Практическая работа №23 по дисциплине: Математика наименование работы: Вычисление определенных интегралов по формуле трапеций

СМОЛЕНСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ (филиал)
федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
им.проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»



































Практическая работа №23


по дисциплине: Математика

наименование работы: Вычисление определенных интегралов по формуле трапеций






Для специальностей: 210705, 210709, 210723
Работа рассчитана на 2 часа







Смоленск, 2014

1.Цель работы: приобрести навыки вычисления определенных интегралов по формуле трапеций.
2. Литература:
2.1. Дадаян, А.А. Математика:учебник./А.А. Дадаян.-3-е изд.-М.:ФОРУМ, 2011.-544с.- ISBN 978-5-9134-460-3
2.2. Дадаян, А.А. Сборник задач по математике: учебное пособие/А.А. Дадаян.-М.:ФОРУМ:ИНФРА-М,2011.-352 с.-ISBN 978-5-91134-271-5, ISBN 978-5-16-002152-2 2.3. Антонов,В.И. Элементарная математика для первокурсника: Учебное пособие. / В.И Антонов, Ф.И. Копелевич.- СПб.: Издательство "Лань", 2013. -112с.: ил. -ISBN 978-5-8114-1413-0
3. Подготовка к работе:
3.1. Повторить тему «Вычисление определенных интегралов по формуле трапеций».
3.2. Подготовить бланк отчета (см.п.7).
3.3. Ответить на вопросы допуска:
3.3.1. Понятие определенного интеграла?
3.3.2. Какие свойства определенного интеграла вы знаете?
3.3.3. Таблица интегралов?
4. Основное оборудование:
4.1. не используется.
5. Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
Вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций с точностью :
а) ;
б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Вариант 2
Вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций с точностью :
а) ;
б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Вариант 3
Вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций с точностью :
а) ;
б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Вариант 4
Вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций с точностью :
а) ;
б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


Вариант 5
Вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций с точностью :
а) ;
б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Вариант 6
Вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций с точностью :
а) ;
б) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.



6. Порядок выполнения работы:
6.1. Ознакомиться с заданием.
6.2. Определить номер варианта (в соответствии с номером в журнале).
6.3. Выполнить задания в соответствии с вариантом.
6.4. Ответьте на контрольные вопросы.


7. Содержание отчёта:
7.1. Название и цель работы.
7.2. Указать номер варианта, привести условия задач своего варианта.
7.3. Представить решение задач согласно варианта.
7.4. Ответы на контрольные вопросы.

8. Контрольные вопросы:
8.1. Какую функцию называют непрерывной на отрезке?
8.2. Что называют узлами?
8.3. Как выглядит формула трапеций?
8.4. Каков геометрический смысл определенного интеграла функции на интервале (а ; b)?
8.5. Как выглядит формула шага?




Составил преподаватель __________________________Скряго О.С.









9. Приложение:
Рассмотрим определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – функция, непрерывная на отрезке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].  Проведём разбиение отрезка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равных отрезков: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. При этом, очевидно: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (нижний предел интегрирования) и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (верхний предел интегрирования). Точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] также называют узлами.
Тогда определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле трапеций: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – длина каждого из маленьких отрезков или шаг; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – значения подынтегральной функции в точках [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 1
Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций. Результаты округлить до трёх знаков после запятой. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части. б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.
Решение:  а) Специально для чайников я привязал первый пункт к чертежу, который наглядно демонстрировал принцип метода. Если будет трудно, посматривайте на чертёж по ходу комментариев, вот его кусок: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Вычислим длину каждого отрезка разбиения: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Параметр [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], напоминаю, также называется шагом.
Сколько будет точек [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (узлов разбиения)? Их будет на одну больше, чем количество отрезков: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Таким образом, общая формула трапеций сокращается до приятных размеров: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Обратите внимание, что, в соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-его знака после запятой.
Окончательно: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Напоминаю, что полученное значение – это приближенное значение площади (см. рисунок выше).
б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Зачем это нужно? Чтобы Фобос-Грунт не падал в океан – увеличивая количество отрезков, мы увеличиваем точность вычислений.
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то формула трапеций принимает следующий вид: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Найдем шаг разбиения: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.
При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В первой строке записываем «счётчик»
Как формируется вторая строка, думаю, всем видно – сначала записываем нижний предел интегрирования [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], остальные значения получаем, последовательно приплюсовывая шаг [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
По какому принципу заполняется нижняя строка, тоже, думаю, практически все поняли. Например, если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Что называется, считай, не ленись.
В результате: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ну что же, уточнение, и серьёзное, действительно есть! Если для 3-х отрезков разбиения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то для 5-ти отрезков [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Таким образом, с большой долей уверенности можно утверждать, что, по крайне мере [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 2
Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до двух знаков после запятой (до 0,01). [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение: Почти та же задача, но немного в другой формулировке. Принципиальное отличие от Примера 1 состоит в том, что мы не знаем, НА СКОЛЬКО отрезков разбивать отрезок интегрирования, чтобы получить два верных знака после запятой. Иными словами, мы не знаем значение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Существует специальная формула, позволяющая определить количество отрезков разбиения, чтобы гарантированно достигнуть требуемой точности, но практике она часто трудноприменима. Поэтому выгодно использовать упрощенный подход.
Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 2-3-4-5. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 5 частей. Формула уже знакома: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
И шаг, естественно, тоже известен: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Но возникает еще один вопрос, до какого разряда округлять результаты [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]? В условии же ничего не сказано о том, сколько оставлять знаков после запятой. Общая рекомендация такова: к требуемой точности нужно прибавить 2-3 разряда. В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре): [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В результате: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
После первичного результата количество отрезков удваивают. В данном случае необходимо провести разбиение на 10 отрезков. И когда количество отрезков растёт, то в голову приходит светлая мысль, что тыкать пальцами в микрокалькулятор уже как-то надоело. Поэтому еще раз предлагаю закачать и использовать мой калькулятор-полуавтомат (ссылка в начале урока).
Для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] формула трапеций приобретает следующий вид: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В бумажной версии запись можно спокойно перенести на следующую строчку.
Вычислим шаг разбиения: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Результаты расчётов сведём в таблицу: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] При чистовом оформлении в тетрадь длинную таблицу выгодно превратить в двухэтажную.
В результате: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Теперь рассчитаем, на сколько улучшился результат: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Здесь используем знак модуля, поскольку нас интересует абсолютная разность, а не какой результат больше, а какой – меньше.
Полученная оценка погрешности больше,  чем требуемая точность: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Поэтому необходимо ещё раз удвоить количество отрезков разбиения до [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], и вычислить уже [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Ничего не придумываю, в реальных задачах достаточно часто требуется провести разбиение отрезка на 20 частей. С помощью экселевского калькулятора готовый результат можно получить в считанные секунды: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Снова оцениваем погрешность: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Полученная оценка погрешности меньше,  чем требуемая точность: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Всё что осталось сделать, округлить последний (наиболее точный) результат [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] до двух знаков после запятой и записать:
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] с точностью до 0,01









HYPER13 PAGE \* MERGEFORMAT HYPER142HYPER15












Root Entry

Приложенные файлы

  • doc 100
    Скряго О.С.
    Размер файла: 180 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий