Практическая работа №11 по дисциплине: Математика наименование работы: Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

СМОЛЕНСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ (филиал)
федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
им.проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»



































Практическая работа №11


по дисциплине: Математика

наименование работы: Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными





Для специальностей: 210705, 210709, 210723
Работа рассчитана на 2 часа








Смоленск, 2014

1. Цель работы: приобрести навыки решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
2. Литература:
2.1. Дадаян, А.А. Математика:учебник./А.А. Дадаян.-3-е изд.-М.:ФОРУМ, 2011.-544с.- ISBN 978-5-9134-460-3
2.2. Дадаян, А.А. Сборник задач по математике: учебное пособие/А.А. Дадаян.-М.:ФОРУМ:ИНФРА-М,2011.-352 с.-ISBN 978-5-91134-271-5, ISBN 978-5-16-002152-2 2.3. Антонов,В.И. Элементарная математика для первокурсника: Учебное пособие. / В.И Антонов, Ф.И. Копелевич.- СПб.: Издательство "Лань", 2013. -112с.: ил. -ISBN 978-5-8114-1413-0

3. Подготовка к работе:
3.1. Повторить тему «Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными»».
3.2. Подготовить бланк отчета (см.п.7).
3.3. Ответить на вопросы допуска:
3.3.1. Понятие дифференциального уравнения?
3.3.2. Какое дифференциальное уравнение называют с разделяющими переменными?
3.3.3. От чего зависит порядок дифференциального уравнения?

4. Основное оборудование:
4.1. не используется.

5. Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
1. Найти общие решения уравнений:
а) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15;
б) HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.
Вариант 2
1. Найти общие решения уравнений:
а) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15;
б) HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.
Вариант 3
1. Найти общие решения уравнений:
а) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15;
б) HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.

2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.
Вариант 4
1. Найти общие решения уравнений:
а) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15;
б) HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.
Вариант 5
1. Найти общие решения уравнений:
а) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15;
б) HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.
Вариант 6
1. Найти общие решения уравнений:
а) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15;
б) HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.
6. Порядок выполнения работы:
6.1. Ознакомиться с заданием.
6.2. Определить номер варианта (в соответствии с номером в журнале).
6.3. Выполнить задания в соответствии с вариантом.
6.4. Ответьте на контрольные вопросы.
7. Содержание отчёта:
7.1. Название и цель работы.
7.2. Указать номер варианта, привести условия задач своего варианта.
7.3. Представить решение задач согласно варианта.
7.4. Ответы на контрольные вопросы.


8. Контрольные вопросы:
8.1. Дать понятие дифференциального уравнения 1-го порядка?
8.2. Понятие дифференциального уравнения n-го порядка?
8.3. Понятие общего решения дифференциального уравнения n-го порядка.
8.4. Понятие частного решение дифференциального уравнения?
8.5. Алгоритм решения дифференциального уравнения?









Составил преподаватель __________________________Скряго О.С.



9. Приложение:

Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.
В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.
Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

Тогда получаем: HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - уравнение связывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Пример.

HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.

HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем виде записывается HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y =
·(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.
Свойства общего решения.

1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция у =
·(х, С0).

Определение. Решение вида у =
·(х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у =
·(х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.

Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)
Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15, то какова бы не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 уравнения HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15, определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение
·(х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.
Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
Теперь интегрируем: HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
Определение. Интегральной кривой называется график y =
·(x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

Если такое соотношение преобразовать к виду HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

Преобразуем такое выражение далее:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

Пример. Решить уравнение HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15- общий интеграл
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - общее решение
Пример. Решить уравнение HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15при условии у(1) = 0.
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

Если у(1) = 0, то HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

Итак, частный интеграл: HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.










HYPER13 PAGE \* MERGEFORMAT HYPER148HYPER15




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 88
    Скряго О.С.
    Размер файла: 213 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий