Исследовательская работа «Паркеты из многоугольников»


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Горская основная общеобразовательная школа»
Орехово-Зуевского муниципального района
Московской области
Реферат
по математике
на тему:
«Паркеты из многоугольников»
Подготовила: ученица
МБОУ «Горская ООШ» 8 класса
Головченко Анна
Руководитель: учитель
математики
Воронина Д.Ю.
2015г.
Содержание
Введение
История паркета
Определение паркета
Виды паркетов
Японский орнамент
Византийский орнамент
Готический орнамент
Орнамент ислама
Многогранники ЭшераМозаики Пенруоза
Заключение
Используемая литература
Введение
Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание людей. Паркеты являются своеобразными орнаментами. Над созданием паркетов – орнаментов трудились многие поколения мастеров, подчас создавая истинные шедевры красоты.
Тема «Паркеты» актуальна и в наши дни. Паркетами покрывают полы в домах, украшают стены комнат и зданий Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но оригинально и красиво, поэтому без многоугольников ни один дизайнер не обойдется, ни один человек, который собирается сделать ремонт.
С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.
Цель работы: выяснить, какими фигурами можно замостить плоскость.
Задачи работы:
Рассмотреть все виды правильных паркетов и ответить на вопрос об их количестве.
Рассмотреть примеры применения правильных многоугольников в природе.
Объект исследования: паркеты.
Гипотеза: количество правильных паркетов бесчисленное множество.
История паркета
История паркета очень длинная. Она берет начало с древних времен, когда люди стали выкладывать пол простыми деревянными бревнами. Древесина легко поддавалась обработке. Конечно, среди пород древесины были редкие по своим качествам, следовательно, дорогостоящие и элитарные сорта. Если сосна или дуб годились для простого настила из бревен или "кирпичей", то породы типа клена, ясеня, яблони, ольхи (не говоря уже о ценных сортах красного, черного дерева) требовали более изысканной обработки. Из редких сортов дерева стали изготовлять изящные паркетные плитки.
Само слово "паркет" имеет благородное французское происхождение. Однако в средние века во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя - предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром. Ковры постепенно исчезли, а название закрепилось за настилами из деревянных планок и распространилось за пределами Франции. В европейских барочных замках, выполненных в стиле рококо, паркетные полы стали частью интерьера, так же искусно выполненной, как настенные гобелены, лепные потолки, изящная резная мебель. Начиная с XVI в. полы в России стали настилать из дубовых клепок, укладываемых рисунком, который носил название "в елочку", а сам пол назывался "косящатым". Клепки, как правило, укладывали на грубораспиленное основание из мягкой древесины, большей частью сосны. Исконное и широко распространенное народное искусство резьбы по дереву, а также навыки в художественной обработке и укладке пола в древнерусском зодчестве создали все предпосылки для быстрого развития художественного паркета в России.
Европейский паркет XVII века можно сравнить с искусством ковра или мозаики: прихотливый орнамент вручную выкладывался из деревянных плиток различных оттенков либо инкрустировался в цельную деревянную основу. Такой паркет получил название "художественный". В России паркетные полы были нововведением Петра I, который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. До того времени пол в русских соборах, богатых домах и общественных зданиях выстилали деревянными досками или укладывали дубовыми кирпичами. Их клали на известковую основу, а между деталями кладки заливали известь, смешанную со смолой. В Храме Василия Блаженного на Красной площади в Москве времен Ивана Грозного был именно такой дубовый пол. Вскоре исконно русское искусство резьбы по дереву нашло применение в изготовлении модных на Западе паркетных плиток, и полы в русских постройках, начиная со времен Петра, приобрели иной, художественный, вид. Лучшие русские резчики по дереву и металлу в ту пору работали в Оружейной палате московского Кремля. В 1711 г. Петр I издал указ о закрытии мастерских Оружейной палаты, а резчиков направил на строительные работы по возведению северной столицы. Новшество, примененное в укладке полов петербургских зданий, вскоре было подхвачено московскими градостроителями. Во дворце московской усадьбы Останкино, Китайском дворце г. Ломоносова сохранились памятники паркетного искусства XVIII века.
Архивные документы свидетельствуют, что из "столярных подмастерьев адмиралтейства Гаврила Семенов, Владимир Беклемишев и десять столяров из корабельных и галерных плотников, знающих столярные работы, да их охтинских столяров всего в количестве 38 человек были взяты в команду архитектора Чевакинского для устройства штучных полов для Зимнего дворца" (ЦГИА С. Петербурга, фонд 470, опись 209/643, дело № 38. 1761г.)
Для дворцовых паркетных в 1749г. было прислано из Астраханской губернии 26 косяков и 64 креста дубового леса, которые хранили в запасном Смольном дворе вместе с косяками грушевого дерева, кизилового карагача, чинары, самшита, ясеня и буковых кряжей - об этом мы узнаем из истории Царского села, выпущенной в свет в 1827г. Весь перечисленный запас древесины в 1750 г. был отправлен в Царское село и послужил материалом для первых наборных паркетов. В дальнейшем ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, увеличился, и наряду с местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем — стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев, причем среди них были также и бразильские породы: якаранда (вид палисандра), жикитиба (шелковица), цебра, чефраз и другие. Из дорогих пород следует указать на черное эбеновое дерево (называемое заморской черной березой), фиолетовое — палисандр, розовое — амарант, желтое и красное сандаловое дерево, табачное дерево, лимонное — цитронное, или померанцевое, карагач, атласное, или сатиновое дерево, пальмгоут, оливковое, железное, фернебуковое, тисс, чинару, белый и красный кипарис, тую, литьтерн, красный магон, самшит, пальму и разные сорта бразильского сахардана. Эти разнообразные сорта деревьев по расцветке древесины и по рисунку наслоений давали возможность набирать самые прихотливые и нарядные узоры паркетов. В зависимости от употребляемых материалов и паркеты носили различные названия: цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полуцветные, штучные (набранные из местных пород) и дубовые. Все они изготовлялись отдельными щитами, поэтому и самый паркет получил название щитового паркета.
Замечательный сосновый щитовой паркет имеется в усадьбе Мураново (ныне музей Тютчева), в проходных галереях Останкинского дворца-музея и в Кусковском музее. Он набран исключительно из сосны, обложенной узкими дубовыми рейками и только изредка и весьма скупо интарсирован на обкладках черным мореным дубом. Когда смотришь на эту игру света и тени сосновых паркетов, выложенных слоями перпендикулярно друг к другу, тогда начинаешь чувствовать всю удивительную прелесть этих пород, часто превосходящих качества ранее импортировавшихся деревьев.
Массовое производство паркетных щитов стало применяться только со времени изобретения в 70-х годах XIX века специальной машины. Русский паркет, насчитывающий несколько сот лет своего существования и имевший самые разнообразные формы, прошел длительный путь своего развития. В истории русского декоративного искусства он занимает значительное место. Особенно необходимо знакомство с паркетом при изучении интерьера, ибо понять и оценить его без учета той роли, которую играет рисунок паркета, невозможно.
В XVIII веке композиционное построение паркета имело неразрывную связь с композиционным решением плафона, а иногда и с основными орнаментальными мотивами стены. Рисунок паркета нередко должен был подчеркнуть общий композиционный замысел всего интерьера, что особенно наглядно можно видеть в Китайском дворце гор. Ломоносова.
В наше время, когда создаются большие общественные здания, выполняемые на высоком художественном уровне, необходимо использовать и это богатое национальное наследие декоративного искусства.
Нам близка и понятна простота, ясность и величие русской классики конца XVIII — начала XIX веков. Естественно, что паркетам русской классики мы должны уделить большее внимание. Но было бы совершенно неправильно, если бы мы отбросили весь предшествующий ход развития художественной обработки пола.
Установлено, что ещё в древнерусской архитектуре — с XII по XVII век включительно — для полов употреблялись поливные керамические обожженные плиты. Так, в Черниговском соборе XII века была не только мозаика, но и поливные плиты размером 12×11 сантиметров желтого, зеленого, вишневого и других цветов.
В XVII веке во многих церквах можно было встретить и неполивные плиты. При исследовании церкви XVII века в Останкине под современным дощатым полом был обнаружен пол из квадратных неполивных плит белой обожженной глины.
В кремлевских теремных палатах встречались полы, набранные из цветных изразцов. В патриарших покоях Никона в Московском Кремле полы были также выложены разноцветными изразцами художественной работы.
Полы в Черниговском соборе XII века, по исследованию проф. Б. А. Рыбакова, были сделаны из указанных выше поливных плит и мозаики 4 Богатые мозаичные наборы подов были в Новгородской Софии (1045 — 1050 гг.), а также в Софийском соборе Киева; последнюю мозаику исследователи датируют XI — XII веками.
Во Владимирском краеведческом музее сохранились от XII века из собора Рождества богородицы в Боголюбове фрагменты поливных (майоликовых) плиток пола лимонно-желтого, ярко-зеленого, розовато-красного и других цветов с изображениями петуха, гуся и пр. 
Особенно интересным явлением в первой половине XVIII века была организация нашим великим русским ученым М. В. Ломоносовым мозаичного производства, где изготовлялись смальты из особого состава, изобретенного самим Ломоносовым, который в своих мозаичных работах достиг большого технического и художественного мастерства. Из Ломоносовской смальты был выложен мозаичный пол в стеклярусном кабинете Ораниенбаумского дворца (1762 — 1768 гг.). «Орнаментация этих полов выполнялась приемом флорентийской мозаики, то есть крупными пластинами. Искусные мастера Петергофской гранильной фабрики придавали этим пластинам любые очертания обточкой. На убранство Ораниенбаумского дворца пошло несколько сот пудов Ломоносовской смальты».
К сожалению, смальтовые полы в Ораниенбаумском дворце не сохранились, но об их технике и художественном достоинстве свидетельствует прекрасно сохранившийся такой же работы стол, над созданием которого работали 4 года наши русские мастера.
В первые годы существования Ораниенбаумского дворца в его интерьерах были не только полы, но и панели стен и несколько столов тонкой художественной русской мозаичной работы. Эти полы, композиционно соответствующие изысканным орнаментам плафонов, вместе со стенами и всем убранством создавали высокохудожественные ансамбли.
До наших дней дошли замечательные мозаичные полы Катальной горки Ораниенбаума. В центре главного круглого зала мозаичный пол имеет изображение фазана, держащего в клюве ветку с плодами. От этого центрального пятна концентрическими кругами располагаются полосы с растительным орнаментом.
В 30 — 50-х годах XIX века снова появляется большой интерес к мозаичным полам, которые иногда перевозились, из Рима в Петербург то в виде подлинных античных, то сделанных в Риме в XIX веке русскими мастерами. В связи с дороговизной этой мозаики и учитывая, что наши мастера могут справиться с такой работой, архитекторы Брюллов и Штакеншнейдер сделали распоряжение выполнять такие работы исключительно в мозаичном отделении Академии Художеств. В русских храмах XVII — XVIII и XIX веков встречались также полы, составленные из железных и чугунных плит самых разнообразных рисунков. Такие полы простой орнаментации можно видеть и поныне в Угличе (церковь «На крови»), в Александрове, во Владимире и во многих других городах России.
Более сложные по рисунку чугунные плиты для полов делались в XVIII — XIX веках. Для примера можно привести чугунный иол первой половины XIX века церкви. Всех скорбящих радости на Большой Ордынке, построенной в 1830 году арх. Бове. Этот чугунный пол с центральным кругом, имеющим в середине розетку, с характерной для русской классики XIX века орнаментикой и обрамленный меандром, свидетельствует о том, что чугунные полы переживали те же стилистические этапы, что и деревянный паркет.
В XIX веке знаменитые образцы художественного паркета выкладываются в Государственном Русском музее и Зимнем дворце. И в этом же столетии искусство художественного паркета переживает свой закат. К последней четверти века существует изрядное количество фабрик, специализирующихся на массовом производстве паркета. Так, в Петербурге было целых три фабрики, изготовлявшие паркет. В Москве - восемь. Постепенно количество фабрик увеличивалось, и расширялась их география. В 1914 году паркет в России изготавливали уже на 85 предприятиях. Именно это время и следует считать началом применения паркета в жилищном строительстве.
В XX веке фабричный паркет находит широкое применение в строительстве жилых домов, художественный же практически полностью исчезает примерно до середины столетия. Мастера художественного паркета работают над реставрацией памятников искусства, а работы по созданию нового паркета возрождаются только в связи со строительством московских "сталинских" высоток.
Сейчас, в самом начале ХХI века, несмотря на развитие науки и техники, можно сомневаться - все ли технологические тайны старых мастеров-паркетчиков удалось восстановить. Можно сказать, что благодаря буквально нескольким мастерам-рестовраторам искусство художественного паркета в нашей стране сохранилось до наших дней. Правда технология со временем изменяется, детали орнамента и рисунка сегодня вырезаются уже не вручную, а на станках и даже с применением лазера и компьютера, появилось много машин, облегчающих труд. Ее использование способствует увеличению точности вырезания деталей, но есть и контраргументы: многие считают, что лазер повреждает древесину. Фабричный паркет изготовляется из недорогостоящих пород древесины, таких как ель, сосна, дуб, и укладывается "в елочку", "палубным" настилом или "вьетнамкой" ("плетенкой"). По краю, чтобы сгладить неровности, обычно делается бордюр, а сверху паркет покрывается лаком или натирается мастикой.
Определение паркета
Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.
Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.
Изучив литературу, я узнала, что паркетов, необязательно правильных существует бесчисленное множество. Однако, подобно тому как при бесчисленном множестве многогранников вообще существует лишь конечное число правильных многогранников, так и при бесчисленном множестве паркетов, существует лишь конечное число правильных паркетов.
Итак, чтобы определить количество правильных паркетов, необходимо знать определение правильного многоугольника.
«Правильным многоугольником называется выпуклый многогранник, у которого все углы и все стороны равны».
Виды паркетов
Паркеты из одинаковых правильных многоугольников
Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2), n-количество сторон многоугольника. Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/n. Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников. Общие углы в сумме должны давать 360°.

Паркеты из разных правильных многоугольников (полуправильные)Сначала выясним, какое количество различных правильных многоугольников (с одинаковыми длинами сторон) может находиться вокруг каждой точки. Величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая); следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, должно быть больше 2 (360°/180°) и не может превышать 6 (360°/60°).
Можно показать, что существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (4,8,8); (3,3,6,6); (3,4,4,6); (3,3,3,4,4); (3,3,3,3,6); (3,3,4,3,4); (цифры в скобках - обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 - правильный треугольник, 4 - квадрат, 6 - правильный шестиугольник, 12 - правильный двенадцатиугольник).  Количество паркетов, состоящих из правильных многоугольников конечно, их 11. Следовательно, моя гипотеза была неверна.

Замощение плоскости может быть произведено не только многоугольниками, но и фигурами более сложного вида

Все выше перечисленные паркеты периодичны, в каждом можно выделить область из нескольких фигур, из которой параллельными сдвигами получается весь паркет. Существуют и непериодические замощения: спиральное замощение девятиугольниками, придуманное немецким математиком Х. Фодербергом (1936), паркет английского математика Роджера Пенроуза.

Японский орнамент 
Надо отметить, что в древности и в Средневековье Япония практически не знала иностранных нашествий. Это позволило ей создать определенные традиции, прежде всего связанные с поэтическим отношением к окружающему пейзажу. Декоративные японские росписи тесно связаны с отношением японцев к природе, которую они рассматривали как часть единой космологической картины мира, где все взаимосвязано и иерархически упорядоченно. «Японский живописец, выбирая тот или иной мотив, стремился не просто воспроизвести его визуальную достоверность (сосна, кипарис, пион, ирис), но найти способ передать связь его с чем-то более общим и значительным, как бы подсоединить к восприятию многовековые слои культурной памяти».
Огромное количество узоров на тканях всегда являлись традиционными орнаментами японской культуры. Например, изображение шестигранного узора, который напоминает маленькие пчелиные соты, называющиеся «черепашьим панцирем» или «кикко», который является символом благосклонности судьбы. Для японского стиля типичны умышленная асимметрия в декоре, чувство красоты, материала, дар художественного синтеза, повторение мотивов и отсутствие перспективы в изображении, имеющие целью подчеркнуть роль поверхности. Все это ошеломило запад, когда в XIX в. он познакомился с японским искусством, и произвело переворот в представлениях художников, способствовав возникновению “ар нуво”, или, иными словами, “стиля модерн”.


Византийский орнамент
В византийском орнаменте осуществилось слияние эллинистических и восточных традиций. Орнамент состоял из сложных сплетений анималистичных мотивов, стилизованных растительных побегов, в частности виноградных лоз, трехлепестковых цветов и различных геометрических фигур.  Характерным для орнаментального творчества Византии остается причудливая роскошная узорчатость, заимствованная у персов. Изображения животных на византийских тканях заключены в геометрические фигуры — круги или многоугольники; иногда они обрамлены длинным изогнутым акантовым листом. Для византийских тканей более характерен геометрический и зооморфный орнамент в сочетании с человеческими фигурами, чем растительный. Растительные же формы сильно стилизованы. Растительные мотивы в византийской орнаментике несложны и разделяются на простейшие элементы — пальметку, полупальметку и стебель, образующие немногие комбинации. Они широко распространены в искусстве средневековья, в том числе и в византийской орнаментальной флоре.  Наиболее употребляемые цвета в византийском орнаменте: ярко-зеленый, ярко-красный, фиолетовый, пурпурный. В свою очередь заимствованные и по-своему переработанные орнаментальные формы других народов, сложившись в своеобразный византийский стиль, оказали влияние на искусство стран Западной Европы и Востока, и в особенности на русское искусство.


Готический орнамент
В готической архитектуре все существенные, основные формы легки, тонки, удлинены в вертикальном направлении. Все это проявляется не только в главных частях сооружения, но и в мельчайших деталях: башенках, шпилях, арках и прочем. Все здание кажется каким-то узорчато-резным или кружевным изделием.
Готический стиль в живописи связывают с появлением расписных витражей вместо традиционных фресок. Готическая скульптура была неотъемлемой частью архитектурного ансамбля. Тысячи крупных и миниатюрным скульптур, изображавший богов, людей, царей и простолюдинов, мифических существ, животных «населяли» внешние фасады и внутренние интерьеры зданий.

Орнамент ислама
Арабеска (от франц. arabesque — «арабский») — так назвали европейцы характерный для арабского и иранского искусства сложный узор, созданный на основе точного математического расчёта. Арабеска построена на повторении и умножении одного или нескольких элементов узора — геометрических фигур, растительных мотивов. В рисунок арабески могут вплетаться надписи, изображения животных, птиц, людей и фантастических существ. Такой орнамент фактически исключает фон: один узор вписан в другой, плотно заполняя поверхность. Этот принцип европейцы назвали «боязнью пустоты». Рисунок арабески по ритму созвучен арабской классической поэзии и музыке и согласуется с представлениями мусульманских богословов о «неопределённо продолжающейся ткани Вселенной». Бесконечное, протекающее в заданном ритме «движение» арабески может быть остановлено или продолжено в любой её точке без нарушения целостности узора. Арабеску можно размещать на поверхности любой конфигурации и размера: не существует никакой принципиальной разницы между орнаментальными композициями на стене здания или ковре, на переплёте рукописи и керамическом или ювелирном изделии.

Многогранники ЭшераМауриц Корнелис Эшер (1898-1972) — нидерландский художник-график. Известен, прежде всего, своими концептуальными литографиями, гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов.
Математически доказано, что регулярное замощение плоскости возможно только тремя правильными многоугольниками: треугольником, квадратом и шестиугольником. Эшер интересовался как регулярными мозаиками, так и нерегулярными. Кроме того, что художник использовал нерегулярные мозаики (образующие неповторяющиеся узоры), он много работал с метаморфозами, изменяя многоугольники под зооморфные формы, заполняющие поверхность.  Художник не только интересовался нерегулярным заполнением плоскости, называя это игрой, он совмещал эксперименты с заполнением плоскости с экспериментами с переходами плоскости в объём и наоборот.
Не случайно первыми поклонниками искусства Эшера стали математики.   Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал: «В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически… Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь, ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней». Мариус Корнелис Эшер умер в 1972 году. Он оставил потомкам 448 литографий и гравюр более 2000 картин и набросков. В честь Эшера назван астероид, открытый в 1940 году.

Мозаики ПенроузаМозаика Пенроуза, плитки Пенроуза — непериодическое разбиение плоскости, апериодические регулярные структуры, замощение плоскости ромбами двух типов — с углами 72° и 108° («толстые ромбы») и 36° и 144° («тонкие ромбы»), такими (подчиняются пропорции «золотого сечения»), что любые два соседних (то есть имеющих общую сторону) ромба не образуют вместе параллелограмм. Названа в честь Роджера Пенроуза, интересовавшегося проблемой «замощения», то есть заполнения плоскости фигурами одной формы без зазоров и перекрываний. Пенроуз хотел отыскать именно такую фигуру, которая при замощении плоскости не создавала бы повторяющихся узоров. Считалось, что нет таких плиток, из которых строились бы только непериодические мозаики. Пенроуз подбирал множество плиток различной формы, в итоге их оказалось только 2, имеющих «золотое сечение», которое лежит в основе всех гармоничных соотношений. Это фигуры ромбовидной формы с углами 108° и 72°. Позже фигуры упростились до формы просто ромба (36° и 144°).

Заключение
В результате изучения научной литературы я подробно изучила паркеты, историю их возникновения, различные виды. Увидела их широкое применение в жизни людей. Обнаружила связь геометрии, черчения, информатики, изобразительного искусства, истории, и даже музыки.
Выдвинутая мною гипотеза о бесконечном множестве правильных паркетов оказалась неверна: в ходе работы я выяснила, что правильных паркетов только одиннадцать.
Назначение своей работы я вижу в её использовании на занятиях элективных курсах, уроках и внеклассных мероприятиях.
  В процессе работы я узнала много нового, интересного. Данная тема дала мне возможность математического, информационно-технологического творчества.
Кроме того, полученные результаты довольно интересны и открывают широкие перспективы дальнейшего развития работы и применения полученных результатов.
Используемая литература и электронные ресурсы
А. Н. Колмогоров Паркеты из правильных многоугольников // Квант. — 1970. — № 3.
Ю. А. Шашкин Паркеты // МИФ. — 1998—99. — № 3.
О. Михайлов Одиннадцать правильных паркетов // Квант. — 1979. — № 2. Архивировано из первоисточника 22 мая 2013.
Дэвид А. Кларнер Математический цветник. Сборник статей и задач = The Mathematical Gardner / Пер. с англ. Ю. А. Данилова; под ред., с предисл. и прилож. И. М. Яглома. — М: Мир, 1983. — С. 153—328. — 494 с.
Г. С. М. Кокстер Введение в геометрию = Introduction to geometry / Пер. с англ. А. Б. Катка и С. Б. Каток; под ред. Б. А. Розенфельда и И. М. Яглома. — М: Наука, 1966. — 648 с.
Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. Tilings and Patterns. — W. H. Freeman and Company, 1987. — ISBN 0-7167-1193-1.
Хайдар Нурлигареев. Замощения. Элементы. Архивировано из первоисточника 16 августа 2013.
Геометрические паркеты. Растрёпанный Блокнот. Архивировано из первоисточника 4 ноября 2011.
Влад Алексеев. Математическое искусство М.К. Эшера. Невозможный мир. Архивировано из первоисточника 8 августа 2013.
Wolfram Alpha учащимся ЗамощенияJaap Scherphuis.  HYPERLINK "http://www.jaapsch.net/tilings/" Tilings. Jaap's Puzzle Page. Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013.
Don Hatch.  HYPERLINK "http://www.plunk.org/~hatch/HyperbolicTesselations/" Hyperbolic Planar Tessellations. — Изображения усечённых гиперболических паркетов. Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013.
David E. Joyce.  HYPERLINK "http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/poincare/" Hyperbolic Tessellations. — Java-апплет для отрисовки правильных и квазиправильных паркетов на гиперболической плоскости. Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013.
Vladimir Bulatov.  HYPERLINK "http://bulatov.org/math/1101/abstract.html" Tilings of the hyperbolic space and their visualization. Joint MAA/AMS meeting, New Orleans (7 января 2011). Архивировано из первоисточника 2 сентября 2013.


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Паркеты из многоугольниковПодготовила ученица 8 класса МБОУ «Горская ООШ» Головченко Анна Цель работы: выяснить, какими фигурами можно замостить плоскость. Задачи работы:Рассмотреть все виды правильных паркетов;Ответить на вопрос о количестве всевозможных правильных паркетов. Объект исследования: паркеты. Гипотеза: количество правильных паркетов бесчисленное множество. Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек. Правильные паркеты Полуправильные паркеты Можно показать, что существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (4,8,8); (3,3,6,6); (3,4,4,6); (3,3,3,4,4); (3,3,3,3,6); (3,3,4,3,4)Количество паркетов, состоящих из правильных многоугольников конечно, их 11. Замощение плоскости может быть произведено не только многоугольниками, но и фигурами более сложного вида Непериодические замощения Мауриц Корнелис Эшер (1898-1972) — нидерландский художник-график. Многогранники Эшера Ро́джер Пенро́уз Мозаики Пенроуза Спасибо за внимание!

Приложенные файлы

  • docx doc8
    паркеты из многоугольников
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 26
  • pptx doc8
    паркеты из многоугольников
    Размер файла: 4 MB Загрузок: 25