Практическая работа №12 по дисциплине: Математика наименование работы: Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка

СМОЛЕНСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ (филиал)
федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
им.проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»



































Практическая работа №12


по дисциплине: Математика

наименование работы: Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка





Для специальностей: 210705, 210709, 210723
Работа рассчитана на 2 часа








Смоленск, 2014

1.Цель работы: приобрести навыки решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка..
2. Литература:
2.1. Дадаян, А.А. Математика:учебник./А.А. Дадаян.-3-е изд.-М.:ФОРУМ, 2011.-544с.- ISBN 978-5-9134-460-3
2.2. Дадаян, А.А. Сборник задач по математике: учебное пособие/А.А. Дадаян.-М.:ФОРУМ:ИНФРА-М,2011.-352 с.-ISBN 978-5-91134-271-5, ISBN 978-5-16-002152-2 2.3. Антонов,В.И. Элементарная математика для первокурсника: Учебное пособие. / В.И Антонов, Ф.И. Копелевич.- СПб.: Издательство "Лань", 2013. -112с.: ил. -ISBN 978-5-8114-1413-0
3. Подготовка к работе:
3.1. Повторить тему «Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка».
3.2. Подготовить бланк отчета (см.п.7).
3.3. Ответить на вопросы допуска:
3.3.1. Понятие дифференциального уравнения?
3.3.2.Что называется порядком дифференциального уравнения?
3.3.3. Что называют общим решением дифференциального уравнением?
4. Основное оборудование:
4.1. не используется.
5. Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
1. Найти общее решение уравнения:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15приHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Вариант 2
1. Найти общее решение уравнения:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15приHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Вариант 3
1. Найти общее решение уравнения:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15приHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Вариант 4
1. Найти общее решение уравнения:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 приHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Вариант 5
1. Найти общее решение уравнения:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15приHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Вариант 6
1. Найти общее решение уравнения:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15приHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
6. Порядок выполнения работы:
6.1. Ознакомиться с заданием.
6.2. Определить номер варианта (в соответствии с номером в журнале).
6.3. Выполнить задания в соответствии с вариантом.
6.4. Ответьте на контрольные вопросы.

7. Содержание отчёта:
7.1. Название и цель работы.
7.2. Указать номер варианта, привести условия задач своего варианта.
7.3. Представить решение задач согласно варианта.
7.4. Ответы на контрольные вопросы.

8. Контрольные вопросы:
8.1. Что называют частным решением дифференциального уравнением?
8.2. Что называют задачей Коши?
8.3. Дайте определение однородного дифференциального уравнения первого порядка?
8.4. Решение однородного дифференциального уравнения?
8.5. Понятие дифференциального уравнения n-го порядка?


Составил преподаватель __________________________Скряго О.С.

9. Приложение:
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.
Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Пример.

HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.

HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем виде записывается HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.
Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y =
·(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.
Свойства общего решения.

1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция у =
·(х, С0).

Определение. Решение вида у =
·(х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у =
·(х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.

Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)
Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15, то какова бы не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 уравнения HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15, определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение
·(х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.
Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
Теперь интегрируем: HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
Определение. Интегральной кривой называется график y =
·(x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

Если такое соотношение преобразовать к виду HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

Преобразуем такое выражение далее:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

Пример. Решить уравнение HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15- общий интеграл

· HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - общее решение
Пример. Решить уравнение HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15при условии у(1) = 0.
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

Если у(1) = 0, то HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

Итак, частный интеграл: HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка –это уравнения вида  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Для того, чтобы распознать однородное дифференциальное уравнение, нужно ввести постоянную t и сделать замену y ty, x tx. Если, в результате такого преобразования, постоянная t сократится, то этооднородное дифференциальное уравнение. Производная y при таком преобразовании не меняется:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Делаем замену y ty, x tx:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], или
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Сокращаем на t2:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Уравнение не содержит t - значит это однородное уравнение.
Решение однородного дифференциального уравнения
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки:
y = zx,
где z - функция от x. Действительно,
y = (zx) = zx + z(x) = zx + z
Подставляем в исходное уравнение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], или
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], или
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Разделяем переменные. Умножим на dx и разделим на x(f(z) - z). Приf(z) - z
· 0 и x
· 0 получаем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Интегрируем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
И мы получили общий интеграл уравнения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Постоянную интегрирования C часто бывает удобно записать в виде lnC, тогда
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Знак модуля можно опустить, поскольку нужный знак определяется выбором знака постоянной C. Тогда общий интеграл примет вид:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Далее следует рассмотреть корни уравнения: f(z) - z = 0 и решение x = 0 (если есть смысл).
Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка
Решить уравнение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену:y ty, x tx. При этом y y.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], или
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], или
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Сокращаем на t:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Постоянная t полностью сократилась. Поэтому уравнение является однородным.
Делаем замену: y = zx.
y = (zx) = zx + z(x) = zx + z
Подставляем в исходное уравнение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], сокращаем на x:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], или
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Умножим на dx и разделим на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. При z2 - 1
· 0 уравнение принимает вид:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Интегрируем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(1)

Оставшийся интеграл табличный:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Получаем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Потенцируем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Заменим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Умножим на x:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], или
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Возводим в квадрат:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], или
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], или
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Разделим на x:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(2)

Теперь рассмотрим случай, когда z2 – 1 = 0, или
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Корни этого уравнения: y = x и y = – x
являются решениями исходного уравнения и не входят в решение (2). Поэтому к общему интегралу (2) добавим решения y = x и y = – x.
Ответ:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 









HYPER13 PAGE \* MERGEFORMAT HYPER142HYPER15




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 89
    Скряго
    Размер файла: 230 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий