Методические указания по организации и проведению практических занятий по дисциплине «Математика» (Раздел 10. Начала математического анализа)


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ КОЛЛЕДЖ ГАЗА И НЕФТИ» ОАО «ГАЗПРОМ» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИ Я ПО ОРГАНИЗАЦИИ И ПРО ВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ по дисциплине «Математика» Раздел 10. Начала математического анализа для специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет по отраслям 2015 2 Составлено в соответствии УТВЕРЖДАЮ с требованиями федерального Зам. директора по учебной работе государственного образовательного _________________В.В. Новиков стандарта по специальности 3 8 . 0 2.01 _____________________201 5 г. Экономика и бухгалтерский учет по отраслям Одобрено цикловой комиссией Математики и информатики Протокол №______ от ______________201 5 г. Председатель____________ Н.В.Клочкова Разработчики: Клочкова Н.В., преподаватель НОУ СПО «Волгоградский колледж газа и нефти ОАО «Газпром» Зайцева Н.Н., преподаватель НОУ СПО «Волгоградский колледж газа и нефти ОАО «Газпром» Рецензенты: Вахнина Ольга Владимировна, к.т.н., доцент кафедры «Высшая математика» ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный аграрный университет» Карасева Ирина Викторовна , к.п.н., начальник отдела планово - экономической и финансовой деятельности НОУ СПО «В олгоградский колледж газа и нефти» ОАО «Газпром» 3 Аннотация Методические указания по организации и проведению практических занятий по дисциплине « Математика Раздел 10. Начала математического анализа для специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет по отраслям составлены в соответствии с требованиями федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего общего образования на базовом и углубленном уровнях в пределах освоения обучающимися професс иональной образовательной программы с учетом профиля получаемого профессионального образования по специальности СПО 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет по отраслям. Позволят преподавателям организовать, а обучающимся выполнить практические занятия по дисциплине « Математика Раздел 10. Начала математического анализа . Методические указания направлены на систематизацию, расширение и закрепление теоретических знаний, и выработку навыков по изучаемой дисциплине. Предназначаются для проведения практиче ских занятий в среднем профессиональном образовании, в частности НОУ СПО «Волгоградский колледж газа и нефти» ОАО «Газпром» специальность 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учѐт по отраслям всех форм обучения базовой и углубленной подготовки. 4 Оглавле ние Пояснительная записка ................................ ................................ ........................... 5 1. Методические рекомендации обучающимся по выполнению практических работ ................................ ................................ ........................... 6 2. Структура отчета по практической работе ................................ ....................... 6 3. Критерии оценки и система контроля мониторинга практической работы обучающихся по дисциплине «Математика» ................................ ... 6 4. Права и обязанности обучающихся ................................ ................................ .. 8 Практическое занятие № 10.1. Вычисление производных функций ............. 10 Практическое занятие № 10.2. Применение производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах ................................ ............... 17 Практическое занятие № 10.3. Исследование функции и построение графика ................................ ................................ ................................ ............. 23 Практическое занятие № 10. 4. Вычисление неопределенных интегралов ... 28 Практическое занятие № 10.5. Вычисление определенных интегралов ........ 33 Заключение ................................ ................................ ................................ ............ 37 Список используемой литературы ................................ ................................ ...... 38 5 Пояснительная записка Методические указания по организации и проведению практических занятий по дисциплине « Математика Раздел 10. Начала математического анализа для специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет по отраслям составлены в соответствии с требованиями ф едерального компонента государственного образовательного стандарта среднего общего образования на базовом и углубленном уровнях в пределах освоения обучающимися профессиональной образовательной программы с учетом профиля получаемого профессионального образ ования по специальности СПО 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет по отраслям. Учебная дисциплина « Математика » входит в общеобразовательный цикл. Методические указания по организации и проведению практических занятий по дисциплине « Математика Раздел 10. Начала математического анализа отвечают целям и задачам дисциплины по данному разделу. Методические указания содержат следующие структурные элементы: методические рекомендации обучающимся по выполнению практических занятий ; структуру отчета по практич еским занятиям ; критерии оценки и систему контроля мониторинга практической работы; права и обязанности обучающихся; включают 5 практическ их работ ; заключение. Количество часов на освоение практических работ по разделу 10. Начала математического анализа - 10 аудиторных часов. Кажд ое практическ ое занятие включает: название темы и количество часов; цели; умения и навыки; оборудование и наглядные пособия; краткие теоретические сведения, в которых имеются объяснения всех понятий изучаемых на практическ ом заня тии ; ход алгоритм выполнения каждой работы; задания к практическим занятиям ; вопросы для самоконтроля контрольные вопросы; список рекомендуемой и используемой литературы. 6 1. Методические рекомендации обучающимся по выполнению практических работ Практическ ие занятия обучающимся рекомендуется осуществлять по определенному плану. Для выполнения каждой из представленных в методических указаниях практических работ следует: 1. Ознакомиться с теоретическим материалом краткими теоретическими сведениями по данной практической работе. 2. Ознакомиться с ходом алгоритмом выполнения практической работы. 3. Выполнить все этапы, предложенные алгоритмом ходом практической работы, соблюдая время и соответствующие инструкции по выполнению каждого этапа и задания. 4. Сделать вывод по выполненной работе. 5. Оформить отчет по проделанной работе согласно предложенной структуре отчета и сдать его на проверку преподавателю, согласно установленного срока. 2. Структура отчета по практической работе Для того, чтобы эффективне е оценивать и корректировать успехи неудачи практической работы, она должна выполняться обучающимися в отдельной тетради, затем еѐ необходимо сдать для промежуточного и конечного контроля, и оценки. Каждый обучающийся должен оформить отчет о проделанной работе по следующей структуре. Отчет по практической работе №: следует указать номер практической работы в соответствии с программой дисциплины. Тема: следует указать тему практической работы в соответствии с программой дисциплины. Цель работы: необходимо кратко сформулировать цель практической работы. Дата выполнения : указать число, месяц, год, когда осуществляется выполнение практической работы. Ход работы: осуществляется в соответствии с инструкциями по выполнению практической работы. 3. Критерии оценки и система контроля мониторинга практической работы обучающихся по дисциплине « Математика Каждая работа завершается контролем конкретных результатов положительных или отрицательных. Это дает возможность установить, в какой мере рез ультаты соответствуют поставленной цели, насколько правомерна и целесообразна последовательность этапов работы. Иначе 7 говоря, выявляются общий итог работы , ее логика , оформление , т.е. та конечная информация, «выход», без которых невозможно успешно прогнози ровать дальнейший этап обучения. Критерии оценивания. Оценка – это определение и выражение степени усвоения обучающимися знаний и умений, установленных рабочей программой. Оценка фиксируется в соответствующих документах тетрадях обучающихся по практически м работам, самостоятельной работе, журналах, отражая уровень достижений обучающихся. В НОУ СПО «Волгоградский колледж газа и нефти» ОАО «Газпром» оценка качества подготовки обучающихся осуществляется по количественной пятибалльной системе «5», «4», «3» , «2» и качественным оценочным суждениям: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно» показателям. Исходный момент в оценке – ориентация на желаемый результат обучения. С ним сопоставляется достигнутый, реальный результат. При оценке принимается во внимание полнота, глубина, прочность, оперативность, сознательность знаний и умений обучающихся. Также важным критерием оценки служит умение обучающихся связывать содержание изучаемой дисциплины с содержанием будущей профессиональной деятел ьности, умение обоснованно решать профессиональные задачи, степень самостоятельности обучаемых. Не менее важным фактором практической работы является самоконтроль. Самоконтроль – это свойство человека, заключающееся в стремлении и умении регулировать свою деятельность и поведение. Он проявляется в способности своевременно подмечать и устранять негативные стороны деятельности торопливость, медлительность, небрежность, замечать или не допускать ошибки в работе. Критерии оценки практической работы по дисцип лине Математика . Практические работы должны быть выполнены в соответствии с методическими требованиями, указаниями преподавателя, экономического факультета, в них должна быть проявлена самостоятельность обучающегося. Работа по ее завершению представляетс я обучающимся преподавателю, который оценивает еѐ по 5 - балльной системе. Оценка уровня освоения практической работы . Основаниями для оценки являются: - выполнение всего хода работы всех ее этапов; - результативность проведенной работы; - формулирование выводов; - соответствие оформления отчета, предъявленным требованиям; - своевременная сдача работы для проверки преподавателю. «5» отлично выставляется за следующую работу: - выполнен весь ход работы все ее этапы; 8 - качественная результативность проведенной ра боты; - сформулированные выводы; - отчет оформлен в соответствии с предъявленными требованиями; - работа своевременно сдана для проверки преподавателю. «4» хорошо выставляется за следующую работу: - выполнен весь ход работы все ее этапы; - качественная результа тивность проведенной работы; - выводы сформулированы не достаточно полно или имеют недочеты; - отчет оформлен в соответствии с предъявленными требованиями; - работа своевременно сдана для проверки преподавателю. «3» удовлетворительно выставляется за следующую работу: - ход работы выполнен не весь не все ее этапы; - частичная качественная результативность проведенной работы; - сформулированные выводы имеют недочеты или отсутствуют; - в оформлении отчета имеются недочеты или отчет оформлен не в соответствии с предъяв ленными требованиями; - работа не своевременно сдана для проверки преподавателю. «2» неудовлетворительно выставляется за следующую работу: - ход работы выполнен не весь не все ее этапы; - не качественная результативность проведенной работы; - выводы отсутствуют; - отчет оформлен не в соответствии с предъявленными требованиями; - работа не своевременно сдана для проверки преподавателю. Обучающиеся, чьи работы были оценены неудовлетворительно, имеют право на повторное выполнение работы или выполнение, при этом им определяется новый срок ее исполнения и сдачи для проверки преподавателю. 4. Права и обязанности обучающихся Обучающийся имеет право: − на получение заданий для практической работы в объеме, предусмотренном учебным планом и рабочей программы дисци плины; − пользоваться фондами библиотеки НОУ СПО «Волгоградский колледж газа и нефти» ОАО «Газпром». − на получение рецензии отзыва и оценки от преподавателя, согласно установленного срока; − направлять работу на коллективную рецензию в случае несогласия с оценкой преподавателя; − принимать участие в оценивании содержания, организации и качества практических работ, вносить предложения по их совершенствованию. 9 Обучающийся обязан: − выполнять требования преподавателя по выполнению и оформлению практической работ ы; − нести ответственность за выполняемую работу и еѐ результаты; − сдать практическую работу преподавателю в сроки, установленные преподавателем и календарным графиком учебного процесса. 10 Практическое занятие № 10 .1. Вычисление производных функций Цель р аботы: – систематизация и закрепление теоретических знаний, приобретенных при изучении темы « Производная ; – научиться находить производные элементарных функций . Умения и навыки: – находить производные элементарных функций; – находить производные сложных функций . Оборудование и наглядные пособия: − методические указания по организации и проведению практических занятий по дисциплине « Математика Раздел 10. Начала математического анализа специальность 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учѐт по отраслям. Количе ство часов : 2 часа. Краткие теоретические сведения Производная, правила и формулы дифференцирования Пусть функция y  fx определена в промежутке X. Производной функции y  fx в точке х o называется предел = . Если этот предел конечный, то функция fx называется дифференцируемой в точке x o ; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке. Если же рассматриваемый предел равен  или -  , то при условии, что функция в точке х o непрерывна, буде м говорить, что функция fx имеет в точке х o бесконечную производную . Производная обозначается символами y  , f  (x o ), , . Нахождение производной называется дифференцированием функции. 11 Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции и возьмем две близкие точки графика: точку А с координатами и В с координатами . Прямая АВ называется секущей. При отношение превращается в производную . Угол переходит в угол наклона касательной и переходит в . . Тангенс угла наклона прямой – это ее угловой коэффициент, то есть число в уравнении прямой . Геометрический смысл производной. Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой или угловому коэффициенту этой касательной. Правила дифференцирования Если с - постоянное число, и u  ux, v  vx - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования: 1) ( с ) ' = 0, (cu) ' = cu'; 2) (u+v)' = u'+v'; 3) (uv)' = u'v+v'u; 12 4) (u/v)' = (u'v - v'u)/v 2 ; 5 если y  fu, u   x, т.е . y = f(  (x)) - сложная функция, или суперпозиция , составленная из дифференцируемых функций  и f, то , или ; 6 если для функции y  fx существует обратная дифференцируемая функция x  gy, причем  0, то . На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций. Таблица производных № п/п Функция y Производная y' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Если функция y  fx дифференцируема в точке x , т.е. имеет в этой точке конечную производную y' , то = y'+  , где   0 при  х  0; отсюда  y = y'  х   x. Главная часть приращения функции, линейная относительно  х, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy  y'  х. Если положить в этой формуле yx, то получим dx  x'  х  1   х   х, поэтому 13 dyy'dx, т. е. символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь. Приращение функции  y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал d y есть приращение ординаты касательной. Примеры выполнения заданий Пример 1. Вычислить производную функции y3x 3 - 2x+1)  sin x. Решение. По правилу 3, y'3x 3 - 2x+1)'  sin x + (3x 3 - 2x+1)  (sin x)' = = (9x 2 - 2)sin x + (3x 3 - 2x+1)cos x. Пример 2. Найти y', y  tg x  . Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y'=(tgx + )' = (tgx)' + ( )' = + = . Пример 3. Найти производную сложной функции y , u=x 4 +1. Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y' x =y ' u u' x =( )' u (x 4 +1)' x = (2u + . Так как ux 4 +1, то 2 x 4 +2+ . Пример 4. Найти производную функции y . Решение. Представим функцию y в виде суперпозиции двух функций: y  e u и u  x 2 . Имеем: y' x =y ' u u' x = (e u )' u (x 2 )' x = e u  2x. Подставляя x 2 вместо u , получим y2x . Пример 5. Найти производную функции yln sin x. Решение. Обозначим usin x, тогда производная сложной функции yln u вычисляется по формуле y'  ln u' u (sin x)' x = . Ход работы 1. Прослушайте установку на выполнение практического занятия. 2. Ознакомьтесь с краткими теоретическими сведениями по теме. 3. В тетради для практических работ выполните задания. 4. Оформите отчет о проделанной работе. 14 Задания для выполнения практической работы Задание 1 . Найдите производные следующих функций. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Задание 2. Найдите производные следующих функций. 1) 2) 3) 4) Задание 3 . Найдите производные следующих функций. 1) в точке 2) в точке 3) в точке 4) в точке Задание 4 . Найдите производные следующих функций. 1) 2) 3) 4) Задание 5 . Найдите производные следующих функций. 1) 2) 15 3) 4) Задание 6. Найдите производные следующих функций. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Задание 7 . Найдите производные следующих функций. 1) 2) 3) 4) Задание 8 . Найдите производные следующих функций. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Задание 9. Сопоставьте функции ее производную. 1) Функция Производная 16 2) Функция Производная Вопросы для самоконтроля 1. Что называется производной функции? 2. В чем состоит геометрический смысли производной функции? 3. Какие табличные производные основных элементарных функций Вы знаете? Список рекомендуемой литературы 1. Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике: учеб.пособие для ссузов Текст / Н.В. Богомолов. – 10 - е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2014. – 204 с. 2. Лисичкин, В.Т. Математика в задачах с решениями Текст / В.Т. Лисичкин. 5 - е изд., – М.: Лань, 2014. - 464 с. 3. Мордкович, А.Г. Математика: алгебра и начала математического анализа базовый уровень. 10 - 11 классы Текст / А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова, П.В. Семенов и др.; под ред. А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова. - 10 - е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 429 с.; ил. 4. Гусев, В.А . Математика для профессий и специальностей социально - экономического профиля: учебник для образоват. учреждений нач. и сред. проф. образования Текст / В.А. Гусев. – М.: Академия , 2013. – 416 с. 5. Башмаков, М.И. Математика: у чебник для учреждений нач.и сред.проф. образования Текст / М.И. Башмаков. – 5 - е изд., испр. – М.: Академия, 2012. – 256 с. 6. Башмаков, М.И. Математика. Задачник: учеб.пособие для образоват. учреждений нач.и сред.проф. образования Текст / М.И. Башмаков. – М.: Академия, 2012. – 416 с. 17 Практическое занятие № 10 .2. Применение производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах Цель работы: – систематизация и закрепление теоретических знаний, приобретенных при изучении темы « Применение производной для нахождения решения в прикладных задачах ; – научиться применять производную для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах . Умения и навыки: – применять производную для проведения приближенны х вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наи меньшего значения. Оборудование и наглядные пособия: − методические указания по организации и проведению практических занятий по дисциплине « Математика Раздел 10. Начала математического анализа специальность 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учѐт по отраслям. Количество часов : 2 часа. Краткие теоретические сведения Применение дифференциала в приближенных вычислениях Пусть дана функция ; приращение этой функции , ее дифференциал . При достаточно малых приращениях аргумента будем считать, что , т.е. что приращение функции приближе нно равно ее дифференциалу. Рассмотрим вопрос об использовании дифференциала в приближенных вычислениях. Известно, что и поэтому можно записать . Это позволяет сделать вывод о том, что , т.е. приближенное значение приращения функции совпадает с ее дифференциалом. Функция может быть довольно сложное выражение и ее приращение не всегда просто найти, но при достаточно малых значениях |Δx| приращение функции можно заменить ее дифференциалом, исключая точки, где у'  0. Отсюда находим 18 Это одна из основных формул для приближенных вычислений. Приближенное вычисление приращения функции. Пример 1. Пользуясь понятием дифференциала функции, вычислить приближенно изменение функции y  x 3 – 7x 2  80 при изменении аргумента х от 5 до 5,01 Решение. Находим Δу dy  y' Δx  3x 2 – 14x Δx. При х  5, Δx  5,01 – 5  0,01 получим Δу| x5, Δx  0,01 = (3 52 – 14 5) 0,01 = (3 25 - 14 5) 0.01 = 0,05 Нахождение приближенного значения функции. Пример 2 . Найти приближенное значение функции при х  1,02. Решение. Воспользуемся формулой . В данном случае следует принять х  1. Тогда Δх 1,02 - 1  0,02. Значение функции при х  1 определяется легко: . Далее находим , откуда Следовательно, f1,02 f(1)+ 0,03 = 2 + 0,03 = 2,03 Если значение данной функции при х  1,02 вычислить непосредственно, то получим т.е. разность между точным значением функции при х  1,02 и ее приближенным значением является числом очень малым: 2,03007 - 2,03 = 0,00007. Пример 3 . Найти приближенное значение приращения функции при и . Решение. . Пример 4 . Найти приближенное значение функции при . Решение. Полагая и , получим . 19 По формуле находим . Пример 5 . Найти приближенное значение Решение. Полагая и , получим . Решение прикладных задач с помощью производных. Механический смысл производной Рассмотрим отрезок времени [t1;t2] . Определим среднюю скорость точки на отрезке [t1;t2] , как отношение пройденного пути к продолжительности движения: Для определения скорости точки в момент времени t ее в механике часто называют мгновенной скоростью поступим так: возьмем отрезок времени t;t1, вычислим среднюю скорость на этом отрезке и начнем уменьшать отрезок t;t1, приближая t1 к t . Заметим, что значение средней скорости при приближении t1 к t будет приближаться к некоторому числу, которое и считается значением скорости в момент времени t. Мгновенная скорость в точке t — это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она измеряется, в точку t или в символической записи Рассмотрим механический смысл производной второго порядка. Пусть тело движется прямолинейно по закону . Как известно, скорость движения тела в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. . Если тело движется неравномерно, то скорость с течением времени изменяется и за промежуток времени получает приращение . В этом случае величина отношения , показывающая изменение скорости в единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от до . Пусть , тогда , а среднее ускорение стремится к величине, которая называется ускорением в данный момент времени . Следовательно, ускорение движущегося тела представляет собой скорость изменения его скорости. Обозначив ускорение через , получим . 20 Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента. Математические задачи с практическим содержанием – это такие задачи, которые связаны с применением математики в технике, химии, медицине, экономики, физики, а также и в быту. Рассмотрим задачи, которые можно решить с помощью производной. Производна я характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В математике производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в экономике – отзывчивость производственной ф ункции выход продукта на единицу затрат, в биологии – скорость размножения микроорганизмов, в химии – скорость химической реакции. Среди многих задач наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибол ьшего наименьшего значения соответствующих функций. Пример 6. Разложить число 100 на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим. Решение. Обозначим первое число через x . Тогда второе число равно 100 - x . Затем составим функцию. По условию, аргумент х должен быть таким, чтобы функция принимала максимальное значение, т.е. чтобы произведение в правой части равенства было наибольшим. Поэтому найдем то значение х , при котором функция имеет максимум. Итак, оба числа должны быть одинаковы. Ход работы 1. Прослушайте установку на выполнение практического занятия. 2. Ознакомьтесь с краткими теоретическими сведениями по теме. 3. В тетради для практических работ выполните задания. 4. Оформите отчет о проделанной работе. Задания для выполнения практической работы Задание 1 . Запишите уравнение касательной к графику функции в точке с заданной абсциссой ; . Задание 2. Запишите уравнение касательной к графику функции в точке с заданной абсциссой ; . 21 Задание 3 . Запишите уравнение касательной к графику функции в точке с заданной абсциссой ; . Задание 4 . Вычислить приближенно значение следующих функций: 1 ) 2 ) 3 ) Задание 5 . Найти приближенные значения приращений функций: 1 ) при и ; 2) при и . Задание 6 . Найти приближенные значения функций: 1. при . 2. при . Задание 7 . Два тела движутся прямолинейно соответственно по законам: S1t  3,5t 2 – 5t  10 и S2t  1,5t 2 + 3t – 6. В какой момент времени скорости тел будут равны? Задание 8 . Материальная точка движется прямолинейно по закону хt = t 2 + 3t – 5 где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в м/с в момент времени t  9 с. Задание 9 . Материальная точка д вижется прямолинейно по закону хt = 5t 2 – 2t – 3 где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в м/с в момент времени t  6 с. Задание 10 . Материальная точка движется прямолиней но по закону хt = – 3t 2 + 9t – 5 где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в м/с в момент времени 1 с. Задание 11 . Материальная точка движется прямолинейно по закону хt = 2t 2 – 5t – 12 где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени в секундах ее скорость была равна 3 м/с? Задание 12 . Мотоциклист в первые пять секунд движения проезжал расстояние в метрах, которое можно описать формулой St  t 3 + 3t. Найдите его ускорение в момент времени t  1 в м/с 2 ). Задание 13 . Найдите число, которое, будучи сложено со своим квадратом, дает наименьшую сумму. Задание 14 . Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение куба первого слагаемого и второго слагаемого было наибольшим. 22 Задание 15. Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь. Задание 16 . Тело движе тся по закону . Найти его максимальную скорость. Задание 17 . Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен a . Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света? Вопросы для самоконтроля 1. В чем заключается механический смысл производной? 2. Дайте определение производной второго порядка. 3. Какой механический смысл имеет производная второго порядка? 4. Как найти с помощью дифференциала приближенное значение? Список рекомендуемой литературы 1. Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике: учеб.пособие для ссузов Текст / Н.В. Богомолов. – 10 - е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2014. – 204 с. 2. Лисичкин, В.Т. Математика в задачах с решениями Текст / В.Т. Лисичкин. 5 - е изд., – М.: Лань , 2014. - 464 с. 3. Мордкович, А.Г. Математика: алгебра и начала математического анализа базовый уровень. 10 - 11 классы Текст / А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова, П.В. Семенов и др.; под ред. А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова. - 10 - е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 429 с.; ил. 4. Гусев, В.А . Математика для профессий и специальностей социально - экономического профиля: учебник для образоват. учреждений нач. и сред. проф. образования Текст / В.А. Гусев. – М.: Академия, 2013. – 416 с. 5. Башмаков, М.И. Математик а: у чебник для учреждений нач.и сред.проф. образования Текст / М.И. Башмаков. – 5 - е изд., испр. – М.: Академия, 2012. – 256 с. 6. Башмаков, М.И. Математика. Задачник: учеб.пособие для образоват. учреждений нач.и сред.проф. образования Текст / М.И. Башмак ов. – М.: Академия, 2012. – 416 с. 23 Практическое занятие № 10 .3. Исследование функции и построение графика Цель работы: – систематизация и закрепление теоретических знаний, приобретенных при изучении темы « Применение производной к исследованию функций и построению графиков ; – научиться использовать производную для изучения свойств функций и построения гр а фиков . Умения и навыки: – использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков . Оборудование и наглядные пособия: − методические ука зания по организации и проведению практических занятий по дисциплине « Математика Раздел 10. Начала математического анализа специальность 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учѐт по отраслям. Количество часов : 2 часа. Краткие теоретические сведения Схема исследования функции и построения ее графика 1. Найти область определения функции. 2. Исследовать функцию на четность и нечетность. 3. Исследовать функцию на периодичность. 4. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва. 5. Найти точки пересечения с о сями координат. 6. Найти критические точки функции. 7. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции. 8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба. 9. Найти асимптоты графика функции. 10. Построить график, используя полученные результаты. Примеры выполнения заданий Пример 1. Построить график функции . 24 Решение. 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек и . 2. Функция нечетна, так как . 3. Функция непериодическая. 4. Функция непрерывна во всей области ее определения. Точки и являются точками разрыва. 5. Точка пересечения с осью абсцисс 0; 0. 6. Находим производную функции. . Очевидно, что при и . Кроме того, не существует при . Следовательно, имеет следующие критические точки: , , , , . 7. Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: + 0 – Не сущ. – 0 – Не су щ – 0 +       В точке функция имеет максимум, а в точке – минимум. 8. Находим . Так как при и не существует при , то , , являются критическими точками второго рода. Определим знак второй производной в каждом из интервалов: – Не сущ. + 0 – Не сущ. + Выпукла вверх Выпукла вниз Выпукла вверх Выпукла вниз В интервалах и график функции обращено выпуклостью вверх, а в интервалах и – выпуклостью вниз. Вторая производная меняет знак в каждой из критических точек, однако точки не принадлежат области определения функции и поэтому лишь точка является точкой перегиба с горизонтальной касательной. 25 Следовательно, точ кой перегиба является начало координат, т.к. . 9. Так как и то являются вертикальными асимптотами. Далее, находим Следовательно, является наклонной асимптотой. По полученным данным строим график функции. Пример 2. Используя результаты исследования, построи ть график функции: y= 3x 5 - 5x 3 + 2 Решение: Область определения – вся числовая ось R. Производная функции равна: y ΄  15x 4 – 15x 2 . Находим критические точки: при y ΄  0, x  0, х  1 и х  - 1 исследуем промежутки: при х  ( - ∞ ; - 1]  [1; + ∞ ) – функция возрастает, при х  [ - 1; 1] – функция убывает. В точке х  - 1 – максимум, причем ymx  4. В точке х  1 – минимум, причем ymin  0. y  0 при х  0, х  0 – не является точкой экстремума. x y 0 - 2 2 y=x 26 Строим график функции: Ход работы 1. Прослушайт е установку на выполнение практического занятия. 2. Ознакомьтесь с краткими теоретическими сведениями по теме. 3. В тетради для практических работ выполните задания. 4. Оформите отчет о проделанной работе. Задания для выполнения практической работы Задание 1 . Исследуйте функцию и постройте ее график 1) 2) 3) 4) 5) 6) Вопросы для самоконтроля 1. Дайте определение возрастающей и убывающей функции? Каковы знаки производной функции в интервалах возрастания и убывания? В чем заключается признак возрастания и убывания функции? 2. В чем заключается необходимый и достаточный признак существования экстремума? 3. Перечислите поря док операций для отыскания максимума и минимума функции с помощью первой производной. 27 4. Как определить по знаку второй производной выпуклость и вогнутость функции? 5. Что называется точкой перегиба. Сформулируйте правило нахождения точки перегиба. Список рекомендуемой литературы 1. Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике: учеб.пособие для ссузов Текст / Н.В. Богомолов. – 10 - е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2014. – 204 с. 2. Лисичкин, В.Т. Математика в задачах с решениями Текст / В.Т. Лисичкин. 5 - е и зд., – М.: Лань, 2014. - 464 с. 3. Мордкович, А.Г. Математика: алгебра и начала математического анализа базовый уровень. 10 - 11 классы Текст / А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова, П.В. Семенов и др.; под ред. А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова. - 10 - е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 429 с.; ил. 4. Гусев, В.А . Математика для профессий и специальностей социально - экономического профиля: учебник для образоват. учреждений нач. и сред. проф. образования Текст / В.А. Гусев. – М.: Академия, 2013. – 416 с. 5. Башмаков, М.И. Математика: у чебник для учреждений нач.и сред.проф. образования Текст / М.И. Башмаков. – 5 - е изд., испр. – М.: Академия, 2012. – 256 с. 6. Башмаков, М.И. Математика. Задачник: учеб.пособие для образоват. учреждений нач.и сред.проф. образования Текст / М.И. Башмаков. – М.: Академия, 2012. – 416 с. 28 Практическое занятие № 10. 4 . Вычисление неопределенных интегралов Цель работы: – систематизация и закрепление теоретических знаний, приобретенных при изучении темы « Первообразная и неопределенный интеграл» ; – научиться находить неопределенные интегралы . Умения и навыки: – находить неопределенные интегралы; – находить неопределенные интегралы методом подстановки . Оборудование и наглядные пособия: − методические указания по организации и проведению практи ческих занятий по дисциплине « Математика Раздел 10. Начала математического анализа специальность 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учѐт по отраслям. Количество часов : 2 часа. Краткие теоретические сведения Основные методы интегрирования Функция называется первообразной по отношению к функции , если дифференцируема и выполняется условие . Очевидно, что , где С – любая константа. Неопределенным интегралом функции от функции называется множество всех первообразных этой функции. Неопределенный интеграл обозначается и равен . Основные правила интегрирования: 1. 2. . 3. , где С постоянное число. 4. , где А – постоянная величина. 5. . Список табличных интегралов 1. , ( n  - 1). 2. . 29 3. , �(a0, a  1). 4. . 5.  sin x dx = - cos x + C. 6.  cos x d x = sin x + C. 7. = arctg x + C. 8. = arcsin x + C. 9. = tg x + C. 10. = - ctg x + C. Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме. Если функция fz непрерывна на   ,  , функция zgx имеет на , непрерывную производную и   g(x)   , то  f(g(x)) g  (x) dx =  f(z) dz, причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x). Например: 1) ; 2) . Пусть u  fx и v  gx - функции, имеющие непрерывные производные . Тогда, по правилу дифференцирования произведения, duv udv  vdu или udv  duv - vdu. Для выражения duv первообразной, очевидно, будет uv , поэтому имеет место формула:  udv = uv -  vdu. Эта формула выражает правило интегрирования по частям . Оно приводит интегрирование выражения udvuv'dx к интегрированию выражения vduvu'dx. Пусть, например, требуется найти  x cosx dx. Положим u  x, dv  cos x dx, так что dudx, vsinx. Тогда  x cos x dx =  x d(sin x) = x sin x -  sin x dx = x sin x + cos x + C. Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,  x k ln m x dx,  x k sin bx dx,  x k cos bx dx,  x k e ax dx и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по 30 частям. Примеры выполнения заданий Пример 1. Вычислить  dx/(x+2). Решение. Обозначим tx2, тогда dxdt,  dx/(x+2) =  dt/t = ln  t  +C = ln  x+2  +C. Пример 2 . Найти  tg x dx. Решение.  t g x dx =  sin x/cos x dx = -  dcos x/ cos x. Пусть tcos x, тогда  tg x dx = -  dt/t = - ln  t  +C = - ln  cos x  +C. Пример 3. Найти  dx/sin x. Решение. Пример 4. Найти . Решение. = Пример 5. Найти  arctg x dx. Решение. Обозначим urctg x, dvdx. Тогда du  dx/x 2 +1), v=x, откуда  arctg x dx = x arctg x -  x dx/(x 2 +1) = x arctg x + 1/2 ln(x 2 1 C; так как  x dx/(x 2 +1) = 1/2  d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C. Пример 6. Вычислить  ln x dx. Решение . Применяя формулу интегрирования по частям, получим: uln x, dvdx, du 1/x dx, vx. Тогда  ln x dx = x lnx -  x 1/x dx = x lnx -  dx = x lnx - x + C. Пример 7. Вычислить  e x sin x dx. Решение. Обозначим u  e x , dv  sin x dx, тогда du  e x dx, v=  sin x dx= - cos x   e x sin x dx = - e x cos x +  e x cos x dx. Интеграл  e x cos x dx также интегрируем по частям: u  e x , dv = cos x dx  du=e x dx, vsin x. Имеем:  e x cos x dx = e x sin x -  e x sin x dx. Получили соотношение  e x sin x dx = - e x cos x + e x sin x -  e x sin x dx, откуда 2  e x sin x dx = - e x cos x + e x sin x  С. 31 Ход работы 1. Прослушайте установку на выполнение практического занятия. 2. Ознакомьтесь с краткими теоретическими сведениями по теме. 3. В тетради для практических работ выполните задания. 4. Оформите отчет о проделанной работе. Задания для выполнения практической работы Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл . 1) 2) 3) Задание 2 . Вычислите неопределенный интеграл . 1) 2) 3) Задание 3 . Вычислите неопределенный интеграл . 1) 2) 3) 4) Задание 4 . Вычислите неопределенные интегралы методом замены переменной . 1) 2) 3) 4) 5) 6) 32 7) Вопросы для самоконтроля 1. Дайте определение первообразной функции и неопределенного интеграла? 2. Какие свойства неопределенного интеграла Вы знаете? 3. Какие табличные интегралы Вы знаете? 4. Сформулируйте метод подстановки? Список рекомендуемой литературы 1. Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике: учеб.пособие для ссузов Текст / Н.В. Богомолов. – 10 - е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2014. – 204 с. 2. Лисичкин, В.Т. Математика в задачах с решениями Текст / В.Т. Лисичкин. 5 - е изд., – М.: Лань, 2014. - 464 с. 3. Мордкович, А.Г. Математика: алгебра и начала математического анализа базовый уровень. 10 - 11 классы Текст / А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова, П.В. Семенов и др.; под ред. А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова. - 10 - е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 429 с.; ил. 4. Гусев, В.А . Математика для профессий и специальностей социально - экономического профиля: учебник для образоват. учреждений нач. и сред. про ф. образования Текст / В.А. Гусев. – М.: Академия, 2013. – 416 с. 5. Башмаков, М.И. Математика: у чебник для учреждений нач.и сред.проф. образования Текст / М.И. Башмаков. – 5 - е изд., испр. – М.: Академия, 2012. – 256 с. 6. Башмаков, М.И. Математика. Задач ник: учеб.пособие для образоват. учреждений нач.и сред.проф. образования Текст / М.И. Башмаков. – М.: Академия, 2012. – 416 с. 33 Практическое занятие № 10 . 5 . Вычисление определенных интегралов Цель работы: – систематизация и закрепление теоретических зна ний, приобретенных при изучении темы « Определенный интеграл ; – научиться вычислять в простейших случаях площади с использованием определенного интеграла . Умения и навыки: – вычислять в простейших случаях площади с использованием определенного интеграла ; – вычислять определенные интегралы . Оборудование и наглядные пособия: − методические указания по организации и проведению практических занятий по дисциплине « Математика Раздел 10. Начала математического анализа специальность 38.02.01 Экономика и бухгалтер ский учѐт по отраслям. Количество часов : 2 часа. Краткие теоретические сведения Определенный интеграл Определенный интеграл представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , снизу – осью Ох , а слева и справа прямыми x=a и х . Значение определенного интеграла есть площадь S этой криволинейной трапеции: 34 Формула Ньютона - Лейбница Если функция непрерывна на отрезке и функция является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона - Лейбница. . Рассмотрим примеры на вычисление определенного интеграла. Пример 1 . Вычислить интеграл Решение. Пример 2. Решение. Найдем первообразную F x для подынтегральной функции f (x)=3x - 2x1, а затем применим формулу Ньютона - Лейбница. Пример 3. Решение. Ход работы 1. Прослушайте установку на выполнение практического занятия. 2. Ознакомьтесь с краткими теоретическими сведениями по теме. 3. В тетради для практических работ выполните задания. 4. Оформите отчет о проделанной работе. Задания для выполнения практической работы Задание 1. Вычислить интегралы: 1 ) 2) 35 3) 4) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) Задание 2. Вычислите площадь заштрихованной фигуры 1) 2) 3) 36 4) Задание 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 1) ; ; 2) ; ; . 3) ; ; 4) ; . Вопросы для самоконтроля 1. Что такое определенный интеграл? 2. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? 3. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла. Список рекомендуемой литературы 1. Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике: учеб.пособие для ссузов Текст / Н.В. Богомолов. – 10 - е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2014. – 204 с. 2. Лисичкин, В.Т. Математика в задачах с решениями Текст / В.Т. Лисичкин. 5 - е изд., – М.: Лань, 2014. - 464 с. 3. Мордкович, А.Г. Математика: алгебра и начала математического анализа базовый уровень. 10 - 11 классы Текст / А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова, П.В. Семенов и др.; под ред. А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова. - 10 - е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 429 с.; ил. 4. Гусев, В.А . Математика для профессий и специальностей социально - экономического профиля: учебник для образоват. учреждений нач. и сред. проф. образования Текст / В.А. Гусев. – М.: Академия, 2013. – 416 с. 5. Башмаков, М.И. Математика: у чебник для учреждений нач.и сред.проф. образования Текст / М.И. Башмаков. – 5 - е изд., испр. – М.: Академия, 2012. – 256 с. 6. Башмаков, М.И. Математика. Задачник: учеб.пособие для образоват. учреждений нач.и сред.проф. образования Текст / М.И. Башмаков. – М.: Академия, 2012. – 416 с. 37 Заключение В методических указаниях были изложены теоретические и практические материалы, позволяющие создать у обучающихся наглядные представления о изучаемо м разделе « Начала математического анализа дисциплин ы Математика . Были предложены задания для отработки необходимых умений и навыков, вопросы для самоконтроля контрольные вопросы, список рекомендуемой и используемой литературой, а главное алгоритм действий, который, при условии его выполнения, окажет помощь обучающимся и преподавателям в организации и выполнении практических занятий , позволит повысить эффективность данного вида обучения. Выполненные практические занятия , наряду с другими усвоенными учебными уровнями контрольная работа, самостоятельная работа является допуском к экзамену по разделу « Начала математического анализа » по дисциплине « Математика . Предложенные методические указания помогут обучающимся выработать у мения и навыки по разделу « Начала математического анализа . Позволят сделать практическую работу эффективной, будут способствовать формированию необходимых общих компетенций. 38 Список используемой литературы Основные источники: 1. Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике: учеб.пособие для ссузов Текст / Н.В. Богомолов. – 10 - е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2014. – 204 с. 2. Лисичкин, В.Т. Математика в задачах с решениями Текст / В.Т. Лисичкин. 5 - е изд., – М.: Лань, 2014. - 464 с. 3. Мордкович, А.Г. Математика: алгебра и начала математического анализа базовый уровень. 10 - 11 классы Текст / А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова, П.В. Семенов и др.; под ред. А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова. - 10 - е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 429 с.; ил. 4. Дадаян, А.А. Математика: учебник Текст / А.А.Дадаян. – М.: ИНФРА - М, 2013. – 544 с. 5. Богомолов, Н.В. Математика: уче бник для бакалавров Текст / Н.В. Богомолов, П.И.Самойленко. – 5 - е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2013. – 396 с. 6. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике: учеб.пособие для бакалавров Текст / Н.В. Богомолов. – 11 - е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2013. – 495 с. 7. Луканкин, А.Г. Математика: учебник для сред.проф.образования Текст / А.Г.Луканкин. – М.: ГЭОТАР - Медиа, 2012. – 320 с. 8. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала математического анализа базовый уровень. 10 - 11 классы Текст / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др. – М.: Просвещение, 2012. Гриф УМО. 9. Башмаков, М.И. Математика базовый уровень. 10 - 11 классы Текст / М.И. Башмаков. – М.: Просвещение, 2012. Гриф УМО. 10. Погорелов, А.В. Геометрия базовый и профильный уровни. 10 - 11 классы  Текст / А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2012. Гриф УМО. 11. Колягин, Ю.М. Алгебра и начала математического анализа базовый и профильный уровни. 10 класс Текст / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачев, Н.Е. Федорова и др. – М.: Просвещение, 2012. Гриф УМО. 12. Коляг ин, Ю.М. Алгебра и начала математического анализа базовый и профильный уровни. 11 класс Текст / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачев, Н.Е. Федорова и др. – М.: Просвещение, 2012. Гриф УМО. 13. Никольский, С.М. Алгебра и начала математического анализа базовый и про фильный уровни. 10 класс Текст / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2012. Гриф УМО. 14. Никольский, С.М. Алгебра и начала математического анализа базовый и профильный уровни. 11 класс Текст / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2012. Гриф УМО. 39 15. Погорелов, А.В. Геометрия. 10 - 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни Текст / А.В. Погорелов. – 11 - е изд. – М.: Просвещение. 2011. – 255 с. 16. Ата насян, Л.С. Геометрия. 10 - 11классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни Текст / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 20 - е изд. – М.: Просвещение. 2011. – 255 с. 17. Богомолов, Н.В. Сборник дидактических задан ий по математике: учеб.пособие для ссузов Текст / Н.В. Богомолов, Л.Ю. Сергиенко. – 4 - е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010. – 236 с. 18. Богомолов, Н.В. Математика. Задачи с решениями: учеб.пособие для ссузов Текст / Н.В. Богомолов, Л.Ю. Сергиенко. – 4 - е из д., стереотип. – М.: Дрофа, 2010. – 524 с. Дополнительные источники: 1. Барбаумов, В. Справочник по математике для экономистов Текст / В. Барбаумов, В. Ермаков, Н. Кривенцова. – М.: Инфра - М, 2010. - 464 с. Серия «Высшее образование» 2. Красс, М.С. Математика для экономистов Текст / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2008. – 464 с. Серия «Учебное пособие» Гриф УМО РФ. 3. Григорьев, С.Г. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусев а. – 2 - е изд., стер. – М.: Академия, 2007. - 384 с. 4. Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Математика. Ч. 1: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования. – М., 2007. 5. Башмаков, М.И. Алгебра и начала математического анализа: Учебник для 1 0 класса. – М.: Просвещение, 2005. 6. Башмаков, М.И. Алгебра и начала математического анализа: Учебник для 11 класса. – М.: Просвещение, 2005. 7. Башмаков, М.И. Математика: Учебник для 10 — 11 классов. – М.: Просвещение, 2005. Интернет - ресурсы: 1. Математика – К арта сайта: сайт. - URL : http://www.exponenta.ru . 2. Математика – Карта сайта: сайт. - URL : http://www.mathelp.spb.ru .

Приложенные файлы

  • pdf file10
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий