Исследовательская работа «Лента Мёбиуса»


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Горская основная общеобразовательная школа»
Орехово-Зуевского муниципального района
Московской области
Реферат
по математике
на тему:
«Лента Мёбиуса»
Подготовила : ученица
МБОУ «Горская ООШ» 8 класса
Аникина Ангелина
Руководитель: учитель
математики
Воронина Д.Ю.
2013г.
Содержание
Введение
Лента Мёбиуса
Свойства
Применение
Заключение
Список литературы
Введение
         В наше время актуально изучение различных свойств  нестандартных явлений. В своем проекте я хотела бы исследовать необычные свойства удивительного изобретения, ленты Мёбиуса. Это  так называемый «лист Мёбиуса», или «лента Мёбиуса» – весьма простая и в то же время весьма странная конструкция  была открыта немецким математиком Августом Фердинандом Мебиусом во второй половине 19 века и, естественно, была названа в его честь.
Ходит молва, что Мёбиусу пришла в голову идея об этой необычной геометрической фигуре, когда он увидел горничную, неправильно повязавшую свой шейный платок. Справедливости ради, надо заметить, что сама фигура, называемая всеми лентой Мёбиуса, одновременно и независимо в том же 1858 году была построена и другим немецкими математиком Иоганном Бенедиктом Листингом (1808-1882), который, кстати, пустил в математический обиход и термин «топология».
Лента Мебиуса - один из объектов области математики под названием «топология». Топология (по другому – « геометрия положения») является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях.
Проблема:  Какими же удивительными свойствами обладает лента Мебиуса?
Цель работы: Исследование поверхности ленты Мебиуса и её свойств.
Задачи работы:
Познакомиться с историей появления ленты Мебиуса.
Выявить и исследовать свойства ленты Мебиуса.
Установить области применения ленты Мебиуса.
Объект исследования: лента Мебиуса.
Предмет исследования:  свойства ленты Мёбиуса.
Лента Мёбиуса
Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса) – один из объектов области математики под названием «топология» (по-другому – «геометрия положений»). Топология - наука, изучающая непрерывные среды и пространство. Проявление законов топологии  легко обнаружить на простой бумажной полоске.  Удивительные свойства листа Мёбиуса – он имеет один край, одну сторону, – не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла  и тем не менее имеют вполне геометрический характер. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые. Легко убедиться, что у этой фигуры всего одна поверхность!
Представьте себе что, например, по ленте Мёбиуса бежит муравей. Впрочем, поступим проще: посмотрим на ленту Мёбиуса, изображенную на хорошо известном рисунке Мориса Эшера. 
 

М. Эшер: «Муравьи»
 
Сделав круг, муравей прибегает к тому же месту, откуда он начал движение, но при этом оказывается с противоположной стороны плоской ленты! Естественно, пробежав еще один круг, он вернется в точку старта. (Конечно же, предполагается, что муравей не может перебраться через край ленты.)
  Таинственный  и  знаменитый  лист  Мёбиуса придумал  в 1858г. немецкий геометр  Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик «короля  математики» Гаусса.   В  возрасте  68 лет  ему удалось  сделать открытие  поразительной  красоты.  Это  открытие  односторонних  поверхностей.
  Согласно легенде  открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.
Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, т.к. находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.
Свойства
Основными свойствами ленты Мебиуса являются:
односторонность,
непрерывность,
связность,
ориентированность,
“хроматический номер”.
Односторонность. 
Лента Мебиуса имеет одностороннюю поверхность.  Чтобы проверить это свойство, я запаслась несколькими листами обычной бумаги, клеем, ножницами и красками.  Самое  удивительное то, что изготовить лист Мёбиуса своими руками совсем несложно: надо лишь взять полоску бумаги и склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180° . И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса. Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине (10:1).  
  Я задалась вопросом: « Сколько сторон у этого листа бумаги? Две, как у любого другого?»  Попробовала закрасить  это кольцо с одной стороны.
 Моя попытка закрасить только одну сторону листа Мёбиуса была обречена на неудачу, так как у листа Мёбиуса всего одна сторона.
Непрерывность.
С топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край.
Данное свойство я проверила с помощью фломастера. Поставив точку на ленте Мёбиуса, я начала проводить линию вдоль ленты до тех пор, пока фломастер не вернулся в исходное положение. Получившаяся линия оказалась непрерывной.
Связность.
Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки и подобные сложные фигуры – многосвязны. А лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.
Я разрезала ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв. Вместо двух лент Мебиуса получилась одна длинная двусторонняя лента с двумя полными оборотами, которую называют «афганская лента».
Я поставила перед собой вопрос: «Что будет, если разрезать лист Мёбиуса  вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю?» У меня получилось две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента).                             
- А если разрезать на три части? Я получила  два  сцепленных  кольца.  Одно  из  них  вдвое   длиннее  исходного  и  перекручено  два  раза. Второе -  лист  Мёбиуса,  ширина  которого  втрое  меньше,  чем  у  исходного. 
Я продолжила перекручивание полоски бумаги перед склеиванием, каждый раз увеличивая число полуоборотов на один.
Ориентированность.
Ориентированность – свойство, отсутствующее у ленты Мёбиуса. Так, если бы человек смог путешествовать по всем изгибам ленты Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился бы в своё зеркальное отражение.
Хроматический номер.
“Хроматический номер” равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе бумаги, даже если его склеить в кольцо, ещё никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырёх. Это и значит что хроматический номер этих поверхностей – четыре. А на бублике число соответствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер ленты Мёбиуса? Он, как ни поразительно, равен шести.
Результаты разрезания ленты Мёбиуса
№ опыта Число полуоборотов Результат разрезания Свойства
1 1 1 кольцо Кольцо перекручено на 2 полуоборота, длина его окружности в 2 раза больше, и кольцо уже исходного.
2 2 Сцепленных 2 кольца Кольца перекручены на 2 полуоборота, окружности колец в 2 раза меньше исходного, кольца в 2 раза уже.
3 3 Сцепленных 2 кольца Кольца перекручены на 3 полуоборота и завиты в угол трилистника, окружности колец в 2 раза меньше исходного, кольца в 2 раза уже.  
Разрез ленты с дополнительными оборотами дал мне неожиданные фигуры.
Я  узнала, что они  называются  парадромными кольцами.
Применение
Близким «странным» геометрическим объектом является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путем склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Мауриц Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих работ этому математическому объекту. Одна из известных —«лист Мёбиуса», показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса. В  МОСКВЕ на станции метро «Фрунзенская», напротив кинотеатра «Горизонт», есть памятник «Ленте Мёбиуса».
В качестве примера использования ленты Мебиуса российскими художниками можно привести скульптуру «Лента Мебиуса и шар», созданную Александром Эткало.
Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы предполагают, что наша вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.
Существовали технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах  красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса. Были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты “с двух сторон”, не меняя их местами.
Устройство под названием резистор Мёбуиса— это недавно изобретенный электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности. Никола Тесла запатентовал подобное устройство в начале ХХ века. Катушка для Электро-Магнитов предназначалась для использования с его системе глобальной передачи электричества без проводов.
Лист Мёбиуса применяют  в детских заводных игрушках,  в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, в щелевом затворе фото- или кинокамеры.
О ленте Мебиуса ходит очень много легенд, одна из которых заключается в том, что если посмотреть сквозь эту ленту на мир под каким-то особенным углом, можно увидеть его совсем в другом свете. Интересен в этом смысле проект «Дом Мёбиус», построенный по принципу ленты Мёбиуса. Дом возведен в 1992-1998гг. в Голландии. Он представляет собой сосуществование двух параллельных миров (в каждом – офис и спальня), соединяющихся в некоторых общих точках и вновь расходящихся.
Архитектурная компания DWP Architects, специально для вьетнамского города Хошимин, разработала проект многофункционального жилого комплекса. Вдохновителем этого проекта стала лента Мебиуса.
Имеются и материальные воплощения простого листа Мёбиуса. Построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.
В метро ручка эскалатора, не что иное как лента Мёбиуса. Это  позволяет ей равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины.
Лента Мёбиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам.
Более 100 лет она используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).
Лента Мебиуса  вдохновляет создателей ювелирных украшений. Среди их работ можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мёбиуса.
Не остались равнодушными к ней и мебельщики. Одним из примеров их работы в этом направлении является шезлонг, который представляет собой ленту Мёбиуса, склеенную из гнутого Британского дуба.
Поклонниками ленты Мебиуса стали даже обувщики. Так голландец Рэм Колхаас придумал остроумный силуэт туфель Мёбиус, словно состоящих из одной хитро свернутой ленты.
Не захотели остаться в стороне и дизайнеры. Художник и архитектор Рон Арад является создателем дизайна флакона для духов в виде ленты Мёбиуса.
Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста, также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).
Листу Мёбиуса посвящены стихи. Одно из стихотворений «Лист Мёбиуса» написано Н. Ю. Ивановой.
Лист Мебиуса – символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.
В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.              
Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность – Мёбиуса лист.
Заключение
Лента Мебиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыли ученые. Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая положила  начало целому направлению в геометрии «топологии». Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие давно, оно очень популярно и в наши дни.
В ходе данного проекта-исследования мною была прочитана и переработана большая разнообразная информация, посвященная объекту моего исследования, различные источники сети Интернет, мне встречались также и работы учащихся, я проводила сравнение различных источников и анализировала прочитанное.
 Я познакомилась с историей создания ленты Мёбиуса.  В своей работе я пыталась описать свойства этой прекрасной поверхности – листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лента Мебиуса – топологическая фигура.  Мне удалось показать, что:
Вывод 1. Лента Мебиуса топологический объект.
Вывод 2. Лента Мебиуса имеет один край и одну сторону.
Вывод 3. Один край и одна сторона ленты Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.
Вывод 4. Лента Мебиуса представляет собой неориентированную поверхность.
Я сумела получить интересный математический материал. Своими результатами исследования о ленте Мебиуса я поделилась со своими одноклассниками. Думаю, что это их заинтересовало. Вообще я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе. Мною не исчерпаны опыты с лентой Мебиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения.
Список используемой литературы
Гарднер М.Математические досуги. М. Мир,1972.
Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Наука, 1978.
Барр С. Россыпи головоломок. Москва, Мир, 1987.
Левитин К. Геометрическая рапсодия. Издательство «Знание», Москва,1984
Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г., стр. 111-112.
http://ru.wikipedia.org/wiki/
В.А.Гусев, А.И.Орлов, А.Л.Розенталь «Внеклассная работа по математике», М., Просвещение, 2006г.
Ю.А.Данилова «Математический  цветник» М., Просвещение, 2009г.
Д. Я. Стройк  «Краткий очерк истории математики», М., Просвещение, 2001г.
И. Н. Шарыгин  «Наглядная геометрия», М., Дрофа, 2011г.
Рецензия
на реферат по математике
Аникиной Ангелины
на тему «Лента Мёбиуса»
Выбранная тема реферата актуальна на сегодняшний день. Главная ценность ленты Мёбиуса состоит в том, что она дала толчок новым обширным математическим исследованиям. Этот объект топологии находит огромное применение в реальной жизни.
В данной работе Ангелина рассмотрела один из объектов области математика (топологии) ленту Мёбиуса. Ученица 8класса в реферате раскрыла свойства ленты: односторонность, непрерывность, связность, ориентированность, хроматический номер. также она проделала практическую составляющую доказательства свойств ленты Мёбиуса и сделала выводы по проделанной работе.
На мой взгляд, исследовательская работа отвечает поставленным целям и задачам.
Оформление реферата выполнено в соответствии с требованиями.
Дата:
Подпись руководителя:


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Лента МёбиусаПодготовила ученица 8класса МБОУ «Горская ООШ» Аникина Ангелина Морис Эшер «Муравьи» Август Фердинанд Мёбиус(1790-1868) {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}№ опытаЧисло полуоборотовРезультат разрезания Свойства 111 кольцоКольцо перекручено на 2 полуоборота, длина его окружности в 2 раза больше, и кольцо уже исходного.22Сцепленных 2 кольцаКольца перекручены на 2 полуоборота, окружности колец в 2 раза меньше исходного, кольца в 2 раза уже.33Сцепленных 2 кольцаКольца перекручены на 3 полуоборота и завиты в угол трилистника, окружности колец в 2 раза меньше исходного, кольца в 2 раза уже.  Результаты разрезания ленты Мёбиуса Бутылка Клейна Спасибо за внимание!

Приложенные файлы

  • docx doc7
    Лента Мёбиуса
    Размер файла: 123 kB Загрузок: 9
  • pptx doc7
    Лента Мёбиуса
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 5