Конспект урока по геометрии 8 класс «Четырехугольники»

Конспект урока по геометрии (8 класс)

Тема урока: «Четырехугольники»
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Цель урока: систематизация сведений о четырехугольниках.
Задачи:
Повторение определений, свойств, признаков всех видов четырехугольников.
Активизация поисково-познавательной деятельности в процессе решения задач на моделирование геометрических фигур, установление их вида и свойств.
Воспитание исследовательских умений и навыков.
Доказательство теоремы Вариньона.
Оборудование: листы бумаги произвольной четырехугольной формы; наборы подвижных моделей для задач на моделирование (их можно сделать из трубочек от сока, скрепленных скрепками); бумажные заготовки параллелограммов, прямоугольников, ромбов, равнобедренных трапеций по количеству учащихся; чертежный треугольник; масштабная линейка; циркуль.

Ход урока
Фронтальный опрос
определения;
свойства;
признаки известных видов четырехугольников.

Вопросы к классу (эта часть урока в форме беседы):
1. Какие вы знаете четырехугольники, у которых диагонали равны?
2. А существует ли четырехугольник, у которого диагонали равны, но он не является ни одним из изученных видов? Изобразите его.
3. Назовите виды четырехугольников со взаимно перпендикулярными диагоналями.
4. Постарайтесь изобразить четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, но он не является ни одним из изученных видов. (Показать дельтоид и немного рассказать о нем.)
5. В трапеции только два угла могут быть прямыми. Так ли это? Почему?
6. Нарисуйте четырехугольник, в котором:
а) каждая диагональ больше любой его стороны;
б) каждая диагональ меньше любой его стороны.
7. Вспомните, сколько элементов определяет треугольник? (три). Треугольник – жесткая фигура. Давайте выясним, достаточно ли 4-х элементов для определения четырехугольника? Возьмите, например:
1) 4 палочки, скрепки и составьте четырехугольник. (Класс убеждается, что у всех получились разные четырехугольники). Т.е. четыре стороны не определяют четырехугольник;
2) 3 стороны и угол;
3) 3 стороны и диагональ;
4) 2 диагонали и угол.
Что получается в каждом из случаев?
Вывод: Любой четырехугольник разбивается диагональю на 2 треугольника.
один треугольник определяется тремя элементами;
для того, чтобы второй треугольник был задан, нужно задать еще два элемента (т.к. один элемент у треугольников общий).
А сейчас составьте четырехугольник по четырем сторонам и диагонали.
Какими способами можно это сделать?
1 способ. Соединить 4 палочки скрепками в точках A, B, C, D, а затем поставьте еще одну палочку-распорку по диагонали AC.
2 способ (более надежный). Соединить 3 палочки в треугольник ABC. Затем присоединить еще две палочки CD и AD в точках A, C и D. (Рисунок 1)


Всегда ли возможно выполнить такое построение? (если данный вопрос вызывает затруднения, тогда нужно подобрать палочки такой длины, чтобы построение было невыполнимо).
Вывод (делают учащиеся): AC < a + b и AC < c + d.

Задачи на моделирование.
(в этих задачах все используемые палочки одинаковы по длине).
1. Из пяти палочек без наложения составить 2 треугольника и четырехугольник.


Рисунок 2
Определите:
а) вид полученных фигур (ромб и равносторонние треугольники);
б) углы четырехугольника (13 EMBED Equation.3 1415)




2. Из 7 палочек без наложения составить 3 треугольника и 3 четырехугольника.


Рисунок 3
Определите:
а) вид полученных четырехугольников
(2 ромба и 1 равнобедренная трапеция);
б) углы трапеции.



3. Из 9 палочек составить 4 треугольника, 3 ромба, 2 трапеции и параллелограмм, не являющийся ромбом.

Рисунок 4
Определите:
а) периметр параллелограмма, если длина палочки равна а. (Р=6а)



4. Из 9 палочек составить 5 треугольников, 3 ромба, 3 трапеции.

Рисунок 5
Определите:
а) сравните периметр большого треугольника и периметр параллелограмма. (Ртреуг=6а,
Рпарал-ма= 4а)


5. Из 8 палочек составить квадрат, 2 треугольника и выпуклый шестиугольник.

Рисунок 6
Определите:
а) определите чисто всех диагоналей (9)


Вывод: любой многоугольник можно составить из треугольников. Обратное утверждение тоже верно.
Разбивать можно не только диагоналями, но и другими отрезками. Например, медианами, биссектрисами, средними линиями.
Вопрос: На какие фигуры разобьют треугольник средние линии?
Ответ на этот вопрос – теорема, которую вы докажете дома. (Средние линии разбивают треугольник на 4 равных треугольника).

Проблемная задача.
Как только с помощью перочинного ножика из куска линолеума произвольной четырехугольной формы вырезать заплату в форме параллелограмма?
Для того, чтобы ответить на заданный вопрос, давайте предварительно решим следующую задачу.
Задача. Показать, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Дано: ABCD – четырехугольник,
F – середина AB, M – середина BC,
N – середина CD, K – середина DA.
Доказать: FMNK – параллелограмм.

Рисунок 7

Доказательство:
Проведем диагонали АС и BD,
тогда FM – средняя линия 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно FM || AC, 13 EMBED Equation.3 1415;
KN – средняя линия 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно KN || AC, 13 EMBED Equation.3 1415.
По свойству параллельных прямых KN|| FM и KN= FM по свойству транзитивности.
Значит FMNК – параллелограмм (по 1 признаку параллелограмма).
Задача решена.

Итак, решив данную задачу, мы с Вами доказали теорему, известную как теорема Вариньона. (Некоторые факты биографии французского математика Вариньона представлены на стенде. Желающие могут с ними ознакомиться).
Далее предлагается учащимся взять бумажную заготовку параллелограмма и с помощью сгибания убедиться в том, что получается параллелограмм.
Далее вопросы к классу (учащиеся отвечают на них, используя заготовки четырехугольников):
Какая фигура получается, если соединить середины сторон прямоугольника? (Ответ: ромб, Рисунок 8).

Какая фигура получается, если соединить середины сторон ромба? (Ответ: прямоугольник, Рисунок 9).

Какая фигура получится, если соединить середины сторон равнобедренной трапеции? (Ответ: ромб, Рисунок 10).

Постарайтесь нарисовать ещё какие-нибудь четырехугольники такие, что середины сторон являются вершинами:
а) прямоугольника (Рисунок 11);

б) ромба (Рисунок 12).

А теперь попытайтесь проанализировать и ответьте на вопрос: «При каком условии четырехугольник, вершинами которого служат середины сторон данного четырехугольника является:
а) прямоугольником (ответ: если диагонали взаимно перпендикулярны);
б) ромбом (ответ: если диагонали равны);
в) квадратом (ответ: если диагонали перпендикулярны и равны)».

Задача (если есть время):
Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке.
Решение.

Рисунок 13.

MNPK – параллелограмм (ключевая задача); 13 EMBED Equation.3 1415 O – середина NK (по свойству диагоналей параллелограмма).
LN – средняя линия 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно LN || AB, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
KS – средняя линия 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно KS || AB, 13 EMBED Equation.3 1415.
По свойству параллельных прямых LN || KS и LN = KS по свойству транзитивности.
Значит KLNS – параллелограмм (по 1 признаку параллелограмма).
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 X – середина NK, т.е. Х=О.

Итог урока.
В следующих предложениях заменить многоточие словами: «необходимо и достаточно», «необходимо, но не достаточно», «достаточно, но необходимо».
1) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником чтобы его диагонали были равны.
2) Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом чтобы все его стороны были равны.
3) Для того, чтобы четырехугольник был ромбом чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делились пополам.

Домашнее задание.
Доказать теорему о разбиении треугольника средними линиями на 4 равных треугольника;
Составьте утверждение, обратное свойству параллелограмма о равенстве противоположных углов. Верно ли оно. Если да, доказать.

Литература.

Б.Г. Зив «Задачи в урокам геометрии 7-11 классы», НПО «Мир и семья 95», С-Пб, издательство «Акация», 1995 г.
Э.Г. Готман «Задачи по планиметрии и методы их решения», М: «Просвещение», АО «Учебная литература», 1996 г.
В.В. Прасолов «Задачи по планиметрии»; М: «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1986 г.
Б.Г. Зив, В.Б. Некрасов «Дидактические материалы по геометрии. 8 класс»; М: «Просвещение», 2001 г.
Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова, В.В. Орлов и др. «Методика и технология обучения математике»; М: «Дрофа», 2005 г.
А.А. Окунев «Спасибо за урок, дети!»; М: «Просвещение», 1988 г.













13PAGE 15


[Введите текст]








Приложенные файлы

  • doc doc4
    Четырехугольники
    Размер файла: 377 kB Загрузок: 16