Исследовательская работа «удивительный квадрат»


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Горская основная общеобразовательная школа»
Орехово-Зуевского муниципального района
Московской области
Реферат
по математике
на тему:
«Удивительный квадрат»
Подготовила: ученица
6 класса МБОУ «Горская ООШ»
Ильина Марина
Руководитель: учитель
математики
Воронина Д.Ю.
2015г.
Содержание
Введение
Что такое квадрат?
Свойства квадрата
Квадрирование
Квадрат в квадрате
Как Абул Вефа составил квадрат из трех равных квадратов
Оригами
Танграм
Заключение
Используемая литература

Введение
Квадрат имеет много замечательных свойств. Некоторые из них рассматриваются в школьном курсе математики.
Прямые углы, равные стороны, симметричность придают квадрату простоту и известное совершенство формы; недаром он служит эталоном при измерении площадей. Эти же его качества лежат в основе и других увлекательных свойств квадрата, которые в школе не изучаются. Эти свойства интересны для каждого, кто стремится расширить рамки своих геометрических представлений.
Цель работы: узнать, что такое удивительный квадрат и изучить его замечательные свойства.
Задачи работы:
подробнее исследовать свойства квадрата;
найти различные варианты построений, которые можно воспроизвести при помощи перегибания квадратного листа бумаги, и выявить преимущества в таком виде построений.
Объект исследования: квадрат.
Что такое квадрат?
Под французским словом «carre» («квадрат») подразумевался боевой порядок пехоты в форме квадрата.

В христианской иконографии нимб квадратной формы изображался над головой живого, т.е. современного иконописца, пророка, угодника, папы или императора.

left895800Квадрат это…
…правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые.
…параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
…прямоугольник, у которого две смежные стороны равны.
Свойства квадрата
Равенство длин сторон.
Все углы квадрата прямые.
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Квадрат обладает симметрией.

Помимо основных свойств квадрата существуют и другие.
Периметр квадрата меньше периметра любого равновеликого ему прямоугольника.
27876510795000Пример:
SABCD=4*4=16; SGFEB=2*8=16.
PABCD=4*4=16; PGFEB=(2+8)*2=20.
Площадь квадрата больше площади любого прямоугольника с тем же периметром.

Квадрирование
left72683500Квадри́рование квадра́та — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов. В более узком смысле — задача о разбиении квадрата на конечное число попарно неравных между собой квадратов.
В 1936—1938 годах её решили четыре студента Тринити-колледжа Кембриджского университета (Брукс, Смит, Стоун и Татт).
right181344000Можно ли разрезать квадрат на меньшие квадраты так, что среди последних никакие два не будут одинаковыми? Долгое время считали, что это чрезвычайно трудная математическая задача неразрешима. Преодолеть все трудности удалось лишь после того, как задача была переведена на язык теории электрических цепей, а затем снова на язык геометрии плоских фигур. В 1936 году литература по задаче о разрезании прямоугольника на неповторяющиеся квадраты была крайне бедна. Так, было известно, что прямоугольник со сторонами 32 и 33 единицы можно разрезать на девять квадратов со сторонами 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 и 18 единиц. Стоуна заинтересовало высказанное в «Кентерберийских головоломках» Дьюдени предположение о том, что квадрат left3400нельзя разрезать на неповторяющиеся квадраты. Из чистого любопытства он попытался найти доказательство этой гипотезы, но безуспешно, однако ему удалось найти разбиение прямоугольника со сторонами 176 и 177 единиц на 11 неповторяющихся квадратов.
Достигнутый успех - хотя он и не был полным, окрылил воображение Стоуна и трех его друзей, и вскоре они всерьез увлеклись задачей и стали уделять ей много времени. Была разработана специальная терминология. Прямоугольник, который можно разрезать на неповторяющиеся квадраты, они назвали «совершенным» прямоугольником. Позднее для обозначения прямоугольника, который допускает разрезание на два или большее число квадратов, не обязательно разных, ими был предложен термин «квадрируемый» прямоугольник. Оказалось, что построить совершенный прямоугольник крайне просто.
Иногда длины сторон квадратов, вычисленные по их методу, оказывались отрицательными. Однако, как выяснилось, такие «отрицательные» квадраты с небольшим изменением исходного рисунка всегда можно превратить в «положительные», поэтому никаких особых неприятностей при появлении «отрицательных» квадратов не возникает. Иногда квадрируемый прямоугольник не приводился к совершенному, в этом случае попытка была неудачной.
На следующем этапе исследования было решено отказаться от эксперимента в пользу теории. Они пробовали изображать квадрируемые прямоугольники различными диаграммами, но без особого успеха. Существенный прогресс был достигнут лишь после того, как Смит предложил особую разновидность диаграмм, названную в его честь остальными исследователями диаграммами Смита. Диаграммы Смита неожиданно превратили задачу в часть общей теории электрических цепей.
Самые первые найденные Бруксом, Смитом, Стоуном и Таттом совершенные квадраты были 69-го порядка.
В 1939 году Р. Шпраг (R. Sprague) нашёл совершенный квадрат 55-го порядка, это было первое опубликованное решение для совершенного квадрата. *Позднее Т. Г. Уиллкокс (T. H. Willcocks) нашёл совершенный квадрат 24-го порядка, который долгое время держал рекорд малости порядка.
В 1978 году голландский математик А. Й. В. Дуйвестэйн (A. J. W. Duijvestijn) с помощью компьютера нашёл разбиение квадрата на 21 квадрат, среди которых нет равных (см. рис.). Он так же доказал, что
Не существует совершенного квадрата меньшего порядка.
Найденное им разбиение — единственно возможное для разбиения 21-го порядка.
n Число простых совершенных квадратов порядка n
21 1
22 823 1224 2625 16026 44127 1152
28 3001
29 7901
30 20 566
31 54 541
32 144 161
33 378 197[3]right30099000Квадрат в квадрате
Если соединить последовательно середины сторон квадрата АВСD отрезками, то получится новый квадрат ЕFКL, площадь которого составляет половину площади данного квадрата АВСD.
-121825823900Как Абул Вефа составил квадрат из трех равных квадратов
Задачами превращения одной фигуры в другую путём переложения разрезанных частей занимались еще в древние времена. Возникли они из потребностей практиков-землемеров и строителей архитектурных сооружений древнего мира. Появились практические приёмы и правила, не обоснованные доказательствами, и естественно, что многие из них были неверны, ошибочны.
Один из самых замечательных арабских математиков Абул Вефа, живший в X веке, решил целый ряд вопросов, относящихся к геометрическому превращению фигур.
В сочинении «Книга о геометрических построениях», дошедшим до нас не полностью в списках его учеников, Абул Вефа пишет: «В настоящей книге мы займёмся разложением фигур; вопрос этот необходим многим практикам и составляет предмет особенных их разысканий. К таким вопросам мы приходим, когда требуется разложить квадраты так, чтобы получились меньшие квадраты, или, когда из нескольких квадратов требуется составить большой квадрат. Ввиду этого мы дадим основные начала, которые относятся к данным вопросам, так как все методы, применяемые рабочими, не основанные на каких-либо началах, не заслуживают доверия и весьма ошибочны; между тем на основании таких методов они производят различные действия».
На одном из собраний геометров и практиков Абул Вефе была предложена задача: «составить квадрат из трёх равных квадратов». Он поступил следующим образом: разрезал квадраты I и II по диагонали и каждую из половинок приложил к квадрату III, как показано на рисунке.

Затем он соединил отрезками вершины Е, F, G и H. Полученный четырехугольник EFGH оказался искомым квадратом.
Приведенное решение, по словам Абул Вефы, «точно и вместе с тем удовлетворяет практиков».
Оригами
Орига́ми (яп. 折り紙, букв.: «сложенная бумага») — вид декоративно-прикладного искусства; древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Искусство оригами своими корнями уходит в Древний Китай, где и была изобретена бумага. Первоначально оригами использовалось в религиозных обрядах. Долгое время этот вид искусства был доступен только представителям высших сословий, где признаком хорошего тона было владение техникой складывания из бумаги.
Классическое оригами складывается из квадратного листа бумаги.
Существует множество версий происхождения оригами. Одно можно сказать наверняка — по большей части это искусство развивалось в Японии. Оригами стало значительной частью японских церемоний уже к началу периода Хэйан. Самураи обменивались подарками, своего рода символами удачи, сложенными из бумажных лент. Сложенные из бумаги бабочки использовались во время празднования свадеб и представляли жениха и невесту.
Однако, независимые традиции складывания из бумаги, хоть и не столь развитые, как в Японии, существовали среди прочего в Китае, Корее, Германии и Испании. Европейские традиции складывания из бумаги менее документированы, чем восточные, однако известно, что технология изготовления бумаги достигла арабов около VIII века н. э., мавры принесли бумагу в Испанию около XI века. С этого времени в Испании и с XV века в Германии начало развиваться складывание бумаги. Как и в Японии, в Европе складывание из бумаги тоже было частью церемоний. Обычай складывать особым образом свидетельства о крещении был популярен в центральной Европе в XVII-XVIII вв. К XVII веку в Европе существовал целый ряд традиционных моделей. В начале XIX века Фридрих Фрёбель сделал огромный вклад в развитие складывания из бумаги, предложив это занятие в качестве обучающего в детских садах для развития детской моторики.
В 1960-х с введением в обиход системы условных обозначений Ёсидзавы-Рандлетта искусство оригами стало распространяться по всему миру. Примерно в те же годы получило распространение модульное оригами. В настоящий момент оригами превратилось по-настоящему в международное искусство.
left1225400Если перегнуть бумажный квадрат пополам, чтобы одна сторона совпадала с противоположною ей. Получится сгиб, проходящий через центр квадрата.
Линия этого сгиба обладает следующими свойствами:
она перпендикулярна двум другим сторонам квадрата,
делит эти стороны пополам,
параллельно двум первым сторонам квадрата,
сама делится в центре квадрата пополам,
делит квадрат на два совпадающих при наложении прямоугольника,
каждый из этих прямоугольников равновелик (т. е. равен по площади) одному из треугольников, на которые квадрат делиться диагональю.

Танграм
right427300Древнейшей китайской головоломкой считают танграм. Танграм (кит. букв. «семь дощечек мастерства») — головоломка, состоящая из семи плоских фигур, которые складывают определённым образом для получения другой, более сложной, фигуры (изображающей человека, животное, предмет домашнего обихода, букву или цифру и т. д.). Фигура, которую необходимо получить, при этом обычно задаётся в виде силуэта или внешнего контура. При решении головоломки требуется соблюдать два условия: первое — необходимо использовать все семь фигур танграма, и второе — фигуры не должны накладываться друг на друга.
right6413500Головоломка представляет собой квадрат разрезанный на 7 частей: 2 больших треугольника, один средний, 2 маленьких треугольника, квадрат и параллелограмм. Суть игры - собирать всевозможные фигурки из данных элементов по принципу мозаики. Всего насчитывают более 7 000 различных комбинаций. Самые распространенные из них - фигуры животных и человека.
Игра способствует развитию образного мышления, воображения, комбинаторных способностей, а также умения визуально делить целое на части.
Танграм, возможно, ведёт своё происхождение от яньцзиту (燕几圖) — вида мебели, появившегося во времена империи Сун. Как мебель яньцзиту претерпела некоторые изменения за время правления династии Мин, а в дальнейшем превратилась в набор деревянных фигурок для игры.
Хотя танграм часто считают изобретением глубокой древности, первое печатное упоминание о нём встречается в китайской книге, изданной в 1813 году и написанной, очевидно, в правление императора Цзяцина.
Появление танграма на западе относят не ранее чем к началу XIX столетия, когда эти головоломки попали в Америку на китайских и американских судах. Старейший такой экземпляр, подаренный сыну американского судовладельца в 1802 году, сделан из слоновой кости и хранится в шёлковом футляре.
Слово «танграм» впервые было использовано в 1848 году Томасом Хиллом, в дальнейшем президентом Гарвардского университета, в его брошюре «Головоломки для обучения геометрии».
Писатель и математик Льюис Кэрролл считается энтузиастом танграма. У него хранилась китайская книга с 323 задачами.
У Наполеона во время его изгнания на остров Святой Елены был набор для танграма и книга, содержащая задачи и решения. Фотографии этого набора содержатся в книге Джерри Слокума The Tangram Book.
Книга Сэма Лойда «Восьмая книга Тан» (англ. The Eighth Book Of Tan), вышедшая в 1903 году, содержит вымышленную историю танграма, согласно которой эта головоломка была изобретена 4 тысячи лет назад божеством по имени Тан. Книга включает 700 задач, некоторые из которых неразрешимы.
Заключение
В результате изучения научной литературы я подробно изучила квадрат и его замечательные свойства. Увидела множество интересных задач, разрешаемых с помощью квадрата.
Поставленная мною цель о подробном исследовании удивительного квадрата достигнута, задачи выполнены.
В процессе работы я узнала много нового, интересного. Основные моменты:
периметр квадрата меньше периметра любого равновеликого ему прямоугольника;
площадь квадрата больше площади любого прямоугольника с тем же периметром;
при помощи разрезаний можно произвести превращения различных многоугольников в квадрат;
при помощи перегибания квадратного листа бумаги можно выполнять различные построения, не имея под рукой никаких инструментов – ни линейки, ни циркуля, ни даже карандаша;
существуют занимательные игры, в которых используется квадрат: оригами, танграм.
Назначение своей работы я вижу в её использовании на уроках математики и внеклассных мероприятиях. Кроме того, полученные результаты довольно интересны и открывают широкие перспективы дальнейшего развития работы и применения полученных результатов.
Используемая литература
Кордемский Б.А., Русалев Н.В. Удивительный квадрат. – М.: Столетие, 2012.
Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 2010, с.38.
Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Весёлые уроки оригами в школе и дома: Учебник. – СПб.: Издательский дом «Литера», 2011. – 208 с.: ил.
Белим С. Н. Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 2010г., 66с.
Мартина Гарднера “Математические головоломки и развлечения” (М.:Мир, 2008).


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Удивительный квадратПодготовила ученица 6 класса МБОУ «Горская ООШ» Ильина Марина Цель работы: узнать, что такое удивительный квадрат и изучить его замечательные свойства Задачи работы:подробнее исследовать свойства квадрата;найти различные варианты построений, которые можно воспроизвести при помощи перегибания квадратного листа бумаги, и выявить преимущества в таком виде построений. Что такое квадрат?
Свойства квадрата Замечательные свойства квадрата Замечательные свойства квадрата Квадрирование Квадрат в квадрате Как Абул Вефа составил квадрат из трех равных квадратов
Оригами Танграм Заключение Спасибо за внимание!

Приложенные файлы

  • docx doc6
    Удивительный квадрат
    Размер файла: 562 kB Загрузок: 7
  • pptx doc6
    Удивительный квадрат
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 8