Практическая работа №7 по дисциплине: Математика наименование работы: Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки

СМОЛЕНСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ (филиал)
федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
им.проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»



































Практическая работа №7


по дисциплине: Математика

наименование работы: Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки





Для специальностей: 210705, 210709, 210723
Работа рассчитана на 2 часа








Смоленск, 2014

1. Цель работы: приобрести навыки нахождения неопределенного интеграла методом подстановки.
2. Литература:
2.1. Дадаян, А.А. Математика:учебник./А.А. Дадаян.-3-е изд.-М.:ФОРУМ, 2011.-544с.- ISBN 978-5-9134-460-3
2.2. Дадаян, А.А. Сборник задач по математике: учебное пособие/А.А. Дадаян.-М.:ФОРУМ:ИНФРА-М,2011.-352 с.-ISBN 978-5-91134-271-5, ISBN 978-5-16-002152-2 2.3. Антонов,В.И. Элементарная математика для первокурсника: Учебное пособие. / В.И Антонов, Ф.И. Копелевич.- СПб.: Издательство "Лань", 2013. -112с.: ил. -ISBN 978-5-8114-1413-0
3. Подготовка к работе:
3.1. Повторить тему «Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки».
3.2. Подготовить бланк отчета (см.п.7).
3.3. Ответить на вопросы допуска:
3.3.1.Что называется первообразной?
3.3.2. Первообразная элементарных функций?
3.3.3. Что называется неопределенным интегралом?
4. Основное оборудование:
4.1. не используется.
5. Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
Найдите следующие интегралы.

1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; 2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;

3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; 4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Вариант 2
Найдите следующие интегралы.

1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; 2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;

3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; 4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Вариант 3
Найдите следующие интегралы.
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; 2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;

3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; 4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Вариант 4
Найдите следующие интегралы.
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; 2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;

3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; 4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Вариант 5
Найдите следующие интегралы.
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; 2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;

3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; 4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Вариант 6
Найдите следующие интегралы.
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; 2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;

3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; 4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
6. Порядок выполнения работы:
6.1. Ознакомиться с заданием.
6.2. Определить номер варианта (в соответствии с номером в журнале).
6.3. Выполнить задания в соответствии с вариантом.
6.4. Ответьте на контрольные вопросы.
7. Содержание отчёта:
7.1. Название и цель работы.
7.2. Указать номер варианта, привести условия задач своего варианта.
7.3. Представить решение задач согласно варианта.
7.4. Ответы на контрольные вопросы.

8. Контрольные вопросы:
8.1. Таблица интегралов?
8.2. Основные свойства неопределенного интеграла?
8.3. Какие методы интегрирования вы знаете?
8.4. В чем заключается метод интегрирование по частям?
8.5. В чем заключается метод подстановки?

Составил преподаватель __________________________Скряго О.С.
9. Приложение: Отыскание функции F(x) по известному дифференциалу dF(x)=f(x)dx (или по известной ее производной F'(x)=f(x)) т.е. действие обратное дифференцированию, называются интегрированием, а искомая функция F(x) называется первообразной функцией от функции f(x).
Определение: Совокупность всех первообразных F(x)+C от функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Основные формулы интегрирования.

1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
6. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
7. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
8. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
9. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
10. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Рассмотрим три основных метода интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.
Рассмотрим применение этого метода на примере:
Требуется найти значение интеграла HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. На основе известной формулы дифференцирования HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 можно сделать вывод, что искомый интеграл равен HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Таким образом, окончательно можно сделать вывод:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.
Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.
Способ подстановки (замены переменных).
Теорема: Если требуется найти интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = ((t) и dx = (((t)dt получается:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:
f(x)dx = f[((t)](((t)dt
что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.
Пример. Найти неопределенный интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Замена HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Получаем:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Интегрирование по частям.
Способ основан на известной формуле производной произведения:
(uv)( = u(v + v(u
где u и v – некоторые функции от х.
В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.
Пример. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.
Пример. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.










HYPER13 PAGE \* MERGEFORMAT HYPER142HYPER15




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 84
    Скряго
    Размер файла: 157 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий