией сохранения растением его индивидуальности.
Поворотная симметрия 5-го порядка встречается и в животном мире. Примерами могут служить морская звезда и панцирь морского ежа. Однако в отличие от мира растений поворотная симметрия в животном мире наблюдается редко, фактически лишь у некоторых обитателей моря.
Для всех остальных представителей животного мира характерна билатеральная (зеркальная) симметрия. Симметрия обнаруживается также и на атомном уровне. Она проявляется в недоступных непосредственному наблюдению геометрически упорядоченных атомных структурах молекул и кристаллов. Например, пространственная симметрия молекулы метана – это симметрия тетраэдра, в вершинах которого находятся атомы водорода, а в центре – атом углерода. Молекула бензола состоит из шести атомов углерода и шести атомов водорода, образующих правильный шестиугольник, так называемое бензольное кольцо. Симметрия бензольного кольца, подтвержденная рентгенографическими измерениями, обеспечивается шестью электронами, не занятыми в локализованных связях между атомами и способными свободно перемещаться по всему бензольному кольцу.
Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все ее виды – от простейших до самых сложных.
Среди элементов симметрии различают: оси симметрии, плоскости симметрии, центр симметрии и зеркальные оси.
Понятие симметрии хорошо знакомо и играет важную роль в повседневной жизни. Многим творениям человеческих рук умышленно придается симметричная форма как из эстетических, так и практических соображений. Мяч симметричен, так как выглядит одинаково, как бы его ни поворачивали вокруг центра. Круглая печная труба сохраняет свой внешний вид при более ограниченном наборе вращений поворотах вокруг вертикальной оси, проходящей через центр поперечного сечения.
В природе симметрия также встречается в изобилии. Снежинка обладает удивительнейшей гексагональной симметрией. Кристаллы также имеют характерные геометрические формы вспомним хотя бы кубическую форму кристаллов соли, отражающую регулярность атомной структуры. Падающая дождевая капля имеет форму идеальной сферы и, замерзая, превращается в ледяной шарик градину.
Другой вид симметрии, часто наблюдаемый в природе и в созданных человеком вещах, так называемая зеркальная симметрия. Человеческое тело, тела насекомых, птиц и животных обладает (приближенно) зеркальной симметрией относительно вертикальной оси. В зеркале правая и левая руки и другие части тела меняются местами, но видимое нами зеркальное отражение узнаваемо. Многие архитектурные сооружения, например арки или соборы, обладают зеркальной симметрией.
Всеми нами любимая бабочка имеет симметрию относительно вертикальной оси. Её окрас крыльев симметричен.

Морская звезда обладает и центральной симметрией, имеет бесконечное множество осей симметрии и, наконец, имеет бесконечное множество плоскостей симметрии. Например, если морскую звезду разделить пополам, то её части будут симметричными.
HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
Среди цветов наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместим с самим собой. Такой цветок обладает поворотной симметрией, которую можно характеризовать порядком оси, т.е. числом, показывающим сколько раз произойдет совмещение предмета с самим собой при повороте на 360°. Ирис, колокольчик, нарцисс обладают осями третьего, пятого и шестого порядков соответственно. Особенно часто среди цветов встречается симметрия пятого порядка.

В пространстве существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т.е. совмещающиеся со своим первоначальным положением после поворота на угол вокруг оси, дополненного сдвигом вдоль этой же оси. Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, так необходимого для жизни растений.
Молекулы белков, ДНК, играющие принципиально важную роль в жизненных процессах, являются подлинным царством природных винтов. Кристаллические решетки, как правило, обладают зеркальной симметрией, но существуют и зеркально-асимметричные решетки, некоторые из них характеризуются винтовой структурой. Примером может служить решетка кварца. Основа ее тетраэдр, в центре которого находится атом кремния, а в вершинах – атомы кислорода. В направлении главной оси кристалла указанные тетраэдры располагаются по винтовой линии. Решетка кварца может быть закручена как влево, так и вправо, и эти модификации являются зеркальными отражениями друг друга. Лево-правая асимметрия в мире молекул проявляется в явлении стереоизомерии.
Другим примером подобной симметрии оказывается устройство подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего шестиугольные ячейки.

Еще более ярко и систематически симметричность структуры материи обнаруживается в неживой природе, особенно в кристаллах. Кристаллы – это твердые тела, имеющие естественную форму многогранника. «Кристаллы блещут симметрией», - писал Е.С. Федоров в своем «Курсе кристаллографии». Для каждого вещества существует своя, присущая только ему одному, идеальная форма кристалла. Эта форма обладает свойством симметрии, т.е. свойством кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путем поворотов, отражений и параллельных переносов. Еще в 1867 году А.В. Гадолин доказал, что всего существует 32 вида симметрии идеальных форм кристалла. Любое кристаллическое вещество, каждый кристалл должны принадлежать к одному из этих видов симметрии. Это утверждение представляет собой закон симметрии, один из основных законов кристаллографии.
По справедливому замечанию Г. Вейля, у истоков симметрии лежит математика. Вместе с тем, симметрия воспринимается нами как элемент красоты вообще и красоты природы в частности.


Не правда ли прекрасны эти кристаллы?
Яркий пример симметрии в природе - это отражение.

Симметрии, соответствующие вращению или отражению, наглядны и радуют глаз, но они не исчерпывают весь запас симметрий, существующих в природе. Исследуя математическое описание той или иной физической системы, математики открывают время от времени новые и неожиданные симметрии. Симметрии таинственно и тонко «запрятаны» в математическом аппарате и совсем не очевидны тому, кто наблюдает саму физическую систему. Манипулируя символами в уравнениях, математики пытаются раскрыть весь набор симметрий, в том числе и таких, которые не видны «невооруженным глазом».

Правильные многогранники
Доказано, что существует пять и только пять видов правильных многогранников (это открытие приписывается древнегреческому философу Платону):
Тетраэдр;
Гексаэдр;
Октаэдр;
Додекаэдр;
Икосаэдр.
Определение. Многогранник (полиэдр) – это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками – гранями. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами. По числу граней различают 4-хгранники, 5-тигранники и т.д.
Рассмотрим все 5 правильных многогранников более подробно.

1. Тетраэдр (от греческого tetrahedron, tetra – в сложных словах – 4, hedra – основание, грань) – один из пяти типов правильных многогранников: имеет 4 грани (треугольных), 6 ребер, 4 вершины (в каждой вершине сходятся 3 ребра).

2. Гексаэдр - куб (от латинского cubus, от греческого kybos) – один из пяти типов правильных многогранников: имеет 6 квадратных граней, 12 ребер, 8 вершин (в каждой сходятся 3 ребра, которые взаимно перпендикулярны).
3. Октаэдр (от греческого oktaedron, okto – в сложных словах – 8, hedra – основание, грань) – один из пяти типов правильных многогранников: имеет 8 граней (треугольных), 12 ребер, 6 вершин (в каждой вершине сходятся 4 ребра).


4. Додекаэдр (от греческого dodekaedron, dodeka – в сложных словах – 12, hedra – основание, грань) – один из пяти типов правильных многогранников: имеет 12 граней (пятиугольных), 30 ребер, 20 вершин (в каждой вершине сходятся 3 ребра).

5. Икосаэдр (от греческого eikocaedron, eikosi – в сложных словах – 20, hedra – основание, грань) – один из пяти типов правильных многогранников: имеет 20 граней (треугольных), 30 ребер, 12 вершин (в каждой вершине сходятся 5 ребер).

Фигура может иметь один или несколько центров симметрии (осей, плоскостей симметрии). Например, куб, додекаэдр и икосаэдр имеют только один центр симметрии, несколько осей и плоскостей симметрии. А тетраэдр не имеет ни центра, ни оси, ни плоскости симметрии.
Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров, осей или плоскостей симметрии. Простейшими из таких фигур являются прямая и плоскость. Любая точка плоскости является ее центром симметрии. Любая прямая (плоскость), перпендикулярная к данной плоскости, является ее осью (плоскостью) симметрии. С другой стороны, существуют фигуры, не имеющие центров, осей или плоскостей симметрии. Например, параллелепипед, не являющейся прямой призмой, не имеет оси симметрии, но имеет центр симметрии и может иметь плоскость симметрии. Призма и пирамида в общем случае не имеют ни плоскости, ни оси, ни центра симметрии (плоскость, ось или центр симметрии у этих многогранников могут быть лишь в некоторых частных случаях).
Многие правильные многогранники нашли свое применение в оптико-механических приборах: фотоаппаратах, дальномерах и т.д.
Симметрия законов природы
Понятие симметрии не ограничивается симметрией объектов. Оно распространяется также на физические явления и управляющие ими физические законы. «Изучая физику, мы обнаруживаем, что существует огромное количество законов – законы гравитации, электричества и магнетизма, ядерных взаимодействий и т.д. Но все это многообразие законов пронизано несколькими общими принципами, которые так или иначе содержатся в каждом законе. Примерами таких принципов могут служить некоторые свойства симметрии», – писал нобелевский лауреат в области физики Ричард Фейнман. Симметрия физических законов заключается в их неизменности (инвариантности) по отношению к тем или иным преобразованиям, связанным, например, с условиями наблюдения физического явления. Речь идет об инвариантности физических законов по отношению к переходу из одной инерциальной системы отсчета в другую инерциальную систему, или симметрии физических законов относительно равномерного прямолинейного движения.
Академик А. Б. Мигдал в своей книге «Поиски истины» писал: «Законы природы инвариантны (неизменны) относительно операций переноса в пространстве и времени и относительно поворота в пространстве». Это обстоятельство и называется симметрией законов природы.
Законы сохранения вытекают из симметрии пространства и времени. Каждому виду симметрии соответствует свой закон сохранения. Так, например, закон сохранения энергии является следствием симметрии природы относительно сдвигов во времени. Симметрия относительно сдвигов в пространстве приводит к закону сохранения количества движения...
Симметрия физических законов относительно преобразований Лоренца (относительно перехода из одной инерциальной системы отсчета в другую) – один из наиболее ярких примеров подобного типа симметрии.
Многие ученые приходят к выводу, что симметрия как раз и может служить тем объективным критерием красоты математической формулы, который во многих случаях позволяет отличить «верные» физические формулы от «неверных».
Увидеть красоту уравнения, формулы непросто. Правда, специалисты уверены, что непросто – лишь для непосвященных. «...Нельзя честно объяснить все красоты законов природы так, чтобы люди восприняли их одними чувствами, без глубокого понимания математики. Как ни прискорбно, но, по-видимому, это факт», – говорил Ричард Фейнман в одной из лекций, прочитанных им в Корнельском университете и обращенных к довольно разношерстной публике.
Однако и самые искушенные специалисты – математики и физики, – глубоко понимающие смысл той или иной формулы, в общем-то, воспринимают ее красоту по-разному, так же как по-разному ощущают красоту картин Рембрандта люди, знающие толк в живописи. От этого никуда не денешься: чувство прекрасного во многом субъективно.
Тем не менее, есть некоторые простые приметы красоты, признаваемые за истинные большинством людей. По-видимому, таких примет немного, но само их существование в значительной мере меняет дело. Если каждый человек, называя какую-то вещь красивой, может в подтверждение своих слов сослаться на некий признаваемый всеми признак красоты, подобное понимание прекрасного уже нельзя считать субъективным.
Именно так обстоит сегодня дело с красотой математических формул, выражающих физические законы. Открытие их симметрии позволяет гораздо более широкому, чем прежде, кругу людей договориться о том, что это за красота: ведь симметрия – одна из немногих признаваемых всеми примет прекрасного. «Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна глазу? Это врожденное чувство, отвечал я себе», – писал Л. Толстой.
Симметрия в архитектуре.
Архитектура – это искусство проектировать и строить здания и другие сооружения (также их комплексы), создающие организованную среду, необходимую людям для их жизни и деятельности.

В архитектуре очень важна симметрия. Тадж-Махал в Индии – великолепный образец симметричной архитектуры. Симметричными раньше строились соборы и церкви.

Симметрия также используется в архитектурных композициях, ансамблях, которые имеют декоративное значение (фонтаны, лестницы, ограды).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Симметрия – это такая особенность природы, про которую принято говорить, что она охватывает все формы движения и организации материи. Истоки понятия симметрии восходят к древним. Наиболее важным открытием древних было осознание сходства и различия правого и левого. Здесь природными образцами им служили собственное тело, а также тела животных, птиц и рыб.
Вот что написал русский исследователь, ученый ломоносовского склада, энциклопедист В.И. Вернадский в своей работе «Химическое строение биосферы Земли и ее окружения»: «чувство симметрии и реальное стремление его выразить в быту и в жизни существовало в человечестве с палеолита или даже с эолита, то есть самых длительных периодов в доистории человечества, который длился для палеолита около полмиллиона лет, а для эолита – миллионы лет. Это чувство и связанная с ним работа, еще резко и интенсивно меняясь, сказывались и в неолите 25 000 лет тому назад».
Можно вспомнить также великолепные памятники архитектуры глубокой древности, где пространственные закономерности проявляются особенно ярко. Это храмы древнего Вавилона и пирамиды Гизы, дворец в Ашшуре. Итак, с глубокой древности, начиная, по-видимому с неолита, человек постепенно осознал и пытался выразить в художественных образах тот факт, что в природе, кроме хаотического расположения одинаковых предметов или их частей, существуют некоторые пространственные закономерности. Они могут быть совсем простыми – последовательное повторение одного предмета, более сложными – повороты или отражения в зеркале. Для того, чтобы точно выразить эти закономерности, нужны были специальные термины. По преданию, их придумал Пифагор Регийский.
Термином «симметрия», что в буквальном смысле значит соразмерность (пропорциональность, однородность, гармония), Пифагор Регийский обозначил пространственную закономерность в расположении одинаковых частей фигуры или самих фигур. Симметрия может проявляться в перемещениях, поворотах или отражениях в зеркале.

Академик А.Н. Колмогоров говорил: «Мир полон удивительной красоты и благородства, которые вы должны открывать прежде всего сами. Нужно учиться видеть и слышать, готовиться к встрече с чудом».
Симметричная окраска делает не только отдельные предметы красивыми, но придает красоту окружающей нас природе и способствует наилучшему зрительному восприятию.
Открытие симметрии позволило человечеству по-другому взглянуть на мир истинной красоты.
В ходе выполнения исследовательской работы я узнала, что предметы, окружающие нас, на которые мы мало обращаем внимание, содержат истинную красоту – симметрию. И пришла к выводу, что симметрия не только математическое понятие, но и один из видов гармоничной композиции, которая свойственна произведениям архитектуры и декоративно – прикладному искусству.

Данное исследование было использовано при подготовке и проведении открытого урока по теме «Симметрия», где я вместе с преподавателем объясняла новый материал.

Литература
1. Гримм Г.Д. Пропорциональность в архитектуре. Ленинград – Москва, ОНТИ, 1935.
2. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. Москва, Издательство Всесоюзной Академии архитектуры, 1936.
3. Шестаков В.П. Гармония как эстетическая категория. Москва, Наука, 1973.
4. Колмогоров А.Н. Математика в её историческом развитии. Москва, Наука, 1994.
5. Волошинов А.В. Математика и искусство. Москва, Просвещение, 2000.
6. Сатюкова Ж. Э. «Красота в математике и математика в красоте», 2010.










HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER144HYPER15









Приложенные файлы

  • doc file29.doc
    Размер файла: 4 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий