Практическая работа №13 по дисциплине: Математика наименование работы: Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

СМОЛЕНСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ (филиал)
федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
им.проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»



































Практическая работа №13


по дисциплине: Математика

наименование работы: Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка





Для специальностей: 210705, 210709, 210723
Работа рассчитана на 2 часа








Смоленск, 2014

1.Цель работы: приобрести навыки решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
2. Литература:
2.1. Дадаян, А.А. Математика:учебник./А.А. Дадаян.-3-е изд.-М.:ФОРУМ, 2011.-544с.- ISBN 978-5-9134-460-3
2.2. Дадаян, А.А. Сборник задач по математике: учебное пособие/А.А. Дадаян.-М.:ФОРУМ:ИНФРА-М,2011.-352 с.-ISBN 978-5-91134-271-5, ISBN 978-5-16-002152-2 2.3. Антонов,В.И. Элементарная математика для первокурсника: Учебное пособие. / В.И Антонов, Ф.И. Копелевич.- СПб.: Издательство "Лань", 2013. -112с.: ил. -ISBN 978-5-8114-1413-0
3. Подготовка к работе:
3.1. Повторить тему «Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка».
3.2. Подготовить бланк отчета (см.п.7).
3.3. Ответить на вопросы допуска:
3.3.1. Понятие дифференциального уравнения?
3.3.2.Что называется порядком дифференциального уравнения?
3.3.3. Что называют общим решением дифференциального уравнением?
4. Основное оборудование:
4.1. не используется.
5. Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
1. Найти общее решение уравнения:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15приHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Вариант 2
1. Найти общее решение уравнения:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.
Вариант 3
1. Найти общее решение уравнения:
HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.
Вариант 4
1. Найти общее решение уравнения:
HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15.
Вариант 5
1. Найти общее решение уравнения:
HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15приHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Вариант 6
1. Найти общее решение уравнения:
HYPER13 EMBED opendocument.MathDocument.1 HYPER14HYPER15
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15приHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
6. Порядок выполнения работы:
6.1. Ознакомиться с заданием.
6.2. Определить номер варианта (в соответствии с номером в журнале).
6.3. Выполнить задания в соответствии с вариантом.
6.4. Ответьте на контрольные вопросы.

7. Содержание отчёта:
7.1. Название и цель работы.
7.2. Указать номер варианта, привести условия задач своего варианта.
7.3. Представить решение задач согласно варианта.
7.4. Ответы на контрольные вопросы.

8. Контрольные вопросы:
8.1. Что называют частным решением дифференциального уравнением?
8.2. Какое уравнение называется линейных дифференциальных уравнений первого порядка?
8.3. Какое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением?
8.4. Какое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением?
8.5. Методы решение ЛДУ?


Составил преподаватель __________________________Скряго О.С.

9. Приложение:
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.
Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Пример.

HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.

HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем виде записывается HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.
Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y =
·(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.
Свойства общего решения.

1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция у =
·(х, С0).

Определение. Решение вида у =
·(х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у =
·(х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.

Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)
Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15, то какова бы не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 уравнения HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15, определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение
·(х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.
Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
Теперь интегрируем: HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
Определение. Интегральной кривой называется график y =
·(x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

Если такое соотношение преобразовать к виду HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

Преобразуем такое выражение далее:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

Пример. Решить уравнение HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15- общий интеграл
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 - общее решение
Пример. Решить уравнение HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15при условии у(1) = 0.
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

Если у(1) = 0, то HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15

Итак, частный интеграл: HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.

Уравнение вида:
y'+p(x)у=q(х) (*)
где р(х) и q(х) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция у и ее производная у' входят в уравнение линейно, т. е. в первой степени.
Если q(х) = 0, то уравнение (*) называется линейным однородным уравнением. Если q(х)
·0, то уравнение (*) называется линейным неоднородным уравнением.  Для нахождения общего решения уравнения (10) может быть применен метод вариации постоянной. В этом методе сначала находят общее решение линейного однородного уравнения:
у'+р(х)у=0 (**)
соответствующего данному неоднородному уравнению (*). Уравнение (**) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=-p(x)dx ln|y|=-
·p(x)dx+ln|C1|
Отсюда, потенцируя, находим общее решение данного уравнения:
y=±C1e-
·p(x)dx, или y=Ce-
·p(x)dx (***)
где С=±C1  произвольная постоянная.
Теперь найдем общее решение уравнения (*) в виде (***), где С будем считать не постоянной, а новой неизвестной функцией от х (в этом смысл метода!), т. е. в виде
y=C(x)e-
·p(x)dx 
Чтобы найти функцию С(х) подставим решение в виде в уравнение (*). Получим:
C'(x)e-
·p(x)dx-C(x)p(x)e-
·p(x)dx+p(x)C(x)e-
·p(x)dx=q(x)
или
C'(x)=q(x)e
·p(x)dx 
Итак, чтобы функция являлась решением уравнения (*), функция С(х) должна удовлетворять уравнению C'(x)e-
·p(x)dx-C(x)p(x)e-
·p(x)dx+p(x)C(x)e-
·p(x)dx=q(x).
Интегрируя его, находим:
C(x)=q(x)e
·p(x)dxdx+C1
где C1  произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение для С (х) в соотношение (10), получаем общее решение линейного уравнения (10):
y(x)=C1e-
·p(x)dx+e-
·p(x)dx
·q(x)e
·p(x)dxdx
Пример. Найти общее решение уравнения у'+Зу=е2х.
Данное уравнение является линейным. Здесь р(х)=3, q(х)=е2х. Решаем сначала соответствующее однородное уравнение y'+3y=0. Разделяя переменные [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=-3dx и интегрируя, находим ln|y|=-3x+ln|C1| или y=±C1e-3x=Ce-3x. Ищем общее решение данного уравнения в виде y=C(x)e-3x. Дифференцируя, имеем y'=C'(x)e-3x-3C(x)e-3x. Подставляя в данное уравнение выражения для у и у', получаем C'(x)e-3x=e2x, C'(x)=e5x или dC=e5xdx, откуда C(x)=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]e5x+C2, где C2 - произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид:
y=C(x)e-3x=([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]e5x+C2)e-3x или y=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]e2x+C2e-3x
Метод И. Бернулли
Суть заключается в следующем. Решение уравнения (10) ищется в виде произведения двух других функций, т.е. с помощью постановки (подстановка Бернулли):
y=u(x)+v(x)
где u(x), v(x) - неизвестные функции от x, причем одна из них произвольна. Тогда y'=u'v+uv' Подставляя выражения для y и y' в уравнение (10), получаем:
u'v+uv'+p(x)uv=q(x) или u'v+u(v'+p(x)v)=q(x) (15)
Выберем функцию v(x) так, чтобы сумма в скобках обратилась в нуль, т.е. v'+p(x)v=0. Итак, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+p(x)v=0, т.е. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=-p(x)dx. Интегрируя, получаем: ln|v|=-
·p(x)dx+ln|c|.  Ввиду свободы выбора функции v(x), можно принять c=1. Отсюда v=e-
·p(x)dx. Подставляя найденную функцию v в уравнение (10), получаем u'e-
·p(x)dx=q(x). Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его: u=
·q(x)e
·p(x)dx. Возвращаясь к переменной y, получаем решение исходного дифференциальное уравнения.
y=uv=(
·q(x)e
·p(x)dxdx+c)e-
·p(x)dx
Пример. Найти общее решение уравнения y'+3y=e2x.
Делаем замену переменных y=uv; y'=u'v+uv', где u=u(x) - произвольная функция, v=v(x) - функция, определяемая так, чтобы y=uv было решением уравнения u'v+uv'+3uv=e2x. Группируем члены полученного уравнения: u'v+u(v'+3v)=e2x. Приравниваем множитель второго слагаемого, стоящий в скобках к нулю v'+3v=0;  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+3v=0.  Решив данное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, имеем
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=-3v  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=-3dx
·[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=3
·dx ln|v|=-3x v=e-3x
Подставляя найденную функцию v=e-3x в уравнение u'v+u(v'+3v)=e2x, найдем u
u'e-3x=e2x  u'=e5x  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=e5x 
·du=
·e5xdx u=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]e5x+c
Подставляя u и v в y=uv находим решение заданного уравнения:
y=([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]e5x+c)e-3x или y=[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]e2x+ce-3x








HYPER13 PAGE \* MERGEFORMAT HYPER142HYPER15




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 90
    Скряго О.С.
    Размер файла: 210 kB Загрузок: 3

Добавить комментарий