Практическая работа №24 по дисциплине: Математика наименование работы: Вычисление определенных интегралов по формуле парабол (по формуле Симпсона) при заданном количестве разбиений

СМОЛЕНСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ (филиал)
федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
им.проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»



































Практическая работа №24


по дисциплине: Математика

наименование работы: Вычисление определенных интегралов по формуле парабол (по формуле Симпсона) при заданном количестве разбиений







Для специальностей: 210705, 210709, 210723
Работа рассчитана на 2 часа






Смоленск, 2014

1.Цель работы: приобрести навыки вычисления определенных интегралов по формуле парабол (по формуле Симпсона) при заданном количестве разбиений.
2. Литература:
2.1. Дадаян, А.А. Математика:учебник./А.А. Дадаян.-3-е изд.-М.:ФОРУМ, 2011.-544с.- ISBN 978-5-9134-460-3
2.2. Дадаян, А.А. Сборник задач по математике: учебное пособие/А.А. Дадаян.-М.:ФОРУМ:ИНФРА-М,2011.-352 с.-ISBN 978-5-91134-271-5, ISBN 978-5-16-002152-2 2.3. Антонов,В.И. Элементарная математика для первокурсника: Учебное пособие. / В.И Антонов, Ф.И. Копелевич.- СПб.: Издательство "Лань", 2013. -112с.: ил. -ISBN 978-5-8114-1413-0
3. Подготовка к работе:
3.1. Повторить тему «Вычисление определенных интегралов по формуле парабол (по формуле Симпсона) при заданном количестве разбиений».
3.2. Подготовить бланк отчета (см.п.7).
3.3. Ответить на вопросы допуска:
3.3.1. Понятие определенного интеграла?
3.3.2. Какие свойства определенного интеграла вы знаете?
3.3.3. Таблица интегралов?
4. Основное оборудование:
4.1. не используется.
5. Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
Вычислить по формуле Симпсона определенный интеграл функции с шагом HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 и с шагом HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15. Расчеты производить с точностью 10-3:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Вариант 2
Вычислить по формуле Симпсона определенный интеграл функции с шагом HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 и с шагом HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15. Расчеты производить с точностью 10-3:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


Вариант 3
Вычислить по формуле Симпсона определенный интеграл функции с шагом HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 и с шагом HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15. Расчеты производить с точностью 10-3:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Вариант 4
Вычислить по формуле Симпсона определенный интеграл функции с шагом HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 и с шагом HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15. Расчеты производить с точностью 10-3:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Вариант 5
Вычислить по формуле Симпсона определенный интеграл функции с шагом HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 и с шагом HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15. Расчеты производить с точностью 10-3:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Вариант 6
Вычислить по формуле Симпсона определенный интеграл функции с шагом HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 и с шагом HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15. Расчеты производить с точностью 10-3:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.



6. Порядок выполнения работы:
6.1. Ознакомиться с заданием.
6.2. Определить номер варианта (в соответствии с номером в журнале).
6.3. Выполнить задания в соответствии с вариантом.
6.4. Ответьте на контрольные вопросы.


7. Содержание отчёта:
7.1. Название и цель работы.
7.2. Указать номер варианта, привести условия задач своего варианта.
7.3. Представить решение задач согласно варианта.
7.4. Ответы на контрольные вопросы.

8. Контрольные вопросы:
8.1. Какую функцию называют непрерывной на отрезке?
8.2. Как выглядит формула прямоугольников?
8.3. Как выглядит формула трапеций?
8.4. Как выглядит формула Симпсона?
8.5.Какой из приближенных методов вычисления определенного интеграла даёт большую точность?






Составил преподаватель __________________________Скряго О.С.




9. Приложение:
Не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. Кроме того, на практике сталкиваются с необходимостью вычислять интегралы от функций, заданных табличным или графическим способами, а также интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что требует большой вычислительной работы и с практической точки зрения не рационально, В этих случаях вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона Лейбница либо невозможно, либо затруднительно, поэтому прибегают к различным методам приближенного интегрирования.
Пусть на отрезке [a; b], a < Ь, задана непрерывная функция f(x); требуется вычислить HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Для наглядности будем считать, что f(x)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150 на отрезке[a;b]. Разобьем отрезок [а; Ь] на п равных частей точками xi i=0, 1, 2, ..., n,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Длина h каждого из полученных отрезков [xi-1; xi] равна (Ьа)/п, т, е. h=(ba)/n.
Обозначим через yt значения функции f(x) в точках хг
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
В зависимости от того, как аппроксимируют данную функцию f(x) на каждом из отрезков [xi-1; xi], получаются различные формулы для приближенного вычисления
интеграла HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Мы рассмотрим наиболее простые формулы приближенного интегрирования: формулы прямоугольников и формулу трапеций.

Приближенное вычисление определенного интеграла.

Существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подынтегральная функция заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.

Формула прямоугольников.

При вычислении интеграла HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 по. формулам прямоугольников подынтегральная функция f(x) заменяется «ступенчатой функцией», которая на каждом из отрезков [xi-1; xi] имеет постоянное значение, равное значению функции f(x) на одном из концов этого отрезка.


Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x0, x1, , xm, то в качестве функции “близкой” к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. При этом:
y0 = f(x0), y1 = f(x1), . , yn = f(xn).
Составим суммы: y0(x + y1(x + + yn-1(x
y1(x + y2(x + + yn(x
Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной.
Тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.

Формула трапеций.

Эта формула является более точной по
у сравнению с формулой прямоугольников.
Подынтегральная функция в этом случае
заменяется на вписанную ломаную.



y1 у2 уn

a x1 x2 b x

Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

В более полных курсах математики доказывается, что абсолютная погрешность приближения, полученного по формуле прямоугольников, не больше чем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а по формуле трапеции не больше чем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где М1 и M2 наибольшие значения соответственно HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 на отрезке [а; b].



Формула парабол
(формула Симпсона или квадратурная формула).

(Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик)

Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2).
Для каждой пары отрезков построим такую параболу.
у










0 х0 х1 х2 х3 х4 х

Уравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (1)
Обозначим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Если принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (2)
Тогда уравнения значений функции (1) имеют вид:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
C учетом этого: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Отсюда уравнение (2) примет вид: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Тогда
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.

Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.
По формуле Симпсона получим:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

x
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8

f(x)
2.828
3.873
4
4.123
4.899
6.557
8.944
11.874
15.232
18.947
22.978


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Точное значение этого интеграла – 91.173.
Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.
Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.










HYPER13 PAGE \* MERGEFORMAT HYPER142HYPER15












Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 101
    Скряго О.С.
    Размер файла: 192 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий