Практическая работа №5 по дисциплине: Математика наименование работы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала

СМОЛЕНСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ (филиал)
федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
им.проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»



































Практическая работа №5


по дисциплине: Математика

наименование работы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала






Для специальностей: 210705, 210709, 210723
Работа рассчитана на 2 часа








Смоленск, 2014

1. Цель работы: приобрести навыки вычисления дифференциала функции.
2. Литература:
2.1. Дадаян, А.А. Математика:учебник./А.А. Дадаян.-3-е изд.-М.:ФОРУМ, 2011.-544с.- ISBN 978-5-9134-460-3
2.2. Дадаян, А.А. Сборник задач по математике: учебное пособие/А.А. Дадаян.-М.:ФОРУМ:ИНФРА-М,2011.-352 с.-ISBN 978-5-91134-271-5, ISBN 978-5-16-002152-2 2.3. Антонов,В.И. Элементарная математика для первокурсника: Учебное пособие. / В.И Антонов, Ф.И. Копелевич.- СПб.: Издательство "Лань", 2013. -112с.: ил. -ISBN 978-5-8114-1413-0
3. Подготовка к работе:
3.1. Повторить тему «Дифференциал функции одной действительной переменной».
3.2. Подготовить бланк отчета (см.п.7).
3.3. Ответить на вопросы допуска:
3.3.1. Что такое производная функции в точке?
3.3.2. Что такое дифференциал функции первого порядка?
3.3.3. Что такое дифференциал второго порядка?
4. Основное оборудование:
4.1. не используется.
5. Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
1. Вычислить приближенное значение функции y=x3-4x2+5x+3 при x=1,03 c применением дифференциала функции.

2. Найти приближенное значение (9,01)3 с помощью дифференциала.

3.Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.

Вариант 2
1. Вычислить приближенное значение функции y=(1+x)(1-x) при x=9,9 (с использованием дифференциала функции).

2. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала: (4,012)2.

3. Найти приближенное значение приращения функции y=HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15, при x=25, dx=0,01.
Вариант 3
1. Вычислить значение дифференциала функции HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
при x=3, HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.

2. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.
3.Найти приближенное значение приращения функции у=х3-2х+1 при х=2 и
·х=0,001.

Вариант 4
1. Вычислить приближенное значение приращения функции y=x3-x+5 при изменении аргумента от 2 до 2,01.

2. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.

3. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала: ln 0,99.

Вариант 5
1. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 .

2. Найти приближенное значение приращения функции y=x3-x2, при x=2, dx=0,01.

3. Найти приближенное значение приращения функции y = x2 – 2x, при изменении аргумента от 3 до 3,01.

Вариант 6
1. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 .

2. Найти приближенное значение приращения функции y=2x3-x2, при x=3, dx=0,02.

3. Найти приближенное значение приращения функции y = 3x2 – 2x, при изменении аргумента от 3 до 3,01.

6. Порядок выполнения работы:
6.1. Ознакомиться с заданием.
6.2. Определить номер варианта (в соответствии с номером в журнале).
6.3. Выполнить задания в соответствии с вариантом.
6.4. Ответьте на контрольные вопросы.

7. Содержание отчёта:
7.1. Название и цель работы.
7.2. Указать номер варианта, привести условия задач своего варианта.
7.3. Представить решение задач согласно варианта.
7.4. Ответы на контрольные вопросы.
8. Контрольные вопросы:
8.1. Чему равен дифференциал аргумента?
8.2. Запишите формулу для простейших приближенных вычислений?
8.3. Запишите формулу для простейших приближенных вычислений степенной функции?
8.4. Запишите формулу для простейших приближенных вычислений корня n-ой степени?
8.5. Запишите формулу для простейших приближенных вычислений для sinх?











Составил преподаватель __________________________Скряго О.С.












9. Приложение:
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

у
f(x)


f(x0 +(x) P
(f
f(x0) M

( ( (x
0 x0 x0 + (x x



Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,

где ( - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Уравнение нормали к кривой: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.
Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.
Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.
Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Понятно, что это условие не является достаточным.
Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ( v)( = u( ( v(
2) (u(v)( = u(v( + u((v
3)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, если v ( 0

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций.

1)С( = 0; 9) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2)(xm)( = mxm-1; 10) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 11) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 12) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 13) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
6) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 14) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
7)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 15) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
8) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 16) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Производная сложной функции.

Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Доказательство.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

( с учетом того, что если (x(0, то (u(0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Теорема доказана.
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать:  , где
·
·0, при
·х
·0.
Следовательно:    .
Величина
·
·x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f
·(x)
·x, т.е. f
·(x)
·x- главная часть приращения
·у.
 
         Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.
         Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что  dy = f
·(x)
·x  или
dy = f
·(x)dx. 
Можно также записать:
 Свойства дифференциала.
         Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
1)     d(u
· v) = (u
· v)
·dx = u
·dx
· v
·dx = du
· dv
2)     d(uv) = (uv)
·dx = (u
·v + v
·u)dx = vdu + udv
3)     d(Cu) = Cdu

4)      
Применение дифференциала к приближённым вычислениям.
Пусть дана функция y=f(x); приращение этой функции
·y= f(x+
·x)-f(x), её дифференциал dy = f
·(x)
·x. При достаточно малых (близких к нулю) приращениях аргумента
·x будем считать, что
·ydy, т.е. что приращение функции приближённо равно её дифференциалу.
Заменив приращение функции её дифференциалом, получим
                 f
·(x)
·x 
·f(x+
·x)-f(x),откуда   f(x+
·x)
·f(x)+ f
·(x)
·x
Применение этой формулы даёт значительное упрощение вычисления числового значения функции; геометрически это соответствует замене участка кривой участком касательной.












HYPER13 PAGE \* MERGEFORMAT HYPER142HYPER15




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 82
    Скряго О.С.
    Размер файла: 121 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий