Практическая работа №2 по дисциплине: Математика наименование работы: Вычисление пределов функции на бесконечности

СМОЛЕНСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ (филиал)
федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
им.проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»



































Практическая работа №2


по дисциплине: Математика

наименование работы: Вычисление пределов функции на бесконечности






Для специальностей: 210705, 210709, 210723
Работа рассчитана на 2 часа








Смоленск, 2014

1. Цель работы: овладеть навыками вычисления пределов функции на бесконечности.
2. Литература:
2.1. Дадаян, А.А. Математика:учебник./А.А. Дадаян.-3-е изд.-М.:ФОРУМ, 2011.-544с.- ISBN 978-5-9134-460-3
2.2. Дадаян, А.А. Сборник задач по математике: учебное пособие/А.А. Дадаян.-М.:ФОРУМ:ИНФРА-М,2011.-352 с.-ISBN 978-5-91134-271-5, ISBN 978-5-16-002152-2 2.3. Антонов,В.И. Элементарная математика для первокурсника: Учебное пособие. / В.И Антонов, Ф.И. Копелевич.- СПб.: Издательство "Лань", 2013. -112с.: ил. -ISBN 978-5-8114-1413-0
3. Подготовка к работе:
3.1. Повторить тему «Вычисление пределов функции на бесконечности».
3.2. Подготовить бланк отчета (см.п.7).
3.3. Ответить на вопросы допуска:
3.3.1.Что называется пределом функции?
3.3.2. Какие виды неопределенностей вы знаете?
3.3.3. Понятие бесконечно малой величины?
4. Основное оборудование:
4.1. не используется.
5. Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
Вычислить пределы функций:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Вариант 2
Вычислить пределы функций:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 3
Вычислить пределы функций:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3. 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 4
Вычислить пределы функций:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3. 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 5
Вычислить пределы функций:
1. 13 EMBED Equation.3 1415

2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

3. 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант 6
Вычислить пределы функций:
1. 13 EMBED Equation.3 1415

2. 13 EMBED Equation.3 1415

3. 13 EMBED Equation.3 1415



6. Порядок выполнения работы:
6.1. Ознакомиться с заданием.
6.2. Определить номер варианта (в соответствии с номером в журнале).
6.3. Выполнить задания в соответствии с вариантом.
6.4. Ответьте на контрольные вопросы.

7. Содержание отчёта:
7.1. Название и цель работы.
7.2. Указать номер варианта, привести условия задач своего варианта.
7.3. Представить решение задач согласно варианта.
7.4. Ответы на контрольные вопросы.

8. Контрольные вопросы:
8.1. Пределы суммы, произведения и частного двух функций?
8.2. Понятие бесконечно большой величины?
8.3. Понятие предела функции в точке и на бесконечности?
8.4. Правила раскрытия неопределенности .?
8.5. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой величинами?















Составил преподаватель __________________________Скряго О.С.









9. Приложение:
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точка а, кроме быть может, самой точки а.
Число b называется пределом функции в точке а, если для любой последовательности значений аргумента сходящейся к а (xn=a), соответствующая последовательность значений функции f(xn) сходится и при том каждый раз к числу b.
13 EMBED Equation.3 1415
Теорема. Функция y=f(x) в данной точке а не может иметь более одного предела.

Основные теоремы о пределах.
Теорема 1. 13 EMBED Equation.3 1415, где С = const.
Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х(а.
Теорема 2. 13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.
Теорема 3. 13 EMBED Equation.3 1415
Следствие. 13 EMBED Equation.3 1415
Теорема 4. 13 EMBED Equation.3 1415 , при 13 EMBED Equation.3 1415
Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и 13 EMBED Equation.3 1415, то А>0.
Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ( 0, f(x) ( 0.
Теорема 6. Если g(x) ( f(x) ( u(x) вблизи точки х = а и 13 EMBED Equation.3 1415, то и 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что (f(x)( Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х(а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Бесконечно малые функции.

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х(а, где а может быть числом или одной из величин (, +( или -(, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.
Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х(0 и не является бесконечно малой при х(1, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х(а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
f(x) = A + ((x),
где ((х) – бесконечно малая при х ( а (((х)(0 при х ( а).
Свойства бесконечно малых функций:

Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х(а тоже бесконечно малая функция при х(а.
Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х(а тоже бесконечно малая функция при х(а.
Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х(а.
Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.
Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

Определение. Предел функции f(x) при х(а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число (>0, что неравенство
(f(x)(>M
выполняется при всех х, удовлетворяющих условию
0 < (x - a( < (
Записывается 13 EMBED Equation.3 1415.
Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие (f(x)(>M на f(x)>M, то получим:
13 EMBED Equation.3 1415
а если заменить на f(x)13 EMBED Equation.3 1415
Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:





a x a x a x







Определение. Функция называется бесконечно большой при х(а, где а – число или одна из величин (, +( или -(, если 13 EMBED Equation.3 1415, где А – число или одна из величин (, +( или -(.

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

Теорема. Если f(x)(0 при х(а (если х(( ) и не обращается в ноль, то
13 EMBED Equation.3 1415

Вычисление пределов
Предел функции не зависит от того, что определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение.
Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, либо предел элементарной функции f(x) при x, стремящемся к значению а, которое входит в область ее определения, равен частному значению функции при x=a, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример.
Найти предел функции: f(x)=x3-5x2+2x+4 при 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Данная функция является элементарной, она определена в предельной точке, поэтому находим предел функции как ее частное значение в предельной точке:
13 EMBED Equation.3 1415
Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.

Виды неопределенностей.
13 EMBED Equation.3 1415
а) Случай, когда при 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 функция f(x) представляет отношения двух б/м величин (неопределенность 13 EMBED Equation.3 1415)
б) Случай, когда при 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 функция f(x) представляет отношение двух б/б величин (неопределенность 13 EMBED Equation.3 1415)
Пример. Найти предел функции: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Убедимся, что имеет место случай (неопределенность 13 EMBED Equation.3 1415), тогда подвергаем функцию преобразованиям. Деля числитель и знаменатель дроби на x4 (наивысшая степень x), находим:
13 EMBED Equation.3 1415

в) Случай, когда при 13 EMBED Equation.3 1415 или при 13 EMBED Equation.3 1415 функция f(x) представляет степень, основание которой стремится к середине, а показатель к бесконечности (неопределенность 13 EMBED Equation.3 1415). В этом случае для нахождения предела используется замечательный предел: 13 EMBED Equation.3 1415.








13 PAGE \* MERGEFORMAT 14215




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 79
    Скряго
    Размер файла: 147 kB Загрузок: 3

Добавить комментарий