Методические указания по организации и проведению практических занятий по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» (Раздел «Элементы теории вероятностей и математической статистики»)


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ КОЛЛЕДЖ ГАЗА И НЕФТИ ОАО «ГАЗПРОМ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИ Я ПО ОРГАНИЗАЦИИ И ПРО ВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ по дисциплине «Математика : алгебра и начала математического анализа; геометрия Раздел «Элементы теории вероятностей и математической статистики для специальностей среднего профессионального образования 21.02.03 Сооружение и эксплуатация газонефтепроводов и газонефтехранилищ 15.02.01 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям) 08.02.08 Монтаж и эксплуатация оборудования и систем газоснабжения 2016 2 Составлено в соответствии УТВЕРЖДАЮ с требованиями федерального Зам. директора по УВР государственного образовательного _________________В.В. Новиков стандарта по специальностям _____________________2016 г. 21.02.03 Сооружение и эксплуатация газонефтепроводов и газонефтехранилищ ; 15.02.01 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям) ; 08.02.08 Монтаж и эксплуатация оборудования и систем газоснабжения Одобрено цикловой комиссией математического и общего естественнонаучного цикла; физического воспитания Протокол №______ от «______________201 6 г. Пре дседатель ЦК ____________ Н.В.Клочкова Разработчики: Клочкова Н.В., преподаватель НОУ СПО «Волгоградский колледж газа и нефти ОАО «Газпром Зайцева Н.Н., преподаватель НОУ СПО «Волгоградский колледж газа и нефти ОАО «Газпром Рецензенты: Вахнина Ольга Владимировна, к.т.н., доцент кафедры «Высшая математика ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный аграрный университет Карасева Ирина Викторовна , к.п.н., начальник отдела планово - экономической и финансовой деятельности НОУ СПО «Волгоградский колледж газа и нефти ОАО «Газпром 3 Аннотация Методические указания по организации и проведению практических занятий по дисциплине « Математика : алгебра и начала математического анализа; геометрия (Раздел «Элементы теории вероятностей и математической статистики ) для специальностей среднего профессионального образования 21.02.03 Сооружение и эксплуатация газонефтепроводов и газонефтехранилищ ; 15.02.01 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям) ; 08.02.08 Монтаж и эксплуатация оборудов ания и систем газоснабжения составлены в соответствии с требованиями федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования на базовом и углубленном уровнях в пределах освоения обучающимися профессиональн ой образовательной программы с учетом профиля получаемого профессионального образования. Позволят преподавателям организовать, а обучающимся выполнить практические занятия по дисциплине « Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия (Раз дел «Элементы теории вероятностей и математической статистики) . Методические указания направлены на систематизацию, расширение и закрепление теоретических знаний, и выработку навыков по изучаемой дисциплине. Предназначаются для проведения практических зан ятий в среднем профессиональном образовании, в частности НОУ СПО «Волгоградский колледж газа и нефти ОАО «Газпром для специальностей среднего профессионального образования 21.02.03 Сооружение и эксплуатация газонефтепроводов и газонефтехранилищ ; 15.02.01 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям) ; 08.02.08 Монтаж и эксплуатация оборудования и систем газоснабжения всех форм обучения (базовой и углубленной подготовки). 4 Оглавление Пояснительная записка ................................ ................................ ........................... 5 1. Методические рекомендации обучающимся по выполнению практических работ ................................ ................................ ........................... 6 2. Структура отчета по практической работе ................................ ....................... 6 3. Критерии оценки и система контроля (мониторинга) практической работы обучающихся по дисциплине «Математика ................................ ... 7 4. Права и обязанности обучающихся ................................ ................................ .. 9 Практическое занятие № 12.1. Вычисление числовых характеристик д искретной случайной величины ................................ ................................ .. 11 Практическое занятие № 12.2. Вычисление числовых характеристик выборки ................................ ................................ ................................ ............ 22 Заключение ................................ ................................ ................................ ............ 35 Список используемой литературы ................................ ................................ ...... 36 5 Пояснительная записка Методические указания по организации и проведению практических занятий по дисциплине « Математика : алгебра и начала математического анализа; геометрия (Раздел 12 . Элементы теории вероятностей и математической статистики ) составлены в соответствии с требова ниями федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования на базовом и углубленном уровнях в пределах освоения обучающимися профессиональной образовательной программы с учетом профиля получаемого профес сионального образования . Учебная дисциплина « Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия  входит в общеобразовательный цикл. Методические указания по организации и проведению практических занятий по дисциплине Математика: алгебра и нач ала математического анализа; геометрия (Раздел 12. Элементы теории вероятностей и математической статистики) отвечают целям и задачам дисциплины по данному разделу. Методические указания содержат следующие структурные элементы: методические рекомендации обучающимся по выполнению практических занятий ; структуру отчета по практическим занятиям ; критерии оценки и систему контроля (мониторинга) практической работы; права и обязанности обучающихся; включают 2 практическ ие работы ; заключение. Количество часов на освоение практических работ по разделу 12 . Элементы теории вероятностей и математической статистики - 4 аудиторных часов. Кажд ое практическ ое занятие включает: назва ние темы и количество часов; цели; умения и навыки; оборудование и наглядные пособия; краткие теоретические сведения, в которых имеются объяснения всех понятий изучаемых на практическ ом занятии ; ход (алгоритм) выполнения каждой работы; задания к практичес ким занятиям ; вопросы для самоконтроля (контрольные вопросы); список рекомендуемой и используемой литературы. 6 1. Методические рекомендации обучающимся по выполнению практических работ Практическ ие занятия обучающимся рекомендуется осуществлять по определенному плану. Для выполнения каждой из представленных в методических указаниях практических работ следует: 1. Ознакомиться с теоретическим материалом (краткими теоретическими сведениями) по данной практической работе. 2. Ознакомиться с ходом (алгоритмом) выполнения практической работы. 3. Выполнить все этапы, предложенные алгоритмом (ходом) практической работы, соблюдая время и соответствующие инструкции по выполнению каждого этапа и задания. 4. Сделать вывод по выполне нной работе. 5. Оформить отчет по проделанной работе (согласно предложенной структуре отчета) и сдать его на проверку преподавателю, согласно установленного срока. 2. Структура отчета по практической работе Для того, чтобы эффективнее оценивать и корректиро вать успехи (неудачи) практической работы, она должна выполняться обучающимися в отдельной тетради, затем еѐ необходимо сдать для промежуточного и конечного контроля, и оценки. Каждый обучающийся должен оформить отчет о проделанной работе по следующей стру ктуре. Отчет по практической работе №: (следует указать номер практической работы в соответствии с программой дисциплины). Тема: (следует указать тему практической работы в соответствии с программой дисциплины). 7 Цель работы: (необходимо кратко сформулировать цель практической работы). Дата выполнения : (указать число, месяц, год, когда осуществляется выполнение практической работы). Ход работы: (осуществляется в соответствии с инструкциями по выполнению практической работы). 3. Критерии оценки и система контроля (мониторинга) практической работы обучающихся по дисциплине « Математика Каждая работа завершается контролем конкретных результатов (положительных или отрицательных). Это дает возможность установить, в какой мере рез ультаты соответствуют поставленной цели, насколько правомерна и целесообразна последовательность этапов работы. Иначе говоря, выявляются общий итог работы , ее логика , оформление , т.е. та конечная информация, «выход, без которых невозможно успешно прогнози ровать дальнейший этап обучения. Критерии оценивания. Оценка – это определение и выражение степени усвоения обучающимися знаний и умений, установленных рабочей программой. Оценка фиксируется в соответствующих документах (тетрадях обучающихся по практическим работам, самостоятельной работе, журналах), отражая уровень достижений обучающихся. В НОУ СПО «Волгоградский колледж газа и нефти ОАО «Газпром оценка качества подготовки обучающихся осуществляется по количественной пятибалльной системе («5, «4, «3, «2) и качественным (оценочным суждениям: «отлично , «хорошо, «удовлетворительно, «неудовлетворительно) показателям. Исходный момент в оценке – ориентация на желаемый результат обучения. С ним сопоставляется достигнутый, реальный результат. При оценке принимается во внимание полнота, глубина, прочность, 8 оперативность, сознательность знаний и умений обучающихся. Также важным критерием оценки служит умение обучающихся связывать содержание изучаемой дисциплины с содержанием будущей профессиональной деятельности, умение обоснованно решать профессиональные за дачи, степень самостоятельности обучаемых. Не менее важным фактором практической работы является самоконтроль. Самоконтроль – это свойство человека, заключающееся в стремлении и умении регулировать свою деятельность и поведение. Он проявляется в способнос ти своевременно подмечать и устранять негативные стороны деятельности (торопливость, медлительность, небрежность), замечать или не допускать ошибки в работе. Критерии оценки практической работы по дисциплине Математика : алгебра и начала математического ан ализа; гоеметрия . Практические работы должны быть выполнены в соответствии с методическими требованиями, указаниями преподавателя, экономического факультета, в них должна быть проявлена самостоятельность обучающегося. Работа по ее завершению представляетс я обучающимся преподавателю, который оценивает еѐ по 5 - балльной системе. Оценка уровня освоения практической работы . Основаниями для оценки являются: - выполнение всего хода работы (всех ее этапов); - результативность проведенной работы; - формулирование выводов; - соответствие оформления отчета, предъявленным требованиям; - своевременная сдача работы для проверки преподавателю. «5 (отлично) выставляется за следующую работу: - выполнен весь ход работы (все ее этапы); - качественная результативность проведенной ра боты; - сформулированные выводы; 9 - отчет оформлен в соответствии с предъявленными требованиями; - работа своевременно сдана для проверки преподавателю. «4 (хорошо) выставляется за следующую работу: - выполнен весь ход работы (все ее этапы); - качественная результа тивность проведенной работы; - выводы сформулированы не достаточно полно или имеют недочеты; - отчет оформлен в соответствии с предъявленными требованиями; - работа своевременно сдана для проверки преподавателю. «3 (удовлетворительно) выставляется за следующую работу: - ход работы выполнен не весь (не все ее этапы); - частичная качественная результативность проведенной работы; - сформулированные выводы имеют недочеты или отсутствуют; - в оформлении отчета имеются недочеты или отчет оформлен не в соответствии с предъяв ленными требованиями; - работа не своевременно сдана для проверки преподавателю. «2 (неудовлетворительно) выставляется за следующую работу: - ход работы выполнен не весь (не все ее этапы); - не качественная результативность проведенной работы; - выводы отсутствуют; - отчет оформлен не в соответствии с предъявленными требованиями; - работа не своевременно сдана для проверки преподавателю. Обучающиеся, чьи работы были оценены неудовлетворительно, имеют право на повторное выполнение работы (или выполнение), при этом им определяется новый срок ее исполнения и сдачи для проверки преподавателю. 4. Права и обязанности обучающихся Обучающийся имеет право: − на получение заданий для практической работы в объеме, предусмотренном учебным планом и рабочей программы дисцип лины; 10 − пользоваться фондами библиотеки НОУ СПО «Волгоградский колледж газа и нефти ОАО «Газпром. − на получение рецензии (отзыва и оценки) от преподавателя, согласно установленного срока; − направлять работу на коллективную рецензию в случае несогласия с оценкой преподавателя; − принимать участие в оценивании содержания, организации и качества практических работ, вносить предложения по их совершенствованию. Обучающийся обязан: − выполнять требования преподавателя по выполнению и оформлению практической работы; − нести ответственность за выполняемую работу и еѐ результаты; − сдать практическую работу преподавателю в сроки, установленные преподавателем и календарным графиком учебного процесса. 11 Практическое занятие № 12 .1. Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины Цель работы: – систематизация, расширение и закрепление теоретических знаний о дискретных случайных величинах; – приобретение и отработка практических навыков вычисления основных числовых характерист ик дискретных случайных величин. Умения и навыки: – находить основные числовые характеристики дискретных случайных величин; – строить многоугольник распределения. Оборудование и наглядные пособия: методические указания по организации и проведению практических занятий по дисциплине «Математика : алгебра и начала математического анализа; геометрия (Раздел «Элементы теории вероятностей и математической статистики ) . Количество часов : 2 часа. Краткие теоретические сведения Дискретные случайные величины Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять любые заранее неизвестные значения. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной случайной величиной называется такая, значения которой есть конечное или счетное множество фиксированных величин. Для описания поведения дискретной случайной величины Х задают все значения 12 , , , , которые она может принять, и вероятности появления этих значений , , , . Законом распределения вероятностей (рядом распределения) дискретной случайной величины называется последовательность возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, причем X  p  Ряд распределения можно задать графически, откладывая на горизонтальной оси значения Х, а на вертикальной – соответствующие им значения вероятностей. Графическое представление ряда распределения называется многоугольником распределения . Математическое ожи дание и дисперсия Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма вида , где – возможные значения дискретной случайной величины; – вероятность появления значения . Свойства математического ожидания: 1. ; , где С – произвольная постоянная величина. 2. , если , , , – взаимно независимые случайные величины. 3. . Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины. 13 Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: . Дисперсию целесообразно вычислять по формуле . Свойства дисперсии: 1. ; , где С – произвольная постоянная величина. 2. , где , , , – независимые случайные величины. 3. , где среднее квадратичное отклонение. Примеры выполнения заданий Пример. В таблице приведен закон распределения дискретной случайной величины. Требуется: 1) проверить, действительно ли значения, представленные в таблице, являются законом распределения дискретной случайной величины; 2) определить математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой дискретной случайной величины; 3) построить многоугольник распределения. X 0 1 2 3 0,29 0,41 0,21 0,09 14 Решение. 1) Чтобы значения, представленные в таблице, являлись законом распределения дискретной случайной величины, должны быть выполнены два условия: а) значения следуют в строго возрастающем порядке; б) сумма всевозможных вероятностей равна единице, т.к. в таблице представленные все возможные значения дискретной случайной величины и они образуют полную груп пу событий: . Проверяем их выполнение. Условие а) выполнено: значения дискретной случайной величины расположены в строго возрастающей последовательности – 0, 1, 2, 3. Проверяем второе условие: . Второе условие тоже выполнено. Значит, в таблице действительно приведен закон распределения дискретной случайной величины. 2) Находим основные характеристики дискретной случайной величины. Определим математическое ожидание или среднее значение дискр етной случайной величины. . Итак, математическое ожидание . Для нахождения дисперсии по формуле необходимо сначала найти - среднее значение квадрата этой случайной величины. Запишем закон распределения квадрата случайной величины : 15 0 1 4 9 0,29 0,41 0,21 0,09 Определим математическое ожидание или среднее значение квадрата дискретной случайной величины : Находим дисперсию: Вычислим среднее квадратическое отклонение , характеризующее средний разброс значения дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения. Оно равно корню квадратному из дисперсии: . 3) Построим график распределения случайной величины. Для этого по оси абсцисс откладываем значения заданной случайной величины , а по оси ординат – соответствующие им вероятности . Рис 1. Многоугольник распределения случайной величины Ответ : Заданная в условии задачи таблица представляет закон распределения дискретной случайной величины. Математическое ожидание этой случайной величины ; ее дисперсия ; среднее квадратическое отклонение . 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0 1 2 3 16 Ход работы 1. Прослушайте установку на выполнение практической работы. 2. Ознакомьтесь с краткими теоретическими сведениями по теме. 3. В тетради для практических работ выполните задания: – напишите закон распределения дискретной случайной величины; – найдите математическое ожидание дискретной случайной величины; – найдите дисперсию дискретной случайной величины; – найдите среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины; – постройте многоуг ольник распределения дискретной случайной величины. 4. Оформите отчет о проделанной работе. Задания для выполнения практической работы Задание 1. Написать закон распределения случайной величины X – отметки на экзамене для группы, в которой 3 отличника, 12 студентов имеют хорошие и отличные оценки, а 15 студентов имеют удовлетворительные оценки. Задание 2. Дискретная случайная величина Х задана следующей таблицей распределения: Х 2 6 10 0,5 0,4 0,1 Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Задание 3. В таблице приведен закон распределения дискретной случайной величины. Требуется: 17 1) проверить, действительно ли значения, представленные в таблице, являются законом распределения дискретной случайной величины; 2) определить математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой дискретной случайной величины; 3) построить многоугольник распределения. X 0 1 2 3 4 5 6 0,02 0,17 0,21 0,26 0,18 0,11 0,05 Индивидуальные задания Задание 1. Составьте закон распределения дискретной случайной величины X – отметки на экзамене для группы, в которой n отличников, m студентов имеют хорошие оценки, а k студентов имеют удовлетворительные оценки. Вариант n m k 1 1 19 12 2 2 10 15 3 2 11 2 4 4 10 5 5 5 5 10 6 1 4 11 7 3 15 16 8 4 16 17 9 6 17 18 10 7 12 20 11 1 10 21 12 2 9 20 13 6 8 19 14 4 6 18 15 8 5 17 16 9 7 16 17 5 8 14 18 4 5 15 19 6 4 14 20 1 3 12 18 4) проверить, действительно ли значения, представленные в таблице, являются законом распределения дискретной случайной величины; 5) определить математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой дискретной случайной величины; 6) построить многоугольник распределения. Задание 2. В таблице приведен закон распределения дискретной случайной величины. Требуется: 1) проверить, действительно ли значения, представленные в таблице, являются законом распределения дискретной случайной величины; 2) определить математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой дискретной случайной величины; 3) построить график этого закона распределения вероятностей. Вариант Закон распределения 1 X 0 1 2 3 4 5 6 0,01 0,12 0,23 0,28 0,19 0,11 0,06 2 X 0 1 2 3 4 5 6 0,20 0,31 0,24 0,13 0,07 0,04 0,01 3 X 0 1 2 3 4 5 6 0,04 0,08 0,32 0,31 0,15 0,08 0,02 4 X 0 1 2 3 4 5 6 0,42 0,23 0,15 0,10 0,06 0,03 0,01 19 Вариант Закон распределения 5 X 0 1 2 3 4 5 6 0,03 0,29 0,12 0,15 0,21 0,16 0,04 6 X 0 1 2 3 4 5 6 0,05 0,12 0,18 0,30 0,18 0,12 0,05 7 X 0 1 2 3 4 5 6 0,06 0,08 0,12 0,24 0,33 0,14 0,03 8 X 0 1 2 3 4 5 6 0,16 0,25 0,25 0,16 0,10 0,05 0,03 9 X 0 1 2 3 4 5 6 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02 10 X 0 1 2 3 4 5 6 0,08 0,10 0,14 0,17 0,19 0,18 0,14 11 X 0 1 2 3 4 5 6 0,03 0,10 0,24 0,27 0,18 0,12 0,06 12 X 0 1 2 3 4 5 6 0,01 0,05 0,08 0,11 0,25 0,30 0,20 13 X 0 1 2 3 4 5 6 0,05 0,10 0,20 0,30 0,18 0,12 0,05 20 Вариант Закон распределения 14 X 0 1 2 3 4 5 6 0,07 0,10 0,20 0,27 0,23 0,12 0,01 15 X 0 1 2 3 4 5 6 0,04 0,13 0,22 0,25 0,18 0,10 0,08 16 X 3 4 5 6 7 8 9 0,04 0,13 0,22 0,25 0,18 0,10 0,08 17 X 5 6 7 8 9 10 11 0,04 0,13 0,22 0,25 0,18 0,10 0,08 18 X - 1 0 1 2 3 4 5 0,04 0,13 0,22 0,25 0,18 0,10 0,08 19 X - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 0,04 0,13 0,22 0,25 0,18 0,10 0,08 20 X - 2 - 1 0 1 2 3 4 0,04 0,13 0,22 0,25 0,18 0,10 0,08 Вопросы для самоконтроля 1. Какая случайная величина называется дискретной? 2. Сформулируйте закон распределения дискретной случайной величины. 3. Что называется многоугольником распределения? 4. Что относится к важнейшим числовым характеристикам случайной величины? 5. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? 6. Назовите свойства математического ожидания? 21 7. Дайте определение дисперсии случайной величины. 8. Что называется средним квадратическим отклонением случайной величины? Список рекомендуемой литературы 1. Лисичкин, В.Т. Математика в задачах с решениями [Текст] / В.Т. Лисичкин. 5 - е изд., – М.: Лань, 2014. - 464 с. 2. Богомолов, Н.В. Математика: учебник для прикладного бакалавр иата [Текст] / Н.В. Богомолов, П.И.Самойленко. – 5 - е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2015. – 396 с. 3. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике: учеб.пособие для бакалавров [Текст] / Н.В. Богомолов. – 11 - е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2015 . – 495 с. 22 Практическое занятие № 12 .2. Вычисление числовых характеристик выборки Цель работы: – систематизация, расширение и закрепление теоретических знаний о характеристиках выборочного распределения; – отработать навыки предварительной обработки статистических данных и вычисления характер истик выборочного распределения. Умения и навыки: – построить для данной выборки таблицу распределения частот и таблицу распределения относительных частот; – вычислять характеристики выборочного распределения. Обору дование и наглядные пособия: методические указания по организации и проведению практических занятий по дисциплине «Математика : алгебра и начала математического анализа; геометрия (Раздел «Элементы теории вероятностей и математической статистики ) . Количе ство часов : 2 часа. Краткие теоретические сведения Предварительная обработка статистических данных Пусть имеется генеральная совокупность случайной величины Х необходимо по имеющейся выборке оценить основные числовые характеристики случайной величины. Прежде чем ответить на эти вопросы, необходимо провести предварительную обработку статистических данных, которая позволяет значительно облегчить решение поставленных задач. 23 Предположим, что из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n. Так как выборка случайна, то некоторые значения в выборке могут совпадать. Пусть значение , наблюдается раз, – раз, ... , – раз. Значения , , , называются вариантами. Одно из самых простых преобразований статистических данных является их упорядочение по значениям (вариантам). Если варианты записаны в возрастающем порядке, то их называют вариационным рядом. Числа , ,, называются частотами, сумма частот равна объему выборки, т.е. . Пусть дан вариационный ряд   Модой называется варианта, имеющая наибольшую частоту. Медианой является варианта, делящая вариационный ряда на две равные части по количеству вариант, при этом: – если число вариант нечетное, т.е. то ; Если число вариант четно, т.е. то . Разность между наибольшим и наименьшим значениями выборки называют размахом выборки. Отношения , ,, называются относительными частотами (статистическими вероятностями) соответствующих вариант. Сумма относительных частот равна 1. 24 Данные вариационного ряда обычно записываются в виде статистических таблиц. В таблице распределения частот в первой строке записывают значе ния выборки, а во второй строке – соответствующие частоты:   В таблице распределения относительных частот в первой строке записывают значения выборки, а во второй строке – соответствующие относительные частоты:   Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия Пусть из генеральной совокупности случайной величины Х произведена выборка , , , объемом n .   Для характеристики наиболее существенных свойств этого распределения используют средние показатели: выборочная средняя , выборочная дисперсия . Выборочной средней называется среднее арифмет ическое значение выборки: – если варианты , , , имеют частоты , ,, , то , где ; – если варианты , , , различны ( ), то . 25 Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений выборки , если известны частоты соответствующих вариант, или , если все варианты имеют различные значения. Для характеристики рассеивания значений выборки применяют выборочное среднее квадратическое отклонение . Среднее квадратическое отклонение – показатель надежности выборочной средней . Чем меньше среднее квадратическое отклонение , тем точнее выборочная средняя отражает всю генеральную совокупность случайной величины Х . Точная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Так как выборка осуществляется случайно, то возможно отклонение (см ещение) числовых характеристик выборки от соответствующих числовых характеристик генеральной совокупности случайной величины Х . Для получения несмещенной оценки применяют исправленную выборочную дисперсию , более удобная форма для вы числения исправленной выборочной дисперсии: . Несмещенной оценкой для математического ожидания является выборочная средняя 26 . Для вычисления и можно применять вычислительную схему - таблицу следующего вида: n = Примеры выполнения заданий Пример 1. Случайная выборка среди абитуриентов на приемных экзаменах дала следующие набранные ими баллы: 13, 12, 14, 11, 11, 12, 14, 10, 12, 13, 11, 15, 10, 13, 11, 12, 14, 12, 12, 11. Построить для данной выборки таблицу распределения частот и таблицу распределения относительных частот, определить моду, медиану и размах выборки. Решение. Составим вариационный ряд, для этого расположим данные выборки в возрастающем порядке: 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15. Числа , , , , и являются вариантами с частотами: , , , , и . Так как наибольшая частота равна 6 соответствует варианте , то мода . Так как количество вариант четно, то медиана . Размах выборки равен . Объем выборки . Относительные частоты: ; ; ; ; . 27 Полученные данные сведем в соответствующие таблицы. Таблица распределения частот: 10 11 12 13 14 15 2 5 6 3 3 1 Таблица распределения относительных частот: 10 11 12 13 14 15 0,1 0,25 0,3 0,15 0,15 0,05 Пример 2. Из генеральной совокупности извлекли выборку 6; 1; 2; 3; 3; 2; 2; 4; 5; 3; 1; 3. Оценить генеральные характеристики с помощью данной выборки. Решение. Для оценки генеральных характеристик необходимо вычислить выборочные характеристики. Данную выборку запишем в виде выборочного ряда: 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 5; 6. Ясно для значения x 11 частота n 12; для x 2=2 n 23; для x 3=3 n 34; для x 4=4 n 41; для x 5=5 n 51 и для x 6=6 n 6=1. Выборочное распределение представим в виде таблицы x i 1 2 3 4 5 6 n i 2 3 4 1 1 1 Объем выборки n = = 2 + 3 + 4 + 1 + 1 + 1 =12 Для вычисления выборочных характеристик используем формулы, а расчеты оформим в расчетную таблицу. 1 2 2 - 1 ,92 3,69 7,37 2 3 6 - 0,92 0,85 2,55 3 4 12 0,08 0,006 0,03 4 1 4 1,08 1,17 1,17 5 1 5 2,08 4,33 4,33 6 1 6 3,08 9,49 9,49 n = 12 35/12=2 ,92 24,94/12= 2,08 28 Ответ: генеральные характеристики можно оценить с помощью выборочных характеристик выборочная средняя генеральной совокупности равна 2,92, выборочная дисперсия генеральной совокупности равна 2,27. Пример 3. При исследовании партии картофеля было проведено n пр об и полученные данные о содержании крахмала в клубнях в x % приведены в таблице. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16, 2 20,1 0 21,4 0 18,9 0 16,5 0 17, 3 18,2 0 19,5 0 20,4 0 21, 0 18, 2 19, 4 Решение. Обработку результатов наблюдений сведем к заполнению следующей таблицы. № 1 16,2 - 2,73 7,4256 2 20,10 1,18 1,3806 3 21,40 2,48 6,1256 4 18,90 - 0,03 0,0006 5 16,50 - 2,43 5,8806 6 17,3 - 1,63 2,6406 7 18,20 - 0,73 0,5256 8 19,50 0,57 0,3306 9 20,40 1,48 2,1756 10 21,0 2,08 4,3056 11 18,2 - 0,73 0,5256 12 19,4 0,47 0,2256 227,1 – 31,5425 1. Первые два столбца заполняются исходными данными. 29 2. В последней строке второго столбца записываем сумму всех чисел этого столбца . 3. Вычисляем выборочное среднее по формуле . 4. В каждую строку третьего столбца заносим величину . 5. В каждую строку четвертого столбца заносим величину и в последней строке вычисляем сумму чисел этого столбца: . 6. Вычисляем выборочную дисперсию по формуле: . 7. Вычисляем выборочное среднее квадратическое отклонение: . Ход работы 1. Прослушайте установку на выполнение практической работы. 2. Ознакомьтесь с краткими теоретическими сведениями по теме. 3. В тетради для практических работ выполните задания: – составление статистических таблиц по данной выборке; – вычисление выборочной средней по данному распределению выборки; – вычисление выборочной дисперсии по данному распределению выборки; – вычисление среднего квадратического отклонения ; – вычисление исправленной выборочной дисперсии. 4. Оформите отчет о проделанной работе. 30 Задания для выполнения практической работы Задание 1. По заданной выборке составить статистические таблицы (таблицу распределения частот и таблицу распределения относительных частот): 0; 1; 3; 2; 3; 4; 2; 5; 4; 5; 3; 3; 2; 3; 0; 1; 0; 3; 5; 2; 4; 1; 2; 1; 3. Задание 2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом . 1 3 6 26 8 40 10 2 Найти несмещенную оценку математического ожидания генеральной совокупности. Задание 3. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объемом . 0,1 0,5 0,7 0,9 6 12 1 1 Задание 4 . В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную и исправленную выборочную дисперсии ошибок прибора. Индивидуальные задания Задание 1. Для известного выборочного распределения вычислить числовые характеристики. Задание 2. По данной выборке чисел оценить генеральные характеристики. 31 Вариант Задание 1 Задание 2 1 - 1 0 4 2 3 2 1 3 1 4 2, 3, 4, 4, - 1, 2, 3, 6, 4, 3, 3, - 1 2 1 3 6 5 2 4 1 1 3 2 6, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 4 3 4 3 5 4 2 2 4 1 3 1 8, 7, 6, 6, 8, 8, 4, 4, 3, 2, 2, 7 4 - 1 0 1 3 2 1 2 4 3 2 8, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 3, 8, 1, 2 5 - 2 0 1 3 4 5 1 2 6 2 5, 4, 3, 2, 5, 3, 2, 2, 5, 5, 4, 1 6 1 2 4 3 7 2 5 1 4 1 8, 4, 4, 2, 6, 8, 8, 4, 5, 6, 6, 2 7 - 2 0 3 1 4 5 10 3 2 1 1, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 3, 2, 5, 4, 6 8 2 1 - 1 3 5 1 3 7 2 4 3, 6, 9, 8, 5, 3, 6, 6, 9, 9, 9, 8 9 - 2 0 3 2 1 2 4 6 2 8 7, 5, 4, 3, 3, 7, 7, 4, 2, 3, 7, 5 10 - 1 0 3 2 1 2 8 3 4 5 3, 2, 1, 6, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 6, 1 32 Задани е 3. При исследовании партии картофеля было проведено n проб и полученные данные о содержании крахмала в клубнях в x % приведены в таблице. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение. Вариант Задание 1 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15,2 12,8 13,5 14,9 15,6 16,0 13,7 14,1 13,2 15,0 14,5 13,9 2 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17,2 14,3 18,0 16,5 16,3 17,8 14,9 15,4 15,9 16,9 16,1 17,8 3 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16,2 20,1 21,4 18,9 16,5 17,3 18,2 19,5 20,4 21,0 18,2 19,4 4 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15,7 20,5 21,2 18,4 19,3 17,8 16,7 18,8 16,2 22,0 23,1 19,5 5 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18,6 19,2 17,0 19,8 21,3 16,2 17,4 20,5 19,6 18,3 18,1 16,9 6 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14,6 19,5 20,0 16,8 19,4 17,1 18,2 17,5 16,2 15,7 19,2 15,5 7 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26,3 24,8 22,4 20,1 27,1 25,5 25,1 21,0 22,8 24,5 26,7 25,0 8 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21,3 22,5 19,1 16,2 17,9 18,8 19,1 20,0 20,3 19,9 16,1 17,0 9 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15,2 19,1 10,4 17,9 15,5 16,3 17,2 18,5 19,4 10,0 17,2 18,4 33 Вариант Задание 10 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14,7 19,5 20,2 17,4 18,3 16,8 15,7 17,8 15,2 21,0 22,1 18,5 11 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17,6 18,2 16,0 18,8 10,3 15,2 16,4 19,5 18,6 17,3 17,1 15,9 12 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14,2 15,5 16,0 12,9 15,1 14,3 14,9 13,8 13,4 14,5 13,5 14,0 13 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18,2 17,3 17,9 16,5 15,0 14,4 16,1 17,0 16,2 14,8 15,7 16,8 14 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,3 14,5 15,1 14,0 12,7 13,1 14,3 15,8 16,1 14,7 15,2 13,4 15 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16,7 17,1 15,8 16,0 16,5 15,1 15,5 16,3 16,6 17,2 16,9 16,4 Вопросы для самоконтроля 1. Что называется относительными частотами (статистическими вероятностями)? 2. Какие виды статистических таблиц вы знаете? 3. Что называется модой, медианой и размахом выборки? 4. Что такое выборочная средняя ? 5. Дайте определение выборочной дисперсии ? 6. Что такое выборочное среднее квадратическое отклонение ? 34 7. Какая связь между выборочной средней и средним квадартическим отклонением ? 8. Для чего применяют исправленную выборочную дисперсию ? Список рекомендуемой литературы 1. Лисичкин, В.Т. Математика в задачах с решениями [Текст] / В.Т. Лисичкин. 5 - е изд., – М.: Лань, 2014. - 464 с. 2. Богомолов, Н.В. Математика: учебник для прикладного бакалавриата [Текст] / Н.В. Богомолов, П.И.Самойленко. – 5 - е изд., перераб. и доп. – М.: Ю райт, 2015. – 396 с. 3. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике: учеб.пособие для бакалавров [Текст] / Н.В. Богомолов. – 11 - е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2015. – 495 с. 35 Заключение В методических указаниях были изложены теоретические и п рактические материалы, позволяющие создать у обучающихся наглядные представления о изучаемо м разделе Элементы теории вероятностной и математической статистики дисциплин ы Математика : алгебра и начла математического анализа; геометрия . Были предложены задания для отработки необходимых умений и навыков, вопросы для самоконтроля (контрольные вопросы), список рекомендуемой и используемой литературой, а главное алгоритм действий, который, при условии его выполнения, окажет помощь обучающимся и преподавателям в организации и выполнении практических занятий , позволит повысить эффективность данного вида обучения. Выполненные практические занятия , наряду с другими усвоенными учебными уровнями (контрольная работа, самостоятельная работа) является допуском к экзамену по разделу Элементы теории вероятностной и математической статистики по дисциплине « Математика: алгебра и начла математического анал иза; геометрия . Предложенные методические указания помогут обучающимся выработать у мения и навыки по разделу Элементы теории вероятностной и математической статистики . Позволят сделать практическую работу эффективной, будут способствовать формированию необходимых общих компетенций. 36 Список используемой литературы Основная: 1. Богомолов, Н.В. Математика: учебник для СПО [Текст]/ Н.В. Богомолов, П.И.Самойленко. – 5 - е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2015. 396 с. – Серия: Профессиональное образ ование. 2. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике: учеб.пособие для СПО [Текст]/ Н.В. Богомолов – 11 - е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2015. 496 с. – Серия: Профессиональное образование. 3. Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике: учеб.пособие для ссузов [Текст] / Н.В. Богомолов. – 10 - е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2014. – 204 с. 4. Лисичкин, В.Т. Математика в задачах с решениями [Текст] / В.Т. Лисичкин. 5 - е изд., – М.: Лань, 2014. - 464 с. 5. Бычков, А.Г. Сборник задач по теории вероятнос тей, математической статистике и методам оптимизации [Текст]: учебное пособие/ А.Г. Бычков. – М.: Форум, 2008. – 224 с.: ил. (Серия «Профессиональное образование). 6. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистик е [Текст]: учебное пособие/ В.Е. Гмурман. – изд.6, доп. – М.: Высшая школа, 2002. – 405 с.: ил. 7. Мордкович, А.Г. Математика: алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 - 11 классы [Текст] / А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова, П.В. Семенов и др.; под ред. А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова. - 10 - е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 429 с.; ил. 8. Дадаян, А.А. Математика: учебник [Текст] / А.А.Дадаян. – М.: ИНФРА - М, 2013. – 544 с. 9. Богомолов, Н.В. Математика: учебник для бакалавров [Текст] / Н.В. Богомо лов, П.И.Самойленко. – 5 - е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2013. – 396 с. 37 10. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике: учеб.пособие для бакалавров [Текст] / Н.В. Богомолов. – 11 - е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2013. – 495 с. 11. Луканкин, А.Г. Мат ематика: учебник для сред.проф.образования [Текст] / А.Г.Луканкин. – М.: ГЭОТАР - Медиа, 2012. – 320 с. 12. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 - 11 классы [Текст] / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др. – М.: Просвещ ение, 2012. (Гриф УМО). 13. Башмаков, М.И. Математика (базовый уровень). 10 - 11 классы [Текст] / М.И. Башмаков. – М.: Просвещение, 2012. (Гриф УМО). 14. Погорелов, А.В. Геометрия (базовый и профильный уровни). 10 - 11 классы [Текст] / А.В. Погорелов. – М.: Просвещени е, 2012. (Гриф УМО). 15. Колягин, Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 класс [Текст] / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачев, Н.Е. Федорова и др. – М.: Просвещение, 2012. (Гриф УМО). 16. Колягин, Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 11 класс [Текст] / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачев, Н.Е. Федорова и др. – М.: Просвещение, 2012. (Гриф УМО). 17. Никольский, С.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 класс [Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2012. (Гриф УМО). 18. Никольский, С.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 11 класс [Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др. – М.: Прос вещение, 2012. (Гриф УМО). 19. Погорелов, А.В. Геометрия. 10 - 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни [Текст] / А.В. Погорелов. – 11 - е изд. – М.: Просвещение. 2011. – 255 с. 20. Атанасян, Л.С. Геометрия. 10 - 11классы: учебн ик для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни [Текст] / 38 Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 20 - е изд. – М.: Просвещение. 2011. – 255 с. 21. Богомолов, Н.В. Сборник дидактических заданий по математике: учеб.пособие для ссузов [Текст] / Н.В. Богомолов, Л.Ю. Сергиенко. – 4 - е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010. – 236 с. 22. Богомолов, Н.В. Математика. Задачи с решениями: учеб.пособие для ссузов [Текст] / Н.В. Богомолов, Л.Ю. Сергиенко. – 4 - е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010. – 524 с. Дополнительная: 1. Барбаумов, В. Справочник по математике для экономистов [Текст] / В. Барбаумов, В. Ермаков, Н. Кривенцова. – М.: Инфра - М, 2010. - 464 с. (Серия «Высшее образование) 2. Красс, М.С. Математика для экономистов [Текст] / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2008. – 464 с. (Серия «Учебное пособие) (Гриф УМО РФ). 3. Григорьев, С.Г. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 2 - е изд., стер. – М.: Академия, 2007. - 384 с. 4. Лу канкин Г.Л., Луканкин А.Г. Математика. Ч. 1: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования. – М., 2007. 5. Башмаков, М.И. Алгебра и начала математического анализа: Учебник для 10 класса. – М.: Просвещение, 2005. 6. Башмаков, М.И. Алге бра и начала математического анализа: Учебник для 11 класса. – М.: Просвещение, 2005. 7. Башмаков, М.И. Математика: Учебник для 10 — 11 классов. – М.: Просвещение, 2005.

Приложенные файлы

  • pdf file11
    Методические указания по организации и проведению практических занятий по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» (Раздел «Элементы теории вероятностей и математической статистики»)
    Размер файла: 822 kB Загрузок: 9

Добавить комментарий