Методическое пособие по дисциплине математика тема: «Комплексные числа»

Смоленский колледж телекоммуникаций (филиал)
Федерального государственного образовательного учреждения высшего
Профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций
им. проф. М.А. Бонч-Бруевича»








Скряго О.С.




Методическое пособие по дисциплине математика
тема:
«Комплексные числа»





Для студентов 1 курса специальностей:

210709- Многоканальные телекоммуникационные системы
210723- Сети связи и системы коммутации
210705- Средства связи с подвижными объектами
230111- Компьютерные сети
230115- Программирование в компьютерных сетях










Смоленск 2014 г.



















Данное пособие предназначено для аудиторной и внеаудиторной работы студентов 1 курса очной и заочной формы обучения дисциплины математика по теме «Комплексные числа».  Студенты должны иметь представление о множестве комплексных чисел, операций над ними, их различных приложений.

































Оглавление
История возникновения комплексных чисел.
Основные понятия.
Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Модуль и аргумент комплексного числа. Три формы записи комплексного числа.
Рекомендуемая литература.





















История возникновения комплексных чисел.
В связи с развитием алгебры, математикам потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел, числа нового рода. Комплексные числа.
Итальянский математик Кардано в середине 16-ого века для решения кубических уравнений ввел квадратные корни из отрицательных чисел. Квадратные корни из отрицательных чисел он назвал софистическими, т.е. мудреными.
Решения уравнений третьей степени по формулам Кардано исследовал итальянский математик Бомбелли. Он обнаружил некоторые свойства комплексных чисел.
Французский математик Декарт в 30-х годах 17-ого века ввел наименование мнимые числа, которое применяется по сей день.
В противоположность мнимым числам прежде известные числа (положительные и отрицательные, в том числе иррациональные) стали называть действительными или вещественными.
Сумма действительного и мнимого чисел и называется комплексным числом. Это термин впервые ввел немецкий математик и астроном Гаусс в 1831-ом году.
В 18-ом веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но само существование комплексных чисел многим казалось сомнительным.
В 1707-ом году Муавр открыл формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине 18-ого века русский академик Эйлер.
На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831г., когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом, он стал всеобщим достоянием.
Кардано Бомбелли Декарт

Муавр Гаусс Эйлер


Основные понятия.

Определение 1. Символ i=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 будем называть мнимой единицей.
Следуя определению, находим, что i2= -1.
Введение мнимой единицы позволяет извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.
Пример 1. HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 =HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=6i
Рассмотрим степени мнимой единицы:
i1=i,
i2= -1,
i3= i2 (i=(-1)(i= -i,
i4= i3( i= -i(i=1, ...... далее значения степеней начнут повторяться.
Т.е. если выписывать все значения степеней числа i подряд, то получим последовательность: i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1....... и т.д.
Задание 1. Вычислите:
а) i5 + i6 - i4 ; б) i8 * i6 – i7 ; в)HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; г)HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15;

Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом

Пример 2. Решить уравнение (2-6x+13=0.
Решение:
D=b2-4ac=(-6)2-4(1(13=36-52=-16
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=4i
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15= HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 3-2i
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = 3+2i
Ответ: 3-2i, 3+2i.
Задание 2. Решите уравнения:
а) x2 - 2x + 2 = 0;   б) 4x2 + 4x + 5 = 0;   в) x2- 14x + 74 = 0.
Определение 2. Выражения вида z=a+bi, где a и b-действительные числа, i-мнимая единица, будем называть комплексными числами.
a - действительная часть числа z
b - мнимая часть числа z,
z=a+bi-алгебраическая форма комплексного числа z.
Пример 3. Дано комплексное число z= 5-6i записать действительную и мнимую части.
Решение:
а=5 –действительная часть, b= -6 – мнимая часть.
Ответ: а=5, b= -6.
Задание 3. Дано комплексные числа запишите действительную и мнимую части:
а) z= 6+6i; б) z= -2+3i; в) z= -1-i; г)z= -7i; д) z= 4i-4; е) z= 0.

Определение 3. Два комплексных числа z=a+bi, z=c+di условимся считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные и мнимые части (а=с, b=d).
Задание 4. Проверти, являются ли комплексные числа равными z1=3-2i и z2= -2i+3.
Определение 4. Два комплексных числа называются комплексно-сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью (a+bi и a-bi).
Задание 5. Найдите комплексно-сопряженные числа для следующих чисел:
а) z= 2-9i; б) z= -2-i; в) z= -i; г)z= 2+7i; д) z= 8i+4; е) z= 7i-1.

Задания для домашней работы студентов.
Задание 1. Вычислите:
а) i9 - i - i4 ; б) i4 * i2 + i2 ; в)HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; г)HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15;
Задание 2. Решите уравнения:
а) x2 - 2x + 2 = 0;   б) 4x2 + 4x + 5 = 0;   в) x2-14x + 74 = 0.
Задание 3. Дано комплексные числа запишите действительную и мнимую части:
а) z= 6+6i; б) z= -2+3i; в) z= -1-i; г)z= -7i; д) z= 4i-4; е) z= 0.
Задание 4. Найдите комплексно-сопряженные числа для следующих чисел:
а) z= 5+4i; б) z= 2-9i; в) z= i-6; г)z= 5i; д) z= -7i+11; е) z= HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15i-1.
Проверочный Тест№1
Цель: проверить знание определения комплексного числа, сопряженных чисел, умения находить действительную и мнимую части комплексного числа.
Задание:
Прочитайте каждое утверждение, если вы с ним согласны то в колонке ответов поставьте «+», если же вы не согласны с данным утверждением, поставьте « – » в колонке ответов.

Вариант 1
№п/п
Утверждения:
Ответ.

1
Число является комплексным.
 

2
Число а, такое что а2 = – 2 является действительным.
 

3
Число а, такое что а4 = 1 является действительным.
 

4
0 – комплексное число.
 

5
Число 3i является чисто мнимым.
 

6
Действительная и мнимая части комплексного числа 3 – 2i соответственно равны 3 и 2.
 

7
Действительная и мнимая части сопряженных чисел отличаются только знаками.
 

8
Сопряженным для действительного числа является само это число.
 

9
Если, то действительная часть числа z равна 0.
 


Вариант 2
№п/п
Утверждения:
Ответ.

1
Число 5 является комплексным.
 

2
Число а, такое что а2 = 4 является действительным.
 

3
Число а, такое что а8 = 1 является действительным.
 

4
0 – мнимое число.
 

5
Если а + bi является действительным, то b = 0
 

6
Действительная и мнимая части комплексного числа – 3 + 2i соответственно равны – 3 и 2.
 

7
 Мнимые части сопряженных чисел отличаются только знаками.
 

8
Если, то мнимая часть числа z равна 0.
 

9
.
 






Самостоятельная работа №1
Цель: проверить умение применять определение мнимой единицы при разложении на множители с помощью формул сокращенного умножения, атак же умения решать квадратные уравнения с действительными коэффициентами.
Вариант 1
Вариант 2

1. Разложите на линейные множители:
a)  b)  c)  d)  e) 
1. Разложите на линейные множители:
a)  b)  c)  d)  e) 

2. Решите уравнение:
a)  b)  с) 
2. Решите уравнение:
a)  b)  c) 



3. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Сначала вспомним «обычные» школьные числа. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой . Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой:

Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой обязательно соответствует некоторое действительное число.
Комплексное число z=a+bi можно изобразить точкой Z на плоскости с координатами (a, b).
Для этого выберем на плоскости декартову систему координат.
Действительные числа изображаются точками оси абсцисс. Мнимые числа изображаются точками оси ординат.


Существует другой способ геометрической интерпретации комплексных чисел. Каждой точке плоскости с координатами (а, b) соответствует один и только один вектор с началом О(0, 0) и концом Z(a, b).
Поэтому комплексное число z=a+bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке О(0, 0) и концом в точке Z(a, b). Очевидно, что при таком изображении: сопряженные комплексные числа изображаются точками, симметричными относительно оси абсцисс.

Пример 1.  
а) Вещественная часть комплексного числа  равна 2, а его мнимая часть равна 5.



б) Вектор с координатами (–3,4), начало которого совпадает с началом координат, определяет комплексное число  –3 +  4i.

в) Комплексное число
· изображается точкой, расположенной на положительной части вещественной оси.

г)  Комплексному числу 2i соответствует точка, расположенная на мнимой оси на расстоянии двух единиц от начала координат в верхней полуплоскости.

Задания для аудиторной работы студентов.

Задание 1.
На комплексной плоскости постройте точки:
а) z= 4-2i; б) z= -2-9i; в)z= 5; г) z= -8i; д) z= 5+4i.
Задание 2.
Найдите комплексно-сопряженные числа для следующих чисел и постройте их на комплексной плоскости:
а) z= -2+6i; б) z= 7+3i; в) z= 2i-3; г)z= 2i; д) z= -5i+10; е) z= HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15i+1.
Задание 3.
Изобразите комплексные числа точками плоскости, соедините их попарно и получите фигуру: 8i, -3, -9, -3-4i, -6-9i, -6i, 6-9i, 3-4i, 9, 3, 8i.

Задания для домашней работы студентов.
Задание 1. Данные  комплексные  числа  изобразите  точками плоскости:
а)   1 + i;           в) 2 + 3i;         д) 5+ 0i;            ж) 0 + 5i
б)  1  i;           г) 3 2i;         е) 6 + 0i;         з) 0 4i.


Задание 2.   Какие комплексные числа изображают   на рисунке 1 точки А, В, C,D и О?







Задание 3.  Пусть точка М служит изображением на плоскости комплексного числа а + bi.  Построить на той же плоскости точки, которые изображали бы комплексные числа:
a) а  bi;           б) 0 + bi; в)   а + bi;      г)  а + 0i; д)   а  bi;     е) 0  bi;
ж)  а + 0i.
Задание 4. Пусть точка М служит изображением на плоскости комплексного числа а  bi. Где на той же плоскости расположены точки, изображающие числа:
а)  3а + 0i ;         б) 0 + 2bi; в)   5а + 0i;    г) 4а + 3bi ; д) 0  bi.
Самостоятельная работа №2
Цель:  проверить умение изображать комплексные числа в комплексной плоскости.
Вариант 1
Вариант 2

Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
Z1=5+6i; Z2= -2i+6; Z3= i+1; Z4= -3-2i;
Z5= -i-0; Z6= 6; Z7= 7i+3; Z8= 2i;
Z9= -6i-2; Z10= HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15;




Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
Z1= -2+3i; Z2= 5i-1; Z3= -2i; Z4= -8-3i;
Z5= -i+0; Z6= 4; Z7= 2i+9; Z8= 7i;
Z9= -4i-6; Z10= HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15;






4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Определение 1. Суммой комплексных чисел z1=a+bi, z2=c+di называют комплексное число z= (a+c)+ (b+d)i.
Пример 1. Сложить два комплексных числа , .
Решение:
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
Ответ:
Для комплексных чисел справедливо правило первого класса:  – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Определение 2. Разностью комплексных чисел z1= a+bi, z2=c+di называют комплексное числo z= (a-c)+ (b-d)i .
Пример 2. Найти разности комплексных чисел  и , если и .
Решение:
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

.
Рассчитаем вторую разность: Ответ: ,

Определение3. Произведением комплексных чисел z1=a+bi, z2=c+di называют комплексное число z=(ac-bd)+(ad+bc)i.
Замечание: Можно перемножать данные числа как двучлены, а потом учесть, что
i2= -1.
Пример 3. Найти произведение комплексных чисел  , .
Решение: Очевидно, что произведение следует записать так:
Раскроем скобки по правилу умножения многочленов (Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что  и быть внимательным).
Школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Ответ: 9+3i.
Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .
Правило деление комплексных чисел.
Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю

Пример 4. Вычислить HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Решение:
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 * HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

Ответ: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Задания для аудиторной работы студентов.
Задание 1. Даны комплексные числа z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i . Найдите: а)z1 + z2;    б) z1 – z2;    в) z1z2; г) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2, (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab ± b3.
Задание 2. Выполните действия:
а) (2 + 3i)2;    б) (3 – 5i)2;    в) (5 + 3i)3.
г) (5 + 3i)(5 – 3i);  д) (2 + 5i)(2 – 5i); е) (1 + i)(1 – i).
Задание 3. Выполнить деление:
а) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; б) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; г) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; д) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15;

Задание 4. Выполните действия:
а) (3 + 2i)(3 – 2i);  б); HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; в) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.



Задания для домашней работы студентов.
Задание 1. Даны комплексные числа z1 = 5 - 4i, z2 = 1+3i . Найдите: а)z1 + z2;    б) z1 – z2;    в) z1z2; г) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
Задание 2. Выполните действия:
а) (4 + 6i)2;    б) (2 – i)2;    в) (4 + 3i)3.
Задание 3. Выполнить деление:
а) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; б) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; г) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Задание 4. Выполните действия:
а) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; в) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Самостоятельная работа №3
Цель: проверить умение применять правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, определения равенства комплексных чисел, записанных в алгебраической форм .
№ п/п
Вариант 1
Вариант 2

1
Даны числа: .
Найдите:
a)  b)  c)  d)  e) 
Даны числа: .
Найдите:
a)  b)  c)  d)  e) 

2
Для чисел найдите действительные числа а и b, для которых верно равенство .
Для чисел найдите действительные числа а и b, для которых верно равенство .

3
Запишите z в алгебраической форме:

Запишите z в алгебраической форме:






5. Модуль и аргумент комплексного числа. Три формы записи комплексного числа.

Пусть комплексное число z=a+bi изображено в виде вектора r с началом О (0, 0) и концом Z(a, b). Вектор ОZ можно задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и углом (, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом a=rcos(, b=rsin( и число z принимает вид z=r(cos(+isin(), который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают (z(. Число ( называют аргументом z и обозначают Arg z.
Определение 1. Модулем комплексного числа z=a+bi называется длина вектора z, которую можно вычислить по формуле r = (z (= HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

Определение 2. Аргументом комплексного числа z=a+bi называется угол (, который образует вектор z с положительным направлением оси абсцисс, отсчитываемый против часовой стрелки.
1) Если  (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .
2) Если  (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .
3) Если  (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .


Пример 1. Представить в тригонометрической форме комплексные числа: 
z1=1,  z2=2i, z2= -3,  z4= -4i .
Решение:
Выполним чертёж:



1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. .  (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: .
Проверочное действие: 
2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент..  (или 90 градусов). Таким образом, число в тригонометрической форме: .
Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):
3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент..  (или 180 градусов).
Число в тригонометрической форме: .
Проверка: 
4) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. .
Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ:  (270 градусов), и, соответственно: . Проверка: 
Задания для аудиторной работы студентов.
Задание 1. Даны комплексные числа найти модуль и аргумент.
а) z1 = 2 + 3i;    б) z2 = 3 – 5i;    в) z3 =5 + 3i; г) z4 =2 + 5i; д) z5 = – 5; е) z6 =1.
И проверьте следующие неравенства


Задание 2. Дано z1 = -3 +4i, z2 = 2+4i, z3 = -1-2i. Вычислите чему равны модули и аргументы чисел:
а) z1 +z2 ; б) z1 - z2 + z3; в) z1 *z2 + z3; г)z3+ z2 - z3.

Задание3. Представьте комплексные числа в тригонометрической форме:
а) z= 5-2i; б) z= -2-2i; в) z=1-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; г) z=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15; д) z=HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15+i.
Задания для домашней работы студентов.
Задание 1. Даны комплексные числа найти модуль и аргумент.
а) z1 = -1 + 4i;    б) z2 = 6 – 2i;    в) z3 =7 + 10i; г) z4 =HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 + 2i; д) z5 = – 5;
И проверьте следующие неравенства


Задание 2. Дано z1 = -2 +6i, z2 = 3- 4i, z3 = 5-i. Вычислите чему равны модули и аргументы чисел:
а) z1 +z2 ; б) z1 - z2 + z3; в) z1 *z2 + z3; г)z3+ z2 - z3.

Задание3. Представьте комплексные числа в тригонометрической форме:
а) z= HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15-HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15i; б) z= 4+4i; в) z=1+HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15. .
Самостоятельная №4.
Цель:  умение находить модуль и аргумент комплексного числа, переводить из алгебраической в тригонометрическую форму.
Вариант 1
Вариант 2




Цель: 
Вариант 1
Вариант 2
Вариант  3
Вариант 4

1. Представьте комплексное число в тригонометрической форме:
а)  b) 
1. Представьте комплексное число в тригонометрической форме:
а)  b) 
1. Представьте комплексное число в тригонометрической форме:
а)  b) 
1. Представьте комплексное число в тригонометрической форме:
а)  b) 

2. Для чисел 
z1 = -5 + 6i и    
z2 = 8 – 9i вычислите модули следующих выражений:


+

И проверьте следующие неравенства

2.Для чисел z1 = -2 + 4i и z2 = 7 – 2i вычислите модули следующих выражений:


+

И проверьте следующие неравенства

2.Для чисел z1 = -4 + 4i и z2 = 9 – 2i вычислите модули следующих выражений:


+

И проверьте следующие неравенства

2. Для чисел 
z1 = -8 + 2i и    
z2 = 7 – 9i вычислите модули следующих выражений:


+

И проверьте следующие неравенства






















Рекомендуемая литература
Апарин, Л.В. Числовые и функциональные ряды: учебное пособие/Л.В. Апарин.-2-e., испр.- СПб.: Издательство «Лань», 2012. – 160 с.: ил.- ISBN 978-5-8114-1341-6
Бибиков, Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: учебное пособие/ Ю.Н. Бибиков.-2-е изд., стер. – Спб.: Издательство «Лань», 2011.- 304с.: ил.- ISN 978-5-8114-1176-4.
Буре, В.М. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник/В.М. Буре.– СПб.: Издательство «Лань», 2013.-320 с.: ил.-ISBN 978-5-8114-1429-1.
Горлач, Б.А. Математический анализ: учебное пособие/Б.А. Горлач.- Спб.: Издательство «Лань», 2013.-608с.: ил.-ISBN 978-58114-1428-4
Дадаян, А.А. Математика:учебник./А.А. Дадаян.-3-е изд.-М.:ФОРУМ, 2011.-544с.- ISBN 978-5-9134-460-3.
Дадаян, А.А. Сборник задач по математике: учебное пособие/А.А. Дадаян.-М.:ФОРУМ:ИНФРА-М,2011.-352 с.-ISBN 978-5-91134-271-5, ISBN 978-5-16-002152-2.
Кочетков, Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика:учебник/ Е.С.Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов.- 2-е изд. - М.: ФОРУМ, 2008.- 240 с.: ил.- ISBN - 978-5-91134-191-6.
Срочко, В.А. Численные методы. Курс лекций: Учебное пособие.-СПб.: Издательство "Лань", 2010.-208с. - ISBN 978-5-8114-1014-9.










HYPER13 PAGE \* MERGEFORMAT HYPER1410HYPER15




Рисунок 88Рисунок 82Рисунок 43Рисунок 42Рисунок 1Рисунок 87Рисунок 89Рисунок 90Рисунок 91Рисунок 94Рисунок 96Рисунок 98Рисунок 99Рисунок 1Рисунок 2Рисунок 26Рисунок 27Рисунок 27Рисунок 28Рисунок 29Рисунок 30Рисунок 31Рисунок 38Рисунок 41Рисунок 167Рисунок 171Рисунок 172Рисунок 173Рисунок 177Рисунок 178Рисунок 186Рисунок 187Рисунок 191Рисунок 302Рисунок 305Рисунок 306Рисунок 244Рисунок 252Рисунок 254Рисунок 256Рисунок 258Рисунок 259Рисунок 260Рисунок 262Рисунок 266Рисунок 267Рисунок 318Рисунок 341Рисунок 343Рисунок 345Рисунок 322Рисунок 323Рисунок 326Рисунок 327Рисунок 332Рисунок 333Рисунок 336Рисунок 337Рисунок 332Рисунок 333Рисунок 336Рисунок 337Рисунок 322Рисунок 323Рисунок 326Рисунок 327HYPER15Основной шрифт абзаца

Приложенные файлы

  • doc 190
    Методическое пособие по дисциплине математика тема: «Комплексные числа»
    Размер файла: 940 kB Загрузок: 3

Добавить комментарий