Династия математиков Бернулли (реферат)


«Династия математиков Бернулли»
Содержание
Введение…………………………………………………………………. 3
1 Историческая справка…………………………………………………... 3
2 Династия математиков Бернулли……………………………………… 4
2.1 Даниил Бернулли………………………………………………………... 5
2.2 Якоб Бернулли…………………………………………………………... 7
2.3 Иоганн Бернулли………………………………………………………... 8
3 Несколько слов о представителях Бернулли………………………….. 10
4 Интересный факт о Бернулли………………………………………….. 12
5 Математические объекты Бернулли…………………………………… 13
Заключение……………………………………………………………… 16
Литература……………………………………………………………… 17
Введение
Семья Бернулли - швейцарская протестантская семья, многие члены которой в XVII - XVIII веках внесли существенный вклад в науку. В частности, к этой династии принадлежат 9 крупных математиков и физиков (из них 3 великих), а также известные историки, искусствоведы, архитекторы, юристы и др.
Историки насчитали в науке и культуре не менее 30 знаменитых представителей семьи Бернулли. Среди академиков Петербургской Академии наук - пятеро из семьи Бернулли. Кафедру математики Базельского университета в течение 105 лет почти без перерыва занимали представители семьи Бернулли.
1. Историческая справка
Купеческая протестантская семья Бернулли жила в Антверпене. Свой род она вела из Фландрии, где Бернулли, в XV веке, носившие еще фамилию Бернуйла, не избегали и военных дел. Семья держалась своего места, пока можно было рассчитывать на то, что ситуация решится сама собой. Надежды связывались с успехами освободительного движения: несмотря на зверства Альбы, северные провинции Нидерландов, объединенные вокруг Вильгельма Оранского, вынудили Филиппа признать их право на самоопределение. По договору 1579 г. семь северных провинций, образовавших ядро будущей Голландии, освобождались от испанского владычества. Однако остальные провинции - и город Антверпен в том числе - оставались под испанской короной. Тем самым все надежды рушились. Под угрозой физического уничтожения приходилось покидать родной город. Большинство эмигрантов направлялось в прирейнские провинции Германии, потому что еще при жизни Карла V Германия добилась свободы вероисповедания (Аугсбургский мир 1555 г.).
Семья Бернулли решает ехать во Франкфурт-на-Майне. Реформация в этом городе прошла еще в 1533 г., где господствующая религия - протестантская. Выбор кажется удачным. В 1582 г. семья трогается в путь. Нелегко было порывать с родными местами. Глава семьи, Якоб Бернулли, скончался во Франкфурте в следующем же году. Расчеты эмигрантов на то, что удастся обосноваться на новом месте, не оправдались: и в Германии вражда между католиками и протестантами не угасала. С начала XVII в. атмосфера непрерывно сгущалась; в 1618 г. началась Тридцатилетняя война, принесшая с собой неслыханные бедствия и расстройство хозяйственных связей. Решено было искать спокойного пристанища. Выбор остановился на Швейцарии, а именно на Базеле. Положение в Швейцарии казалось относительно спокойным: реформация там утвердилась в 20-е годы XVI столетия, религиозные волнения за протекшие сто лет улеглись.
В 1622 г. Якоб, внук первого Якоба, переехал в Базель и принял гражданство Базельской республики. На этот раз эмиграция завершается удачно. Сын Якоба Николай уже видное лицо в городе, пользующийся уважением купец, глава семьи, состоящей из одиннадцати детей. Среди его детей и находятся те, с кого начинается династия выдающихся математиков.
Чем вызвано переселение Бернулли именно в Базель, трудно сказать. Единственно, что можно утверждать с полной уверенностью, это то, что наличие в городе университета не играло в выборе никакой роли: семья Бернулли из поколения в поколение старалась отвлечь свою молодежь от науки и обратить ее дарования на коммерческую деятельность или адвокатуру. К счастью, молодежь сама выбирала свои пути, не очень считаясь с желаниями старших.
Среди Бернулли некоторые имена повторяются из поколения в поколение, поэтому их различают, как королей, присоединив к имени соответствующую цифру.
2. Династия математиков Бернулли
Семья, внесшая наибольший общий вклад в развитие математики, - это, без сомнения, династия Бернулли. По меньшей мере три ее поколения способствовали развитию науки и сделали ее такой, какой мы ее знаем сегодня.
Семейство Бернулли с самого начала было многочисленным. Многие его представители сыграли значительную роль в развитии науки своего времени, особенно в развитии математики и физики. Поскольку большинство из них носило имена Якоб, Николай и Иоганн, то к ним обычно добавляют римские цифры, чтобы различать их между собой. Хотя по меньшей мере восемь членов этого семейства заслуживают упоминания, наиболее известными являются трое: братья Иоганн и Якоб и сын Иоганна, Даниил.

Якоб Бернулли, годы жизни которого с 1654 по 1708. Его брат Иоганн, живший в период с 1667 по 1748 годы. И Даниил, рождённый в 1700 и умерший в 1782 году, являющийся сыном Иоганна.
Остальных представителей семьи Бернулли также невозможно обойти вниманием, поэтому остановим взгляд на ключевых фактах их биографий.
Николай I (1687 - 1759) - получил юридическое образование, впоследствии изучил математическую дисциплину и преподавал её в Падуе, а позднее преподавал право и логику в Базеле. Приходится сыном Николаю, основателю династии.
Николай II Бернулли (1695-1726) - сын Иоганна, первоначально получил диплом юриста, преподавал правовой аспект в Берне, а затем, переехав в Россию, преподавал математику в городе Святого Петра - Санкт-Петербурге.
Даниил I (1700-1782) - средний сын Иоганна. Выучился на врача. Почётный член академии наук, получил этот титул в Санкт-Петербурге за достижения в области математики, механики.
Иоганн II (1710- 1790) - последний сын Иоганна, изучал юриспруденцию и право. Преподавал красноречие, а потом математику в Базеле.
Иоганн III (1744-1807) - является старшим сыном Иоганна II. Как и большинство его родственников, первоначально получил юридическое образование, а потом всерьёз занялся математикой. Был астрономом при академии наук в Берлине, а потом руководителем класса математики.
Даниил II (1751-1834) - средний сын Иоганна II. Получил диплом врача, после чего дослужился до должности профессора красноречия в Базеле.
Якоб II Бернулли(1759-1789) - юрист, впоследствии увлекся физикой и математикой. С 1786 жил в России. Создав семью, погиб в результате несчастного случая во время купания в Неве. На тот момент ему исполнилось 30 лет.
Чтобы представление о научной династии Бернулли было более полным, вернёмся к судьбам и достижениям тех представителей семьи Бернулли, чьи труды стали большим прорывом в развитии математического знания.
2.1. Даниил Бернулли
1181103823335Даниил родился в Гронингене (Голландия), где его отец тогда пҏеподавал математику в университете. С юных лет увлёкся математикой, вначале учился у отца и брата Николая, параллельно изучая медицину. После возвращения в Швейцарию подружился с Эйлером. В 1721 сдал экзамены на медика в Базеле, защиҭил диссертацию. Затем уехал в Италию, где набирался опыта в медицине. В 1724 выпусҭил «Математические этюды», принесшие ему известность. В 1725 вместе с братом Николаем уезжает по приглашению в Петербург, где по императорскому указу учҏеждена Петербургская академия наук. Занимается там медициной, но потом пеҏеходит на кафедру математики (1728), ставшую вакантной после смерти его брата Николая. Момент для приезда был чҏезвычайно неудачным - как раз скончался Пётр I, что вызвало неопределенность. Приглашённые в Академию иностранцы частично рассеялись, но Даниил остался и даже уговорил приехать друга Эйлера (1727). Но тут умерла императрица Екатерина I, и властям окончательно стало не до Академии. Вскоҏе Даниил возвращается в Базель. Он остался поҹётным ҹленом Петербургской академии, в её журнале опубликованы 47 из 75 трудов Даниила Бернулли.
В 1728 напечатал «Замечания о ҏекуррентных последовательностях». В 1733 усҭҏᴏился профессором анатомии и ботаники в Базеле (других вакансий не было). Ведёт оживлённую, взаимно-полезную пеҏеписку с Эйлером. В 1738 как ҏезультат многолетних трудов выходит фундаментальный труд «Гидродинамика». Сҏеди прочего там основополагающий «закон Бернулли». Дифференциальных уравнений движения жидкости в книге ещё нет (их установил Эйлер в 1750-е годы).
В течение 1747-1753 выходит в свет важная серия работ о колебаниях струны. Бернулли, исходя из физических соображений, догадался разложить ҏешение в тригонометрический ряд. Он провозгласил, ҹто эҭот ряд не менее общий, чем степенной. Эйлер и Даламбер выступили с возражениями. Вопрос был ҏешён только в XIX веке, и Бернулли оказался прав.
В 1748 избран иностранным ҹленом Парижской Академии наук. В 1750 пеҏешёл на кафедру физики Базельского университета, где и трудился до кончины в 1782 году. Умер за рабочим столом весной 1782 года.
Более всего Даниил Бернулли прославился трудами в области математической физики и теории дифференциальных уравнений - его считают, наряду с Даламбером и Эйлером, основателем математической физики.
Физик-универсал, он основательно обогаҭил кинетическую теорию газов, гидродинамику и аэродинамику, теорию упругости и т.д.
Он первый выступил с утверждением, ҹто причиной давления газа является тепловое движение молекул. В своей классической «Гидродинамике» он вывел уравнение стационарного течения несжимаемой жидкости (уравнение Бернулли), лежащее в основе динамики жидкостей и газов. С тоҹки зрения молекулярной теории он объяснил закон Бойля-Мариотта.
Бернулли принадлежит одна из первых формулировок закона сохранения энергии (живой силы, как тогда говорили), а также (одновҏеменно с Эйлером) первая формулировка закона сохранения момента количества движения (1746). Он много лет изучал и математически моделировал упругие колебания, ввёл понятие гармонического колебания, дал принцип суперпозиции колебаний.
В математике опубликовал ряд исследований по теории вероятностей, теории рядов и дифференциальным уравнениям. Он первый прᴎᴍȇʜᴎл математический анализ к задачам теории вероятностей (1768), до эҭого использовались только комбинаторный подход. Бернулли продвинул также математическую статистику, рассмотҏев с применением вероятностных методов ряд практически важных задаҹ. Даниил являлся Академиком и почетным иностранным ҹленом Петербургской академии наук(1733), ҹленом Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Лауҏеат многочисленных пҏемий и призов в конкурсах.
2.2. Якоб Бернулли
Якоб Бернулли (6 января 1655, Базель, - 16 августа 1705) Якоб родился в семье преуспевающего фармацевта Николая Бернулли. Вначале, по желанию отца, учился в Базельском университете богословию, но увлёкся математикой, которую изучил самостоятельно. left518160
В университете овладел также 5 языками (французский, итальянский, английский, латинский, греческий), в 1671 году получил учёную степень магистра философии.
В 1677 поехал во Францию чтобы подробно изучить идею Декарта и использовать ее при своей дальнейшей научной деятельности. По возвращении в родной город, некоторое время занимал должность частного учителя. С 1687 года – работает профессором физики (позже – математики) в Базеле. Якоб Бернулли самостоятельно изучил дифференциальное и интегральное исчисление, и приобщил к нему брата Иоганна. В 1699 оба брата Бернулли избраны иностранными членами Парижской Академии наук. Первое триумфальное выступление молодого математика относится к 1690 году. Якоб решает задачу Лейбница о форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки.

Лейбниц и Гюйгенс уже установили, что это полукубическая парабола, но всего лишь Якоб Бернулли опубликовал доказательство средствами нового анализа, выведя и проинтегрировав дифференциальное уравнение. При этом впервые появился в печати термин «интеграл».
Якоб Бернулли внёс огромный̆ вклад в развитие аналитической геометрии и зарождение вариационного исчисления. Его именем названа лемʜᴎϲката Бернулли. Он исследовал также циклоиду, цепную линию, и особенно логарифмическую спираль.

Последнюю из перечисленных кривых Якоб завещал нарисовать на своей могиле; к сожалению, по невежеству там изобразили спираль Архимеда. Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы «числа Бернулли».

Он изучил теорию вероятностей по книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре. Якоб Бернулли сформулировал множество современных понятий теории. Он подготовил монографию в этой области, но издать не успел. Она была напечатана посмертно, в 1713 году, под названием «Искусство предположений».
Имя Якоба носит важное в комбинаторике распределение Бернулли. Якоб Бернулли издал также работы по различным вопросам арифметики, алгебры, геометрии и физики.
2.3. Иоганн Бернулли
-247655328285Выдающимся учеником и активным сотрудником Лейбница кроме Якоба Бернулли был его брат - Иоганн. Жил он в 1667 - 1748 годах. Ему была уготована торговая карьера, но его увлечение пошло в совершенно ином направлении. Он увлекся математикой, которую стал изучать под руководством старшего на 13 лет брата Якоба. В 1691 - 1692 годах Иоганн находился в Париже, где в это время идеи Лейбница были почти совершенно неизвестны.
40995606985635В Париже Иоганн познакомился с французским математиком маркизом Лопиталем, для которого он доставил записку с данными об интегральном исчислении. Эта записка представляет собой первый систематический учебник интегрального исчисления. Однако записка была опубликована только лишь в 1742 году. В своих рассуждениях Иоганн Бернулли понимал интеграл почти по-современному. В нем содержалась произвольная постоянная величина; операция интегрирования была в понимании Иоганна Бернулли операцией, обратной дифференцированию.
В 1692 году Бернулли возвратился в Базель. Два года спустя он получил здесь ученую степень доктора медицины на основе диссертации, в которой для объяснения механического движения мускулатуры применил дифференциальное исчисление. Начиная с 1693 года, стал вести переписку с Лейбницем, которая, подобно, как и корреспонденция его брата, послужила развитию математики. В 1695 году Иоганн Бернулли был назначен профессором математики университета в Гронинген в Голландии, а в 1705 году принял кафедру математики Базельского университета, после смерти своего брата Якоба. Иоганн Бернулли был членом Петербургской академии наук.
704853223260Достижения Иоганна Бернулли в дифференциальном и интегральном исчислениях весьма велики и тесно связаны с работами Якоба Бернулли и Лейбница. Важнейшим трудом Иоганна Бернулли следует считать упомянутую уже работу по интегральному исчислению. Совместно с Лейбницем, Иоганн Бернулли разработал метод интегрирования рациональных функций (путем разложения на простые дроби), причем он свободно пользовался комплексными переменными.
К числу важнейших задач, с точки зрения развития математического анализа, принадлежит решение Иоганном Бернулли задачи о цепной линии, поставленной его братом. Задачу эту решили также Лейбниц и Гюйгенс. Иоганн Бернулли и Лейбниц решили эту задачу при помощи дифференциального исчисления, а Гюйгенс, незнакомый с принципами этого исчисления, решил ее прежними методами. Однако результат был тот же. Это стало прекрасным доказательством правильности и полезности новых методов.
Весьма велики заслуги Иоганна Бернулли в разработке методов решения дифференциальных уравнений. Одно из таких уравнений носит имя Бернулли. Уравнение это, поставленное Якобом, было решено Иоганном. При интегрировании дифференциальных уравнений Бернулли применял метод интегрирующего множителя и разложения на степенные ряды. К числу учеников Иоганна Бернулли, кроме Лопиталя, принадлежали сын Бернулли Даниил и гениальный математик Эйлер. Достойно внимания то, что исследования и достижения Иоганна Бернулли носили практический характер, в соответствии с его тезисом, что ученый должен всегда находиться «в пределах природы».
3. Несколько слов о представителях Бернулли
Иоганн Бернулли
Отец будущих великих швейцарских физиков Якоба (1654―1705) и Иоганна (1667―1748) Бернулли сначала принуждал их заниматься теологией. Однако старшего брата интересовали лишь точные науки, а младший, как подрос, потянулся за ним, чтобы в будущем составить уникальные лекции по дифференциальным и интегральным исчислениям; благодаря его изысканиям начнёт развиваться всестороннее использование математического анализа.
left337185Мальчики прятали книги по физике под теологические, а оставаясь без взрослых, с жаром занимались опытами по механике, электричеству и магнетике. Их кумиром был философ и физик Готфрид Лейбниц, чьи исследования изохронной кривой легли в основу некоторых достижений Якоба Бернулли. Ему было всего двадцать семь, когда он основал в Базеле семинарию по изучению экспериментальной физики; в 32 года получил звание профессора.
В 1687 году Якоб возглавил кафедру математики в университете Базеля. Но блестящий учёный не успел сделать всего задуманного: в 1705 году он скончался от тяжёлой формы лихорадки. Его университетский пост перешёл к 38-летнему Иоганну, уже не менее знаменитому.
Вольтер писал об Иоганне Бернулли:
Его ум видел истину,
Его сердце познало справедливость.
Он — гордость Швейцарии
И всего человечества.
Подрастали сыновья Иоганна: Николай (1695―1726), Даниил (1700―1782) и Иоганн (1710―1790). Наиболее ярким казался талант старшего, Николая, который в восемь лет уже говорил на четырёх языках, но и Даниил тянулся к наукам. Неожиданно для всех Иоганн Бернулли потребовал, чтобы Даниил изучал не математику, а коммерцию, и отослал его в Невшатель для обучения. Возможно, это было продиктовано материальным положением семьи.
Но спустя несколько месяцев Даниил вернулся в Базель и, отказавшись от карьеры приказчика, занялся изучением философии и медицины; брат Николай помогал ему осваивать математику. Даниил учился в Базеле, затем ― в Гейдельберге и Страсбурге. В 1720-м он вернулся в Швейцарию, выдержал экзамен по медицине, написал заинтересовавшую учёный мир диссертацию о дыхании, где отобразил свои попытки решения физиологических вопросов математическим путем (ныне ― математическая биология и биоинформатика). Продолжая заниматься практической медициной, Даниил выпустил в 1724 году первый трактат по математике: «Exercitationes quaedam mathematiсае», ― который принёс ему скорую и почётную славу. Он же открыл «Эффект Бернулли», объяснив явление, благодаря которому птицы и самолеты могут летать.
Старший брат, Николай, с которым они были очень дружны, в 16 лет получил степень доктора философии, а в 20 ― доктора права. Он работал в Италии, но, стосковавшись по Даниилу, вернулся в родной город, где был профессором университета; преподавал он и в Берне.
Молодых учёных звали во многие европейские университеты. Достижениями Даниила и Николая Бернулли интересовались и в Санкт-Петербурге, в только что открывшейся Академии наук, куда братьев пригласили по очень лестной для них рекомендации великих Лейбница и Вольфа.
В конце октября 1725 года Даниил и Николай прибыли в столицу России; они поселились на Васильевском острове. Даниил возглавил кафедру физиологии, Николай преподавал на кафедре математики; оба публиковали свои работы в сборниках Академии.
Увы, Николай Бернулли не успел проработать в России и года: 26 июля 1726 года он умер от воспаления язвы желудка, спровоцированной традиционными попойками в Академии. В «Воспоминаниях» племянника Николая и Даниила Бернулли, Жана Бернулли, упоминаются эти «…академические попойки, от которых сократилась жизнь дяди академика Николая Бернулли, и других его товарищей. Могилу дяди отыскать не удалось». Вдова Петра, императрица Екатерина I организовала похороны за счёт казны, понимая, какую потерю понесла российская наука в лице блестящего молодого учёного.
Даниил Бернулли все годы жизни в столице России занимался, кроме физиологии и математики, также и врачебной практикой. Легенды о его неутомимости и чудесах врачевания активно распространялись жителями столицы. После лекций в Академии доктор посещал больных или принимал их на дому. Он восстанавливал искалеченные конечности, которые должны были ампутировать, лечил желудочные и сердечные заболевания, простуду, спас от родильной горячки не одну роженицу.
Летом 1730 года Даниил Бернулли перешёл в Академии на кафедру математики, но спустя три года уехал из России, соскучившись по родине. Его восторженно приняли учёные Парижа, а к Рождеству он вернулся в родной Базель, стал профессором анатомии, ботаники, затем философии и физики. Он продолжал научные исследования, издал множество трудов по математике, гидродинамике, был почётным членом Берлинской, Парижской, Лондонской и Санкт-Петербургской академий. А в Швейцарии его еще долго называли «русским доктором».
Внучатый племянник братьев Бернулли Жак (Якоб), живший в 1759 - 1789 годах, также родился в Базеле, а в юности учился в Невшателе. Он совершенствовался в юриспруденции, но в его увлечениях сказывалась потомственная тяга к точным наукам. Когда состарился его дядя Даниил, 21-летнего Якоба пригласили занять его пост председателя Общества экспериментальной физики.
По стопам дядей, Якоб Бернулли-младший также приехал в качестве профессора математики в Петербургскую Академию наук (в 1788 году), но и его жизнь здесь трагически оборвалась: он утонул в Неве, оставив вдовой молодую жену, которая была внучкой многолетнего друга семьи, знаменитого учёного Леонарда Эйлера.
Последний из математиков Бернулли, астроном Иван, или Жан, жил в 1744-1807 годах и также работал в Санкт-Петербурге.
В своих воспоминаниях Жан Бернулли оставил красочные записки о столице и её предместьях, о встречах с императрицей, князем Потёмкиным, Григорием Орловым, Иваном Шуваловым и другими. Он посещал библиотеки, французскую оперу в Зимнем дворце; побывал в Сухопутном шляхетском морском корпусе, и, любопытства ради, даже пытался пройти в Смольный институт благородных девиц, но вход ему преградила суровая классная дама. Несбывшееся приключение Жан заменил описанием празднества в Петергофе, опубликованном в журнале «Русский архив».
Последний из математиков Бернулли – Жан – также долгое время жил в России. Кроме таланта к математике, Жан обладал даром слова: он оставил красочные записки о посещении российской столицы.
Имя Бернулли навеки останется в многочисленных теоремах и законах, названных в честь знаменитых представителей великой математической династии: дифференциальное уравнение Бернулли, закон Бернулли, интеграл Бернулли, лемниската Бернулли, многочлен Бернулли, неравенство Бернулли, распределение Бернулли и др.
4. Интересный факт о Бернулли
38105433060Даниил, как и его отец, изучал математику втайне от родителей. Иоганн Бернулли хотел, чтобы его сын стал торговцем. Когда-то и его собственный отец пытался принудить ученого к этому ремеслу. В итоге Даниил пообещал отцу стать доктором, а тот взамен на эту клятву начал учить его математике.Отец всегда ревновал к успехам сына. В 1735 г. они оба участвовали в научном соревновании Парижской академии наук, и Даниил занял первое место. Иоганн не смог смириться с позором и выгнал сына из дома.
Даниил опубликовал «Гидродинамику» в 1734 г. Иоганна задел успех сына, и он опубликовал плагиат под названием «Гидравлика». Отец даже датировал книгу 1732 годом, чтобы казалось, будто это Даниил скопировал его работу.
Бернулли был плодотворным автором, он писал обо всем, что волновало его воображение. Например, сохранилась записка с его вычислениями соотношения скорости движения лодки и количества гребцов на ней.
5. Математические объекты Бернулли
Открытиями и формулами Бернулли человечество пользуется до сих пор, уравнения и интегралы изучают в высших школах, а открытые ими физические законы подняли науку того времени на принципиально новую высоту. Рассмотрим самые известные «именные» математические исследования знаменитых математиков Бернулли.
Математический объект Пояснения Изображение
Дифференциальное уравнение Бернулли - в честь Якоба. Обыкновенное дифференциальное уравнение вида (1)
называется уравнением n=1 или n=0 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).
(1)
Закон Бернулли (интеграл Бернулли) в гидродинамике - в честь Даниила. Закон (уравнение) Бернулли является (в простейших случаях следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
Лемниската Бернулли - в честь Якоба. Лемниската Бернулли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Многочлен Бернулли - в честь Якоба. Многочлены Бернулли замечательны тем, что число корней в интервале [0,1] не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени, многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям.
Неравенство Бернулли - в честь Якоба. Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n. При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допуская, что оно верно для n, доказывается его верность для n+1.
Распределение Бернулли, Схема Бернулли в теории вероятностей - в честь Якоба. Распределение Бернулли в теории вероятностей и математической статистике - дискретное распределение вероятностей, моделирующее случайный эксперимент произвольной природы, при заранее известной вероятности успеха или неудачи.
Сдвиг Бернулли - в честь Якоба. Символическая динамика-объединяющее название класса динамических систем, для которых точками фазового пространства являются последовательности в некотором конечном алфавите «символов», а отображение заключается в сдвиге последовательности на один символ влево.
Простейшими примерами являются сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова.
Формула Бернулли - в честь Якоба. Формула Бернулли - формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений - сложения и умножения вероятностей - при достаточно большом количестве испытаний.
Числа Бернулли - в честь Якоба. Числа Бернулли - последовательность рациональных чисел, впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел , возведённых в одну и ту же степень:
Заключение
Семья Бернулли представляет собой поистине уникальное явление не только в математике, но и в истории науки вообще. Стремясь подтвердить теории генетиков, ученые проследили путь почти 120 представителей семейства Бернулли. Выяснилось, что большинство из Бернулли так или иначе преуспели в науке.
Нельзя не восторгаться поистине удивительным талантом представителей семьи Бернулли, благодаря которому мы на данный момент обладаем большим объемом полезной информации и можем пользоваться ею в своей научной деятельности: при написании статей, докладов, а также при подготовке к практическому занятию по математическим предметам.
Литература
Белл Э.Т. Творцы математики. М.: Просвещение, 1979.
Бернулли. Энциклопедия «Круглый свет» Электронный источник [URL адрес]: http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/BERNULLI.htmlБоголюбов А.Н. Математики. Механики. Биографический справочник. Киев: Наукова думка, 1983.
Большая советская энциклопедия. В 30 тт.
Виленкин Н. Я. «Великие математики Бернулли»
Григорьян А.Т.. Ковалев Б.Д. "Бернулли Даниил. 1700-1782". М.: Наука, 1981.
Иоганн Бернулли. Электронный источник [URL адрес]: http://1matematiki.ru/iogann-bernulli/История математики. Под редакцией Юшкевича А.П. в трёх томах. Том 3 Математика XVIII столетия. М.: Наука, 1972.
Материалы Википедии Электронный источник. [URL адрес]: http://qps.ru/32YkZ
Никифоровский В.А. Великие математики Бернулли. М.: Наука, 1984, 180 с.
Храмов Ю.А. Физики. Биографический справочник. М.: Наука, 1983. 400 с.

Приложенные файлы

  • docx bernulli
    Красовский Дмитрий Александрович
    Размер файла: 757 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий