Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:
- Что такое геометрия? Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур «Геометрия» - (греч.) – «землемерие» - Что такое планиметрия? Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости. А а Основные понятия планиметрии: точка прямая - Основные понятия планиметрии? - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве Основные фигуры в пространстве:точка прямая плоскость α β Обозначение: А; В; С; …; М;… а А В М N Р Обозначение: a, b, с, d…, m, n,…(или двумя заглавными латинскими) Обозначение: α, β, γ… Ответьте на вопросы по рисунку:1. Назовите точки, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.2. Назовите прямые, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β Некоторые геометрические тела. А В С Д Д1 С1 В1 А1 куб А В С Д А1 В1 С1 Д1 параллелепипед А В С Д тетраэдр цилиндр конус Назовите какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках: Назовите предметы из окружающей вас обстановки ( нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела. Практическая работа. 1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром). 2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА1В1С1Д1 А В С Д Д1 С1 В1 А1 3. Выделите цветным карандашом:вершины А, С, В1, Д1 отрезки АВ, СД, В1С, Д1Сдиагонали квадрата АА1В1В - Что такое аксиома? Аксиома – это утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия. Аксиомы планиметрии:- через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой… А В С А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна. α Если ножки стола не одинаковы по длине, то стол стоит на трех ножках, т.е. опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая точка) не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе. А В α А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Говорят: прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую. а М Прямая лежит в плоскости Прямая пересекает плоскость Сколько общих точек имеют прямая и плоскость? α β А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят: плоскости пересекаются по прямой. А а Решить задачи: №1(а,б); 2(а) А В С Д Р Е К М А В С Д А1 В1 С1 Д1 Q P R К М Назовите по рисунку: а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, ДВ, АВ, ЕС; б) точки пересечения прямой ДК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АДВ. а) точки, лежащие в плоскостях ДСС1 и ВQС Подведем итоги урока: 1) Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать в 10-11 классах? 2) Что такое стереометрия? 3) Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке. А А В В α α А α β Домашнее задание:Повторить аксиомы планиметрииВыучить аксиомы А1-А3Прочитать пункт 1,2 (стр. 3 – 6)Решить задачи: 1(в,г); 2(б,д). Дополнительно: № 3; 4 ( по желанию)
Зиновьева Татьяна Викторовна МОУ СОШ №7, г.Клинцы Брянская область, 2011 год
Цикл уроков по геометрии "Аксиомы стереометрии"
Урок 1. Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии
Цели урока:
ознакомить учащихся с содержанием курса стереометрии;
изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве;
учить применять аксиомы стереометрии при решении задач.
Ход урока
Слайд 1.1. Организационный момент.Сообщение темы и целей урока.
2. Изучение нового материала.Учитель: Уже три года, начиная с 7 класса, мы с вами изучаем школьный курс геометрии.
Слайд 2. Вопросы учащимся:- Что такое геометрия? (Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур)- Что такое планиметрия? ( Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости)- Какие основные понятия планиметрии вы знаете? (точка, прямая)Учитель: Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии – стереометрии.
Слайд 3. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. (Учащиеся делают запись в тетрадь)
Слайд 4. Основные понятия пространства: точка, прямая, плоскость.Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола, стены, пола, потолка и т.д. Плоскость, как геометрическую фигуру, нужно представлять простирающейся во все стороны, бесконечной. Обозначаются плоскости греческими буквами α, β, γ и т. д.1. Назовите точки, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.2. Назовите прямые: лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.Слайд 5. Об основных понятиях (точка, прямая, плоскость) мы имеем наглядное представление и определения им не даются. Их свойства выражены в аксиомах.Наряду с точкой, прямой, плоскостью в стереометрии рассматривают геометрические тела (куб, параллелепипед, цилиндр, тетраэдр, конус и др.), изучают их свойства, вычисляют их площади и объемы. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы.
Слайд 6. Вопросы учащимся:- Какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках.- Назовите предметы из окружающей вас обстановки (нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.
Слайд 7. Практическая работа ( в тетрадях)1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром).2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА1В1С1Д13. Выделите цветным карандашом:вершины А, С, В1, Д1; отрезки АВ, СД, В1С, Д1С; диагонали квадрата АА1В1В.Обратить внимание учащихся на видимые и невидимые линии на рисунке; изображение квадрата АА1В1В в пространстве.
Слайд 8. Вопросы к учащимся:- Что такое аксиома? Какие аксиомы планиметрии вы знаете? В пространстве основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.
Слайд 9. Учащиеся делают записи и рисунки в тетрадях.Аксиома 1. (А1) Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
Слайд 10. Отметить, что если взять не 3, а 4 произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, то есть 4 точки могут не лежать в одной плоскости.
Слайд 11. Аксиома 2. (А2) Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Слайд 12. Вопрос учащимся:- Сколько общих точек имеют прямая и плоскость? (рис.1 – бесконечно много; рис.2 – одну)
Слайд 13. Аксиома 3. (А3) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.
3. Закрепление изученного материала.
Слайд 14. Решение задач из учебника № 1(а,б), 2(а).Учащиеся читают условие задач и по рисунку на слайде дают ответ с объяснением.
Задача 1.
а) Р, Е ⊂ (АДВ) ⇒ РЕ ⊂ (АДВ) по А2Аналогично МК ⊂ (ВДС)В,Д ⊂(АДВ) и (ВДС) ⇒ВД ⊂ (АДВ) и (ДВС)Аналогично АВ ⊂ (АДВ) и (АВС)С, Е ⊂(АВС) и (ДЕС) ⇒СЕ ⊂ (АВС) и (ДЕС)б) С ⊂ (ДК) и (АВС) ⇒ ДК ∩ (АВС) = С. Т.к. точек пересечения прямой и плоскости не более одной ( прямая не лежит в плоскости), то это единственная точка.Аналогично СЕ ∩ (АДВ) = Е.
Задача 2(а)
В плоскости ДСС1: Д, С, С1, Д1, К, М, R. В плоскости ВQС: В1, В, Р, Q, С1, М, С.
Слайд 15.
4. Подведение итогов урока. Вопросы учащимся:
Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать в 10-11 классах?
Что такое стереометрия?
Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке.
Слайд 16.
5. Домашнее задание.
Урок 2. Некоторые следствия из аксиом
Цели урока:- повторить аксиомы стереометрии и применение их при решении задач домашнего задания;- ознакомить учащихся со следствиями из аксиом;- научить применять следствия из аксиом при решении задач, а также закрепить умение применять аксиомы стереометрии при решении задач;- повторить формулы вычисления площади ромба.
Ход урока
Слайд 1.
1. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.
Слайд 2.
2. Проверка домашнего задания.
Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.1)Сформулируйте аксиомы стереометрии и оформите рисунки на доске.2) №1 (в,г); 2(б,д). Учащиеся устно с места по рисунку на слайде отвечают на вопросы домашнего задания.
Слайд 3.
3. Изучение нового материала. Рассмотрим и докажем следствия из аксиом.
Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.Учащиеся записывают формулировку в тетради и, отвечая на вопросы учителя, делают соответствующие записи и рисунки в тетрадь.- Что дано в теореме? (прямая и не лежащая на ней точка)- Что надо доказать? (проходит плоскость; одна)- Что можно использовать для доказательства? (аксиомы стереометрии)- Какая из аксиом позволяет построить плоскость? (А1, через три точки проходит плоскость и притом только одна)- Что есть в данной теореме и чего не хватает для использования А1 (имеем – точку; необходимы – еще две точки)- Где построим еще две точки? (на данной прямой)- Какой вывод можем сделать? ( через три точки строим плоскость)- Принадлежит ли данной плоскости прямая? ( да)- На основании чего можно сделать такой вывод? ( на основании А2: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости)- Сколько плоскостей можно провести через данные прямую и данную точку? (одну)- Почему? (так как плоскость, проходящая через прямую и плоскость, проходит через данную точку и две точки на прямой, значит по А1 эта плоскость – единственная)
Слайд 4.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.Учащиеся доказывают теорему самостоятельно, затем прослушиваются несколько доказательств и делаются дополнения и уточнения (если они необходимы)Обратить внимание на то, что доказательство опирается не на аксиомы, а на следствие 1.
Слайд 5.
4. Закрепление изученного материала.Задача 6 (из учебного пособия)Учащиеся работают в тетрадях, предлагают свои варианты решения, затем сравнивают свое решение с решением на экране. Разбираются два случая: 1) точки не лежат на одной прямой; 2) точки лежат на одной прямой.
Слайд 6,7. Задача на слайде. Учащиеся читают условие, делают рисунок и необходимые записи в тетрадях. Учитель проводит фронтальную работу с классом по вопросам задачи. В ходе решения задачи повторяем формулы вычисления площади ромба. Дано: АВСД – ромб, АС ∩ ВД = О, М ∉ α, (А,Д,О) ∈ α; АВ = 4см, ∠ А = 60º.Найти: (В,С) ∈ α; Д ∈ (МОВ); (МОВ)∩(АДО); SАВСД.Решение:Обратить внимание на тот факт, что если две плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.5. Подведение итогов:- Сформулируйте аксиомы стереометрии.- Сформулируйте следствия из аксиом.Цель урока достигнута. Аксиомы стереометрии повторили, познакомились со следствиями из аксиом и применили их при решении задач.Выставление отметок (с комментариями)
Слайд 8.
6. Постановка домашнего задания:
Урок 3. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий
Цели урока:- повторить аксиомы стереометрии и их следствия;- сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;- учащиеся знают аксиомы стереометрии и их следствия и умеют применять их при решении задач.
Ход урока
Слайд 1.
1. Организационный момент.Сообщение темы и целей урока.
2. Актуализация знаний учащихся.1) Проверка домашнего задания по вопросам учащихся.Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.2) Двое учащихся готовят у доски доказательство следствий из аксиом.3) Двое учащихся (1 уровень) и двое учащихся (2 уровень) работают по карточкам индивидуального опроса. Слайд .4) Фронтальная работа с учащимися.
Слайд 2.
Дано: куб АВСДА1В1С1Д1Найдите:
Несколько точек, которые лежат в плоскости α; (А, В, С, Д)
Несколько точек, которые не лежат в плоскости α; (А1, В1, С1, Д1)
Несколько прямых, которые лежат в плоскости α; (АВ, ВС, СД, АД, АС, ВД)
Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α; (А1В1, В1С1, С1Д1, А1Д1, А1С1, В1Д1, АА1, ВВ1, СС1, ДД1)
Несколько прямых которые пересекают прямую ВС; (ВВ1, СС1)
Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС. (АД, АА1 …)
Слайд 3.Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:1) если A ∈ a, a ∈ α, то A ... α
Слайд 4.Лежат ли прямые АА1, АВ, АД в одной плоскости? (Прямые АА1, АВ, АД проходят через точку А, но не лежат в одной плоскости)
3. Решение задач.
Слайд 5.Учащиеся решают задачи № 7, 10, 14 из учебного пособия, делая соответствующие рисунки и записи на доске и в тетрадях.Задача № 7. 2) Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?Решение: По следствию 2:2) Все прямые, проходящие через точку М, не обязательно лежат в одной плоскости. (см. пример со слайда 4)Задача 10. Учащиеся решают задачу самостоятельно (аналогично задаче № 7). Учитель выборочно берет тетради на проверку и оказывает индивидуальную помощь в решении задачи учащимся, которые не справились с заданием.Задача № 14. Решение: Все прямые а, b, с лежат в одной плоскости. В этом случае по следствию 2 можно провести плоскость, и через три прямые проходит одна плоскость.Одна из трех прямых, например с, не лежит в плоскости α, определяемой прямыми а и b. В этом случае через заданные три прямые проходят три различные плоскости, определяемые парами прямых а и b, а и с, b и с.
Слайд 6.
Учащиеся делают рисунок и необходимые построения и записи в тетрадях. При построении учащиеся проговаривают аксиомы, результат построения записывают с помощью символики.
Задача.Дано: куб АВСДА1В1С1Д1 т.М лежит на ребре ВВ1, т.N лежит на ребре СС1 и точка К лежит на ребре ДД1а) Назовите плоскости, в которых лежат точки М; N.б) найдите т.F-точку пересечения прямых МN и ВС. Каким свойством обладает точка F?в) найдите точку пересечения прямой КN и плоскости АВС.г) найдите линию пересечения плоскостей МNК и АВС.Решение: Слайд 7.Для решения следующей задачи повторим формулу вычисления площади четырехугольника. Вывод формулы разбирают по слайду.Учащиеся записывают формулу в тетрадь.
Слайд 8.
Докажите, что все вершины четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются.Вычислите площадь четырехугольника, если АС ⊥ ВД, АС = 10см, ВД = 12см.Ответ: 60 см24. Подведение итогов урока.- Какие аксиомы и теоремы мы применяли на уроке при решении задач? Сформулируйте.- Какие задачи были самыми интересными, самыми сложными?- Что полезного для вас лично было на уроке?- Что вызвало затруднения?Учитель объявляет отметки за урок с комментарием.
Слайд 9.
5. Постановка домашнего задания:
Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий.
Цели урока:- провести контроль знаний аксиом стереометрии и их следствий;- закрепить сформированный навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;- повторить: теорему Пифагора и ее применение; формулы вычисления площадей равностороннего треугольника, прямоугольника.
Ход урока
Слайд 1.
1. Организационный момент.Сообщение темы и целей урока.
Слайд 2.
2. Проверка домашнего задания.Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.Двое учащихся готовят у доски решения задач из домашней работы - № 9, 15.Остальные учащиеся отвечают на вопросы математического диктанта по слайду.
Слайд 3.
3. Решение задач (фронтальная работа с классом)Задача № 1.Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см.
Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и МFС; б) МСF и АВС.
Найдите длину СF и SАВС
Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?Вопросы к учащимся (при необходимости):- Какие точки одновременно принадлежат обеим плоскостям. На основании какой аксиомы можно сделать вывод?- Сформулируйте свойство медианы равнобедренного треугольника.- Сформулируйте теорему Пифагора.- Почему можно применить теорему Пифагора в данном случае?- Какими способами можно вычислить площадь равностороннего треугольника?- Всегда ли можно построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?Слайд 4.
Задача №2.
Как построить точку пересечения плоскости АВС с прямой Д1Р?
Как построить линию пересечения плоскости АД1Р и АВВ1?
Вычислите длину отрезков АР и АД1, если АВ = а
Решение:1. Д1Р и ДВ лежат в одной плоскости Д1ДВ. Пусть они пересекаются в точке К. Тогда точка к принадлежит прямой ДВ, а значит, К ∈ (АВС)2. Точка Р принадлежит ВВ1, а значит, и плоскости АВВ1. Точка А принадлежит АВ, а значит, и плоскости АВВ1. Аналогично АР ⊂ АД1Р. Значит, (АД1Р)∩(АВВ1)=АР.3. а) Из ∆АВР, по теореме Пифагора АР = ; б) Из ∆АДД1 по теореме Пифагора АД1 = .
Слайд 5.Задача №3.Дано: Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.С помощью анимации на слайде учащиеся делают соответствующие построения и необходимые выводы. Делают записи в тетрадях с помощью математических символов, проговаривая соответствующие аксиомы и следствия из аксиом.Вопросы учащимся ( по необходимости):- Зная, что точки А, В, С не лежат на одной прямой, какой вывод можно сделать?- Если точки А и В лежат в плоскости, какой вывод о прямой АВ можно сделать?- Какой вывод можно сделать о точке М?- Если точки А и С лежат в плоскости, какой вывод о прямой АС можно сделать?- Какой вывод можно сделать о точке К?- Зная, что точки М и К лежат в плоскости, какой вывод можно сделать о прямой МК?- Какой вывод можно сделать о точке Р? Решение ( другой способ доказательства):АВ ∩ АС = А. По второму следствию, прямые АВ и АС определяют плоскость α. Точка М принадлежит АВ, а значит, принадлежит плоскости α, и точка К принадлежит АС, а значит, и плоскости α. По аксиоме А2: МК лежит в плоскости α. Точка Р принадлежит МК, а значит, и плоскости α.
Слайд 6.
Задача № 4.Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые а и с? Почему?Вопросы учащимся (при необходимости):- Зная, что прямая а пересекает плоскость β, какой вывод можно сделать? (Прямая и плоскость имеют общую точку, например, точку В)- Каким свойством обладает точка В? ( Точка В принадлежит и прямой а, и плоскости α, и плоскости β)- Если точка принадлежит двум плоскостям одновременно, то что мы можем сказать о взаимном положении плоскостей? (плоскости пересекаются по прямой, например с)- Каково взаимное расположение точки В и прямой с? ( точка В принадлежит прямой с)- Зная, что точка В принадлежит и прямой а, и прямой с, какой вывод можно сделать об этих прямых? ( прямые пересекаются в точке В)
Слайд 7.
Задача №5.Дан прямоугольник АВСД, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости α. Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости α. Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 см, ∠ АОВ = 60º.Задача предназначена для самостоятельного решения с обсуждением решения и оказанием индивидуальной помощи учащимся. Полезно обсудить различные способы нахождения площади прямоугольника:
Найти стороны прямоугольника.
Использовать тот известный факт, что диагонали параллелограмма (прямоугольника) разбивают его на четыре равновеликих треугольника, и найти сначала площадь одного из треугольников.
Использовать формулу .
Предложить учащимся решить задачу разными способами.Ответ: см2.
4. Подведение итогов урока:- Какие аксиомы и теоремы мы применяли на уроке при решении задач? Сформулируйте.- Какие задачи были самыми интересными, самыми сложными?- Что полезного для вас лично было на уроке?- Что вызвало затруднения?Выставление отметок за урок ( с комментированием каждой отметки)
Слайд 8.
5. Постановка домашнего задания:пункты 1-3 прочитать.
Урок 5. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий. Самостоятельная работа (20 мин.)
Цели урока:- закрепить усвоение вопросов теории в процессе решения задач;- проверить уровень подготовленности учащихся путем проведения самостоятельной работы контролирующего характера.
Ход урока
Слайд 1.
1. Организационный момент.Сообщение темы и целей урока.
Слайд 2.
2. Проверка домашнего задания.Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.Задача 1.Прямые а и b пересекаются в точке О, А ∈ а, В ∈ b, Р ∈ АВ. Докажите, что прямые а и b и точка Р лежат в одной плоскости.Решение:
Слайд 3.Задача 2.На данном рисунке плоскость α содержит точки А, В, С, Д, но не содержит точку М. Постройте точку К – точку пересечения прямой АВ и плоскости МСД. Лежит ли точка К в плоскости α.Решение:
Слайды 4, 5, 6
3.Устное решение задач на повторение теории (по слайдам)
Слайды 7,8
4. Самостоятельная работа (разноуровневая, контролирующего характера)5. Подведение итогов.1) Собрать тетради с самостоятельной работой.2) Объявление отметок с комментированием.
Слайд 9.
6. Домашнее задание.Учащиеся выбирают свой уровень сложности
Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:
Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:
Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:
Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:
РЕЦЕНЗИЯ
на цикл уроков по геометрии "Аксиомы стереометрии" учителя математики
МОУ СОШ №7, г.Клинцы Брянской области Зиновьевой Татьяны Викторовны
Система уроков Т. В. Зиновьевой посвящена первым урокам стереометрии в 10 классе. Актуальность данной работы не вызывает сомнения, поскольку начало изучения стереометрии является очень важным и необходимым моментом изучения геометрии в 10-11 классе.
Автором проведена серьезная работа по составлению презентаций к каждому уроку, подбору и решению задач. Тема каждого урока раскрыта достаточно глубоко. Материал изложен последовательно и чётко. Практическая значимость данной разработки состоит в том, что её можно после небольшой корректировки использовать на своих уроках, что я и делаю на протяжении уже нескольких лет.
Чернова Ирина Николаевна, преподаватель математики КОГПОАУ «Техникум промышленности и народных промыслов города Советска»
