Практическая работа 10 по дисциплине: Математика наименование работы: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Смоленский колледж телекоммуникаций
(филиал) федерального государственного образовательного
бюджетного учреждения высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций
им. проф. М.А. Бонч-Бруевича»













Практическая работа 10


по дисциплине: Математика

наименование работы: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

для специальностей: 11.02.09, 11.02.11, 11.02.08, 09.02.02, 09.02.
работа рассчитана на 2 часа
составлена преподавателем: Скряго О.С.














Смоленск, 2015
1. Цель работы: усвоить применение производной функции для исследования функции на монотонность, экстремумы, точки перегиба и выпуклость графика с целью построения графика.

2. Литература:
2.1. Дадаян, А.А. Математика:учебник./А.А. Дадаян.-3-е изд.-М.:ФОРУМ, 2011.-544с.- ISBN 978-5-9134-460-3
2.2. Дадаян, А.А. Сборник задач по математике: учебное пособие/А.А. Дадаян.-М.:ФОРУМ:ИНФРА-М,2011.-352 с.-ISBN 978-5-91134-271-5, ISBN 978-5-16-002152-2 2.3. Антонов,В.И. Элементарная математика для первокурсника: Учебное пособие. / В.И Антонов, Ф.И. Копелевич.- СПб.: Издательство "Лань", 2013. -112с.: ил. -ISBN 978-5-8114-1413-0

3. Подготовка к работе:
3.1. Повторить тему «Применение производной к исследованию функций и построению графиков».
3.2. Подготовить бланк отчета (см.п.7).
3.3. Ответить на вопросы допуска:
3.3.1. Что такое производная функции в точке?
3.3.2. Запишите таблицу производных элементарных функций?
3.3.3. Какие правила дифференцирование вы знаете?

4. Основное оборудование:
4.1. не используется.

5. Задание:
Выполните задание согласно варианту.

Вариант 1
1. Исследуйте функцию и постройте ее график: f(x)=HYPER13 QUOTE HYPER144xHYPER153 +2x2 .

Вариант 2
1. Исследуйте функцию и постройте ее график: f(x)=HYPER13 QUOTE HYPER142xHYPER153 +x2-2 .

Вариант 3
1. Исследуйте функцию и постройте ее график: f(x)=HYPER13 QUOTE HYPER14xHYPER153 +2x2-x+1.

Вариант 4
1. Исследуйте функцию и постройте ее график: f(x)=HYPER13 QUOTE HYPER14-xHYPER153 +2x2-2x.



Вариант 5
1. Исследуйте функцию и постройте ее график: f(x)=HYPER13 QUOTE HYPER144xHYPER153 -x2+11.

Вариант 6
1. Исследуйте функцию и постройте ее график: f(x)=HYPER13 QUOTE HYPER142xHYPER154 –x3.
Вариант 7
1. Исследуйте функцию и постройте ее график: HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.

Вариант 8
1. Исследуйте функцию и постройте ее график:HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.

Вариант 9
1. Исследуйте функцию и постройте ее график: HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.

Вариант 10
1. Исследуйте функцию и постройте ее график: HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.

6. Порядок выполнения работы:
6.1. Ознакомиться с заданием.
6.2. Определить номер варианта (в соответствии с номером в журнале).
6.3. Выполнить задания в соответствии с вариантом.
6.4. Ответьте на контрольные вопросы.

7. Содержание отчёта:
7.1. Название и цель работы.
7.2. Указать номер варианта, привести условия задач своего варианта.
7.3. Представить решение задач согласно варианта.
7.4. Ответы на контрольные вопросы.

8. Контрольные вопросы:
8.1.Какую точку называют критической точкой функции?
8.2. Дайте определение точки максимума функции, точки минимума функции?
8.3. Когда график функция возрастает на промежутке, убывает на промежутки?
8.4. В чем заключается понятие выпуклости и вогнутости графика функции?
8.5. Какая точка называется точкой перегиба?





Составил преподаватель __________________________Скряго О.С.
9. Приложение:
 ИССЛЕДОВАНИЕ  ФУНКЦИИ  С  ПОМОЩЬЮ  ПРОИЗВОДНОЙ.
 
 Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

 Функция возрастает (убывает) на промежутке, если на данном промежутке производная больше нуля (меньше нуля).
 
Если критическая точка принадлежит  D(f ) , а производная в данной точке меняет свой знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то это  точка максимума  ( точка  минимума).
    
Пусть функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] дважды дифференцируема на некотором интервале. Тогда:
– если вторая производная [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] на интервале, то график функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] является выпуклым на данном интервале;
– если вторая производная [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] на интервале, то график функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] является вогнутым на данном интервале.
Если вторая производная [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при переходе через точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] меняет знак, то в данной точке существует перегиб графика функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].  
Пример: Исследовать функцию [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 
·и построить ее график.
Решение:
 1) Область определения функции.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2) Четность, нечетность.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Функция общего вида.
3) Точки пересечения с осями.
а) с осью [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] :
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
то есть точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
б) с осью [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] : в данной точке функция неопределенна.
4) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
а) вертикальные: прямые [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - вертикальные асимптоты.
б) горизонтальные асимптоты:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
то есть прямая [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - горизонтальная асимптота.
в) наклонные асимптоты [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] :
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Таким образом, наклонных асимптот нет.
5) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] для любого [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] из области определения функции;[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] не существует при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Таким образом, функция убывает на всей области существования.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] нет.
6) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ; при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] вторая производная не существует.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Таким образом, на промежутках [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] функция вогнута, а на промежутках [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - выпукла. Так как при переходе через точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.
7) Эскиз графика.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]









HYPER13 PAGE \* MERGEFORMAT HYPER142HYPER15




Root Entry

Приложенные файлы

  • doc 73
    Скряго
    Размер файла: 184 kB Загрузок: 3

Добавить комментарий