Практическая работа №1 по дисциплине: Математика наименование работы: Вычисление пределов функции в точке

СМОЛЕНСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ (филиал)
федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
им.проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»



































Практическая работа №1


по дисциплине: Математика

наименование работы: Вычисление пределов функции в точке






Для специальностей: 210705, 210709, 210723
Работа рассчитана на 2 часа

Составил преподаватель: Скряго О.С.







Смоленск, 2014

1. Цель работы: овладеть навыками вычисления пределов функции в точке.
2. Литература:
2.1. Дадаян, А.А. Математика:учебник./А.А. Дадаян.-3-е изд.-М.:ФОРУМ, 2011.-544с.- ISBN 978-5-9134-460-3
2.2. Дадаян, А.А. Сборник задач по математике: учебное пособие/А.А. Дадаян.-М.:ФОРУМ:ИНФРА-М,2011.-352 с.-ISBN 978-5-91134-271-5, ISBN 978-5-16-002152-2 2.3. Антонов,В.И. Элементарная математика для первокурсника: Учебное пособие. / В.И Антонов, Ф.И. Копелевич.- СПб.: Издательство "Лань", 2013. -112с.: ил. -ISBN 978-5-8114-1413-0
3. Подготовка к работе:
3.1. Повторить тему «Вычисление пределов функции в точке».
3.2. Подготовить бланк отчета (см.п.7).
3.3. Ответить на вопросы допуска:
3.3.1.Что называется пределом?
3.3.2. Как раскрывается неопределенность 0/0?
3.3.3. Чему равен предел константы?
4. Основное оборудование:
4.1. не используется.
5. Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
Вычислить пределы функций:
1. HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 при а) x0=2; б) x0=4
2. HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.

Вариант 2
Вычислить пределы функций:
1. HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 при а) x0=2; б) x0=5
2. HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
Вариант 3
Вычислить пределы функций:
1. HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 при а) x0=2; б) x0=3
2. HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

Вариант 4
Вычислить пределы функций:
1. HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 при а) x0=0; б) x0=2
2. HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
Вариант 5
Вычислить пределы функций:
1. HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 при а) x0=3; б) x0=-3
2. HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
Вариант 6
Вычислить пределы функций:
1. HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 при а) x0=-3; б) x0=-2
2. HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

6. Порядок выполнения работы:
6.1. Ознакомиться с заданием.
6.2. Определить номер варианта (в соответствии с номером в журнале).
6.3. Выполнить задания в соответствии с вариантом.
6.4. Ответьте на контрольные вопросы.

7. Содержание отчёта:
7.1. Название и цель работы.
7.2. Указать номер варианта, привести условия задач своего варианта.
7.3. Представить решение задач согласно варианта.
7.4. Ответы на контрольные вопросы.

8. Контрольные вопросы:
8.1. Пределы суммы, произведения и частного двух функций?
8.2. Какая функция называется бесконечно большой?
8.3. Какая функция называется бесконечно малой?
8.4. Какая функция называется ограниченной?
8.5. Перечислите свойства бесконечно малых функций?


Составил преподаватель __________________________Скряго О.С.
9. Приложение:
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точка а, кроме быть может, самой точки а.
Число b называется пределом функции в точке а, если для любой последовательности значений аргумента сходящейся к а (xn=a), соответствующая последовательность значений функции f(xn) сходится и при том каждый раз к числу b.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Теорема. Функция y=f(x) в данной точке а не может иметь более одного предела.

Основные теоремы о пределах.
Теорема 1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где С = const.
Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х(а.
Теорема 2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.
Теорема 3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Следствие. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Теорема 4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то А>0.
Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ( 0, f(x) ( 0.
Теорема 6. Если g(x) ( f(x) ( u(x) вблизи точки х = а и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что (f(x)( Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х(а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Бесконечно малые функции.

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х(а, где а может быть числом или одной из величин (, +( или -(, если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.
Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х(0 и не является бесконечно малой при х(1, т.к. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х(а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
f(x) = A + ((x),
где ((х) – бесконечно малая при х ( а (((х)(0 при х ( а).
Свойства бесконечно малых функций:

Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х(а тоже бесконечно малая функция при х(а.
Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х(а тоже бесконечно малая функция при х(а.
Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х(а.
Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.
Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.
Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + ((x), g(x) = B + ((x), где
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда
f(x) ( g(x) = (A + B) + ((x) + ((x)
A + B = const, ((х) + ((х) – бесконечно малая, значит
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + ((x), g(x) = B + ((x), где
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
A(B = const, ((х) и ((х) – бесконечно малые, значит
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Теорема доказана.
Бесконечно большие функции и их связь с
бесконечно малыми.

Определение. Предел функции f(x) при х(а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число (>0, что неравенство
(f(x)(>M
выполняется при всех х, удовлетворяющих условию
0 < (x - a( < (
Записывается HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие (f(x)(>M на f(x)>M, то получим:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
а если заменить на f(x)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:





a x a x a x







Определение. Функция называется бесконечно большой при х(а, где а – число или одна из величин (, +( или -(, если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где А – число или одна из величин (, +( или -(.

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

Теорема. Если f(x)(0 при х(а (если х(( ) и не обращается в ноль, то
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Вычисление пределов
Предел функции не зависит от того, что определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение.
Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, либо предел элементарной функции f(x) при x, стремящемся к значению а, которое входит в область ее определения, равен частному значению функции при x=a, т.е. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример.
Найти предел функции: f(x)=x3-5x2+2x+4 при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решение: Данная функция является элементарной, она определена в предельной точке, поэтому находим предел функции как ее частное значение в предельной точке:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.

Виды неопределенностей.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
а) Случай, когда при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция f(x) представляет отношения двух б/м величин (неопределенность HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
Пример. Найти предел HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x2 – 6x + 8 = 0; x2 – 8x + 12 = 0;
D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;
x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6;
x2 = (6 – 2)/2 = 2 ; x2 = (8 – 4)/2 = 2;
Тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Пример. Найти предел.

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=
=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


Пример. Найти предел.

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

б) Случай, когда при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция f(x) представляет отношение двух б/б величин (неопределенность HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
Пример. Найти предел функции: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решение: Убедимся, что имеет место случай (неопределенность HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), тогда подвергаем функцию преобразованиям. Деля числитель и знаменатель дроби на x4 (наивысшая степень x), находим:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

в) Случай, когда при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция f(x) представляет степень, основание которой стремится к середине, а показатель к бесконечности (неопределенность HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15). В этом случае для нахождения предела используется замечательный предел: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример. Найти предел функции: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решение: Исключив целую часть из дроби, полагаем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример. Найти предел.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15




Замечательные пределы.

1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (x есть радиальная мера угла) 2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 6. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

7. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15









HYPER13 PAGE \* MERGEFORMAT HYPER148HYPER15




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 78
    Скряго
    Размер файла: 193 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий