Решение текстовых задач. Сборник

Алданский улус
МОУ «Наяхинская СОШ»





Соловьева Л.П., учитель математики




Решение текстовых задач с помощью уравнения




Данный сборник предназначен для подготовки к единому государственному экзамену по математике.
Содержит 30 типовых задач









Решение текстовых задач с помощью уравнения
Данный сборник предназначен для подготовки к единому государственному экзамену по математике.
Содержит 30 типовых задач

Тип задания. Задача на составление уравнения.
Характеристика задания. Традиционная « текстовая» задача ( на движение, работу и т.п.), т.е. задача на составление уравнения.
Комментарий. В качестве неизвестной, как правило, лучше выбирать искомую величину. Составленное уравнение сводится в большинстве случаев к квадратному или линейному.
Пример с решением.
Вариант 1: Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно , что в час автомобилист проезжает на 50 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2,5 ч позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Первый этап. Составление математической модели.
..30км
Пусть Х км/ч - скорость велосипедиста
(Х + 50) км/ч - скорость автомобилиста
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 ч - время велосипедиста HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 ч – время автомобилиста
По условию, велосипедист прибыл в пункт В на 2,5ч=2HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 ч=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15ч позже автомобилиста. Следовательно,
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 - HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 составлена математическая модель.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Преобразовав заданное уравнение получаем: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 0.
Вспомним условие равенства дроби нулю: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 0 если одновременно выполняются два соотношения: 1) числитель дроби равен нулю (а=0): 2) знаменатель дроби отличен от нуля (вHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER150).
Приравняв нулю числитель дроби уравнения получим
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 + 50х - 600 = 0; где Д=4900;HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15= 10 и HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = - 60- не подходит по смыслу задачи, поскольку скорость движения не может выражаться отрицательным числом.
Выполним проверку найденного корня с помощью условия х(х +50)HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER150. Значение HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 10 удовлетворяет условию.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Спрашивается , с какой скоростью велосипедист должен пройти этот путь?
А эту величину мы обозначили через х. Получилось, что х=10, это есть ответ на вопрос задачи.
Ответ: Скорость велосипедиста равна 10км/ч.
Условия задачи по ЕГЭ по задании 12.
Вариант 2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 80 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 5ч20мин. позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Вариант 3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно , что в час автомобилист проезжает на 80 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2ч40мин позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Вариант 4. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 20 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1ч позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Вариант 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1ч20мин позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Варианты
№1
№2
№3
№4
№5

Ответы
10
10
10
20
20



Краткие комментарии к решениям:
Вариант 2. Пусть х км/ч - скорость велосипедиста. Составим по условию задачи уравнение HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 - HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
Решив составленное рациональное уравнение получим HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=10 и HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15= - 90.
Ответ : 10 км/ч.
Вариант3. Обозначим через х км/ч - скорость велосипедиста.
Применяя условие задачи получим уравнение: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 - HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
Мы преобразовали заданное уравнение к виду: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 0;
Корнями уравнения являются HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 10 и HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = - 90. Для найденных значений проверим условия х(х + 80) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 0 получим ответ 10.
Вариант 4. Обозначив через х км/ч - скорость велосипедиста и применяя условия задачи составим математическую модель HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 - HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 1. Преобразуя заданное уравнение приводим к виду:
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 0 и получим ответ х = 20 км/ч
Вариант 5. Обозначим скорость велосипедиста через х (км/ч).
Очевидно, что х – положительная величина. Учитывая условия задачи имеем рациональное уравнение HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 - HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; решая квадратное уравнение HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 + 40х - 1200 = 0, где HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=20 и HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15= - 60.
Ответ : 20 км/ч.
Вариант 6. Два велосипедиста одновременно отправились в 192 – .километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 ч раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
Решение . Обозначим скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым через х (км/ч). Тогда время второго велосипедиста, затраченное на путь, равно HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15ч, а время первого велосипедиста равно HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 ч. Составим по условию задачи уравнение HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 - HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 4. Решая квадратное уравнение HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 + 4х - 192 = 0 и учитывая условие х(х + 4)HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 0 и х – положительная величина выбираем значение х = 12. Спрашивается, скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым равным ( х + 4) км /ч. Отсюда х + 4 = 12 + 4 =16.
Ответ : 16 км/ч.

Вариант 7. Два велосипедиста одновременно отправились в 165 – километровый побег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей. Чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 ч раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
Вариант 8. Два велосипедиста одновременно отправились в 150 –
километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 5 ч раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ ч.
Вариант 9. Два велосипедиста одновременно отправились в 140 – километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 ч раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
Вариант 10. Два велосипедиста одновременно отправились в 220 – километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 9 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 9 ч раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Варианты
№6
№7
№8
№9
№10

Ответы
16
15
15
14
20


Краткие комментарии к решениям задач.
Вариант 7.
Пусть х км/ч - скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Составим по условию задачи уравнение HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 - HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 4. Решая квадратное уравнение HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 + 4х - 165 = 0 находим корни HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=11 и HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = -15.
Для найденных значений проверим выполнение условия х(х + 4)HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 0 и хHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER150, то выбираем х=11. Соответственно скорости велосипедистов равны 15 км/ч и 11 км/ч.
Ответ : Скорость велосипедиста, пришедшего первым равна 15 км/ч.
Вариант 8. Пусть х км/ч - скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Из двух величин HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 ч и HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 ч первая больше второй на 5 ч. Отсюда приходим к уравнению:
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 - HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 5. Математическая модель задачи составлена. Это - рациональное уравнение. Имеем HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 0. Далее находим HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15= 10 и HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = - 15. Мы обозначили скорость через х. Это число x отрицательным быть не может
Ответ: Скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым равна 15км/ч.
Вариант 9. Обозначим скорость велосипедиста – x км /ч.
По условию величина, выражаемая дробью HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, больше величины, выражаемой дробью HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, на 4. Мы приходим к уравнению:
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 - HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 4. Решая квадратное уравнение вычисляем Д=576 и корнями уравнения являются числа 10 и -14. По смыслу задачи подходит корень х=10. Отсюда скорость велосипедиста, пришедшего к финишу, равна 14 км/ч. Ответ : 14 км/ч.
Вариант 10. Скорость велосипедиста, пришедшего к финишу, обозначим - через x км/ч. Составим по условию задачи уравнение HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 - HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 9.
Мы преобразовали заданное уравнение к виду HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 0.
Решим уравнение HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 + 9х - 220 = 0. Находим HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15= 11 и HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 =-20.
Для найденных значений проверим выполнение условия х(х + 9)HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER150 и хHYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 0. Значит, 11 - подходит по условии задач, а - 20 не подходит по смыслу задачи.
Ответ: 20 км/ч.
Вариант11. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 12 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 72 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 45 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Вариант 12. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 11 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 42 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Вариант 13. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью на весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 18 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью 108 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 63 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Вариант 14. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью на весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 4 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью 30 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 20 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Вариант 15. . Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью на весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 12 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью 70 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 41 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Вариант 16. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч.
Вариант 17. . Моторная лодка прошла против течения реки 91 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч.
Вариант 18. Моторная лодка прошла против течения реки 80 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч.
Вариант 19. . Моторная лодка прошла против течения реки 63 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч.
Вариант 20. Моторная лодка прошла против течения реки 55 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч.
Вариант 21. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 483 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 2 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается через 46 ч после отплытия из него.
Вариант 22. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 513 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 23 км/ч, стоянка длится 8 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается через 54ч после отплытия из него.
Вариант 23. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 240 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 16 км/ч, стоянка длится 8 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 ч после отплытия из него.
Вариант 24. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 375 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 20 км/ч, стоянка длится 10 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается через 50 ч после отплытия из него.
Вариант 25. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 780 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 28 км/ч, стоянка длится 4 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается через 60 ч после отплытия из него.
Вариант 26. Первая труба пропускает на 1 л воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 л она заполняет на 1 мин. быстрее, чем первая труба?
Вариант 27. Первая труба пропускает на 4 л воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 1020 л она заполняет на 4 мин. быстрее, чем первая труба?
Вариант 28. Первая труба пропускает на 1 л воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 870 л она заполняет на 1 мин. быстрее, чем первая труба?
Вариант 29. Первая труба пропускает на 4 л воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 672 л она заполняет на 4 мин. быстрее, чем первая труба?
Вариант 30. Первая труба пропускает на 3 л воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 648 л она заполняет на 3 мин. быстрее, чем первая труба?

































HYPER15Основной шрифт абзаца

Приложенные файлы

Добавить комментарий