Практическая работа №1 по дисциплине: Математика наименование работы: Комплексные числа

Смоленский колледж телекоммуникаций
(филиал) федерального государственного образовательного
бюджетного учреждения высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций
им. проф. М.А. Бонч-Бруевича»


















Практическая работа №1


по дисциплине: Математика

наименование работы: Комплексные числа

для специальностей: 11.02.09, 11.02.11, 11.02.08, 09.02.02, 09.02.
работа рассчитана на 2 часа
составлена преподавателем: Скряго О.С.















Смоленск, 2014
1. Цель работы: изучить понятия комплексного числа, овладеть навыками выполнения действий над комплексными числами.
2. Литература:
2.1. Дадаян, А.А. Математика:учебник./А.А. Дадаян.-3-е изд.-М.:ФОРУМ, 2011.-544с.- ISBN 978-5-9134-460-3
2.2. Дадаян, А.А. Сборник задач по математике: учебное пособие/А.А. Дадаян.-М.:ФОРУМ:ИНФРА-М,2011.-352 с.-ISBN 978-5-91134-271-5, ISBN 978-5-16-002152-2 2.3. Антонов,В.И. Элементарная математика для первокурсника: Учебное пособие. / В.И Антонов, Ф.И. Копелевич.- СПб.: Издательство "Лань", 2013. -112с.: ил. -ISBN 978-5-8114-1413-0
3. Подготовка к работе:
3.1. Повторить тему «Развитие понятия о числе».
3.2. Подготовить бланк отчета (см.п.7).
3.3. Ответить на вопросы допуска:
3.3.1. Какие числа называют комплексные?
3.3.2. Запишите основное свойство мнимой единицы?
3.3.3. Что такое модуль комплексного числа?

4. Основное оборудование:
4.1. не используется.
5. Задание:
Выполните задание согласно варианту.

Вариант 1.
1. Изобразите геометрически на плоскости следующие комплексные числа:
а) z = 2-4i ;
б) z = 4;
в) z = -3i .
2. Выполните действия над комплексными числами z1=3+7i и z2=1-2i.
3. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z = -1+2i .
4. Запишите число z = 4+4i в тригонометрической и показательной формах.
Вариант 2.
1. Изобразите геометрически на плоскости следующие комплексные числа:
а) z = 6-i ;
б) z = 4i;
в) z = -6 .
2. Выполните действия над комплексными числами z1=3+2i и z2=1-2i.
3. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z = 5-2i .
4. Запишите число z = 2-3i в тригонометрической и показательной формах.

Вариант 3.
1. Изобразите геометрически на плоскости следующие комплексные числа:
а) z = -2-5i ;
б) z = -5;
в) z = -4i .
2. Выполните действия над комплексными числами z1 = -6-4i и z2=1+2i.
3. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z = -2+2i .
4. Запишите число z = 3-3i в тригонометрической и показательной формах.
Вариант 4.
1. Изобразите геометрически на плоскости следующие комплексные числа:
а) z = 6-5i ;
б) z = 4;
в) z = 2i .
2. Выполните действия над комплексными числами z1=6+5i и z2=1-3i.
3. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z = -7-7i .
4. Запишите число z = 1-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15i в тригонометрической и показательной формах.

Вариант 5.
1. Изобразите геометрически на плоскости следующие комплексные числа:
а) z = 8-5i ;
б) z = -3;
в) z = 6i .
2. Выполните действия над комплексными числами z1=6+5i и z2=1-3i.
3. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z = -7-7i .
4. Запишите число z = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15i в тригонометрической и показательной формах.
Вариант 6.
1. Изобразите геометрически на плоскости следующие комплексные числа:
а) z = 5+4i ;
б) z = -6;
в) z = 5i .
2. Выполните действия над комплексными числами z1=-9+5i и z2= -1-4i.
3. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z =7-7i .
4. Запишите число z = 3-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15i в тригонометрической и показательной формах.

Вариант 7.
1. Изобразите геометрически на плоскости следующие комплексные числа:
а) z = -6+2i ;
б) z = 7;
в) z = -i .
2. Выполните действия над комплексными числами z1= -8+5i и z2=9-3i.
3. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z = -6+6i .
4. Запишите число z = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15-i в тригонометрической и показательной формах.

Вариант 8.
1. Изобразите геометрически на плоскости следующие комплексные числа:
а) z = -4+7i ;
б) z = -2;
в) z = 3i .
2. Выполните действия над комплексными числами z1= 11-9i и z2=9-11i.
3. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15-i.
4. Запишите число z = -6+6i в тригонометрической и показательной формах.


Вариант 9.
1. Изобразите геометрически на плоскости следующие комплексные числа:
а) z = 7-2i ;
б) z = -5;
в) z = 3i .
2. Выполните действия над комплексными числами z1= 7-4i и z2=7+4i.
3. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15i
4. Запишите число z =5+5i в тригонометрической и показательной формах.

Вариант 10.
1. Изобразите геометрически на плоскости следующие комплексные числа:
а) z = 6+i ;
б) z = 1;
·
в) z = -5i .
2. Выполните действия над комплексными числами z1= 12+9i и z2=3-61i.
3. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15-3i.
4. Запишите число z = -4+4i в тригонометрической и показательной формах.



6. Порядок выполнения работы:
6.1. Ознакомиться с заданием.
6.2. Определить номер варианта (в соответствии с номером в журнале).
6.3. Выполнить задания в соответствии с вариантом.
6.4. Ответьте на контрольные вопросы.

7. Содержание отчёта:
7.1. Название и цель работы.
7.2 Ответы на вопросы допуска.
7.2. Указать номер варианта, привести условия задач своего варианта.
7.3. Представить решение задач согласно варианта.
7.4. Ответы на контрольные вопросы.

8. Контрольные вопросы:
8.1. Что такое главный аргумент комплексного числа?
8.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа, множество комплексных чисел?
8.3. Какие правила действия над комплексными числами в алгебраической форме (сложение, вычитание, умножение, деление) вы знаете?
8.4. Как выглядит тригонометрическая форма комплексного числа?
8.5. Как выглядит показательная форма комплексного числа?





Составил преподаватель __________________________Скряго О.С.


9. Приложение:
Комплексным числом  называется число вида , где  и  – действительные числа,  – так называемая мнимая единица (i2 = – 1). Число называется действительной частью ()комплексного числа , число называется мнимой частью () комплексного числа .
 – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами:  или переставить мнимую единицу:  – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:  

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости (рисунок 1):

рисунок 1
Множество  комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.
Комплексная плоскость состоит из двух осей:   – действительная ось  – мнимая ось.
Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат По осям нужно задать размерность, отмечаем:
ноль;
единицу по действительной оси;
мнимую единицу  по мнимой оси.
Комплексные числа обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат. Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не  чертят, потому что они сливаются с осями (рисунок 2).



рисунок 2
Алгебраическая форма комплексного числа -
Сложение комплексных чисел: для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Пример 1: Сложить два комплексных числа и .
.
Вычитание комплексных чисел: действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.
Пример 2: Найти разности комплексных чисел  и , если , .

Умножение комплексных чисел: (a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i
Пример 3: Найти произведение комплексных чисел  , 
.
Пример 4: Даны комплексные числа , . Найти частное .

Деление комплексных чисел: методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение
Любое комплексное число (кроме нуля)  можно записать в тригонометрической форме: , где  – это модуль комплексного числа, а  – аргумент комплексного числа (рисунок 3). 

рисунок 3
Модулем комплексного числа  называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длинарадиус-вектора. Модуль комплексного числа  стандартно обозначают:  или .
По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: 
Аргументом комплексного числа  называется угол  между положительной полуосьюдействительной оси  и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .
Аргумент комплексного числа  стандартно обозначают:  или 
Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента: .
Пример 5: Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ:  (270 градусов), и, соответственно: . Проверка: .

Показательная форма комплексного числа: Любое комплексное число (кроме нуля)  можно записать в показательной форме: , где  – это модуль комплексного числа, а  – аргумент комплексного числа.









HYPER13 PAGE \* MERGEFORMAT HYPER142HYPER15




Рисунок 21Рисунок 22Рисунок 23Рисунок 24Рисунок 25Рисунок 33Рисунок 34Как изобразить комплексные числа на комплексной плоскостиРисунок 64Как изобразить комплексные числа на комплексной плоскостиРисунок 67Рисунок 76Рисунок 79Рисунок 82Рисунок 85Рисунок 86Рисунок 87Рисунок 88Рисунок 93Рисунок 106Рисунок 171Рисунок 118Модуль и аргумент комплексного числаРисунок 124Модуль и аргумент комплексного числаРисунок 127Рисунок 129Рисунок 130Рисунок 137Рисунок 138Рисунок 143Рисунок 144Рисунок 153Рисунок 155Рисунок 156Рисунок 177HYPER15Основной шрифт абзаца

Приложенные файлы

  • doc 64
    Скряго
    Размер файла: 245 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий