Практическая работа №10 по МДК 01.02: Математический аппарат для построения компьютерных сетей наименование работы: Решение задач по теории вероятностей. Математическое ожидание. Дисперсия. Типовые распределения.

Смоленский колледж телекоммуникаций
(филиал) федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего образования
«Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций
им. проф. М.А. Бонч-Бруевича»
















Практическая работа №10
по МДК 01.02: Математический аппарат для построения компьютерных сетей
наименование работы: Решение задач по теории вероятностей. Математическое ожидание. Дисперсия. Типовые распределения.
для специальности: 09.02.02
работа рассчитана на 2 часа
составлена преподавателем: Скряго О.С.



Смоленск, 2016

1. Цель работы: получить практические навыки нахождения математического ожидания и дисперсии случайной величины.
2. Литература:
2.1. Асанов, М. О. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы: Учебное пособие. 2-е изд. / М.О. Асанов , В.А.Баранский , В.В. Расин - СПб. : Издательство «Лань» 2012 г. 368с. - ISBN 978-5-8114-1068-2
2.2. Мельников, О.И. Теория графов в занимательных задачах. Изд.4, испр. и доп./О.И. Мельников 2012. 240 с. М.: Книжный дом "Либриком" ISBN978-5-9775-0232-0
2. 3. Новиков, Ф.А. Дискретная математика: Учебник для вузов. 2-е изд. Стандарт третьего поколения: учебник / Ф.А. Новиков. - СПб. : Питер 2012, 400с.- ISBN 978-5-496-00015-4

3. Подготовка к работе:
3.1. Повторить тему «Элементы теории вероятностей».
3.2. Подготовить бланк отчета (см.п.7).
3.3. Ответить на вопросы допуска:
3.3.1. Сформулируйте определения закона распределения?
3.3.2. Сформулируйте определение математического ожидания?
3.3.3. Перечислите свойства математического ожидания?

4. Основное оборудование:
4.1. не используется.

5. Задание:
Выполните задания согласно варианту.

Вариант 1
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:
 Хi
8
4
6
5

Рi
0,2
0,35
?
0,1





Вариант 2
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:
 Хi
8
4
6
5

Рi
0,1
0,06
?
0,1


Вариант 3
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:
 Хi
8
4
6
5

Рi
0,02
0,1
?
0,1


Вариант 4
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:
 Хi
8
4
6
5

Рi
0,01
0,25
?
0,1


Вариант 5
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:
 Хi
8
4
6
5

Рi
0,15
0,5
?
0,1


Вариант 6
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:
 Хi
8
4
6
5

Рi
0,1
0,05
0,2
?


Вариант 7
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:
 Хi
8
4
6
5

Рi
0,02
0,4
?
0,1


Вариант 8
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:
 Хi
8
4
6
5

Рi
?
0,3
0,2
0,01


Вариант 9
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:
 Хi
8
4
6
5

Рi
0,02
0,05
0,2
?


Вариант 10
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично:
 Хi
8
4
6
5

Рi
0,01
0,2
0,2
?


6. Порядок выполнения работы:
6.1. Ознакомиться с заданием.
6.2. Определить номер варианта (в соответствии с номером в журнале).
6.3. Выполнить задания в соответствии с вариантом.
6.4. Ответьте на контрольные вопросы.

7. Содержание отчёта:
7.1. Название и цель работы.
7.2 Ответы на вопросы допуска.
7.2. Указать номер варианта, привести условия заданий своего варианта.
7.3. Представить результат выполнения заданий.
7.4. Ответы на контрольные вопросы.
7.5. Вывод о проделанной работе.

8. Контрольные вопросы:
8.1. Сформулировать определение дисперсии?
8.2. Перечислите свойства дисперсии?
8.3. Сформулируйте определение среднеквадратического отклонения?
8.4. Область применение математического ожидания?
8.5. Область применения дисперсии?








Составил преподаватель __________________________Скряго О.С.




9. Приложение:

Математическое ожидание дискретной случайной величины
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно, такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Математическое ожидание, как будет показано далее, приближенно равно среднему значению случайной величины. Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше второго.
Определение1:Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Пусть случайная величина X может принимать только значения x1, x2, xn,вероятности которых соответственно равны p1, p2, pn . Тогда математическое ожидание M (X) случайной величины X определяется равенством
M (X) = x1p1 + x2p2 + + xnpn .
Eсли дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.
Пример. Найти математическое ожидание числа появлений события Aв одном испытании, если вероятность события A равна p.
Решение: Случайная величина X – число появлений события A имеет распределение Бернулли, поэтому HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.
Вероятностный смысл математического ожидания
Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина X принялаm1 раз значение x1, m2раз значение x2,, mkраз значение xk, причем m1+ m2+ + mk= n. Тогда сумма всех значений, принятых X, равна x1m1 + x2m2 + + xkmk.
Среднее арифметическое HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 всех значений, принятых случайной величиной, будет
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
или
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Отношение mi/n- относительная частота Wi значения xiприближенно равно вероятности появления события pi, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, поэтому
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
ИлиHYPER13 E
·MBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Свойства математического ожидания
Свойство1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Свойство2:Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Определение2:Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы.
Определение3:Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Свойство3:Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Следствие: Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Свойство4:Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Следствие: Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Пример. Вычислим математическое ожидание биномиальной случайной величины X – числа наступления события A в n опытах.
Решение: Общее число X появлений события A в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Введем случайные величины Xi – число появлений события в i-ом испытании, которые являются Бернуллиевскими случайными величинами с математическим ожиданием HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. По свойству математического ожидания имеем
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Таким образом, математическое ожидание биномиального распределения с параметрами n и p равно произведению np.
Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
Решение: Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (попаданий).
Дисперсия дискретной случайной величины
Зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она принимает, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания.
X
-0,001
0,001

P
0,5
0,5

Рассмотрим, например, дискретные случайные величины X и Y , заданные следующими законами распределения:


Y
-1000
1000

P
0,5
0,5




Математические ожидания этих величин HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики.
Определение1:Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: X – M(X).
Свойство отклонения: Математическое ожидание отклонения равно нулю:
M[X – M(X)]= 0.
Доказательство: Пользуясь свойствами математического ожидания и тем, что M(X)- постоянная величина, имеем
M[X – M(X)]= M(X) – M[M(X)] = M(X) –M(X)= 0.
Замечание: Наряду с термином “отклонение” используют термин “центрированная величина”. Центрированной случайной величинойHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= X – M(X).
Определение2:Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = M[X – M(X)]2.
Пусть дискретная случайная величина задана рядом распределения
X
x1
x2
x3
..

xn

P
p1
p2
p3
..

pn

Тогда
D(X) = M[X – M(X)]2= [x1-M(X)]2p1+ [x2-M(X)]2p2++ [xn-M(X)]2pn.
Таким образом, чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.
Пример. Найти дисперсию случайной величины X , которая задана следующим рядом распределения:
X
1
2
5

P
0,3
0,5
0,2

Решение: Математическое ожидание M(X) = 1
·0,3+2
·0,5+5
·0,2 = 2,3.
Тогда D(X) = (1 - 2,3)2
·0,3 + (2 - 2,3)2
·0,5 + (5 - 2,3)2
·0,2 = 1,69
· 0,3 + 0,09
· 0,5 + 7,29
· 0,2 = 2,01.
Для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться другой формулой:
D(X) = M(X2) – [M(X)]2.
Доказательство:D(X) = M[X – M(X)]2=M[X2 - 2X
·M(X) + M2(X)]= M(X2)– 2M(X)
·M(X) + M2(X) =
= M(X2)– 2M2(X)+ M2(X) = M(X2)-M2(X).
Таким образом, дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.
Пример. Найти дисперсию случайной величины X , которая задана следующим рядом распределения:
X
2
3
5

P
0,1
0,6
0,3

Решение: Математическое ожидание M(X) = 2
·0,1+3
·0,6+5
·0,3 = 3,5. Тогда M(X2) = 22
·0,1+32
·0,6+52
·0,3 = 13,3. Дисперсия D(X) = M(X2) – [M(X)]2=13,3 – (3,5)2=1,05.
Свойства дисперсии
Свойство1: Дисперсия постоянной величины С равна нулю
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Свойство2:Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Свойство3:Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Следствие1: Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
Следствие2: Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины.
Свойство4:Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример. Вычислим дисперсию биномиальной случайной величины X – числа наступления события A в n опытах.
Решение: Общее число X появлений события A в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Введем случайные величины Xi – число появлений события в i-ом испытании, которые являются Бернуллиевскими случайными величинами с дисперсией HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. По свойству дисперсии для независимых случайных величин имеем
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Таким образом, дисперсия биномиального распределения с параметрами n и p равна произведению npq.
Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p = 0,6. Найти дисперсию общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
Решение: Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и ,следовательно, искомая дисперсия
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (q = 1-p = 1-0,6 = 0,4).












Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 115
    Скряго
    Размер файла: 159 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий