Практическая работа №9 по МДК 01.02: Математический аппарат для построения компьютерных сетей наименование работы: Решение задач по теории вероятностей. Решение задач по комбинаторике. Детерминированные и стохастические процессы.

Смоленский колледж телекоммуникаций
(филиал) федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего образования
«Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций
им. проф. М.А. Бонч-Бруевича»
















Практическая работа №9
по МДК 01.02: Математический аппарат для построения компьютерных сетей
наименование работы: Решение задач по теории вероятностей. Решение задач по комбинаторике. Детерминированные и стохастические процессы.
для специальности: 09.02.02
работа рассчитана на 2 часа
составлена преподавателем: Скряго О.С.



Смоленск, 2016

1. Цель работы: получить практические навыки по определению типа комбинаторных объектов, нахождения вероятности события.
2. Литература:
2.1. Асанов, М. О. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы: Учебное пособие. 2-е изд. / М.О. Асанов , В.А.Баранский , В.В. Расин - СПб. : Издательство «Лань» 2012 г. 368с. - ISBN 978-5-8114-1068-2
2.2. Мельников, О.И. Теория графов в занимательных задачах. Изд.4, испр. и доп./О.И. Мельников 2012. 240 с. М.: Книжный дом "Либриком" ISBN978-5-9775-0232-0
2. 3. Новиков, Ф.А. Дискретная математика: Учебник для вузов. 2-е изд. Стандарт третьего поколения: учебник / Ф.А. Новиков. - СПб. : Питер 2012, 400с.- ISBN 978-5-496-00015-4

3. Подготовка к работе:
3.1. Повторить тему «Элементы теории вероятностей».
3.2. Подготовить бланк отчета (см.п.7).
3.3. Ответить на вопросы допуска:
3.3.1. Сформулируйте определения размещения из n элементов по k элементов и запишите формулу?
3.3.2. Сформулируйте определение перестановки из n элементов и запишите формулу?
3.3.3. Сформулируйте определение сочетания из n элементов по k элементов и запишите формулу?

4. Основное оборудование:
4.1. не используется.

5. Задание:
Выполните задания согласно варианту.

Вариант 1
В меню столовой предложено на выбор 2 первых блюда, 6 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обеда, состоящего из первого, второго и третьего блюда, можно составить?
Вероятность того, что новый DVD-привод в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-приводов в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Вариант 2
В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими способами можно выбрать покупку из двух разных блокнотов и одной ручки?
Вероятность того, что новый принтер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,093. В некотором городе из 1000 проданных принтеров в течение года в гарантийную мастерскую поступило 97 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Вариант 3
Секретный замок состоит из 4 барабанов, на каждом из которых можно выбрать цифры от 0 до 9. Сколько различных вариантов выбора шифра существует?
Вероятность того, что новый ноутбук в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,091. В некотором городе из 1000 проданных ноутбуков в течение года в гарантийную мастерскую поступило 96 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Вариант 4
При окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек перешло из рук в руки, если во встрече участвовали 6 специалистов?
Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,83. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Вариант 5
В понедельник в пятом классе 5 уроков: музыка, математика, русский язык, литература и история. Сколько различных способов составления расписания на понедельник существует?
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Вариант 6
Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Вариант 7
Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,09 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Вариант 8
Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую 5 и в третью 12. Сколькими способами это можно сделать.
В программе для компьютера, написанной в Турбо Паскале, использована функция Random(x), генерирующая целые случайные числа от 1 до x. Какова вероятность того, что при выполнении этой функции появится число, делящееся на 5, если x=100?
Вариант 9
11 футболистов строятся перед началом матча. 1-м  обязательно капитан, 2-м  обязательно вратарь, а остальные  случайным образом. Сколько существует способов построения?
Любитель музыки, пронумеровав пять прослушанных новых компакт дисков цифрами 1, 2, 3, 4, 5, поставил их в кассетницу в случайном порядке. Какова вероятность того, что диски №1 и №2 будут расположены в кассетнице рядом и притом в порядке возрастания?

Вариант 10
У бармена есть 6 сортов зеленого чая. Для проведения чайной церемонии требуется подать зеленый чай ровно 3 различных сортов. Сколькими способами бармен может выполнить заказ?
У пользователя имеются три дискеты для компьютера, изготовленные на фирмах K, L и M, по одной дискете от каждой из этих фирм, причём штампы фирм на дискетах отсутствуют. Две из имеющихся трёх дискет оказались бракованными. Какова вероятность того, что бракованными являются дискеты фирм L и M, если брак в продукции фирмы К составляет 10%, а в продукции фирм L и M - соответственно 20% и 15%?

6. Порядок выполнения работы:
6.1. Ознакомиться с заданием.
6.2. Определить номер варианта (в соответствии с номером в журнале).
6.3. Выполнить задания в соответствии с вариантом.
6.4. Ответьте на контрольные вопросы.

7. Содержание отчёта:
7.1. Название и цель работы.
7.2 Ответы на вопросы допуска.
7.2. Указать номер варианта, привести условия заданий своего варианта.
7.3. Представить результат выполнения заданий.
7.4. Ответы на контрольные вопросы.
7.5. Вывод о проделанной работе.

8. Контрольные вопросы:
8.1. Сформулировать классическое определение вероятности?
8.2. Сформулируйте определение события?
8.3. Что называют совместным и не совместным событием?
8.4. Сформулируйте теоремы сложение вероятностей?
8.5. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей?





Составил преподаватель __________________________Скряго О.С.




9. Приложение:

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Pn = n!, где n! = 1 * 2 * 3 ... n.
Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений Amn = n (n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1).
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний С mn = n! / (m! (n - m)!).
Наиболее просто определяются основные понятия теории вероятностей как математической дисциплины в рамках так называемой элементарной теории вероятностей. Каждое испытание T, рассматриваемое в элементарной теории вероятностей, таково, что оно заканчивается одним и только одним из исходов, или, как говорят, одним из элементарных событий
·1,
·2, ...,
·s. С каждым исходом
·k связывается неотрицательное число pk - вероятность этого исхода. Числа pk должны при этом в сумме давать единицу. Рассматриваются затем события A, заключающиеся в том, что "наступает или
·i, или
·j, ..., или
·k". Исходы
·i,
·j, ...,
·k (называют благоприятствующими A, и, по определению, полагают вероятность P(A) события A, равной сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов:P(A) = pi + pj + ... + pk.       
Частный случай p1 = p2 = ... = ps = 1/s приводит к формуле P(a) =r/s     выражающей так называемое классическое определение вероятности, в соответствии с которым вероятность какого-либо события A равна отношению числа r исходов, благоприятствующих A, к числу s всех "равновозможных" исходов. Вычисление вероятностей сводится при этом к подсчёту числа благоприятствующих событию A исходов и часто оказывается трудной комбинаторной задачей.
Пример. При бросании двух игральных костей каждый из 36 возможных исходов может быть обозначен (i, j), где i - число очков, выпадающее на первой кости, j - на второй. Исходы предполагаются равновероятными. Событию A - "сумма очков равна 4", благоприятствуют три исхода: (1, 3), (2, 2), (3, 1). Следовательно, P(A) = 3/36 = 1/13.
Вопрос о том, как определяются численные значения вероятностей pk в данной конкретной задаче, лежит, по существу, за пределами теории вероятностей как чисто математической дисциплины. В одних случаях выбор этих значений производится на основе обработки результатов большого числа наблюдений. В других случаях возможно теоретическое предсказание вероятностей, с которыми те или иные события будут встречаться в данном испытании. Такое предсказание часто основывается на объективной симметрии связи между условиями, в которых производится испытание, и исходами этих испытаний и приводит тогда к [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Пусть, например, испытание состоит в подбрасывании игральной кости, представляющей собой кубик из однородного материала. Тогда можно предполагать, что с вероятностью 1/6 кость может упасть на каждую из своих граней. В этом примере предположение о равновероятности исходов находится в согласии с опытом. Такого рода примеры и послужили основой для классического определения вероятности.
Более тонкое и глубокое объяснение причин равновероятности исходов в некоторых специальных случаях даётся так называемым методом произвольных функций. Суть этого метода можно пояснить следующим образом на примере бросания кости. Пусть опыт поставлен так, что случайные воздействия на кость со стороны воздуха можно считать пренебрежимо малыми. Тогда, если точно даны начальное положение, начальная скорость кости и ее механические характеристики, движение может быть рассчитано по законам классической механики и результат опыта можно предсказать достоверно. Практически начальные условия не могут никогда быть фиксированы с абсолютной точностью, и, например, даже очень малые изменения начальной скорости приводят к другому результату, если только время t от момента подбрасывания до момента падения достаточно велико. Оказывается, что при очень широких допущениях относительно распределения вероятностей начальных значений (отсюда и название метода) вероятность каждого из шести возможных исходов стремится к 1/6 при t
·.
Другой пример - тасование колоды карт с целью достижения равновероятности всех возможных расположений. Здесь переход от одного расположения карт к другому при очерёдном тасовании обычно носит вероятностный характер. Факт стремления к равновероятности устанавливается методами теории цепей Маркова.
Оба случая могут быть включены в общую эргодическую теорию.
Исходя из каких-либо данных событий, можно определить два новых события: их объединение (сумму) и совмещение (произведение). Событие B называется объединением (или суммой) событий A1, A2, ..., Ar, если оно имеет вид: "наступает или A1, или A2, ..., или Ar". Событие C называется совмещением (или произведением) событий A1, A2, ..., Ar, если оно имеет вид: "наступает и A1, и A2, ..., и Ar".
Объединение событий обозначают знаком U , а совмещение - знаком
·. Таким образом, пишут: B = A1 U A2 U ... U Ar, C = A1 
· A2 
· ...
· Ar.
События D и E называются несовместными, если их одновременное осуществление невозможно, то есть, если не существует среди исходов испытания ни одного благоприятствующего и D и E.
С введёнными операциями связаны две основные теоремы элементарной теории вероятностей - теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей: если события A1, A2, ..., Ar таковы, что каждые два из них несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей. Так, в приведённом выше примере с бросанием двух костей событие B – "сумма очков не превосходит 4", есть объединение трёх несовместных событий A2, A3, A4, заключающихся в том, что сумма очков равна соответственно 2, 3, 4. Вероятности этих событий 1/36, 2/36 и 3/36. По теореме сложения вероятность B равна 1/36 + 2/36 + 3/36 = 1/6
Условную вероятность события B при условии A (P(F)>0) определяют формулой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], что, как можно показать, находится в полном соответствии со свойствами частот. События A1, A2, ..., Ar называются независимыми, если условная вероятность каждого из них при условии, что какие-либо из остальных наступили, равна его "безусловной" вероятности (см. также "Независимость" в теории вероятностей).
Теорема умножения вероятностей. Вероятность совмещения событий A1, A2, ..., Ar равна вероятности события A1 умноженной на вероятность события A2, взятую при условии, что A1 наступило, ..., умноженной на вероятность события Ar при условии, что A1, A2, ..., Ar-1 наступили. Для независимых событий теорема умножения приводит к формуле P(A1 
·A2 
·...
·Ar)=P(A1)P(A2)...P(Ar),    то есть вероятность совмещения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Формула (3) остаётся справедливой, если в обеих её частях некоторые из событий заменить на противоположные им.
Пример. Производится 4 выстрела по цели с вероятностью попадания 0.2 при отдельном выстреле. Попадания в цель при различных выстрелах предполагаются независимыми событиями. Какова вероятность попадания в цель ровно три раза?
Каждый исход испытания может быть обозначен последовательностью из четырёх букв [например, (у, н, н, у) означает, что при первом и четвёртом выстрелах были попадания (успех), а при втором и третьем - попаданий не было (неудача)]. Всего будет 2222 = 16 исходов. В соответствии с предположением о независимости результатов отдельных выстрелов следует для определения вероятностей этих исходов использовать формулу (3) и примечание к ней. Так, вероятность исхода (у,н,н,н) следует положить равной 0.20.80.80.8 = 0.1024; здесь 0.8 = 1 – 0.2 - вероятность промаха при отдельном выстреле. Событию "в цель попадают три раза" благоприятствуют исходы (у, у, у, н), (у, у, н, у), (у, н, у, у),(н,у,у,у),вероятность каждого одна и та же: 0.20.20.20.8= ... = 0.80.20.20.2 = 0.0064;следовательно, искомая вероятность равна 40.0064 = 0.0256.
Обобщая рассуждения разобранного примера, можно вывести одну из основных формул теории вероятностей: если события A1, A2, ..., Anнезависимы и имеют каждое вероятность p, то вероятность наступления ровно m из них равна [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];     (4) здесь [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] обозначает число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] из n элементов по m (см. Биномиальное распределение). При больших n вычисления по формуле (4) становятся затруднительными. Пусть в предыдущем примере число выстрелов равно 100, и ставится вопрос об отыскании вероятности x того, что число попаданий лежит в пределах от 8 до 32. Применение формулы (4) и теоремы сложения даёт точное, но практически мало пригодное выражение исходной вероятности: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Приближённое значение вероятности x можно найти по теореме Лапласа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] причём ошибка не превосходит 0.0009. Найденный результат показывает, что событие 8
·m
·<32 практически достоверно. Это самый простой, но типичный пример использования предельных теорем теории вероятностей.
К числу основных формул элементарной теории вероятностей относится также так называемая формула полной вероятности: если события A1, A2, ..., Ar попарно несовместны и их объединение есть достоверное событие, то для любого события B его вероятность равна сумме [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Теорема умножения вероятностей оказывается особенно полезной при рассмотрении составных испытаний. Говорят, что испытание T составлено из испытаний T1, T2, ..., Tn-1, Tn, если каждый исход испытания T есть совмещение некоторых исходов Ai, Bj, ..., Xk, Yl соответствующих испытаний T1, T2, ..., Tn-1, Tn. Из тех или иных соображений часто бывают известны вероятности P(Ai), P(Bj | Ai), ..., P(Yl | Aj 
· Bj 
· ... 
· Xk).      (5)
По вероятностям (5) с помощью теоремы умножения могут быть определены вероятности P(E) для всех исходов E составного испытания, а вместе с тем и вероятности всех событий, связанных с этим испытанием (подобно тому, как это было сделано в разобранном выше примере). Наиболее значительными с практической точки зрения представляются два типа составных испытаний: а) составляющие испытания независимы, то есть вероятности (5) равны безусловным вероятностям P(Ai), P(Bj), ..., P(Xk), P(Yl); б) на вероятности исходов какого-либо испытания влияют результаты лишь непосредственно предшествующего испытания, то есть вероятности (5) равны соответственно P(Ai), P(Bj | Ai), ..., P(Yl | Xk). В этом случае говорят об испытаниях, связанных в цепь Маркова. Вероятности всех событий, связанных с составным испытанием, вполне определяются здесь начальными вероятностями P(Ai) и переходными вероятностями P(Bj | Ai), ..., P(Yl | Xk) (см. Марковский процесс).











Вероятность того, что при 100 выстрелах число попаданий лежит в пределах от 8 до 32формула полной вероятности15

Приложенные файлы

  • doc 114
    Скряго
    Размер файла: 93 kB Загрузок: 21

Добавить комментарий