Использование творческих заданий на уроках математики


Использование творческих заданий для учащихся в процессе обучения математике
Содержание
Введение 3
1 Тенденции научного исследования творчества. Определение творчества………………………………………………………………. 6
2 Уровни познавательной деятельности учащихся. Приемы активизации познавательной деятельности………………………… 11
3 Виды и формы творческих заданий для учащихся в процессе обучения математике…………………………………………………. 16
4 Методика использования творческих заданий для учащихся в процессе обучения математике ………..…………………………… 22
5 Примеры использования творческих заданий в процессе обучения школьников математике……………………………………………… 28
Заключение……………………………………………………………. 60
Литература……………………………………………………………. 62
Введение
Обучающийся с первых дней занятий в образовательном учреждении встречается с математической задачей. На протяжении всего периода обучения в школе задача помогает ученику осваивать математические понятия, глубже выяснять всю многогранность, логичность взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения в реальной действительности.
Решение математических задач занимает в образовании одно из основополагающих мест. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития школьника, глубины освоения учебного материала. Очень важно сделать так, чтобы процесс обучения не превращался для учеников в скучное и однообразное занятие.[1]
Современное образование предполагает обучение школьников при наличии у них высокого познавательного интереса к предмету. Лишь небольшое число учащихся изначально имеет интерес к той или иной дисциплине. За исключением, пожалуй, тех школьников, у которых есть способности в этой предметной области. Остальные учащиеся нуждаются в формировании устойчивого интереса к этому учебному предмету или в повышении его уровня.
Проблема активности личности в обучении - одна из актуальных в образовательной практике, поскольку в условиях современного урока задачей педагога является не только подача материала, но и формирование положительной мотивации к предмету. В этих целях используются различные приемы: использование интересной и занимательной информации, деловых игр и игровых моментов, активных форм обучения. Естественно предположить, что ученик, будучи заинтересованным, станет активным, поскольку стандартные уроки уже не удивляют, не интересуют ученика так, как могли бы побудить к плодотворной работе уроки-игры, состязания, уроки-беседы, уроки-презентации, где уже ученик выступает не в роли слушателя, а в роли активного участника образовательного процесса.
Проблема познавательного интереса в последнее время все чаще привлекает внимание не только теоретиков-дидактиков, но и практиков-учителей, что вызвано снижением интереса к учению у некоторой части школьников.
Задача формирования познавательного интереса очень актуальна для построения учебного процесса, так как в школе необходимо привить ученику потребность в непрерывном пополнении своих знаний с помощью самообразования, способствовать стремлению ученика к расширению общего и специального кругозора.
Использование творческих заданий при обучении математике станет одним из главных факторов занимательности на уроке, поскольку подобный подход в организации учебного процесса позволит активизировать исследовательскую и творческую деятельность учеников, будет способствовать формированию познавательного интереса, позволит приобщить участников образовательного процесса к поиску, формируя при этом навыки и критического мышления в том числе.Любой процесс начинается с определения цели. Цель образования сегодня – создание условий для максимально эффективного, целостного развития личности ребенка во всей многомерности возможностей человека. Ученику в рамках образовательного процесса просто необходимо уметь определять цели и делать выводы, синтезировать материал и соединять сложные структуры, обобщать знания, а тем более находить взаимосвязи в них.
Цель курсовой работы заключается в выявлении образовательной ценности творческих заданий в процессе обучения школьников математике и описание методики их использования на уроках и во внеурочное время.
Объектом исследования является процесс обучения школьников математике.
Предметом исследования являются творческие задания, их роль и место в учебном процессе, особенности использования творческих задач в процессе обучения школьников математике.
Задачи курсовой работы:
рассмотреть различные подходы к определению понятия «Творчество» (с точки зрения философии, психологии, педагогики, математики);
рассмотреть уровни учебно-познавательной деятельности учащихся;
описать приемы активизации познавательной деятельности учащихся;
выделить виды и формы творческих заданий для учащихся в процессе обучения математике;
сформулировать общие положения методики обучения школьников решению творческих задач на уроках математики с учетом возрастных особенностей учащихся.

1. Тенденции научного исследования творчества.
Определение творчества
Научить решать нестандартные задачи – это не только интересная, но и достаточно непростая работа, которая предполагает применение педагогики, методики, психологии, личного творчества и многого другого.
Решение нестандартных задач соотносится с творчеством личности. Творчество во всем: переформулировка задачи, поиск интересного метода или способа решения, выделение в задаче особых структур, оформление задачи, мыслительные процессы и многое другое, что связано с этим не простым, но интересным занятием.
Поэтому, чем больше учтено существенных элементов, входящих в процесс творчества, тем быстрее и успешнее будет достигнута цель.
Попытаемся дать определение такому обширному, многозначному, многофакторному понятию, как творчество.
Понятие творчества связывается с разделением деятельности на репродуктивно-воспроизводящую и продуктивно - творческую. Ее суть заключается не в получении конечного продукта, а в нахождении нового пути его получения. Следует отметить, что иногда и сам конечный продукт может в результате определенных действий оказаться не столь стандартным. В последнем случае мы имеем дело с новыми открытиями, что в условиях школьного обучения почти исключено.
Творчество исследуется как одно из свойств личности. Оно характеризуется двумя факторами. Первый включает в себя совокупность средств – знаний, умений, навыков, которыми обладает личность. Второй – отношение личности к процессу деятельности, его результату и условиям осуществления, а также складывающимися связями с другими людьми.
Творчество рассматривается с точки зрения двух позиций: с объектной точки зрения оно определяется в виде конечного продукта, это могут быть научные открытия, изобретения, находки и идеи человечества, способные изменить мир; с субъектной точки зрения – самим непосредственным процессом.
Творчество является и качеством, которым обладает творческая личность. С этой точки зрения оно характеризует способность к переходу от репродуктивно воспроизводящей к продуктивно творческой личности, то есть личности, способной на собственное творчество, на свой взгляд и идею, на свое изобретение.
Творчество рассматривается с позиций различных субъектов, принимающих участие в этом процессе: с одной стороны – творчество, которое проявляется преподавателем, а с другой – творчество учащихся.
Творчество часто трактуется как мышление в его высшей форме. Существуют и другие направления исследования творчества, изучение этого понятия весьма многогранно, и каждый в этом определении найдет свое видение, полагаясь на собственное творчество мышления и совокупность взглядов и убеждений.
Решение нестандартных задач является творчеством. Следовательно, чтобы научиться решать их, нужно научиться творческой деятельности.
Проблемой творчества занимаются различные науки: философия, педагогика, психология, поскольку содержание этого понятия раскрывается по-разному, в зависимости от основных категорий научной области.
С философской точки зрения творчество рассматривается как нечто неповторимое, оригинальное, где главным звеном управления является человек, который направляет творчество в особый комплекс целей и задач.[12]
Творчество в психологии изучается в двух аспектах: как психологический процесс созидания нового и как совокупность свойств личности, которые обеспечивают ее включенность в этот процесс.
Проблема творчества в психологии, рассматриваемая с точки зрения мыслительных операций, интеллекта, характеризуется определенными качествами личности: широтой обобщающих классифицирующих категорий, гибкостью, беглостью и т.д.
В педагогике творчество трактуется как высшая форма активности и самостоятельной деятельности человека.
Итак, творчество оценивается по социальной значимости и оригинальности, многие могут назвать творчество как своего рода оригинальность с элементами новизны. Разделяют творчество с объективной точки зрения, когда оно определяется конечным продуктом и с субъективной точки зрения, когда оно определяется процессом, даже если продукт деятельности не несет в себе никакой новизны и не является социально востребованным.
Каждая научная область исследует творчество со своей позиции: философия рассматривает вопрос о его сущности; психология исследует процесс протекания акта творчества; педагогика, опираясь и синтезируя точки зрения других наук, дает специфическое видение проблемы.
Творчество проявляется в любой деятельности, поэтому обучение творческой деятельности возможно в любой из них.
На основе выше сказанного можно сделать вывод о том, что творчество и использование творческих заданий на уроках математики подразумевает непосредственное умение нестандартно мыслить и излагать в письменной форме сложные математические задачи. Здесь творчество проявляется в умении решать задачи с необычным сюжетом, специфичными данными, интересным условием, где присутствует занимательный эффект и неординарный подход. При этом одинаково возможны ситуации, когда учитель может предложить нестандартный подход к решению задачи или к уроку в целом, где рассматривается та или иная тема или задача. Таким же образом и ученик может предложить оригинальную математическую модель задачи, тем самым превратив обычную задачу в нестандартную, привлекательную по способу и методу нахождения всех элементов, которые нужно найти согласно условию.
Развитие творческих способностей – важнейшая задача, стоящая перед учителем, ведь этот процесс пробуждает инициативу и самостоятельность в принятии решений, воспитывает привычку к свободному изложению своих мыслей, уверенность в себе. Творчество – это всегда новое, неизведанное, непредсказуемое и увлекательное, поэтому и способ выражения идеи и мысли по решению математической задачи также будут нестандартными и захватывающими.
Развивая творческие способности у обучающихся, учитель формирует у них особые умения и навыки, благодаря которым школьники овладевают способностью грамотно использовать математический аппарат, нестандартно мыслить и находить оригинальные решения задач. Творчество нельзя назвать всплеском эмоций, оно тесно связано мышлением. Творчество увлекает ученика, придает его мыслительной деятельности особый тонус, задает положительную мотивацию к изучению математики.
Одним из средств развития творческих способностей учащегося являются нестандартные задачи. «Нестандартные задачи – это такие задачи, которые не имеют строгих правил и алгоритмов решения»,- считает Л.М.Фридман. Нестандартная задача – это задача, принцип решения которой ученикам неизвестен, то есть учащиеся не знают заранее ни способов их решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение.
Как правило, процесс решения нестандартных задач сводится к последовательному применению двух основных действий:
переформулировка нестандартной задачи в стандартную, путем различных преобразований условия или требования;
разбиение одной нестандартной задачи на несколько задач с более понятной ученику системой требований.
Мысли многих ученых, писателей, педагогов также нашли свое отражение во многих трудах. В рамках курсовой работы стоит обратить внимание на высказывание Л.Н. Толстого: «Если ученик в школе не научился сам ничего творить, то и в жизни он всегда будет только подражать, копировать, так как мало таких, которые бы, научившись копировать, умели сделать самостоятельное приложение этих сведений».[19]
Достаточно много определений творчества можно найти в известных источниках, но важным останется одно: математика дает большой шанс развитию творческих способностей. Математика является наиболее благоприятным предметом для развития творческих способностей учащихся, этому способствует логическое построение предмета, отработанная система упражнений для закрепления и введения новых знаний и абстрактный язык математики.
2. Уровни познавательной деятельности учащихся.
Приемы активизации познавательной деятельности
Каждому учителю, планирующему использовать в процессе обучения нестандартные для учащихся задания для придания образовательному процессу творческого и познавательного характера необходимо, в первую очередь, проанализировать структуру такого урока, определить место таких заданий на уроке и их творческую сущность.
Можно провести аналогию между процессом познания и четырехтактным двигателем внутреннего сгорания. Все представляют себе четырехтактный цикл работы двигателя внутреннего сгорания: всасывание – сжатие – горение и расширение – выхлоп. Нечто подобное имеет место в процессе познания. Всасывание – процесс получения знания извне; сжатие – процесс укомплектования и осмысления информации; горение и расширение – синтезирование знаний, анализ полученных данных; выхлоп – практическая обусловленность. Задача учителя состоит в том, чтобы создать условия практического применения способностей для каждого учащегося, выбрать такие методы и средства обучения, которые позволили бы каждому ученику проявить свою активность, а также инициировать познавательную деятельность учащегося в процессе обучения математике.[1]
Активность ученику может быть обеспечена, если педагог целенаправленно и максимально использует на уроке задания, требующие от учащихся мыслительных активных действий: докажи, объясни, приведи пример, выработай альтернативную точку зрения и т.п. Кроме того, учитель может использовать приемы исправления “намеренно сделанных” ошибок, формулирования и разработки заданий для товарищей.
Такие виды работ, как креативные письменные задания, проекты, творческие работы наилучшим образом способствуют творческому развитию учащихся на уроке, помогают обеспечить необходимые условия для активизации познавательной деятельности каждого ученика, предоставляют каждому возможность для саморазвития и самовыражения.
Тип познавательной деятельности определяет уровень познавательной активности обучающегося и его самостоятельности в обучении. В связи с этим выделяют такие методы обучения, как: репродуктивный, объяснительно – иллюстративный, частично-поисковый, исследовательский.
Каждый из перечисленных методов может проявляться в различных формах: практических, словесных, наглядных.
Все перечисленные методы в своей совокупности в полной мере позволяют участнику учебного процесса, а именно – ученику, в своем режиме овладеть новыми знаниями.
Объяснительно-иллюстративный метод - метод обучения, направленный на передачу готовой информации различными средствами, осознание и запоминание информации участниками образовательного процесса.[2]
Он имеет следующие характерные признаки:
учитель организует восприятие информации различными способами;
фактический материал дается ученикам в готовом виде;
учащиеся воспринимают факты, анализируют, синтезируют их, фиксируют в памяти;
прочность усвоения теоретических сведений зависит от многократного повторения и актуализации особо важных для темы понятий и формул.
Изложение учебного материала может осуществляться в процессе выполнения упражнения, рассказа, беседы с опорой на алгоритм или правило, практической работы на применение новых понятий, законов, аксиом и т.д.
Репродуктивный метод обучения обеспечивает ускоренное и прочное усвоение учебной информации, быстроту формирования практических умений.
С помощью данного метода учащиеся усваивают знания и способы деятельности в готовом виде. Выполняют интеллектуальные и практические действия по заданному образцу, который предложил преподаватель.[2]
Репродуктивный метод имеет следующие характерные признаки:
учащиеся усваивают знания, понимают, запоминают и грамотно воспроизводят их;
фактический материал дается ученикам предлагают в готовом виде;
учитель не только сообщает новые факты, но и обосновывает в каждый момент на определенных этапах урока те или понятия, формулы, выводы;
прочность усвоения знаний и умений обеспечиваются через их неоднократное повторение.
Метод проблемного изложения – метод обучения, при котором учитель ставит перед обучающимися актуальную проблему и активизирует их на поиск путей ее решения с последующим возникновением противоречий.[2]
Данный метод применяют преимущественно для развития навыков творческой учебно-познавательной деятельности, самостоятельного овладения знаниями.
Метод проблемного изложения имеет следующие характерные признаки:
учитель намечает возможные пути решения возникшей проблемы в рамках познавательной задачи, решает задачу полностью от начала до конца;
фактический материал ученикам в готовом виде не предлагается;
учащиеся наблюдают за ходом мыслей преподавателя, его размышлениями и пытаются самостоятельно решать проблемные задачи подобного уровня.
Частично-поисковый метод заключается в самостоятельной работе учащихся, эвристической беседе, популярной лекции, проектировании и т.п.
Данный метод предоставляет школьникам возможность принять участие в отдельных этапах поиска. При этом они знакомятся с определенными моментами научно-исследовательской работы, тем самым проявляют себя в решении проблемных вопросов, задач, осуществляя и намечая пути решения.
Изложение учебного материала может осуществляться в вопросно-ответной форме (эвристической беседе), в процессе разбора упражнения с последующей формулировкой выводов и комментировании отдельных моментов, при выполнении лабораторной или практической работы.[2]
Этот метод имеет следующие характерные признаки:
учащиеся под непосредственным руководством учителя пытаются рассуждать на какие-либо темы, анализируют, обобщают, синтезируют (выделяют общее и частное, важное и второстепенное), решают проблемные вопросы, проводят сравнения;
обучающиеся пытаются самостоятельно дойти до смысла, сути знания, осуществляя при этом все возможные методы и способы;
учитель осуществляет поиск новых знаний, используя при этом различные средства ИКТ.
Исследовательский метод - метод обучения, отличительным признаком которого является проявление творческого характера, творческих умений и навыков, овладение методами научного познания, а также формирование навыков научно-исследовательской деятельности, научного расследования и поиска информации.[2]
Характерные признаки данного метода заключаются в следующем:
преподаватель в рамках образовательного процесса совместно с учениками ставят проблему и пытаются общими усилиями ее решить;
новая информация как знание не представлена явным образом, ученики должны прийти к нему самостоятельно, решая проблему, которая стоит перед ними, получить определенные результаты, сравнив их и проанализировав с учетом мнений разных сторон, а также определить основные средства достижения результатов;
процесс обучения отличается высокой производительностью и продуктивностью, особым интересом, а знания в свою очередь полноценны, прочны и максимально приближены к действительности;
основная задача учителя заключается в том, чтобы стать для учеников координирующим звеном, неким вектором, направляющим их на путь к истинному знанию.
Ученики могут овладеть знаниями, осуществляя информационный поиск, работая с текстами, практикуясь в исследовательском направлении, изучая законы и выявляя различные закономерности в каком-либо процессе или явлении.
Методы обучения по типу познавательной деятельности учащихся позволяют сформировать критическое мышление, самостоятельность и независимость мышления, в том числе логичность, рациональность. Эффективность этих методов во многом зависит от комбинации и соотношения с другими группами методов, которые может задействовать преподаватель, чтобы сделать процесс обучения более продуктивным, интересным и емким.

3. Виды и формы творческих заданий для учащихся в процессе обучения математике
Школьные задачи принадлежат различным разделам математики и геометрии. Рассмотрим основные направления математического содержания школьного курса, обуславливающие поле деятельности педагога по формированию умений и навыков.
Среди тем, изучаемых на уроках математики, большое место занимают числа и вычисления. Выделим основное содержание темы в 5-9 классах:
Натуральные числа и нуль. Десятичная система счисления.
Арифметические действия с натуральными числами. Представление числа в десятичной системе.
Делители и кратные числа. Простые и составные числа. НОК и НОД. Взаимно простые числа. Разложение числа на простые множители.
Четность.
Деление с остатком. Признаки делимости на 2, 3, 5, 6, 9.
Обыкновенные дроби. Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями.
Десятичные дроби.
Отношения. Пропорции. Основное свойство пропорции.
Прямая и обратная пропорциональность величин. Проценты.
Положительные и отрицательные числа. Модуль числа.
Сравнение положительных и отрицательных чисел.
Арифметические действия с положительными и отрицательными числами, свойства арифметических действий.
Целые числа. Рациональные числа.
Уравнения. Уравнение с одной переменной. Корни уравнения. Линейное уравнение.
Функции. Функция. График функции. Функции: у = kx , у = kx + b.
Геометрические фигуры на плоскости, измерение геометрических величин.
Текстовые задачи, сводящиеся к решению уравнений.
Для учащихся 8 - 9 классов к уже названным темам добавляются новые. При этом перечень изучаемых на уроках математики вопросов таков:
Числа и вычисления
Натуральные числа и нуль. Десятичная система счисления. Арифметические действия с натуральными числами. Представление числа в десятичной системе
Разложение числа на простые множители. Четность. Деление с остатком. Признаки делимости на 2k, 3, 5k, 6, 9, 11.
Обыкновенные дроби. Арифметические действия с обыкновенными дробями.
Десятичные дроби.
Отношения. Пропорции. Основное свойство пропорции. Прямая и обратная пропорциональность величин. Проценты.
Положительные и отрицательные числа. Модуль числа. Сравнение положительных и отрицательных чисел. Арифметические действия с положительными и отрицательными числами, свойства арифметических действий.
Целые числа. Рациональные числа. Понятие об иррациональном числе. Изображение чисел точками на координатной прямой.
Квадратный корень.
Выражения и их преобразования.
Уравнения и неравенства
Уравнение с одной переменной. Корни уравнения. Линейное уравнение.
Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета.
Решение рациональных уравнений.
Уравнение с двумя переменными. Система уравнений.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Решение простейших нелинейных систем.
Текстовые задачи, сводящиеся к решению уравнений, систем уравнений.[16]
Решение творческих задач на уроках математики связано непосредственно с нестандартностью и гибкостью мышления обучающегося. Умение замечать закономерности, находить пути решения в нестандартных ситуациях и условиях математической задачи – математическое творчество.
Творческая деятельность как активная форма проведения урока, как активный метод обучения математике позволяет продуктивно на доступном математическом языке изложить материал, который изначально казался обучающимся сложным для понимания и усвоения.
Использование этих методов позволяет развивать творческие способности, умения применять знания в новой ситуации, видеть систему закономерностей и выделять необходимые данные для разрешения задачи.
Решая задачи творческого характера, учащиеся смогут узнать об увлекательных вещах, которые не были описаны на страницах школьных учебников, которые остались за рамками формального математического текста, попробовать свои силы в решении интересных задач, научиться самостоятельно работать с книгой, используя навыки смыслового чтения, и грамотно излагать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Систематическая работа с творческими заданиями на уроках математики способствует не только более глубокому усвоению знаний, но и закреплению умений пользоваться эвристическими приёмами, развитию творческого потенциала.[3]
Основные виды творческих заданий:
задания, которые стали для обучающихся новым знанием (стали источником информации, которую школьники не знали раньше);
самостоятельное составление обучающимися задач, примеров;
задания, которые позволили обучающимся освоить иные методы решения той или иной задачи;
составление задач с оригинальным творческим содержанием (самостоятельное переформулирование формальной задачи из учебника в задачу с применением нестандартного условия, интересного сюжета и креативного оформления);
задания, требующие от учеников применения различных способов решения, в том числе и искусственных методов;
задания на нахождение определенных закономерностей;
задания, направленные на практическую деятельность: зашифровать, нарисовать, составить, разрезать, начертить, заполнить таблицу и т.д;
задания на сообразительность, на смекалку (например, составление ребусов);
задания с элементами игры;
задания с элементами тренинга, дискуссий, активных обсуждений и споров;
творческие домашние задания.
Существуют различного рода классификации и типы творческих задач. Рассмотрим некоторые из них:
по функциональным возможностям (задачи дидактические, познавательные, развивающие);
по содержанию (количественные и качественные);
по способу решения (арифметические, алгебраические, геометрические, графические);
по способу подачи информации (задачи-рисунки, текстовые, графические);
В рамках настоящей курсовой работы более убедительной и подходящей классификацией творческих задач является классификация И.В. Егорченко. Егорченко И.В. выделяет:
нестандартные прикладные задачи;
стандартные прикладные задачи;
нестандартные задачи, не являющиеся прикладными;
материалы, вообще не являющиеся задачами.
При этом под «нестандартными» И.В. Егорченко [4] подразумевает задачи творческого характера. Последние дополнительно подразделяются в зависимости от нестандартной формы, способа решения и особенностей.
При этом учитываются:
постановка задачи;
процесс решения;
представление ответов;
осуществление проверки решения.
Наиболее интересны задачи первого типа. К ним относятся:
задачи без явной постановки вопроса;
задачи с исчерпывающими данными, а также с избыточными и противоречивыми;
задачи в форме игры, практической работы или исследования;
задачи, представленные в виде схем, диаграмм или изображений (задачи на готовых чертежах);
задачи с использованием обобщений, аналогий, сопоставления и классификаций;
задачи с реккурентным способом постановки данных и условий (выявление данных, нужных для решения задачи, путем обращения к решению раннее рассмотренных заданий);
задания на обнаружение ошибок и выявление противоречий;
задачи с нестандартной постановкой вопроса или условия;
задачи с непривычными единицами измерения, например фут, сажень и т.д.;
Рассмотрим классификацию нестандартных задач, не являющихся прикладными. Среди них:
задачи, которые решаются посредством методов и средств, не известным школьникам в рамках школьной программы;
задачи, где необходимо установить причинно следственные связи, провести определенные аналогии и обобщать какие-либо данные;
задачи, где необходимо перейти к понимаю пространства, оттолкнувшись от задачи на плоскости;
задачи на выявление и использование аналогий, определение отношений и понятий, им противоположных;
задачи на составление логической цепи с правильным осуществлением последовательности определенных действий, избегая возможных ошибок, приводящих к неверному ответу или противоречию;
4. Методика использования творческих заданий для учащихся в процессе обучения математике
Использование творческих заданий в процессе обучения школьников математике тесно связано с необходимостью учитывать активные методы взаимодействия на уроке, средства и приемы подачи задач творческого характера, нестандартные формы организации поиска и решения задачи.
Методика использования задач творческого характера на уроках математики сравнима с методикой использования обычных математических задач, какими мы их привыкли видеть. Здесь четкие границы определить будет трудно, но, говоря о задачах творческой направленности, можно выявить некоторые специфические черты и особенности.
Методика обучения решению творческих задач на уроках математики предполагает воздействие на формирование элементов как внешней, так и внутренней сторон, необходимых для данного процесса.
Под внешней стороной понимаются качества творческой личности, необходимые для творческого процесса, - решения творческих и нестандартных задач. Одно из значимых качеств – интегральное, которое ориентирует ученика на творческую деятельность. При его формировании и развитии в процессе обучения происходит воздействие на следующие аспекты: виды творчества, знания, творческое мышление, умения осуществлять творческую самостоятельную работу.
Мыслительная деятельность, которая занимает главенствующее место в механизме творческой деятельности ученика при решении нестандартных задач, совершается в виде последовательного ряда этапов (рис. 1):

Рис. 1.
Анализируя данную схему, мы можем охарактеризовать механизм мыслительной деятельности как процесс нестандартного мышления, посредством чего ученик решает задачи, используя неординарный подход, метод или способ решения.
Работа педагога в данном случае состоит в формировании у ученика способности мыслить так, чтобы каждая изучаемая задача была посильна тому, кто ее решает.
Важно при изучении каждой темы, а также в процессе решения задач остановить внимание ученика на проблемах, на трудностях, которые стоят за ней. Акт мышления ученика будет, таким образом, уже направлен на поиск решения возникшей проблемы, после чего будут приведены какие-либо версии, которые, возможно, станут полезными. Творчество же здесь, прежде всего, заключается в нестандартности методов и способов, которые может предложить ученик. Далее ученик, следуя нашей схеме, будет логически рассуждать, опираясь на предложенные способы решения, выбрав конкретно ему понравившийся или тот, что позволит обойти громоздкие рассуждения или вычисления, что также позволяет отнести такой процесс действий к творческому мышлению, судя по определению творчества.
Таким образом, механизм творческой деятельности мы постарались определить в рамках одной схемы, которая достаточно прочно дает усвоить данный принцип. Схема наглядно отражает суть мыслительных процессов, которые приводят к конкретному умозаключению, то есть к результатам.
Рассмотрим подробнее методику обучения решению, которая касается непосредственно творческих задач по математике. Во-первых, установим, на что следует обратить внимание при обучении математике в соответствии с программными требованиями и тематикой по классам. Во-вторых, рассмотрим общие советы по обучению решению творческих задач, предлагаемые различными авторами.
Уместно будет рассмотреть некоторые тенденции в использовании творческих заданий на уроках математики, а также общие положения методики обучения решению творческих задач по классам.
Одна из основных тенденций заключается в том, что учителя, стараясь сделать урок нестандартным, всеми способами пытаются перенести урок в те или иные форматы, не связанные со стенами классной комнаты. Для этого они используют как прямое, так и виртуальное перемещение.
Также отличительным моментом является и тот немаловажный факт, что учитель с целью придания уроку делового характера и повышения его занимательности нередко использует различные приборы (измерительные или подручные), которыми активно пользуются ученики для проведения исследования или практической работы. Однако не все выбираемые для этих целей приборы и материалы имеют место в образовательной практике, а какие-то предназначены для других целей, поэтому необходимо тщательно продумывать приемы, формы, идеи, а не конкретные материалы.
На основе проб и ошибок учителей в образовательной практике появилась и вторая отрицательная тенденция: основной взгляд учителя ориентирован на составление творческих заданий с целью удивить учеников, заинтересовать и привлечь их внимание, нежели следовать поставленным дидактическим целям, которые при этом могут просто игнорироваться.
Некоторые данные из опыта работы преподавателей общеобразовательных школ указывают на то, что они часто видят роль творчества на уроках математики исключительно в том, чтобы повысить активность учеников, дать им возможность отвлечься от монотонного и скучного труда, разбавляя урок играми, интересными формулировками заданий, занятными формами. Однако установлено, что работа на занятии, внешне эффективная и нравившаяся и ученикам, и учителю, фактически оказывается неплодотворной, так как запланированные цели и задачи урока не достигаются.
Третья тенденция, непосредственно вытекающая из второй, заключается в том, что многие учителя не задумываются над вопросом, органично ли входит тот или иной занимательный материал в урок. На уроках порой используется такая занимательность, которая надолго выбивает учащихся из колеи. Другая крайность состоит в том, что учителя используют ограниченное число приемов занимательности. В итоге подача занимательных материалов становится однотипной, что довольно скоро надоедает учащимся и теряет свой эффект.
Наконец, четвертая тенденция заключается в том, что учителя пытаются сами составлять занимательные материалы. А ведь, составляя их, учителя значительно глубже поймут существо занимательности и смогут эффективнее ее использовать как на уроках, так и во внеклассной работе.
Думается, что все это в совокупности и привело к порочной методике использования занимательности на уроках, иногда практикуемой учителями математики. Эта «методика» заключается в следующем. Учитель ограничивается сообщением, что при выполнении плана урока оставшиеся в конце урока несколько минут будут посвящены занимательной математике.
Такой подход явно несостоятелен. При этом на первых порах действительно наблюдается возросшее внимание ребят к изучению учебного материала. Однако спустя некоторое время (обычно 2-3 месяца) ученики остывают, и даже занимательные пятиминутки не могут подогреть их интерес к школьной (как они теперь поняли, скучной!) математике. Намного продуктивнее будут уроки, если удастся органично сочетать занимательный материал с необходимыми тривиальными заданиями, использовать присущие ему дидактические, развивающие и познавательные функции и тем самым уничтожить явную границу между занимательным и учебным материалом.
Сформулируем выводы, которые полезно учитывать при использовании занимательных заданий на уроках математики.
Использование занимательных заданий целесообразно тогда, когда есть опасность непринятия учащимися какого-либо учебного задания; при прохождении сложных тем или постановке трудных дидактических задач урока; при выработке умений и навыков учащихся, когда требуется выполнить значительное количество однотипных упражнений; при изучении материала, подлежащего прочному запоминанию.При этом следует отдавать предпочтение занимательному материалу, отражающему существенные моменты изучаемого, а также занимательным заданиям неоднократного использования.
Для каждого занимательного материала, который предполагается использовать на уроке, учитель должен выяснить: будет ли он занимательным для учащихся данного класса? Органично ли он войдет в структуру урока? Будет ли его использование эффективным?
Учителю надо постараться избежать таких ошибок в использовании занимательности на уроке, как отвлечение от темы и дидактических задач урока (резкий скачок в сторону), неподготовленность занимательного задания предыдущей учебной работой на уроке, отсутствие учета всех категорий учащихся и др.
При включении занимательных задач в учебный процесс нужно помнить, что они не должны выступать прямым стимулом при обучении данной дисциплины. Иногда имеет смысл использовать занимательные задачи для эмоциональной разгрузки, но нельзя акцентировать на этом внимание обучаемых. Например, не рекомендуется предварять решение таких задач словами: «А теперь давайте отдохнем (т.е. расслабимся!) и решим занимательную задачу». По мнению М.Ю. Шубы «использование занимательных заданий целесообразно тогда, когда есть опасность неприятия учащимися какого-либо учебного задания; при прохождении сложных тем или при постановке трудных дидактических задач урока; при выработке умений и навыков учащихся, когда требуется выполнить значительное количество однотипных упражнений; при изучении материала, подлежащего прочному запоминанию». Не рекомендуется также выставлять оценку за решение занимательных задач, выбрав в качестве стимула похвалу ученика перед классом.
Методика обучения решению творческих задач на уроках математики предполагает воздействие на формирование элементов как внешней, так и внутренней сторон, необходимых для данного процесса.
Под внешней стороной понимаются качества творческой личности, необходимые для творческого процесса, - решения творческих и нестандартных задач. Одно из значимых качеств – интегральное, которое ориентирует ученика на творческую деятельность. При его формировании и развитии в процессе обучения происходит воздействие на следующие аспекты: виды творчества, знания, творческое мышление, умения творческой самостоятельной работы.
5. Примеры использования творческих заданий в процессе обучения школьников математике
Рассмотрим различные примеры творческих заданий по математике и остановимся на особенностях их использования в различных классах. Во-первых, следует обратить внимание на содержание обучения, исходя из требований программы. Во-вторых, необходимо учесть опыт использования творческих заданий, описанный в научно-методической литературе и имеющий место в практике преподавания математики.
Уместно рассмотреть некоторые общие тенденции в использовании творческих заданий на уроках математики.
5 класс
Работа ведется в трех основных направлениях:
Действия с натуральными числами.
Логические умозаключения (умение строить логические цепочки).
Пространственное воображение.
Первое направление может показаться не особенно важным, как другие два из списка, но оно столь же необходимо. Быстрое и уверенное выполнение арифметических действий не только создает комфортные условия для учащегося, но и позволяет лучше понимать законы этих операций, что дает обучающемуся возможность легко перейти к обращению с алгебраическими выражениями и осмысленному глубокому пониманию арифметических законов на языке алгебры; анализировать свойства чисел и числовых множеств; помогает проводить с числами не только точные, но и оценочные операции, являющиеся одной из основ подготовки к восприятию анализа функций. Успешное освоение комбинаторики и основ теории чисел находится в явной зависимости от усвоенных арифметических знаний и техники.
Начиная с пятого класса, на всех занятиях в качестве разминки следует выполнять арифметические упражнения устного характера, например, такого типа:
104∙4=100+4∙4=100∙4+4∙4=400+16=416;98∙6=100-2∙6=100∙6-2∙6=600-12=588;6+65+32+34+35+8=6+34+65+35+32+8=40+100+40=180;1+2+3…+9+10=1+10+2+9+…+5+6=11∙5=55;39∙5=39÷3∙15=13∙15=10+3∙15=150+45=195;Учащиеся должны уверенно знать не только таблицу умножения чисел первого десятка, но и степени чисел 2 и 3, усвоить, что такое простое число, помнить первые несколько простых чисел и уметь раскладывать составные числа на простые множители. Школьников следует научить пользоваться признаками делимости на 2, 3, 4, 5 и 9, а также решать задачи, в которых требуется установить делимость числа на 6, 15, 45 и т.д.
Второму направлению – логическим задачам и способам их решения – посвящено множество литературы по математике занимательного и олимпиадного характера. Решение таких задач, как правило, хорошо литературно оформлено и вызывает большой интерес у обучающихся. Важно заметить, что «художественное» оформление задачи полезно само по себе. Оно требует от учащихся выявления из предложенных «жизненных обстоятельств» математической сущности задачи, иными словами, создания математической модели, что постоянно приходится делать в серьезных науках. Это в наибольшей мере относится к задачам по комбинаторике, теории графов, на составление уравнений и т.д. Готовиться к этому нужно уже в младших классах. В качестве моделей решения логических задач могут использоваться таблицы, схемы, круги, графики и т.п.
Так, задачи на переливание можно решать с помощью таблиц, в которых записаны все промежуточные ситуации.
Пример 1.
Как, используя ведро объемом 9 литров и бидон объемом 5 литров, набрать из речки 3 литра воды.
Решение:
№ операции 1 2 3 4 5 6 7 8
Ведро 9 4 4 0 9 8 8 3
Бидон 0 5 0 4 4 5 0 5
См. таблицу. В ее второй и третьей строках показано количество литров воды в соответствующем сосуде после очередного наполнения, выливания и переливания.
Решение важных задач на установление взаимно однозначного соответствия также удобно оформлять с помощью таблиц.
Пример 2.
Антон, Борис, Влад, и Глеб имеют фамилии Арбузов, Бананов, Виноградов и Грушин. Антон и Виноградов – брюнеты, Борис и Арбузов – блондины, Бананов младше Глеба, но старше Арбузова, Влад и Борис – одного возраста. Установите соответствия между именами и фамилиями ребят.
Решение:
Используя условия задачи, последовательно заполняем свободные клетки таблицами галочками, если имя и фамилия принадлежат одному человеку и крестик, если разным людям. По условию, Антон и Виноградов, Борис и Арбузов, Бананов и Глеб, Глеб и Арбузов – разные люди, так как про них в задаче говориться как про разных людей. Из-за разного цвета волос Антон и Арбузов, А также Виноградов и Борис – тоже разные люди. Получаем таблицу:
Антон Борис Влад Глеб
Арбузов
Бананов
Виноградов Грушин Учитывая, что в каждой строке и в каждом столбце должен стоять ровно один плюс, продолжим заполнение таблицы:
Антон Борис Влад Глеб
Арбузов
Бананов
Виноградов
Грушин
Если Бананов – Борис, то он с Арбузовым (они Влад и Борис) одного возраста, что противоречит условию. Поэтому Бананов – Антон, Грушин – Борис.[5]
Весьма популярная группа задач на взвешивания по условиям и методам решения более разнообразная. Эти задачи полезны для развития навыка полного перебора вариантов. Кроме того, такие задачи удобны для обобщений и исследовательской работы.
Третье направление работы – развитие пространственного воображения, для чего полезны задачи:
Подсчет количества геометрических фигур в сложных рисунках;
Пример 3.
Сколько треугольников содержит фигура, изображённая на рисунке?[6]

на вычисление площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, с помощью разбиения их на более простые или дополнения до более простых;
Пример 4.
Найдите площадь пятиугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратным сантиметрах.[7]
В первую очередь строим описанный прямоугольник, причем так, чтобы на каждой из его сторон находилась хотя бы одна из сторон исходной фигуры.
В нашем случае оказалось, что три вершины исходной фигуры действительно лежат на сторонах описанного прямоугольника. А вот две оставшиеся лежат внутри красного периметра, поэтому для них требуется дополнительное построение. Проведем из каждой вершины высоты к ближайшим сторонам:lefttop
Получили прямоугольник, внутри которого заключена наша фигура, а также 7 других, более мелких фигур, чьи площади считаются по формулам прямоугольного треугольника и прямоугольника.
Обозначим площади этих фигур: S1, S2, S3, S4, S5, S6 и S7. Получим следующую картинку:
4724404445
Теперь считаем каждую из обозначенных площадей. Имеем:
S1 = 0,5 · 1 · 2 = 1;S2 = 0,5 · 2 · 2 = 2;S3= 0,5 · 1 · 2 = 1;S4= 1 · 1 = 1;S5 = 0,5 · 4 · 1 = 2;S6 = 0,5 · 1 · 4 = 2;S7 = 1 · 1 = 1.Считаем общую площадь красного прямоугольника. Это квадрат, каждая сторона которого равна 5. Итого площадь равна: S0 = 5 · 5 = 25Осталось найти площадь закрашенной фигуры. Для этого из общей площади S0 надо вычесть площади тех кусочков S1, S2, ..., S7, которые мы только что считали.
Получим:
S = S0 - (S1 + S2 + ... + S7) = 25 - (1 + 2 + ... + 1) = 25 - 10 = 15на преобразование фигур с помощью разрезания и перекладывания.
Пример 5.
На какие части надо разрезать квадрат, чтобы сложить из них фигуры, изображенные на рисунке?[8]

Пример 6.
Покажите, что площади треугольника, прямоугольника и параллелограмма на рисунке равны между собой.[8]

Пример 7.
Разрежьте квадрат 7×7 на 5 частей, из которых можно (одновременно!) сложить квадраты 6×6, 3×3 и 2×2.[6]

различные конструктивные задачи, например, составить из шести спичек четыре одинаковых треугольника (идея решения – выход из плоскости в пространство).
Пример 8.[6]
В каждом из трёх горизонтальных рядов рисунка переложите по одной спичке так, чтобы все шесть равенств (вертикальных и горизонтальных) оказались верными.

6 класс
Для шестого класса арифметическая разминка столь же желательна, как и для пятого. Нужно всегда добиваться того, чтобы школьники знали наизусть квадраты чисел второго десятка, степени двойки и тройки примерно до тысячи, но, конечно, не сразу. Следует показать ученикам формулу «разность квадратов» и научить с ее помощью выполнять умножение, например:
19∙21=20-120+1=400-1=399;13∙15=14-114+1=196-1=195;14∙18=16-216+2=256-4=252;Такие операции расширяют возможности устного счета, позволяют освоить важнейшую алгебраическую формулу и являются тренингом при запоминании квадратов.
Некоторое время следует посвятить операции разложения на множители, например чисел: 30, 49, 561.
Такие темы, как делимость и остатки, степени и проценты, должны быть сначала темами отдельных занятий, а уж потом, после проработки, использоваться в разминке. Числовые ребусы – прекрасные формы домашнего задания.
Пример 9.
Решите арифметический ребус ГОЛ2 = ФУТБОЛ.[6]

Перепишем ребус в виде:

Решение:

Метод раскрасок.
Пусть дана разлинованная на одинаковые клетки фигура, требуется доказать невозможность выполнения некоторой операции на этой фигуре (например, замощения фигурами меньшего размера определенного вида, перемещения по фигуре по определенным правилам). Тогда раскраска клеток данной фигуры по некоторому правилу позволит отличать некоторые клетки друг от друга, что поможет при решении задачи. Чаще всего встречаются прямоугольники, для которых применимы следующие типы двуцветных раскрасок:
«Диагональные» - одна диагональ закрашивается, несколько пропускаются, затем снова одна закрашивается, несколько пропускается и так далее. Самая популярная из таких раскрасок - шахматная (одна диагональ закрашивается, одна пропускается);
«полосы»– одна полоса закрашивается, несколько пропускается (полосы параллельны линиям сетки);
«кварталы» - закрашиваются и вертикальные, и горизонтальные полосы;
Пример 10.
В печатном поле 10×10 вырезали по клетке на двух противоположных углах. Можно ли полученную фигуру покрыть без наложений двухклеточными фигурами.[5]
3825240-1905
Решение:
Нельзя. Применив к данной фигуре шахматную раскраску, заметим, что клеток одного цвета будет 50, а другого – 48. Но каждая «доминошка» (двухклеточная фигура) закрывает по одной клетке разных цветов, поэтому вместе они закрывают одинаковое число клеток обоих цветов.
Пример 11.
Можно ли поле 10×10 замостить фигурами из четырех клеток, образующих букву «Г». ( Фигуры можно переворачивать)[5]
Решение:
Нельзя. Раскрасим все поля полосами двух цветов шириной в 1 клетку параллельную какому-нибудь краю, чередуя цвета. Если закрыть данной фигуркой 4 клетки поля, то будут закрыты 3 клетки одного цвета и одна клетка другого цвета, при любом расположении фигуры. Так как всего фигур придется использовать 25, они закроют нечетное количество клеток одного цвета, а то время как клеток каждого цвета по 50.
Пример 12.
Расставьте в кружках рисунка цифры 1, 2, 3, ..., 9 так, чтобы суммы чисел в вершинах каждого из семи равносторонних треугольников были равны.[6]

42157651174115Логический блок в шестом классе значительно серьезнее, так как в этот период можно вводить такие важные темы, как принцип «ящики-кролики» (Принцип Дирихле), раскраски как метод решения задач, задачи – игры и задачи с идеями четности и симметрии.
Пример 13.
Пройдите до центра лабиринта так, чтобы в результате получилось число 100.
Пример 14.
Перед учеником стоит задача, которая заключается в решении примеров с обыкновенной дробью. Каждому ученику предлагается карточка, где предложены готовые варианты ответа, обозначающие свой цвет. Картинка может быть разной, участки на ней разделены особым образом. За каждым из участков стоит определенный фрагмент решения. Решив какой-либо из представленных примеров, ученик смотрит результат и соответствующий закрепленный за ним цвет, после чего раскрашивает участок с решенным примером.
Карточка выглядит следующим образом:

Задачи игры
Под таким названием существует много интересных задач, в которых два (а то и больше) игрока делают по очереди и по определенным правилам ходы, стремясь к некоторой цели – выиграть или обойти соперника.
В задачах требуется ответить на вопрос: может ли кто-нибудь из игроков, независимо от игры противника, добиться нужного результата.
Задачи игры обычно классифицируют по методам их решения:
Выигрышные позиции.
Использование симметрии и повторения ходов противника.
Инварианты и задачи шутки.
Упражнения и задания для учащихся для определения выигрышной позиции:
Пример 15.
На столе лежит 25 спичек. Играющие по очереди могут взять 1, 2 или 4 спички. Кто не может сделать ход (спичек не осталось), проигрывает.[9]
Решение:
Брать три спички нельзя, так что правило «дополнять ход противника до пяти спичек» не подходит (если противник взял две). Чтобы проанализировать игру, изобразим возможные варианты 5 (сколько осталось спичек) кружочками, а возможные ходы стрелками.

Рис.1
На рис. 1 поместились небольшие количества спичек, но картинку можно продолжить влево. Из каждого кружочка идут три стрелки, соответствующие трём возможным ходам (прямая стрелка - взять одну спичку, кривые - взять две или четыре спички). Скажем, если у нас 9 спичек (левый кружочек), то после нашего хода может остаться 8, 7 или 5 спичек, и это изображено стрелками.
Проведем анализ ситуации справа налево, полагаясь на картинку.
Если к нашему ходу спичек не осталось, то мы проиграли.
Если к нашему ходу осталась одна спичка, то мы можем выиграть, взяв её - противник останется без спичек и проиграет.
То же самое, если осталось две или четыре спички - мы выигрываем в один ход.
Встает вопрос: «А что будет, если нам осталось три спички?» Взять все три по правилам мы не можем. Можно взять одну или две. В этом случае противнику останется две или одна, и он выиграет (взяв их на своём ходу). Поэтому три спички - проигрышная позиция (для того, чей сейчас ход).
Про четыре спички мы уже говорили. Если осталось пять спичек, то мы можем взять две и оставить противнику три, передав ему ход в проигрышной позиции. Значит, пять спичек - выигрышная позиция.
Если осталось шесть спичек, то можно взять одну, две или четыре. Тогда у противника будет 5, 4 или 2 спички. Все эти позиции для него выигрышные, так что шесть спичек - проигрышная позиция.
Раз шесть спичек - проигрышная позиция, то 7, 8 и 10 - выигрышные. В самом деле, взяв 1, 2 или 4 спички, мы оставим противнику 6.
Девять спичек - проигрышная позиция: при любом ходе противник оказывается в выигрышной позиции с 8, 7 или 5 спичками.
Рис. 2
Все наши рассуждения показаны на рисунке 2.
Дальше всё будет повторяться с периодом 3: позиции, где число спичек делится на 3, будут проигрышными (для того, кто в них оказался), а где не делится - выигрышными. В частности, в игре с 25 спичками, с которой мы начинали, выигрывает первый игрок.
Как он должен при этом играть? Он должен ставить противника в проигрышную позицию, то есть брать столько спичек, чтобы осталось кратное трём количество.
Инварианты и задачи-шутки:
Такие задачи очень важны для развития мышления и логики ученика, поскольку в них нет очевидного решения, когда ребенку по шаблону предлагается сделать несколько очевидных действий и получить ответ. В таких задачах необходимо провести анализ рассуждений, найти интересные решения и способы, многие из которых на воображение.
Пример 16.453390-3175
Полторы рыбы стоят полтора рубля. Сколько стоят 5 рыб?[10]
Решение: Если полторы рыбы стоит полтора рубля, значит одна рыба, без ее половины стоит 1 рубль, а ее половина 50 копеек. Значит, пять рыб стоит 5 рублей.
Ответ: 5 рублей.
Пример 16.
У меня две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

Ответ: Пятак и одна монета достоинством в 10 копеек. Одна монета (десятикопеечная) не пятак.[10]
Пример 17.2796540252095
Учитель может поэкспериментировать с играми, представив урок в виде интересной игры. За основу преподаватель может взять любую из тем, какая имеет смысл быть. В рамках тем программы 6 класса рассмотрим тему: «Обыкновенные дроби». Суть игры заключается в следующем:
Перед учениками представлена прямоугольная фигура с замощенными ее цифрами. Каждая цифра представляет собой задачу, решая которую, ученики открывают ячейку, обнаруживая, что за ней спрятана картина известного художника Леонардо да Винчи «Джоконда».
Задачи предлагаются следующие:
2÷35+35÷2+112÷6+6÷112614∙8-323∙512+225∙4712212∙48-323÷118+5512÷7361312÷113+1612∙1511+1914∙425312-223+556+435∙24(538+1812-7524)÷162315512+123-356+234÷224∙25-794835÷634∙512-256+17594∙112∙13-13÷2657∙23∙56-1÷1-78∙135∙314 8715-334+425-8760)÷(414-234) 1813∙1342+557÷821)÷(818+312) 235÷6115+1114-13973∙557-5116Решив полученные примеры, последовательно, исключаются замощенные квадраты на картине и учащиеся, замотивированные интересом загадочной картины или образа, получают результат:


Для того чтобы ученики пришли к правильному ответу, они должны твердо знать: определение дроби, вид дроби, понятие неправильной дроби, что значит «умножить дробь на число», что значит «разделить дробь на число», что значит «сократить дробь», что значит «привести дробь к общему знаменателю», что значит «почленно разделить числитель на знаменатель», что значит «выделить целую часть из дроби», что значит «перевести дробь в неправильную», а также должны уметь производить все арифметические операции с дробями, знать о коммутативном, дистрибутивном и ассоциативном законах сложения и умножения.
В связи с требованиями к результатам обучения в метапредметном направлении учащиеся должны уметь видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации, принимать решения в условиях неполной и избыточной информации, выявлять главное и второстепенное в текстовых и сюжетных задачах.
Все эти навыки и умения можно максимально обеспечить, если работать с комбинаторной задачей.
Поскольку комбинаторные задачи решаются различными методами, то работа с такими задачами позволит обеспечить выбор эффективных способов решения, значит, позволит ученику 6 класса формировать творческое мышление – умение рассуждать, работать со схемами, таблицами, проводить аналогии, устанавливать причинно следственные связи и многое другое.
Рассмотрим следующие комбинаторные задачи
Пример 18
Для изготовления двуцветных ручек на фабрике использовали красные, желтые, зеленые и синие стержни. Сколько различных видов двуцветных ручек выпускала фабрика? Заполни таблицу и проверь свой ответ.

Обведи зеленым цветом клетки таблицы, в которых записаны возможные наборы двуцветных ручек.
Решение.
Перечислим все цвета по горизонтали и вертикали таблицы. На пересечении двух цветов будем получать одноцветные и двуцветные ручки. Так как таблица симметрическая, то всего таких ручек будет 6.

Пример 19.
Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?
Решение.
Данная задача представлена в виде графа, где указано количество связей между соответствующими элементами. Количество таких связей и будет нашим ответом.

7 класс
В некоторых арифметических задачах бывают полезными свойства остатков квадратов натуральных чисел при их делении на 3, 4, 5.
Остатки при делении на 3 Остатки при делении на 4 Остатки при делении на 5
nn2nn2nn20 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
2 1 2 0 2 4
0 0 3 1 3 4
1 1 0 0 4 1
Пример 20.
Сумма m2+n2 делится на 3. Докажите, что она делится на 9.[5]
Решение.
Если оба числа m и n не делятся нацело на 3, то, пользуясь таблицей, видно, что одно из этих чисел делится на 3 с остатком 2. Если одно из чисел делится на 3, а другое не делится, то число m2+n2 дает при делении на 3 остаток 1. Поэтому оба числа m и n делятся на 3. Но тогда их квадраты делятся на 9 и, значит, сумма квадратов делится на 9. Ч.т.д.
Инвариант
Тема «Инвариант» как развитие и обобщение темы «Четность» может изучаться, начиная с 7 класса. Идея инварианта может возникнуть в задачах, в условиях которых задумано некоторое правило преобразования данного в задаче объекта. Величина, которая не изменяется в процессе этого преобразования, называется инвариантом. Его наличие позволяет установить некоторые свойства, связанные с изучаемым в задаче объектом и помогающие решить задачу. Поэтому в задачах такого типа поиск инварианта является ключевой идеей решения.
Пример 21.
На доске записаны 2006 чисел – 1003 нуля и 1003 единицы. Предлагается стереть два любых числа, и если эти числа были одинаковы, написать на доске нуль, а если разные, то единицу. После многократного повторения этой процедуры останется одно число. Какое?[5]
Решение. Останется единица. Инвариант – четность суммы всех имеющихся на доске чисел. Действительно, по условию, если стерты две единицы, то написан нуль, в этом случае сумма всех чисел уменьшилась на 2, а четность суммы не изменилась. В остальных случаях сумма не меняется. Решим задачу. Сначала сумма всех чисел была нечетной. Когда осталось одно число, оно тоже должно быть нечетным, то есть единицей.
Среди числовых инвариантов наиболее часто встречаются:
Сумма или произведение всех чисел.
Четность количества имеющихся объектов.
Четность суммы всех чисел.
Разность между двумя числами, четность этой разности.
Делимость на 3, 9.
Остаток от деления на 3, 4, …
Пример 22.
Даны три числа: 2011, 2012 и 2013. За один ход разрешается заменить числа a, b, c  на числа acb, bca, abc. Можно ли через несколько ходов получить числа 2008, 2012, 2016?
Решение:
Нетрудно заметить, что в данной задаче неизменным остается произведение чисел. Действительно, acb∙bca∙abc=a2∙b2∙c2abc=abc.
Поскольку 2011∙2012∙2013≠2008∙2012∙2016, то получить вторую тройку чисел из первой невозможно.
Метод ограничения
Бывает, что на данном условии задачи объекте не удается обнаружить инвариант для заданной процедуры, однако уменьшение, в каком-то смысле сужение или ограничение, объекта позволяет найти инвариант.
Пример 23.
В квадрате 3×3 любые две клетки покрашены в белый свет, а остальные – в черный. За одно действие можно перекрасить все клетки одного ряда, горизонтально или вертикально, в противоположный цвет. Можно ли за несколько подобных действий покрасить все клетки квадрата в черный цвет.
Решение. Нельзя. Нетрудно показать, что внутри квадрата есть квадрат меньше 2×2, содержащий ровно одну черную клетку. У квадрата 2×2, при данной процедуре перекрашивания не меняется четность количества черных клеток. Так как сначала в этом квадрате была одна черная клетка, то в любой момент в нем будет одна или три черных клетки, но никогда – четыре. Даже выбранный нами квадрат 2×2 не удается закрасить полностью в черный цвет.
Десятичная запись и признаки делимости
Пример 24.
На доске написано число 645*7235. Замените звездочку цифрой так, чтобы получившееся число делилось на 3. Сколько решений имеет задача?
Решение.
Воспользуемся признаком деления на 3: число и его сумма цифр делятся на 3 одновременно. Следовательно, число 645*7235 делится на 3 только одновременно с числом 6+4+5+*+7+2+3+5=32+*.
Задача имеет три решения: 1, 4, 7.
Делимость и остатки
Остаток произведения или суммы двух чисел определяется их остатками – это создает арифметику остатков. Ряд задач решается перебором остатков. Остатки от деления на взаимно простые числа ведут себя независимо.
Задачи на вычисление остатков знакомят с основными свойствами сравнений по модулю и полезной техникой нахождения и перебора остатков, а также с некоторыми ее применениями.
Пример 25.
В результате деления двузначного числа на ему обратное получились равные частное и остаток. Найти это число.
Решение
Пусть a= 10x +y - искомое число, q – частное и остаток, тогда 10 x + y = (10y + x)q +q или (10 – q)x – (10q – 1)q = q.При q= 1, получаем равенство 9(x – у) = 1, которое невозможно.
При q = 2 , имеем 8х – 19у = 2, откуда следует, что число у – четное.
При у = 2 получаем х = 5, а при у = 4, 6, 8 правая часть не делится на 8. Другими словами, в этом случае мы имеем решение: а = 52.
Далее, при q = 3 из равенства 7х – 29у = 3 при у = 2 х – получается дробным, а при у ≥3 х > 10, то есть в этом случае решений нет.
При q = 4 имеем 6х – 39у = 4, что невозможно, так как 4 не делится на 3.
Наконец, если q ≥ 5, то 5х ≥(10 – q)х =(10q – 1)у + q ≥ 49 +q ≥ 54, откуда х ≥ 11. Следовательно, искомое число равно 52.
Решение уравнений в целых и натуральных числах
Пример 26.
Решите уравнение в целых числах
xy=x+y+3Решение
Так как xy-x-y=3, то xy-1-y=3 → xy-1-y+1=3+1 → xy-1-(y-1)=4 → (x-1)y-1=4. Переберем возможные разложения числа 4 в произведение двух целых множителей.
Ответ. (x,y) = (5,2), (2,5), (0, -3), (-3,0).
8 класс
Особое место в школьном курсе математики занимают текстовые задачи. Следует отметить, что, решая на уроках алгебры текстовые задачи, учитель математики работает не только на себя, подготавливая учеников к умению осмыслить текст задач в курсе геометрии, без чего говорить о возможности решения этих задач бессмысленно. Он также помогает преподавателям физики, химии и даже литературы, так как для того, чтобы решить задачу, ученик должен внимательно прочитать текст задачи, понять его, выделить главное, т.е. разложить все данные по должным местам.
Не случайно, оценивая задачу, решаемую с помощью уравнения или системы уравнений, учитель отдельно оценивает верность составленного уравнения или системы, так как добросовестного ученика, безусловно, можно обучить различным математическим алгоритмам, но умению думать научить без текстовых задач невозможно.
Пример 27.
На участке трамвайного пути длиной в 1 км пешеход, проходящий этот участок в течение 12 минут, ежедневно подсчитывал число трамваев, его обгоняющих и встречных. В течение года первых оказалось 225, вторых – 600. Определить скорость трамвая[11].
Решение: предположим, что трамваи идут через равные промежутки и с одинаковой скоростью. Скорость пешехода 100012 м/мин. Пусть x м/мин. – скорость трамвая, тогда скорость (относительно пешехода) обгоняющих его трамваев равна x-100012 , а встречных x + 100012 . Будем считать каждый трамвай концом «отрезка» длиной у метров, другой конец которого – в следующем трамвае; трамваи движутся равномерно распределенными (с интервалом y метров) на двух лентах, проходящих мимо «неподвижного» пешехода ежедневно в течение 12 минут двух противоположных направлениях с найденными ранее скоростями. Длина обгоняющей ленты 225 метров, длина встречной ленты 600 метров, время их движения мимо пешехода (за год) 12∙365 минут, откуда
225y=12∙365(x-100012),600y=12∙365x+100012,12∙365 600x-100012=12∙365 225x+100012,
Проведем некоторые преобразования, после чего получим
x8-x3=10001218+13,8x-3x24=12512+100036,5x24=37536+100036,5x24=1375365x24=1375365x∙36=1375∙24x∙6=275∙4x=275∙46=275∙23=5503x=5503 ммин=550∙601000∙3 кмч=11кмчОтвет: Скорость трамвая 11 км/ч.
Решение задач с помощью уравнений очень часто встречается в задачах ЕГЭ, и в перечне задач экзамена они занимают почетное 13 место – задачи В13. Среди задач есть и задачи «на движение», и задачи «на работу», и задачи «на проценты и сплавы», и задачи «на прогрессию».
Остановим свое внимание на конкретном типе задач «Задачи на движение». Каким можно сделать урок, чтобы он был нестандартным и интересным, творческим.
Метод конкретных ситуаций как особый метод, который позволяет творчески подойти как к решению, так и оформлению задачи для ученика; в математике предполагает особую значимость предмета в жизни человека, когда те или иные знания по дисциплине помогут решить задачу, возникшую в повседневной жизни.
Учитель может предложить скучную рутинную работу на вычисления, отрабатывая навыки счета и основного принципа решения, мотивируя обучающихся лишь высоким баллом на ЕГЭ. Но можно сделать урок по истине красочным и необычным.
Учитель предлагает обучающимся разделиться на команды, каждая из которых выбирает свой альтернативный путь, по которому будет проходить путешествие команды.
Пример 28.
Вам необходимо отправиться из Самары в Сызрань, чтобы провести там летние каникулы со своими одноклассниками. (Количество человек – 10). Вы можете отправиться в Сызрань на автомобиле, на поезде, на автобусе или на теплоходе. Рассчитайте самый рациональный путь: наименее затрачиваемый, наиболее быстрый.
Имеются следующие данные:
Расстояние от Самары до Сызрани - 171 км.
Быстрота маршрута:
Расстояние между двумя городами по железной дороге 160 км. Первый поезд проходит это расстояние на 40 мин. скорее, чем второй. Скорость первого поезда больше скорости второго на 12 км/час. Определить скорости обоих поездов. На какой из этих поездов вы сядете, если приехать нужно как можно скорее?
Если числа получаются десятичные, округляйте до целых.
Пример выполненной работы
Решение:
Скорость первого поезда х км/час, скорость второго (х—12) км/час. Имеем уравнение:
160x-12-160x=23Решая данное уравнение, получим x=60 км/ч.
Скорость второго – (60-12=48 км/ч).
Тогда время, за которое пройдут поезда:
Первый за 16060=24060=223=2 ч 40 (минут)Второй за 16048=31660=3415=3ч 16( минут)Итого: Ребятам лучше выбрать первый поезд, потому что на нем они приедут быстрее. За 2 ч 40 минут.
Стоимость билета на одного человека составляет: на плацкарт: 665 рублей, в купе: 1364 рубля. Рассчитайте стоимость поездки, если при предъявлении справки со школы действует скидка 5% .
Затраты:
Так как в путешествие собираются 10 человек и задача состоит в наименьшей затрате средств, то ребята выберут билеты в плацкарт, значит всего они потратят:
665100=x5⇒100x=3325⟹x=33,25 – 5% скидка.
665∙10-10∙33,25=6650-332,5=6217,50 рублей – стоимость поездки на 10 человек.
Итого: Ребята смогут, путешествую из Самары до Сызрани поездом потратить 2 часа 40 минут на путь и потратить 6217,5 рублей.
У ребят есть в распоряжении два автомобиля. Известно, что:
Расстояние между двумя городами по трассе 170 км. Первый автомобиль проходит это расстояние на 4 мин. скорее, чем второй. Скорость первого автомобиля больше скорости второго на 5 км/час. Определить скорости обоих автомобилей. На каком из этих авто вы поедете, если приехать нужно как можно скорее?
Если числа получаются десятичные, округляйте до целых.
Стоимость 1 литра бензина — 32 рубля. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров у первого автобуса, и 11 литров у второго автомобиля.
У ребят есть в распоряжении два автобуса. Известно, что:
Расстояние между двумя городами по трассе на автобусе 180 км. Первый автобус проходит это расстояние на 6 мин. скорее, чем второй. Скорость первого автобуса больше скорости второго на 7 км/час. Определить скорости обоих автобусов. На каком из этих автобусов вы поедете, если приехать нужно как можно скорее?
Если числа получаются десятичные, округляйте до целых.
Стоимость 1 литра бензина — 34 рубля. Средний расход бензина на 100 км составляет 12 литров у первого автобуса, и 10 литров у второго автобуса. Если за бензин платят ребята, скажите, сколько они заплатят за поездку?
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 178 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Если числа получаются десятичные, округляйте до целых.
Стоимость 1 литра солярки — 18 рублей. Средний расход солярки на 100 км составляет 35 литров. Если за топливо платят ребята, скажите, сколько они заплатят за поездку? (Каждый платит сам за себя).
После того, как все ребята закончат выполнять свое задание, каждый называет цену своей поездки и количество времени, потраченного в один конец. Результаты сравниваются, и ребята делают вывод о том, каким транспортом лучше совершить свое путешествие. Такой творческий подход к реализации задания на уроке позволит формировать устойчивый интерес к предмету, мотивацию к деятельности и математическое знание.
3666490259715Пример 29.
На рисунке изображён контур колбы, состоящий из дуг равных окружностей. Разрежьте его по двум прямым так, чтобы из полученных частей можно было сложить квадрат. Можно ли сложить аналогичным образом квадрат из второй фигуры?

3663315-148590Пример 30.
Из книги выпал её кусок. Первая страница куска имеет номер 387, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько страниц выпало из книги?
3863340220980Пример 31
Если Даша в школу идет пешком, а обратно едет на автобусе, то на дорогу она затрачивает всего 1,5 часа
Если же она едет на автобусе в оба конца, то вся дорога занимает у неё 30 минут. Сколько времени тратит Даша на дорогу, если и в школу, и из школы она идёт пешком?
9 класс
В 9 классе учащиеся сталкиваются с решениями различных уравнений. Это могут быть как непосредственно уравнения, так и задачи, сводящиеся к составлению уравнения. Есть много интересных задач, уравнений, которые отличаются своими интересными методами и способами решения. Уделим особое внимание в данном разделе уравнениям и неравенствам.
Пример 32.
Решите уравнение x4-502x4-7=1 [17].
Решение: умножим обе части уравнения на 2, получим
2x4-1002x4-7=28,Представим 28 как сумму чисел 21+ 7, поучим
2x4-1002x4-7=21+72x4-7-1002x4-7=21Выполним подстановку:
2x4-7=aПолучим следующее уравнение:
a-100a=21,a2-100a=21,a2-100=21aa2-21a-100=0Воспользуемся обратной теореме Виета:
a1+a2=21a1∙a2=-100Убеждаемся, что a1=25, a2=-4Тогда имеем 2x4-7=25,2x4-7=-4, 2x4=322x4=3, x4=16x4=32x=2x=-2x=432 x=-432Ответ: x=2 x=-2 x=432 x=-432Пример 33.
Найти все тройки натуральных чисел x, y, z удовлетворяющих уравнению: 28x+30y+31z=365 [17].
Решение: первое решение предложенного уравнения способен дать любой внимательный ученик. Очевидно, что в задаче «Зашифрован» календарь, тогда x=1, y=7, z=4.Полное решение данной задачи основывается на выделении целой части. Разделим почленно уравнение на 28, выразив из исходного уравнения x:
x=365-30y-31z28=13-30y+z+z-128.Если требуется отыскать натуральные решения уравнения, то из натуральности x следует, что дробь 30y+z+z-128=k должна представлять собой натуральное число k и не превосходить 12 (в противном случае x не будет натуральным). Пусть k=12, тогда x=1, полученная дробь после преобразования 30y+z+z-128=12⇒30y+z+z-1=336⇒30y+z+z=337Поскольку 30y+z нацело делиться на 10, ясно, что y+z=11;z=7,Откуда y=4, z=7. Мы в результате строгих расчетов получили ранее угаданный ответ (1, 4, 7).
Пусть k=11, тогда x=2, полученная дробь дает после преобразования
30y+z+z-128=11⇒30y+z+z-1=308⇒30y+z+z=309.Поскольку 30y+z нацело делиться на 10, ясно, что y+z=10;z=9.Откуда y=9, z=1. Мы получили еще один ответ в натуральных числах
(2, 9, 1). Заметим, что для натуральных чисел эти решения единственны, для целых чисел есть другие тройки решений.
Ответ: (1; 4; 7) и (2; 9; 1).
Пример 34.
Решите систему: 12(x+y)2+x+y-2,5=0,6(x-y)2+x-y-0,125=0. [16].
Сделаем замену:
x+y=ax-y=bТогда уравнение примет вид:
12a2+a-2,5=06b2+b-0,125=0,a=512a=-12b=112b=-14a=512b=112, или a=512b=-14, или a=-12b=112, или a=-12b=-14,x+y=512x-y=112, или x+y=512x-y=-14, или x+y=-12x-y=112, или x+y=-12x-y=-14,2x=122y=13, или 2x=162y=23, или 2x=-5122y=-712, или 2x=-342y=-14,x=14y=16, или x=112y=13, или x=-524y=-724, или x=-38y=-18Ответ: 14;16; 112;13; -524;-724; -38;-18.Заключение
В процессе проведенного исследования над темой курсовой работы было установлено, что математическое творчество – это особый вид деятельности ученика и, конечно же, учителя, который рассматривает математическую задачу как обязательный составной элемент обучения, включающий в себя множество различных компонентов: творческое мышление во время решения, творчество оформления математической задачи, творчество интеллектуальное. Учитель при подготовке к уроку учитывает творческий компонент, ученик использует свой потенциал, свое мастерство и навыки в творческой деятельности, то есть умения мыслить нестандартно. Это одна из форм реализации всех явных и скрытых возможностей ученика, поскольку решение творческих задач по математике оказывает существенное воздействие на развитие умений применять свои знания в нестандартных ситуациях, грамотно использовать сложный математический аппарат с целью достижения того результата, который предусмотрен условиями заданий.
Заметим, что подготовить ученика нестандартно мыслить и применять свои знания, свое творчество – это значит научить его мыслить шире, выбирать из общего частное, строить логику рассуждений и грамотно определять последовательности – алгоритмы решения.
Содержание раздела 4 настоящей курсовой работы охватывает многие различные темы по математике в различных классах средней школы, по многим темам приведены конкретные примеры нестандартных задач, показаны методы их решения и описаны приемы работы с учащимися при их использовании в учебном процессе. При этом были использованы различные задачи, как по тематике и содержанию, так и по структуре. Большое внимание к задачам творческого содержания объясняется их ролью в раскрытии образовательного и развивающего потенциала учебного содержания в процессе обучения математике, они позволяют формировать у каждого ученика способности к собственному видению задачи, способности по-своему мыслить четко и грамотно, видеть задачу глубже и разносторонней, в совокупности мыслить не шаблонно.
В заключение следует отметить, что в ходе проведенного исследования были получены следующие выводы: ценность творческих заданий в процессе обучения математике оправдана, поскольку механизм мышления и познавательная деятельность в рамках формирования творчества приобретает высокую оценку, что говорит о том, что творческие задачи формируют такие умения и навыки, как:
- умение самостоятельно планировать пути достижения целей, поскольку каждый ученик пытается самостоятельно решить задачу, отбирая для этого необходимые методы и средства;
- умение оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности её решения, поскольку ученик, решая задачу, выбирает альтернативные пути решения, после чего вправе сделать проверку;
- умение устанавливать причинно-следственные связи, строить  логическое рассуждение, умозаключение, поскольку ученик в праве применять в решении задачи схемы, таблицы, чтобы разложить нестандартную задачу на несколько простых элементов, поэтапно формируя умозаключение, устанавливая связи между элементами задачи;
- умение работать с учебным математическим текстом, применять известные методы и способы, точно и грамотно оформлять решение задачи с применением математической терминологии;
- умения применять изученные математические факты (понятия, теоремы, формулы, правила, методы) для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин.
Суммируя все выше сказанное, отметим, что цель курсовой работы достигнута, все поставленные задачи решены.Список использованных источников
Генеке. Е.А. Активные методы обучения: новый подход. – М.: Сентябрь,- 2013.
Чайка. В.М. Классификация методов обучения по типу познавательной деятельности учащихся. [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://qps.ru/4GvAC
Гончарова. Н. Тартуский русский лицей. Использование творческих работ на уроках математики. [Электронный ресурс]- Режим доступа: http://www.narva.ut.ee/sites/default/files/narva_files/Petnjunas_Gontsarova.pdf
Егорченко И.В. Теория и методика использования реальности в обучении математике. - Саранск, 1999.
Дрозина. В.В., Дильман. В.Л. Механизм решения нестандартных задач. Учебное пособие / В.В. Дрозина, В.Л. Дильман. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний,: ил. – (Математическое мышление), 2008. – 255 с.
Научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов. «Квант» для «младших» школьников. [Электронный ресурс]- Режим доступа: http://www.kvant.info/kmsh/kmsh1981.htm
Бердов Павел. Репетитор по математике. Вычисление площади методом обводки. [Электронный ресурс]- Режим доступа: http://www.berdov.com/ege/square/ploshad-obvodka/
Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. "Наглядная геометрия". 5–6-е классы. Урок наглядной геометрии по теме "Площади". [Электронный ресурс]- Режим доступа: http://festival.1september.ru/articles/625045/
Шень А. Игры и стратегии с точки зрения математики. Издание второе, стереотипное. М. : МЦНМО, 2008. [Электронный ресурс]- Режим доступа: http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-games.pdf
Бродникова. Е.А. Как научить читать, считать, думать с помощью игр. [Электронный ресурс]- Режим доступа:
HYPERLINK "http://detpsy.net/index/zadachi_shutki/0-32
" http://detpsy.net/index/zadachi_shutki/0-32
Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. – М.: Наука, 1975.
ВСЭ: В 26 т. – М. Советская энциклопедия, 1970-1979.
Кордемский Б.А. Математическая смекалка. - М.: ГИФМЛ, 2003
Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики. М., 1990 С.12-13
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.
Математика для школы. Тематика олимпиадных задач. [Электронный источник]: http://math4school.ru/zadachi.htmlПоляк Н.Н. Мерзляк. А.Г. Решение конкурсных задач по математике/ Из сборника под редакцией М.И. Сканави. - М.: Инфолайн, 1995.
Севрюков П.Ф. Школа решения олимпиадных задач по математике. – М.: Илекса, 2013.
Толстой Л.Н. Полное собрание сочинений. т. 8, С. 118

Приложенные файлы

  • docx tvorchestvo
    Красовский Дмитрий Александрович
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 3

Добавить комментарий