Практическая работа №15 по дисциплине: Математика наименование работы: Исследование сходимости числовых рядов

СМОЛЕНСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ (филиал)
федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
им.проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»



































Практическая работа №15


по дисциплине: Математика

наименование работы: Исследование сходимости числовых рядов





Для специальностей: 210705, 210709, 210723
Работа рассчитана на 2 часа








Смоленск, 2014

1.Цель работы: научить исследовать числовые ряды на сходимость.
2. Литература:
2.1. Дадаян, А.А. Математика:учебник./А.А. Дадаян.-3-е изд.-М.:ФОРУМ, 2011.-544с.- ISBN 978-5-9134-460-3
2.2. Дадаян, А.А. Сборник задач по математике: учебное пособие/А.А. Дадаян.-М.:ФОРУМ:ИНФРА-М,2011.-352 с.-ISBN 978-5-91134-271-5, ISBN 978-5-16-002152-2 2.3. Антонов,В.И. Элементарная математика для первокурсника: Учебное пособие. / В.И Антонов, Ф.И. Копелевич.- СПб.: Издательство "Лань", 2013. -112с.: ил. -ISBN 978-5-8114-1413-0
3. Подготовка к работе:
3.1. Повторить тему «Исследование сходимости числовых рядов».
3.2. Подготовить бланк отчета (см.п.7).
3.3. Ответить на вопросы допуска:
3.3.1. Что такое числовой ряд?
3.3.2.Что называется суммой числового ряда?
3.3.3. Как звучит необходимый признак сходимости числового ряда?
4. Основное оборудование:
4.1. не используется.
5. Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
Исследовать ряды на сходимость.
1) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15;
2) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.
Вариант 2
Исследовать ряды на сходимость.
1) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15;
2) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.
Вариант 3
Исследовать ряды на сходимость.
1) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15;
2) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.

Вариант 4
Исследовать ряды на сходимость.
1) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15;
2) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.
Вариант 5
Исследовать ряды на сходимость.
1) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15;
2) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.
Вариант 6
Исследовать ряды на сходимость.
1) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15;
2) HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.

6. Порядок выполнения работы:
6.1. Ознакомиться с заданием.
6.2. Определить номер варианта (в соответствии с номером в журнале).
6.3. Выполнить задания в соответствии с вариантом.
6.4. Ответьте на контрольные вопросы.

7. Содержание отчёта:
7.1. Название и цель работы.
7.2. Указать номер варианта, привести условия задач своего варианта.
7.3. Представить решение задач согласно варианта.
7.4. Ответы на контрольные вопросы.

8. Контрольные вопросы:
8.1. Как формулируется достаточный признак сходимости?
8.2. Как формулируется достаточный признак Даламбера?
8.3. Как формулируется достаточный признак Коши?
8.4. Как формулируется достаточный признак сравнения?
8.5. Какие ряды называют знакочередующими?


Составил преподаватель __________________________Скряго О.С.



9. Приложение:
Пусть мы имеем числовую последовательность [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Приведем пример числовой последовательности: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда. Для предыдущего примера общий член числового ряда имеет вид [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Частичная сумма числового ряда – это сумма вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где n – некоторое натуральное число. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]называют также n-ой частичной суммой числового ряда. К примеру, четвертая частичная сумма ряда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]есть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Частичные суммы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]образуют бесконечную последовательность частичных сумм числового ряда. Сумма вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]называется гармоническим числовым рядом. Сумма вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где s – некоторое действительное число, называется обобщенно гармоническим числовым рядом.

Приведенных определений достаточно для обоснования следующих очень часто используемых утверждений, рекомендуем их запомнить.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]ЯВЛЯЕТСЯ РАСХОДЯЩИМСЯ.
СУММА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ВИДА [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ q ЯВЛЯЕТСЯ СХОДЯЩИМСЯ ЧИСЛОВЫМ РЯДОМ, ЕСЛИ [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], И РАСХОДЯЩИМСЯ РЯДОМ ПРИ [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
ОБОБЩЕННО ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]СХОДИТСЯ ПРИ s > 1 И РАСХОДИТСЯ ПРИ [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Свойства сходящихся числовых рядов.
Если сходится числовой ряд [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то сходящимся будет и ряд [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся.
Если сходится числовой ряд [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], причем [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где A – произвольная постоянная.
Если сходятся числовые ряды [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], их суммы равны A и B соответственно, то сходящимися будут ряды [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.
Необходимое условие сходимости ряда. Если числовой ряд [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение этого условия указывает на расходимость числового ряда, то есть, если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то ряд расходится. С другой стороны нужно понимать, что это условие не является достаточным. То есть, выполнение равенства [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]не говорит о сходимости числового ряда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. К примеру, для гармонического ряда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]необходимое условие сходимости выполняется [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а ряд расходится. Пример. Исследовать числовой ряд [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]на сходимость. Решение. Проверим необходимое условие сходимости числового ряда: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Предел n-ого члена числового ряда не равен нулю, следовательно, ряд расходится.
Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного числового ряда. Для сходимости знакоположительного числового ряда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена. Первый признак сравнения рядов. Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]для всех k = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]следует сходимость [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а из расходимости ряда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]следует расходимость [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подходящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) выбирается так, что показатель степени его k-ого члена равен разности показателей степени числителя и знаменателя k-ого члена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], разность показателей степени числителя и знаменателя равна 2 – 3 = -1, поэтому, для сравнения выбираем ряд с k-ым членом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то есть, гармонический ряд. Рассмотрим несколько примеров.
Пример. Исследуйте числовой ряд [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]на сходимость. Решение. Необходимое условие сходимости числового ряда выполняется, так как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Очевидно выполнение неравенства [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]для любого натурального значения k. Ряд [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]сходится, так как обобщенно гармонический ряд [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]является сходящимся для s > 1. Таким образом, первый признак сравнения рядов позволяет констатировать сходимость исходного числового ряда.
Второй признак сравнения. Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- знакоположительные числовые ряды. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то из сходимости ряда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]следует сходимость [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то из расходимости числового ряда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]следует расходимость [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Третий признак сравнения. Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то из сходимости ряда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]следует сходимость [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а из расходимости ряда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]следует расходимость [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Признак Даламбера. Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- знакоположительный числовой ряд. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то числовой ряд сходится, если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то ряд расходится. Замечание. Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то ряд сходится, если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то ряд расходится. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.
Пример. Проверьте расходимость числового ряда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Решение. Воспользуемся признаком Даламбера для исследования сходимости числового ряда: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Следовательно, ряд расходится.
Радикальный признак Коши. Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- знакоположительный числовой ряд. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то числовой ряд сходится, если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то ряд расходится. Замечание. Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен, то есть, если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то ряд сходится, если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то ряд расходится. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то радикальный признак Коши не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.










HYPER13 PAGE \* MERGEFORMAT HYPER142HYPER15




Root Entry

Приложенные файлы

  • doc 92
    Скряго О.С.
    Размер файла: 201 kB Загрузок: 3

Добавить комментарий