Практическая работа №12 по МДК 01.02: Математический аппарат для построения компьютерных сетей наименование работы: Решение задач по теории массового обслуживания.

Смоленский колледж телекоммуникаций
(филиал) федерального государственного бюджетного образовательного
учреждения высшего образования
«Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций
им. проф. М.А. Бонч-Бруевича»
















Практическая работа №12

по МДК 01.02: Математический аппарат для построения компьютерных сетей

наименование работы: Решение задач по теории массового обслуживания.

для специальности: 09.02.02
работа рассчитана на 2 часа
составлена преподавателем: Скряго О.С.













Смоленск, 2016
1. Цель работы: овладение практическими навыками решение задач по теории массового обслуживания

2. Литература:
2.1. Асанов, М. О. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы: Учебное пособие. 2-е изд. / М.О. Асанов , В.А.Баранский , В.В. Расин - СПб. : Издательство «Лань» 2012 г. 368с. - ISBN 978-5-8114-1068-2
2.2. Мельников, О.И. Теория графов в занимательных задачах. Изд.4, испр. и доп./О.И. Мельников 2012. 240 с. М.: Книжный дом "Либриком" ISBN978-5-9775-0232-0
2. 3. Новиков, Ф.А. Дискретная математика: Учебник для вузов. 2-е изд. Стандарт третьего поколения: учебник / Ф.А. Новиков. - СПб. : Питер 2012, 400с.- ISBN 978-5-496-00015-4

3. Подготовка к работе:
3.1. Повторить тему «Теория массового обслуживания».
3.2. Подготовить бланк отчета (см.п.7).
3.3. Ответить на вопросы допуска:
3.3.1. Что такое СМО?
3.3.2. Сформулируйте определение системой с отказом?
3.3.3. Сформулируйте определение системы массового обслуживания с неограниченным ожиданием ?
4. Основное оборудование: ПЭВМ.
5. Задание: выполните задание согласно варианту.
Вариант 1.

Станция «Железная дорога» в мегаполисе принимает составы для разгрузки угля на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 платформах. В среднем за сутки на станцию прибывают 16 составов с углем. Поступление носит случайный характер. Плотность прихода составов показала, что поступление на разгрузку удовлетворяет пуассоновскому потоку с параметром HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 состава в час. Время разгрузки состава является случайной величиной, удовлетворяющей экспоненциальному закону со средним временем разгрузки HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 час. Простой состава в сутки составляет HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15y.e; простой платформы в сутки за опоздание прихода состава – HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15y.e; стоимость эксплуатации платформы в сутки – HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15y.e. Издержки подсчитать за сутки. Требуется провести анализ эффективности функционирования станции.

Вариант 2
Интернет-провайдер в небольшом городе имеет 5 выделенных каналов обслуживания. В среднем на обслуживание одного клиента уходит 25 минут. В систему в среднем поступает 6 заказов в час. Если свободных каналов нет, следует отказ. Определить характеристики обслуживания: вероятность отказа, среднее число занятых обслуживанием линий связи, абсолютную и относительную пропускные способности, вероятность обслуживания. Найти число выделенных каналов, при котором относительная пропускная способность системы будет не менее 0,95. Считать, что потоки заявок и обслуживаний простейшие.
Вариант 3
Порт имеет один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока 0,4 в сутки, среднее время разгрузки одного судна 2 суток. В предположении неограниченности очереди определить показатели эффективности работы причала и вероятность ожидания разгрузки не более 2 судов.
Вариант 4
Порт имеет один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока 0,4 в сутки, среднее время разгрузки одного судна 2 суток. Определить показатели работы порта при условии, что судно покидает порт при наличии в очереди более 3 судов.

6. Порядок выполнения работы:
6.1. Ознакомиться с заданием.
6.2. Определить номер варианта (в соответствии с номером в журнале).
6.3. Выполнить задания в соответствии с вариантом.
6.4. Ответьте на контрольные вопросы.

7. Содержание отчёта:
7.1. Название и цель работы.
7.2 Ответы на вопросы допуска.
7.2. Указать номер варианта, привести условия заданий своего варианта.
7.3. Представить результат выполнения заданий.
7.4. Ответы на контрольные вопросы.
7.5. Вывод о проделанной работе.

8. Контрольные вопросы:
8.1. Перечислите основные характеристики системы массового обслуживания с отказами?
8.2. Дайте определение системы массового обслуживания с ограниченной очередью?
8.3. Определите процесс функционирования системы массового обслуживания с ограниченной очередью ?
8.4. Перечислите основные характеристики системы массового обслуживания с ограниченной очередью?
8.5. В чем особенности замкнутых систем массового обслуживания?


Составил преподаватель __________________________Скряго О.С.



Приложение

Системы массового обслуживания с отказами
В системах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем в процессе обслуживания не участвует.
Имеется n каналов в обслуживании, на которые поступает поток заявок с интенсивностью
·. Поток обслуживания имеет интенсивность
· (величина, обратная среднему времени обслуживания HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15). Требуется найти вероятности состояний СМО и характеристики ее эффективности.
Так как оба потока – заявок и освобождений – простейшие, процесс, протекающий в системе, будет марковским. Рассмотрим ее как систему с конечным множеством состояний:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15свободны все каналы;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15занят ровно один канал;

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15занятыk каналов;

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15заняты все n каналов/

Через HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 обозначим вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Простейшие задачи для систем массового обслуживания с отказами были впервые решены А.К. Эрлангом. Им же были выведены формулы оценки функционирования этих систем при условии поступления простейшего потока заявок и для показательного закона распределения времени обслуживания.
Для установившегося процесса обслуживания при этих условиях Эрланг получил следующие зависимости.
Вероятность того, что обслуживанием заняты kаппаратов (линий, приборов и т.п.):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (1)
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15k – количество занятых аппаратов,

· – интенсивность потока заявок,

· – интенсивность потока обслуживания.
Частные случаи:
Вероятность простоя (того, что все обслуживающие аппараты свободны, нет заявок):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (2)
Вероятность отказа (вероятность того, что все обслуживающие приборы заняты):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (3)
Отсюда находим относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой, – вероятность того, что заявка будет обслужена:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (4)
Абсолютную пропускную способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, получим, умножив интенсивность потока заявок на относительную пропускную способность:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Абсолютная пропускная способность – это интенсивность потока обслуженных системой заявок, а каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем
· заявок. Значит, среднее число занятых каналов равно
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (5)
Доля каналов, занятых обслуживанием (коэффициент загрузки):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (6)
Пример решения задачи.
На вход трехканальной СМО с отказами поступает поток заявок с интенсивностью
· = 4 заявки в минуту. Время обслуживания заявки одним каналом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15мин.
Найти показатели эффективности работы системы.
Решение.
Находим вероятность простоя трехканальной СМО по формуле (2):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - загрузка системы (среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки).
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Вероятность отказа определяем по формуле (3):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Относительная пропускная способность системы:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Абсолютная пропускная способность системы (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Среднее число занятых каналов (в ед. времени) определяем по формуле (5):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Доля каналов, занятых обслуживанием (формула (6)):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Среднее время пребывания заявки в СМО находим как вероятность того, что заявка принимается к обслуживанию, умноженную на среднее время обслуживания:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 мин.

Системы массового обслуживания с неограниченным ожиданием

Пусть имеется n-канальная СМО с очередью, на которую не наложено ограничений ни по длине очереди, ни по времени ожидания. В силу неограниченности очереди каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Для СМО с неограниченной очередью накладывается ограничение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Если это условие нарушено, то очередь растет до бесконечности, наступает явление «взрыва».
Вероятность простоя (того, что все обслуживающие аппараты свободны, нет заявок):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (7)
Вероятность занятости обслуживанием k каналов:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (8)
Вероятность занятости обслуживанием всех каналов при отсутствии очереди:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (9)
Вероятность наличия очереди есть вероятность того, что число требований в системе больше числа каналов:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (10)
Вероятность для заявки попасть в очередь есть вероятность занятости всех каналов, эта вероятность равна сумме вероятностей наличия очереди и занятости всех n каналов при отсутствии очереди:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (11)
Среднее число занятых обслуживанием каналов:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (12)
Доля каналов, занятых обслуживанием:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (13)
Среднее число заявок в очереди (длина очереди)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (14)
Среднее число заявок в системе
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (15)
Среднее время ожидания заявки в очереди
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (16)
Среднее время пребывания заявки в системе
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (17)
Пример решения задачи.
На вход трехканальной СМО с неограниченной очередью поступает поток заявок с интенсивностью
· = 4 заявки в минуту. Среднее время обслуживания заявки HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ч.
Найти показатели эффективности работы системы.
Решение
Для рассматриваемой системы
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Определяем вероятность простоя по формуле (4.7):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Среднее число заявок в очереди находим по формуле (14):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Среднее время ожидания заявки в очереди считаем по формуле (16):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ч.
Среднее время пребывания заявки в системе
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ч.

Системы массового обслуживания с ожиданием и ограниченной длинной очереди

Имеется n-канальная СМО с ожиданием, в которой количество заявок, стоящих в очереди, ограничено числом m, т.е. заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее m заявок.
Если число заявок в очереди равно m, то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему необслуженной.
Системы с ограниченной очередью являются обобщением двух рассмотренных ранее СМО: при m = 0 получаем СМО с отказами, при m = ( получаем СМО с ожиданием.
Вероятность простоя (того, что все обслуживающие аппараты свободны, нет заявок):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (18)
Вероятность отказа в обслуживанииравна вероятности HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15того, что в очереди уже стоят m заявок:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (19)
Относительная пропускная способность есть величина, дополняющая вероятность отказа до 1, т.е. вероятность обслуживания:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
(20)
Абсолютная пропускная способностьопределяется равенством:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (21)
Среднее число занятых обслуживанием каналов:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (22)
Среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (23)
Среднее время ожидания обслуживания в очереди
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (24)
Среднее число заявок в системе
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (25)
Среднее время пребывания заявки в системе
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (26)
Пример решения задачи.
В парикмахерской работают 3 мастера, в зале ожидания расположено 3 стула. Поток клиентов имеет интенсивность
· = 12 клиентов в час. Среднее время обслуживания заявки HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15мин. Определить относительную и абсолютную пропускную способность системы, среднее число занятых кресел, среднюю длину очереди, среднее время, которое клиент проводит в парикмахерской.
Решение
Для данной задачи
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Определяем вероятность простоя по формуле (18):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Вероятность отказа в обслуживании определим по формуле (19)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Относительная пропускная способность, т.е. вероятность обслуживания:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Среднее число занятых обслуживанием каналов (парикмахеров):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Среднее время ожидания обслуживания в очереди
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ч.
Среднее число заявок в системе
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Среднее время пребывания заявки в системе
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ч.

Замкнутые системы массового обслуживания

До сих пор мы рассматривали системы, в которых входящий поток никак не связан с выходящим. Такие системы называются разомкнутыми. В некоторых же случаях обслуженные требования после задержки опять поступают на вход. Такие СМО называются замкнутыми.
Примеры:
Поликлиника, обслуживающая данную территорию.
Бригада рабочих, закрепленная за группой станков.
В замкнутых СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных требований. Пока потенциальное требование не реализовалось в качестве требования на обслуживание, считается, что оно находится в блоке задержки.
В момент реализации оно поступает в саму систему. Например, рабочие обслуживают группу станков. Каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта – в самой системе. Каждый работник является каналом обслуживания.
Пусть n – число каналов обслуживания, s – число потенциальных заявок, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
· –интенсивность потока заявок каждого потенциального требования, ( – интенсивность обслуживания, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Поток
Вероятность простоя (того, что все обслуживающие аппараты свободны, нет заявок):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (27)

Финальные вероятности состояний системы
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (28)
Через эти вероятности выражается среднее число замкнутых каналов:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15или
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (29)
Через HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 находимабсолютную пропускную способность системы
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (30)
а также среднее число заявок в системе
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (31)
Пример решения задачи.
Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок отказывает с интенсивностью
· = 0,5 отказа в час. Среднее время ремонта HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ч. Определить пропускную способность системы.
Решение
Эта задача рассматривает замкнутую СМО,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Вероятность простоя рабочего определяется по формуле (27):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Вероятность занятости рабочего
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Если рабочий занят, он налаживает HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 станков в единицу времени, пропускная способность системы
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15станков в час.
Важно помнить. При применении экономического показателя важно правильно оценить реальные издержки, которые могут изменяться, например, от времени года, от объема запасов угля и пр.
На практике часто встречаются; замкнутые системы обслуживания, у которых входящий поток заявок существенным образом зависит от состояния самой СМО. В качестве примера можно привести ситуацию, когда на ремонтную базу поступают с мест эксплуатации некоторые машины: понятно, что чем больше машин находится в состоянии ремонта, тем меньше их продолжает эксплуатироваться и тем меньше интенсивность потока вновь поступающих на ремонт машин. Для замкнутых СМО характерным является ограниченное число источников заявок, причем каждый источник «блокируется» на время обслуживания его заявки (т.е. он не выдает новых заявок). В подобных системах при конечном числе состояний СМО предельные вероятности будут существовать при любых значения интенсивностей потоков заявок и обслуживании. Они могут быть вычислены, если вновь обратиться к процессу гибели и размножения.





















Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 117
    Скряго О.С.
    Размер файла: 263 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий