«Невероятная вероятность»
Выполнила ученица 11 класса «В» ГБОУ СОШ №629 ЮАО г. Москвы Овчинникова Мария Андреевна Руководитель Некрасова Татьяна Николаевна
Москва, 2016 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение…………………………………………………………………..………….3
Миф: так страшна ли вероятность как её малюют…………………………...……3
Цели…………………………………………………………….……………….……3
Задачи…………………………………………..……………….……………………3
Теоретическая часть………………………………………………………..………4
Историческая справка………………………………………….………4
Понятие событий…………………………….………….…….………14
Классическое определение вероятностей………………..….………18
Статистическое (частотное) определение вероятности события….19
Произведение событий…………….…………………………………21
Теоремы сложения……………………………………….………..…23
1.7. Теория вероятности в азартных играх…………………………………25
2. Практическая часть. Исследование………………………….……...……………28
2.1. Решение задач…….……….………………………….…………………..28
2.2. Результаты…………………………………….………………………..…31
3. Вывод…………………………………………………………………………...….35
3.1. Итоги исследования………………………..………………………..….35
3.2. Мои личные итоги……………………….………………………….….35
4. Список использованной литературы………….………………………….…….36
ВВЕДЕНИЕ
Миф: так страшна ли вероятность как её малюют?
Весна. Начало марта. На дворе ещё лежит снег. Но уже начинает греть ласковое весеннее солнышко. Многие радуются, конечно, ведь это значит, что скоро лето – пора каникул, отдыха и никакой школы! Многие, да не все. Ведь есть те, кому в начале июня сдавать экзамены. К сожалению, я одна из них. Естественно у меня сейчас идёт подготовка к ним. И как же часто я слышу возмущённые возгласы о том, что не могу понять тот или иной раздел математики. Особенно часто это касалось теории вероятности. Со временем у меня стал появляться всё чаще и чаще вопрос: так ли страшна вероятность как её малюют? Эти задачи действительно могут представлять трудность для учащихся? Я поставила перед собой цель разобраться в этом. А мои результаты вы увидите далее.
Цели.
1) Расширить знания о теории вероятности.
2) Рассмотреть различные типы задач на теорию вероятности.
3) Повысить интерес учащихся к данному разделу математики.
Задачи.
1) Изучить литературу на данную тему.
2) Научиться применять полученные знания на практике.
3) Провести исследования для обоснования ответа на вопрос.
4) Воспитать интерес у опрощенных к теории вероятности.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1.1. Историческая справка.
Математика соприкасается с жизнью гораздо теснее, чем это традиционно нам кажется. Теория вероятностей, статистика – важнейшие области, неразрывно связанные с нашей повседневной деятельностью. Экономика, промышленное производство, страховое дело в значительной степени связаны с закономерностями этих наук. Если же рассматривать физику макро- и микромира, то сердцевиной закономерностей в них являются вероятностные процессы и закономерности. Они также играют важную роль в биологии и социологии, химии и вирусологии, теории игр и стратегий, военном деле и т.д.
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 1.
Платон (427-348 гг. до н.э.)
158750168275Первый интерес к осмыслению возможного и не очень, конечно, был связан с природными явлениями: предсказанием погоды, возможного урожая, грозы, наводнения. Естественно, не обошлось без внимания к человеку. Его деятельности и войнам, эпидемиям, уловам, играм, победам между участниками. Первыми к возможностям игры для понимания человека обратились ещё Сократ (469-399 гг. до н.э.), Платон (427-348 гг. до н.э.), Аристотель (384-322 гг. до н.э.), Квинтилиан (35-97 гг. н.э.) и т.д.Игра – с одной стороны, форма азартного соперничества, времяпрепровождения, с другой стороны, если хотите, один из очень мощных способов формирования способностей и мировоззрения человека. Много позже известная идея философов XVIII в. реализовалась в рассуждениях Гете: «Играет не только человек, а вся природа».
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 2.
Г.Лейбниц (1646-1716 гг.)
4461510107315Начало комбинаторики как раздела математики было положено Г.Лейбницем (1646-1716 гг.) в его «Рассуждении о комбинаторном искусстве» 1666 г. Затем появилась работа Д.Валлиса (1616-1703 гг.) «Рассуждения о сочетаниях, перестановках и т.д.». 1685 г., которая существенно развила идеи комбинаторного анализа. И, наконец, В. Де Бесси (1602-1675 гг.) в «Резюме о соединениях» продолжил эти исследования. К сожалению, эта работа была опубликована только в 1729 г.
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 3.
Я.Бернулли (1654-1705 гг.)
2476594615 Но самые глубокие и принципиальные результаты были представлены в неоконченной книге Я.Бернулли (1654-1705 гг.) «Искусство предположений», купленной после его смерти в 1705 г. издателями братьями Турнизиус, которые сумели издать её только в 1713 г.
Часть 2-я работы Я.Бернулли называется «Учение о перестановках и сочетаниях». Теория сочетаний была необходима для решения многих задач теории вероятностей того времени. Развитие комбинаторики и теории вероятностей взаимно влияли друг на друга. Действительно, с самого начала своего выделения из других понятий вероятность понималась как отношение шансов, возможностей, исходов и т.д. Но для того чтобы составить отношение, нужно найти число шансов. Если в простых задачах эти числа находились просто, то в сложных без комбинаторики обойтись было нельзя.
В части 3-й, которая называется «Применение учения в сочетаниях к различным случайным играм и играм в кости», Я.Бернулли осознанно подчеркивает существенную роль комбинаторики в решении задач и дальнейшем развитии теории вероятности того времени. В этой части впервые последовательно изложена теория сочетаний, в том числе и с повторениями. Многие задачи решены в общем виде.
Но основной частью книги является 4-я часть «Применение предыдущего учения к гражданским, моральным и экономическим вопросам». В ней содержится доказательство знаменитой теории Я.Бернулли – закона больших чисел. Эта работа ознаменовала новый подход к вероятности, которую теперь стали связывать с частотой. Но главное, впервые понятию вероятности отведено довольно много внимания. Установленная связь вероятности с частотой и статистический подход к вероятности оказали существенное влияние на дальнейшие вероятностные исследования и изучения и осмысления самого понятия вероятности.
Впервые же задачи теории вероятностей были рассмотрены А.Пачоли, Д.Кардано, Н.Тартальи, Б.Паскалем, П.Ферма, Х.Гюйгенсом.
438912087630Затем, после Я.Бернули, теория вероятностей стала развиваться в работах А.Муавра, П.Лапласа, С.Пуассона. Далее развитие было связано с работами русских учёных П.Л.Чебышёва, А.А.Маркова, А.М.Ляпунова, А.Я.Хинчина, С.Н.Бернштейна, А.Н.Колмогорова.
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 4.
П.Л.Чебышев
Отметим, что в книге А.Н.Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей» 1936 г. была построена аксиоматика теории вероятностей, ставшая прорывом в понимании природы и особенностей в применении вероятностей. В конце жизни А.Н.Колмогоров сделал попытку вскрыть самую сущность понятия «порядок» и «хаос», показать, как хаотические процессы, воспринимаемые нами как случайные, возникают из детерминированных, но сложно устроенных явлений. Так возникла знаменитая концепция случайности как степени алгоритмической сложности.
Статистические данные, чаще всего примитивными способами, собирались ещё различными правителями Древнего Египта, Греции и Рима. Для этого делались отдельные попытки подсчёта численности населения, количества ежегодно собираемого хлеба, податей и т.д.
4622165125857011239551435Император Август (27 г. до н.э. – 14 г. н.э.) при присоединении новых областей обязал своих наместников производить перепись населения. В кодексе Юстиниана (527-533 г. н.э.) из закона о продовольствии следует, что его поданные стремились определить среднюю продолжительность жизни человека при условии достижения им определенного возраста.
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 5.
Вильгельм I (1027-1087 гг.)
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 6.
Император Август (27 г. до н.э. - 14 г. н.э.)
В книге «Страшного суда» Вильгельма I (1027-1087 гг.) нормандский герцог, король Англии с 1066 г., отразил свои особые списки с результатами всеобщей поземельной переписи 1086 г. В русских летописях IX в. отражены данные о некоторых статистических данных, связанных в первую очередь с собиранием дани, подати и т.п. Известны данные переписи 1245 г. оставшихся жителей Киева, проведённой монголами после убийства князем Михаилом послов Батыя. В связи с эпидемиями чумы в Англии с 1517 г. велись бюллетени о естественном движении населения. Форма и содержание бюллетени менялись. С 1603 г. в декабре давалась годичная сводка, где указывались возраст, причины смерти, пол умерших, вероисповедание и т.д. Разрозненные потоки сбора таких данных были и в других государствах.
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 7.
Д.Граунт43897551170940Как особая наука, статистика закрепилась в Англии в XVII в., когда она приняла вид так называемой политической арифметики. В противоположность чисто описательному государствоведению немецких статистиков, политическая арифметика обратилась к количественному числовому методу исследования. Основными были вопросы рождаемости, смертности, а также расчёты для страхования жизни, торговли и т.д. Первыми исследователями политической арифметики были У.Петти и Д.Граунт. В книге Д.Граунта «Естественные и политические наблюдения, сделанные над бюллетенями сметности» 1662 г. свободно используют средние величины. В ней он установил:
а) что перевес рождаемости мальчиков над
рождаемостью девочек для Лондона составляет 14:13;
б) что в среднем на один брак приходится четыре ребёнка;
в) что смертность в Лондоне выше, чем в провинции;
г) что на каждые 11 семейств ежегодно приходится три случай смертности;
д) что число ежегодных рождений в Лондоне 12000;
е) что способных к деторождению замужних женщин 24000 (в двое больше);
ж) что замужние женщины имеют не более одного ребёнка за два года;
з) что общее число семейств 48000, так как женщин с 16 до 76 лет в двое больше, чем женщин в возрасте 20-44 лет;
и) что каждое второе семейство состоит в среднем из восьми человек: отец, мать, трое детей и три человека прислуги или родственников;
340360278765к) что численность жителей Лондона равна 48000*8=384000;
Петти в книге «Наблюдения над Дублинскими записями о смертности» 1683, 1686 г. установил:
а) 1. что в Лондоне ежегодно умирает 1 из 30 человек;
2. в сельской местности 1 из 37;
3. в Риме 1 из 40;
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 8.
У.Петти 4. из членов парламента 1 из 50;
б) что доля смертности случает от чумы в период эпидемии составляет 1/5.
Петти широко использовал средние величины:
а) среднее число человек в семье:
б) среднее число печей на один дом;
в) средний денежный доход на человека;
г) средний период удвоения населения Лондона, всей Англии.
Для установления ренты с земель Петти требовал наблюдения в течении ряда лет, не меньше семи, во время которых будут и неурожайные годы. Работы в исследовании аналогичных тем продолжил Людвиг Гюйгенс, а затем и его старший брат Христиан Гюйгенс.
На формирование идей и понятий статистики, а затем и вероятности оказали существенное влияние и наблюдения в астрономии. Точнее сказать, не только сами результаты наблюдений, а осмысление расхождения при наблюдениях. То, что ошибка при наблюдениях и расчётах неизбежна, было известно давно. Вопрос в том, как уменьшить влияние этих ошибок. Здесь, конечно, были важны понятие о средних величинах и некоторые правдоподобные (вероятностные) рассуждения.
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 9.
Г.Галилей
46189901737995Например, К.Птолемей (умер около 170 г. н.э.) сопоставлял свои наблюдения предварения равноденствий с результатами наблюдений Гиппарха (180-125 до н.э.). В Китае в 7230726 гг. И Синь и Е Нань Кун сравнивали свои градусные измерения и измерения расстояний в зависимости от размеров Земли, которую они предполагали шарообразной. Для исключения систематических ошибок Тихо Браге (1546-1628 гг.) использовал среднее арифметическое. Ещё более обширно использовал эти идеи Галилей. И.Ламберт изучал случайные ошибки при измерении длины данного отрезка и пришёл к выводу, что среднее арифметическое измерений ближе всего к истинной величине отрезка. В развитии и осмыслении этих идей приняли участие учёные Р.Коутс, Т.Симпсон, Г.Лейбниц, Л.Эйлер, Д.Бернулли. Харальд Крамер (1704-1752 гг.) – известный шведский ученый, один из основателей математической статистики, писал: «По-видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом «случайный». Смысл этого слова лучше всего разъяснять на примерах».
15049571120А.Муавр (1667-1754 гг.) в 1718 году выпустил в Лондоне книгу «Учение о случаях», в которой измерил рост в 1375 случайно выбранных женщин.
1955165455295Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 10.
А.Муавр (1667-1754 гг.)
Колоколообразная кривая, приближенно «обволакивающая» диаграмму распределения роста представлена на рисунке. Муавр впервые заметил и теоретически обосновал роль такого распределения в случайных явлениях, которое позже было названо нормальным.
67310260350Известно, что Т.Байес (1702-1761 гг.) в анонимном трактате «Введение в проблему флюксий и защита математики от автора анналиста», изданном в 1736 г., а затем в письмах Д.Кантону и в «Философских трудах за 1763 г., опубликованных Р.Прайсом, под названием «опыт решения задачи по теории вероятностей…» занимался решением теоретических и практических задач вероятности. В своей работе Байес формулирует семь определений.
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 11.
Т.Байес (1702-1761 гг.)
«1. Несколько событий являются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого.
2. События являются исключающими друг друга, если одно из них должно наступить, но оба одновременно наступить не могут.
3. Говорят, что событие не состоялось, если оно не наступает, или наступает исключающее событие.
4. Говорят, что событие определено, если оно наступило или не наступило.
5. Вероятность какого-нибудь события есть отношение значения, которое даётся ожиданию, связанному с наступлением события, и значения ожидаемой в этом случае прибыли.
6. Под шансом я понимаю то же самое, что и под вероятностью.
7. События являются независимыми, если наступление одного не уменьшает и не увеличивает вероятности остальных».
Очевидно, какой сложный и длительный процесс осмысления основных определений и идей претерпела теория вероятностей, прежде чем стать такой, какой она сегодня является. Хотя, ради справедливости, отметим, что 1-е и 7-е определения совпадают с современными. Есть также сведения о том, что домашним учителем Т.Байеса был А.Муавр.
Т.Байес первым четко сформулировал теоремы сложения и умножения вероятностей и доказал их. Кроме того, он отчётливо ввёл понятие условной вероятности и знал вывод формулы, на основании которой впервые пришёл к биноминальной кривой распределения, получив все её основные свойства. (Позже она получит в работах Лапласа название кривой нормального распределения.)
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 12.
Р.Броун
4550410212090Ещё в 1827 г. английский ботаник Броун, рассматривая движение в микроскоп растительные препараты, заметил движение мелких взвешенных частиц. Это движение получило название броуновского. Оно является результатом случайных толчков, которые испытывает взвешенная частица со стороны хаотических движущихся молекул. Теорию броуновского движения оказалось возможным разработать только с помощью вероятных соображений. Законченная теория броуновского движения была создана лишь в 1905 г. А.Энштейном и М.Смолуховским.
Если до второй половины XIX в. основными областями применения теории вероятностей была обработка результатов наблюдений, статистика (в первую очередь демография) и некоторые другие вопросы, то во второй половине XIX в. положение принципиально изменилось. В первую очередь это связано с работами физиком И.К.Максвелла, австрийского ученого Л.Больцмана и американского ученого Д.В.Гиббса, которые создали статистическую механику.
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 13.
Л.Больцман
17117663Главной заслугой Л.Больцмана является молекулярно-кинетическое истолкование второго начала термодинамики и установление статистического смысла понятия энтропии. Второе начало термодинамики сформулировал Р.Клазиус в 1850 г., и лишь в 1865 г. он ввёл термин «энтропия». Много позже Н.Винне установил, что «как количество информации о системе есть мера организованности системы, точно так же энтропия системы есть мера дезорганизованности системы; одно равно другому, взятому с обратным знаком».
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 14.
Ж.Бертран
На необходимость уточнения основных понятий теории вероятностей математики указывали неоднократно. Ж.Бертран выдвинул ряд парадоксов, 422529027305относящихся понятиях теории вероятностей (1899). Своими парадоксами Ж.Бертран стремился показать необходимость более четкого осмысления ряда понятий теории вероятностей и, прежде всего, самого понятия вероятности.
481330128905Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 15.
С.Н.Бернштейн
Необходимость установления строгой логической базы исходили из разных областей. Первые шаги и попытки построения аксиоматического обоснования теории вероятностей принадлежат российскому ученому С.Н.Бернштейну, опубликовавшему работу «Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей» в 1917 г. В 1927 г. вышло первой издание книги «Теория вероятностей», в 1946 г. – второе.
Начиная с 20-х годов XX столетия, характер исследований по теории вероятностей во многом определялся идеями теории множеств и теории функций. Выяснилось, что можно установить глубокие аналогии между основными понятиями теории множеств и метрической теорией функций, с одной стороны, и основными понятиями теории вероятности – с другой стороны. Позже были установлены аналогии между мерой множеств и вероятностью события, интегралом и математическим ожиданием и др. Впервые такие идеи стал привлекать в разработку теории вероятностей начиная с 1905 г. Е.Борель (1871-1956 гг.). Необходимо также отметить первые работы А.Ломницкого (1881-1941 гг.) в понимании вероятности как меры в 1923 г. Польский математик погиб в июле 1941 г. от рук фашистов.
Вследствие глубоких исследований и осмысления результатов, полученных другими учеными в этой области, появилась книга «Kolmogorov» (1933), а вскоре её русский перевод в 1936 г., где были реализованы новые идеи и построено аксиоматическое обоснование теории вероятности.
Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 16.
А.Н.Колмогоров
213995-33020Только после аксиоматики Колмогорова теория вероятностей стала полноправной математической дисциплиной. Естественно, система аксиом А.Н.Колмогорова непротиворечива, но она не полна. Неполнота аксиоматики связана не с неудачливостью выбора аксиом, а с существованием вероятностных вопросов. Естественно, что каждое новое определение одного и того же понятия (в том числе и вероятности) накладывает и новые ограничения. Содержания понятия вероятности, как и других фундаментальных понятий математики, вскрывается только в совокупности многих несводимых друг к другу определений. Необходимо чётко понимать, что содержание основных (неопределяемых) понятий (т.е. того, что можно понимать под прямой, множеством, вероятностью) косвенным образом определяется системой аксиом. Значит, возможны различные способы реализации аксиоматических логических теорий, так как все время возникают новые подходы, точки зрения и т.д.
В связи с глубоким проникновением вероятностных методов и рассуждений в различные области математики, во все современное естествознание, а также во многие гуманитарные науки, понятие вероятности стало одним из важнейших понятий современной науки.
Понятие событий.
Стохастическим называют испытание или опыт (действительный или умозрительный), если заранее нельзя предугадать его результаты или исход. Результаты (исход) стохастического события называют случайными событиями или просто событиями. Приведём примеры событий.
а) В закрытом ящике находятся четыре одинаковых куба разной расцветки: белый, синий, красный и зелёный. Из ящика, не подсматривая, берут один из кубов и смотрят его цвет. Опыт – это изъятие куба из ящика, а событие – изъятие определённого цвета.
б) Открывается одна из карт – это опыт; на карте валет – это событие.
События обычно обозначают заглавными буквами А, В и т.д. События, происходящие в результате испытания, опыта, могут иметь разные характеристики.
1. Событие, которое обязательно произойдёт в результате испытания (опыта), назовём достоверным (иногда обозначают символом Ω).
2. Событие, которое не может произойти в результате данного испытания, называется невозможным (символ Ø) или недостоверным.
Примеры
а) Сбить летящий на высоте 10 км самолёт из охотничьего ружья нельзя – это невозможное событие.
б) Выбор среди школьников учащегося, весящего более 5 кг, - достоверное событие.
3. Несколько событий называют равновозможными, если в результате опытов ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие.
4. Несколько событий называются неравновозможными, если в результате опытов одно из них имеет большую возможность наступления, чем другие.
Примеры
а) При игре в домино открытие первоначально любой из костяшек (их 28) с набором от (0;0) до (6;6) равновозможное.
б) В ящике для обуви находятся сандалеты для детей: три пары 35 размера, две пары 36 размера, четыре пары 34 размера. Произвольное извлечение из ящика сандалет 35, 36 или 34 размера – не равновозможные события, так как имеется разное количество сандалет каждого размера.
5. События называют совместимыми (совместными), если наступление одного из них не исключает наступление других.
Примеры
а) Из колоды карт вытащили случайно десятку пик. Здесь события А – появление десятки, событие В – появление масти пик.
Очевидно, что события А и В могут быть совместными.
б) У партнёра по игре в домино случайно оказали костяшки (1;1) (событие А) и (3;3) (событие В). Это тоже вполне совместимые события.
6. События называют несовместимыми (несовместными), если наступление одного из них исключает наступление других (другого).
Примеры
а) Из ящика для различных игрушек случайным образом выбирают одну из игрушек: зайца (событие А) или мишку (событие В). Естественно, это разные игрушки, и события А и В несовместимые в условиях данного опыта.
б) При поездке в автобусе контролер проверяет у пассажиров наличие билетов или проездных карточек.
Если событие А – пассажир П оплатил проезд, а событие В – пассажир П едет «зайцем», то очевидно, что это несовместимые события (конечно, речь идёт об одном и том же времени).
7. События, которые нельзя разделить на более простые, называют элементарными событиями.
Пример
Известна игра в кости (бросание кубика, на каждой грани которого числа или точки от 1 до 6). Бросаем произвольно игральный кубик. Выпасть могут от одного до шести очков (точек). Каждое из этих событий элементарное.
Очевидно, что каждое из этих элементарных событий несовместное.
8.Множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдёт, причём любые два события из которых несовместимы, называется полной группой событий.
Возможно другое определение элементарных событий: события, образующие полную группу, называются элементарными.
Пример
Если при игре в игральные кости происходит событие:
А1 – выпало одно очко;
А2 – выпало два очка;
А3 – выпало три очка;
А4 – выпало четыре очка;
А5 – выпало пять очков;
А6 – выпало шесть очков;
Значит множество {А1, А2, А3, А4, А5, А6} образует полную группу событий, причём все события элементарные.
9. Событие, состоящее из нескольких элементарных событий, называется составным.
Пример
Рассмотрим таблицу различных опытов, связанных с игральным кубиком.
Обозначение событий Содержание
события Количество элементарных событий, благоприятствующих данному событию
А Выпало четное
число очков 3 ({А2; А4; А6})
В Выпало меньше 3 очков 2 ({А1; А2})
С Выпало менее 5
очков 4 ({А1; А2; А3; А4})
D Выпало более 5
очков 5 ({А1; А2; А3; А4; А5})
М Выпало более 5
очков 0 ({Ø})
Очевидно, что:
а) события A, B, C, D являются подмножествами множества полной группы событий {А1; А2; А3; А4; А5; А6};
б) события A, B, C, D не являются элементарными событиями (они составные);
в) так как пустое множество Ø по умолчанию всегда принадлежит любому множеству, то событие M∈{А1; А2; А3; А4; А5; А6} и является элементарным событием.
Событие М является невозможным событием.
10. Противоположным событию А называется такое событие, которое происходит только тогда, когда не происходит событие А. Обозначается такое событие: Ā.
Отметим, что противоположные события образуют полную группу событий. Например, «выпадение герба на монете при подбрасывании» - событие, противоположное событию «выпадение цифры».
Классическое (комбинаторное) определение вероятности.
Вероятностью случайного события А называют отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех равновозможных элементарных событий, образующих полную группу событий.
Обозначают это так: Р(А)=m/n, где m – число элементарных событий, благоприятствующих событию А, а n – число равноправных элементарных событий, образующих полную группу событий.
Очевидно, что Р(Ø)=0 и Р(Ω)=1, а для любого случайного событий А 0≤Р(А)≤1.
Общая схема решения задач для вычисления классической вероятности
Для решения задач необходимо:
1. убедиться, что количество возможных событий конечно;
2. установить, что все события равновозможны, либо их равновозможность можно принять как приемлемое допущение;
3. найти общее число возможных событий n;
4. четко определить события, вероятность которых нужно найти (А);
5. правильно подсчитать m – количество событий, благоприятствующих событию А;
6. вычислить вероятность события по классической формуле Р(А)=m/n.
Статистическое (частотное) понятие вероятности события.
При классическом (комбинаторном) подходе определение понятия вероятности сводится, как правило, к более простому понятию – равноправности элементарных событий. Это связано с интуитивным представлением человеком достоверности равновозможности условий испытания. Но, увы, это далеко не всегда так.
Рассмотрим результаты стрельб двух солдат – Андреева и Константинова.
Число выстрелов 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Число попаданий Андреева 8 17 26 33 41 49 56 65 72 81
Число попаданий Константинова 3 5 8 12 15 19 22 25 28 31
Из таблицы следует, что как у Андреева, так и у Константинова отношения числа попаданий к числу произведённых выстрелов меняются. Очевидно, что эти отношения в какой-то степени зависят от числа испытаний (произведённых выстрелов) но, и это существенно, что для Андреева это отношение колеблется около числа 4/5, а для Константинова – около числа 3/10.
При анализе оказалось, что Андреев до этого постоянно тренировался, а Константинов до службы в армии никогда не стрелял. Необходимо отметить и их различные психофизические возможности. Естественно, весьма логично принять числа 4/5 и 3/10 за оценку вероятности попадания Андреевым и Константиновым в мишень.
Эти оценки вероятностей попаданий тем более надёжны, чем больше произведенных опытов (стрельб) с целью установления их значений.
Пусть l – число испытаний, при произведении которых событие А могло произойти или не произойти. К – число испытаний, при произведении которых событие А произошло. Отношение К/l называется статистической частотой события А и обозначается Рl{A}=К/l.
Индекс l ставится специально, для подчёркивания зависимости частоты от числа испытаний. На практике в случаях, когда точно известна вероятность Р(А) в классическом понимании, при достаточно большом числе испытаний l Pl{A}≈P(A). Это приближенное равенство получило теоретическое обоснование в законе больших чисел, открытом Якобом Бернулли.
Примечания
1. Классическое (комбинаторное) определение возникло в самом начале развития теории вероятностей в связи с изучением шансов на выигрыш в азартных играх. Оно удобно в тех случаях, когда заведомо применимо положение о равновозможности исходов наблюдений (подбрасывание монет или игральных костей, извлечение шаров из урны или карт из колоды и т.д.). В то же время изложенный подход нельзя считать определением вероятности в строгом смысле, так как использованное в нем понятие равновозможности по существу означает равновероятность (вероятность, определенная через равновозможность). Кроме того, данный подход практически бесполезен, если неясно, какие исходы событий следует считать равновозможными.
2. В статистической теории вероятностей под случайным событием понимается не любое событие, а отношении которого нельзя сказать точно, что оно произошло или не произошло, а только те из них, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз, и для которых имеет смысл говорить об их вероятности. Смысл последнего требования состоит в том, что при большом числе наблюдений отношение числа появлений интересующего нас события к числу все наблюдений остаётся почти постоянным. Именно такую устойчивость проявляет, например, качество промышленных изделий при условии, что технологический процесс хорошо отлажен и качество исходных материалов не изменяется в процессе производства.
Произведение событий.
Рассмотрим ещё несколько важных характеристик событий.
1. Два события называются независимыми, если вероятность любого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.
Пример. В коробке три синих, два красных и четыре черных карандаша. Рассмотрим ряд событий и обозначим их.
А – извлечение наугад чёрного карандаша.
Вероятность Р(А)=4/9.
В – извлечение наугад красного карандаша.
Вероятность Р(В)=2/9.
С – извлечение наугад синего карандаша.
Вероятность Р(С)=1/3.
D – извлечение синего карандаша при повторном извлечении, если первый изъятый черный карандаш не положили в коробку обратно.
Здесь события A, B и C являются независимыми, так как:
а) события В, С не зависят от события А;
б) события А, С не зависят от события В;
в) события А, В не зависят от события С.
Но события А и D – зависимые, так как вероятность события равна 3/8 с учетом наступления события А. Если же событие А не наступало бы, то Р(D)=Р(С)=1/3.
2. Несколько событий называются попарно зависимыми, если каждые два из них независимы.
3. События А и В называются зависимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.
4. Если вероятность события В вычисляется в предположении, что событие А уже произошло, то такая вероятность называется условной вероятностью события В по отношению к событию А. Обозначается это РА(В).
Для того чтобы можно было вводить далее новые понятия и определения, необходимо вспомнить основные понятия и определения теории множеств.
Событие С называется произведением двух событий А и В, если в результате С происходят оба события, А и В.
Это значит, что событие С состоит в том, что произошли событие А и событие В. Обозначается С=А∩В (пересечение множеств А и В).
Для того чтобы определить формулу подсчета вероятности произведения событий А и В, необходимо знать, зависимы ли события А и В друг относительно друга или нет.
Теорема умножения для зависимых событий
Если события А и В являются зависимыми, то вероятность их произведения С=А∩В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:
Р(С)=Р(А∩В)=Р(А)*РА(В)=Р(В)*РВ(А).
Теорема умножения независимых событий
Если события являются независимыми, то вероятность события С=А∩В равна произведению вероятности событий А и В, т.е. Р(С)=Р(А∩В)=Р(А)*Р(В).
Иногда независимость событий А и В определяют так:
Если Р(А∩В)=Р(А)*Р(В), то события А и В являются независимыми.
Примечания.
1. Обе теоремы справедливы для более чем двух событий.
2. Действие умножения для них коммутативно (перестановочно).
3 Отметим, что из попарной независимости любых двух из трёх событий А, В и С вовсе не следует независимость всех трёх событий А, В и С.
Теорема сложения.
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событии А или В.
Задача 1. На книжной полке находится семь томов собрания книг С.Я.Маршака. Событие А – снятие для чтения 2-го тома с полки. Событие В – снятие для чтения 5-го тома с полки. Событие С – снятие с полки или 2-го, или 5-го тома С.Я.Маршака. Символическая запись С=АUВ.
Примечание. По сути, здесь опять используется идеи теории множеств. В данном случае это операция объединения множеств А и В: С=АUВ.
44926251480185Для того, чтобы содержательно двигаться дальше, вспомним определения совместимы и несовместимых событий. Напоминание. Два события называются несовместимыми, если появление одно события в данном испытании (опыте) исключает появление другого. Два события называются совместимыми, если появление одного события в данном испытании не исключает появление (или непоявление) другого.
Пример графической иллюстрации двух несовместных событий:
Теорема сложения вероятностей для двух несовместных событий
Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(АUВ)=Р(А)+Р(В).
4630420984250Примечание. Событие А и противоположное ему событие Ā несовместны, поэтому Р(АUĀ)=Р(А)+Р(Ā). С другой стороны, противоположные события образуют полную группу событий, а значит вероятность Р(АUĀ)=1 тогда Р(А)+Р(Ā)=1, или Р(А)=1-Р(Ā).
Пример графической иллюстрации двух совместимых событий:
Теорема сложения вероятностей для двух совместных событий
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения Р(АUВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А∩В).
Примечание. Примерная схема применения теорем сложения и умножения вероятностей для решения задач:
Р(АUВ)=Р(А)+Р(В)
Р(АUВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А∩В)
Р(А∩В)=Р(А)*Р(В)
Р(А∩В)=Р(А)*РА(В)
Несовместные события
Совместные события
Сумма событий
Зависимые события
Независимые события
Произведение событий
Состав основного события
Основное событие, вероятность которого необходимо найти
Теория вероятности в азартных играх.
Азартные игры появились на заре человечества. Их история начинается с игральных костей. Изобретение этого развлечения, источника радостей и несчастий, приписывается и индийцам, и египтянам, и грекам в лице Паламеда. При раскопках в Египте находили игральные кости разной формы – четырехгранные, двенадцатигранные и даже двадцатигранные. Но, разумеется, больше всего находили шестигранные, то есть кубы. Главная причина преимущественного их распространения – простота изготовления. Удобно и то, что цифры от единицы до шести не слишком малы и не слишком велики. Действительно, оперирование, скажем, с двадцатигранниками потребовало бы уже умственных напряжений для производства арифметических действий. Поэтому кости иной формы, чем кубы, применялись в основном для предсказания судьбы.
Играли двумя костями, а больше – тремя. Их встряхивали в кубке или в руке и бросали на доску. Игр существовало множество. Но, вероятно, наибольшее распространение имело прямолинейное бросание – кто выбросит большую сумму очков.
Итак, игрок дрожащей рукой встряхивает кубок и выбрасывает из него кости. Вверх смотрят какие-то цифры. Какие? Любые. Предсказать их невозможно, так как здесь господствует «Его Величество Случай». Результат события случаен, потому что зависит от большого числа неконтролируемых мелочей: и как кости легли в кубке, и какова была сила и направление броска, и как каждая из костей встретилась с доской, на которую бросали кости. Достаточно крошечного, микронного смещения в начале опыта, чтобы полностью изменился конечный результат. Таким образом, огромное число факторов делает совершенно непредсказуемым результат выброса костей, изготовленных без жульничества.
Если тысячи и миллионы опытов, поставленных в одних и тех же условиях, всегда приводят к определенному событию (выпущенное из руки яблоко падает на землю), то событие называется достоверным. А коль скоро миллионы опытов показывают, что некоторый их исход никогда не наблюдается (невозможно одним караваем хлеба накормить тысячу голодных людей), то такие события называются невозможными. Случайные события лежат между этими двумя крайностями. Они иногда происходят, а иногда нет, хотя практически условия, при которых мы их наблюдаем, не меняются.
Выпадение кости – классический пример случайного события. И все же интересно, можно ли наперед предусмотреть, предугадать, наконец, рассчитать и предсказать результат такого события, и как это делается?
Когда мы сталкиваемся с одинаковыми ситуациями, которые приводят к случайным исходам, на сцене появляется слово «вероятность». Вероятность – это число. А раз так, то оно относится к точным понятиям; и чтобы не попасть впросак, надо пользоваться этим словом с той определенностью и недвусмысленностью, которые приняты в естествознании.
Рассуждение начинается так. Есть некая исходная ситуация, которая может привести к разным результатам: кость-кубик может упасть вверх любой гранью, из колоды берется карта – она может быть любой масти, родился человек – это может быть мальчик или девочка, завтра наступит 10 сентября – день может быть дождливым или солнечным… Число исходов событий может быть самым разным, и мы должны все их держать в уме и знать, что один из них произойдет обязательно, то есть достоверно.
Перечислив все возможные исходы, возникающие из некой ситуации, математик скажет: дана группа исходов события, которая является предметом изучения теории вероятностей.
Различные результаты события, то есть различные представители группы, могут быть равновозможными. Этот самый простой вариант случайности осуществляется в азартных играх. Введем число вероятности на примере игральной кости.
Группой исходов события является выпадение единицы, двойки, тройки, четверки, пятерки и шестерки. Следующий вопрос, который надо себе задать, таков: сколько из этих событий дают интересующий нас результат? Допустим, мы хотим узнать вероятность выпадения тройки, то есть нас волнует осуществление одного события из группы в шесть. Тогда число благоприятных вариантов (одно – тройка) делят на полное число событий и получают вероятность появления интересующего нас события. В нашем примере вероятность выпадения тройки будет равна 1/6. А чему равна вероятность появления четной цифры? Очевидно, 3/6 (три благоприятных события делят на общее число событий, равное шести). Вероятность же выхода на кости числа, кратного трем, равна 2/6.
Одной костью никто не играет: слишком просто и загодя известно, что вероятность выпадения любой грани – 1/6, и никаких математических задач в такой игре не возникает.
При бросании трех или даже двух костей сразу появляются проблемы, и можно уже задать, скажем, такой вопрос: какова вероятность появления двух шестерок? Каждая из них появляется независимо с вероятностью, равной 1/6. При выпадении шестерки на одной кости вторая может лечь шестью способами. Значит, вероятность выпадения двух шестерок одновременно будет равна произведению двух вероятностей (1/6·1/6). Это пример так называемой теории умножения вероятностей. Но на этом новые проблемы не кончаются.
В начале XVII века к великому Галилею явился приятель, который захотел получить разъяснение по следующему поводу. Играя в три кости, он заметил, что число 10, как сумма очков на трех костях, появляется чаще, чем число 9. «Как же так, – спрашивал игрок, – ведь как в случае девятки, так и в случае десятки эти числа набираются одинаковым числом способов, а именно шестью?» Приятель был совершенно прав. Разбираясь в этом противоречии, Галилей решил одну из первых задач так называемой комбинаторики – основного инструмента расчетов вероятностей.
Итак, в чем же дело? А вот в чем.
Важно не то, как сумма разлагается на слагаемые, а сколько вариантов выпадения костей приводят к суммам в «девять» и «десять» очков. Галилей нашел, что «десять» осуществляется 27 способами, а «девять» – 25. Эмпирическое наблюдение получило теоретическое истолкование.
При бросании двух костей чаще всего появляется сумма, равная 7. Имеется шесть возможностей набора этой суммы. Суммы 8 и 6 осуществляются уже пятью комбинациями каждая.
Итак, нет и не может быть системы, которая позволила бы выиграть в такие игры, как рулетка, кости, карты, в игры чистого случая.
В рулетку выиграть можно, лишь если она работает не по принципу случая, например, если колесо слегка перекошено и какие-то участки оно проходит с повышенным трением. Но такую штуку надо подметить…
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ИССЛЕДОВАНИЕ.
Перед тем, как приступить к исследовательской части, я проанализировала учебно-методические пособия по подготовке к экзаменам и выделила основные типы задач по теме теория вероятностей.
2.1. Решение задач.
Задача 1. В банке либо сахар, либо соль. Вероятность того, что в банке сахар равна 0,3. Найдите вероятность того, что в банке соль.
Решение
У нас есть два противоположных события: соль или сахар. Обозначим вероятность того, что в банке сахар как Р(А), а противоположное ему, что в банке соль, как Р(Ā).
Знаем, что: Р(А)+Р(Ā)=1
=> P(Ā)=1-Р(А)=1-0,3=0,7
Ответ: 0,7.
Задача 2. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов. В первый день – 8 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение
Для начала найдем сколько докладов планируется в последний день: (40-8):2=16 (д.)
Пусть А – событие, когда профессор М. прочтёт свой доклад в последний день.
Знаем, что Р(А)=l/K, где l – число докладов в последний день, К – общее число докладов.
=> Р(А)=16:40=0,4
Ответ: 0,4.
Задача 3. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,15. Найдите вероятность того, что в течение года перегорят обе лампы.
Решение
Перегорания ламп – два независимых события. «Перегорят обе лампы» - следовательно нужно найти пересечение событий А и В (А∩В).
=> Р(А∩В)=Р(А)*Р(В)=0,15*0,15=0,0225
Ответ: 0,0225.
Задача 4. Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года перегорит хотя бы одна из ламп.
Решение
Пусть событие А – перегорание первой лампочки, событие В – перегорание второй лампочки. «Перегорит хотя бы одна лампочка» - то есть нужно найти объединение событий А и В (АUВ). Так как события совместные (могут произойти одновременно), независимые, то: => Р(АUВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А∩В)=0,2+0,2-0,2*0,2=0,36
Ответ: 0,36.
Задача 5. Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся П. верно решил более 7 задач, равна 0,78. Вероятность того, что П. верно решит больше 6 задач, равна 0,89. Найдите вероятность того, что П. верно решит ровно 7 задач.
Решение
Обозначим событие А – решение более 6 задач (7, 8, 9 и т.д.), событие В – решение ровно 7 задач, событие С – решение более 7 задач (8, 9 и т.д.).
Важно понять, что событие А составляет в сумме события В и С (то есть решение более 6 задач это по сути решение ровно 7 задач и более 7).
Получаем: Р(А)=Р(В)+Р(С)
=> Р(В)=Р(А)-Р(С)=0,89-0,78=0,11
Ответ: 0,11.
Результаты.
Задача 1.
Задача 2.
Задача 3.
Задача 4.
Задача 5.
Общие итоги:
Качество знаний и обученность.
ВЫВОД
3.1. Итоги.
Больше половины опрошенных успевают и имеют хорошие навыки решения задач на тему теории вероятностей.
К сожалению, есть те, кто не успевает в данной теме и их опыт решения задач на тему теории вероятностей мал.
Есть те, кто понимают данную тему на «отлично» и задачи не вызвали у них никаких трудностей.
Есть типаж задач, который понятен всем. Так же есть типаж задач, который понятен менее половине учащихся. Это может быть связано с незнанием материала и основных формул (свойств) теории вероятностей.
Как итог всей моей работы, могу сказать: теория вероятностей не так уж сложна, как может показаться на первый взгляд. Стоит всего лишь понять, как устроены её основные формулы и свойства, и задачи на данную тему станут одними из самых любимых вами.
Мои личные итоги.
Работа, которой я занималась, показалась мне очень интересной. Я смогла ответить на все интересовавшие меня вопросы. Так, проведенные исследование подтверждают, что теория вероятностей является материалом, достаточно понятным для учеников. Отснятые видео с разбором задач могут использоваться в качестве учебных материалов при подготовке к ЕГЭ (т.к. типовые задачи были выбраны из пробных КИМов для 2015-2016 учебного года). Я убедилась в том, что математика наука занимательная. Я научилась выдвигать гипотезы, проводить исследования, делать выводы.
Мне очень понравилось проводить исследование самой. А также оценивать получившиеся результаты.
А вообще, порой и не представляешь, насколько интересной может оказаться математика. Нужно только присмотреться, обратить внимание, а затем появится желание самому разобраться в той или иной теме.
Список использованной литературы.
ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты, 10 вариантов», /под ред. Ященко И.В. – М: «Национальное образование», 2016 - (ЕГЭ. ФИПИ – школе).ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты, 30 вариантов», /под ред. Ященко И.В. – М: «Национальное образование», 2016 - (ЕГЭ. ФИПИ – школе).ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты, 36 вариантов», /под ред. Ященко И.В. – М: «Национальное образование», 2016 - (ЕГЭ. ФИПИ – школе).ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты, 50 вариантов», /под ред. Ященко И.В. – М: «Национальное образование», 2016 - (ЕГЭ. ФИПИ – школе).Математика. Решения с методическими рекомендациями. Подготовка к ЕГЭ – 2016. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии на 2016 год / под ред. Лысенко Ф.Ф., Калбухова С.Ю. – Ростов – на Дону: Легион – М, 2016
Подготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. Методические указания / Ященко И.В., Шестаков С.А., Трепалин А.С. – М: МЦНМО, 2016
Шахмейстер А.Х. «Комбинаторика. Статистика. Вероятность» /под ред. Семёнова А.В. - М: Петроглиф, МЦНМО, Виктория плюс, 2015
http://schastie-ryadom.ru/post369379757/
Приложенные файлы
