Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Лицей №165 им.65-тия ГАЗ
Автозаводского района г.Н.Новгорода
Научное общество учащихся
Методы решения систем уравнений и их применение
при решении экономических задач
Выполнила: Авдеева Юлия
уч-ся 7а класса
Научный руководитель:
Лёвина Г.Е.,
учитель математики
Нижний Новгород
Содержание
Стр.
Введение
3
Глава 1
Системы уравнений. Основные понятия.
5
Глава 2
Методы решения систем уравнений
12
2.1
Метод подстановки
12
2.2
Метод алгебраического сложения
15
2.3
Метод введения новых переменных
18
2.4
Графический метод
22
2.5
Решение системы n линейных уравнений с n переменными методом Крамера
24
2.6
Решение систем уравнений методом Гаусса
31
Глава 3
Применение различных методов при решении экономических задач
37
Заключение
45
Список используемых источников и литературы
46
Приложения
48
Введение
Уметь решать систему уравнений нужно не только и не столько в задачах, начинающихся словами «решить систему », хотя такие задачи встречаются наиболее часто. Кроме этого, решение многих текстовых задач немыслимо без навыков работы с системами уравнений. Причем зачастую проблема состоит не в том, чтобы записать систему, адекватную текстовому условию задачи, а в том, чтобы эту систему решить!
Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет.
Существует множество методов решения системы уравнений: метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод замены переменных, графический метод и др. Подход зависит от типа системы. Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы (метод Крамера) и предложено несколько численных как точных (простейший метод Гаусса), так и приближённых (метод итераций).
Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.
При моделировании экономических задач, таких как задачи управления и планирования производства, определения оптимального размещения оборудования, оптимального плана производства, оптимального плана перевозок грузов (транспортная задача), распределения кадров и др., может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.
Математические модели таких задач представляются линейными уравнениями. Если задача многомерна, то ее математическая модель представляется системой линейных уравнений.
Данная работа актуальна с точки зрения освоения материала и для практического применения знаний не только в математике, но и в реальных жизненных ситуациях. Например, особенно часто применять такие знания требуется в экономической сфере.
Цель работы – исследовать теоретические и практические основы эффективности использования различных методов решения систем уравнений и их применения при решении экономических задач.
Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:
изучить теоретические основы систем уравнений;
рассмотреть основные методы решения систем уравнений;
исследовать эффективность методов на конкретных примерах при решении экономических задач.
Предметом исследования являются методы решения систем уравнения.
Глава I
Системы уравнений. Основные понятия.
Рассмотрим теоретические основы темы «Системы уравнений».
Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными и , и ставится задача найти все пары чисел , таких, что при подстановке их в эти уравнения получаются верные числовые равенства, то говорят, что задана система уравнений и записывают её с помощью фигурной скобки в следующем виде
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Решить систему уравнений – значит найти множество всех пар чисел , таких, что при подстановке числа вместо х и числа вместо y получаются верные числовые равенства. Это множество будем называть решением системы уравнений.
Аналогично можно определить понятие системы уравнений с тремя или с большим числом неизвестных.
Система линейных уравнений это объединение из n линейных
уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:
Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.
Если даны два уравнения и , и ставится задача найти все пары чисел , которые удовлетворяют хотя бы одному из заданных уравнений, то говорят, что задана совокупность уравнений и записывают её в виде:
Решить совокупность уравнений – значит найти пары чисел , которые удовлетворяют хотя бы одному из заданных уравнений.
Две системы уравнений называются равносильными, если их решения совпадают.
Утверждения о равносильности систем уравнений:
Если изменить порядок уравнений системы (1), то полученная система будет равносильна системе (1).
Если одно из уравнений системы (1) заменить на равносильное ему уравнение, то полученная система уравнений будет равносильна системе (1).
Если первое уравнение системы (1) заменить уравнением, рав ным сумме первого уравнения, умноженного на некоторое отличное от нуля число а, и второго уравнения, умноженного на некоторое отличное от нуля число 13 EMBED Equation.3 1415, то полученная система уравнений будет равносильна системе (1); другими словами, для любых 13 EMBED Equation.3 1415 и а таких, что а
· 0, 13 EMBED Equation.3 1415
· 0, системы уравнений
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
равносильны.
Пусть в системе уравнений (1) одно из уравнений записано в таком виде, что в его левой части находится одно из неизвест ных, например х, в первой степени, а в правой части функция относительно у. Тогда можно сказать, что неизвестное х выраже но через неизвестное у. Если неизвестное х выражено через у из первого уравнения системы (1), то, подставив во второе уравнение системы (1) вместо х эту функцию от у, получим систему, равносильную системе (1). Другими словами, равносильны следующие две системы:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Если первое уравнение системы (1) равносильно совокупности k уравнений
P1 (x, y) = 0, , Pk (x, y) = 0,
то система (1) равносильна совокупности k систем уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Аналогичные утверждения могут быть сформулированы и для систем с большим числом уравнений и неизвестных.
При решении систем уравнений, их заменяют более простыми, равносильными им системами. Так же как и при решении уравнений, при решении систем уравнений важно знать при каких преобразованиях система переходит в равносильную ей систему. Очевидно, что при замене одного уравнения системы равносильным ему уравнением, система переходит в равносильную ей систему уравнений (в частности, можно переносить члены уравнения из одной части уравнения в другую с изменением знака, и умножать обе части уравнения на одно и то же отличное от нуля число).
Система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение.
Несовместной называется линейная система, не имеющая решения.
Неопределенной называется линейная система, имеющая бесконечное множество решений. Чаще всего неопределенной оказывается система уравнений, в которой количество уравнений меньше количества неизвестных.
Примером несовместной системы является следующая система:
13 EMBED Equation.3 1415
Как правило, несовместными оказываются системы уравнений, в которых количество уравнений больше количества неизвестных, однако это вовсе не означает, что если количество уравнений меньше количества неизвестных, то система непременно является совместной
Пример 1.1. Доказать, что система уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
несовместна.
Решение: Из первых двух уравнений этой системы находим, что
х = 4 и у = 2.
при подстановке найденных значений в третье уравнение получаем: неверное равенство
42 + 22 = 16 + 4 = 20 = 10.
Следовательно, исходная система несовместна.
Геометрический смысл полученного результата состоит в том, что окружность
х2 + у2 = 10
не проходит через точку А(4; 2) пересечения прямых
x - у = 2 и x + у = 6.
Может оказаться, что система уравнений несовместна и в случае, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. В случае двух уравнений с двумя неизвестными это означает, что линии н плоскости неизвестных x и у, соответствующие первому и втором уравнениям, не имеют общих точек.
Несовместной может оказаться и система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных. Например, несовместна система уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных. Пусть дана система
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. коэффициенты при x и y не пропорциональны, то система имеет единственное решение. Это решение графически иллюстрируется как точка пересечения двух прямых.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то система решений не имеет. В этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны и не совпадают.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то система имеет бесконечное множество решений. В этом случае прямые совпадают друг с другом.
Пример 1.2. При каких значениях параметра k система уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
имеет решения?
Решение: Составляет пропорцию, заключаем, что при k
· 0
13 EMBED Equation.3 1415,
Следовательно система не имеет решений. При этом запись
(-2) : (-1)
· 5k : 0
следует понимать так: отношение (-2) к (-1) не равно отношению 5k к 0.
При k = 0 получаем, что
13 EMBED Equation.3 1415,
то есть система имеет бесконечно много решений. Равенство пропорций (-2) : (-1) = 0 : 0 имеет место, поскольку справедливы равенства
(-2) = 2 * (-1) и 0 = 2 * 0.
Ответ: Система имеет решения только при k = 0.
Далее при решении систем уравнений буду рассматривать все виды этих систем.
Вывод к первой главе
Все системы можно разделить на виды:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
Число переменных может не равняться числу уравнений.
Решить систему – значит найти все ее решения.
Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.
Глава 2 Методы решения систем уравнений
Как уже говорилось в первой главе решить систему уравнений – значит найти множество всех пар чисел , таких, что при подстановке числа вместо х и числа вместо y получаются верные числовые равенства. Существуют различные приёмы решения систем уравнений. Рассмотрим основные методы.
2.1. Метод Подстановки
Заключается в следующем:
1. Выразить у через х из одного уравнения системы. 2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы. 3. Решить полученное уравнение относительно х. 4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге. 5. Записать ответ в виде пар значений (х; у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге. Переменные х и у, разумеется, равноправны, поэтому с таким же успехом мы можем на первом шаге алгоритма выразить не у через х, а х через у из одного уравнения. Обычно выбирают то уравнение, которое представляется более простым, и выражают ту переменную из него, для которой эта процедура представляется более простой.
Пример 1. Решить систему уравнений13 QUOTE 1415 Решение. 1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у. 2) Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у 2. 3) Решим полученное уравнение:
13 QUOTE 1415
3у2 – 5у + 2 = 0,
4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу.
Пример 2. Решить систему уравнений13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Из первого уравнения системы находим, что 13 EMBED Equation.3 1415
Данная система равносильна системе 13 EMBED Equation.3 1415
Подставляя выражение 4-2x вместо y во второе уравнение системы, получим на основании утверждения 4 о равносильности систем уравнений, что исходная система равносильна системе
13 EMBED Equation.3 1415
которую после тождественных преобразований можно переписать в виде
13 EMBED Equation.3 1415
Подставляя вместо него значение, равное 1, в первое уравнение системы, найдем после тождественных преобразований, что она равносильна системе
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, исходная система имеет единственное решение (1;2).
Ответ: (1;2).
Пример 3. Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
2y = 26 – 5x ,
·:2
y = 13 – 2,5x ,
4x – 3(13 – 2,5x) = 7 ,
4x – 39 + 7,5x = 7 ,
11,5x = 46 ,
x = 4.
y = 3.
Ответ: (4;3).
Пример 4. Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
z = 1 – 3x – 4y,
2x +3y+(1 – 3x – 4y) = 0,
-1x – 1y= -1.
5x + 2y+2(1 – 3x – 4y),
5x + 2y+2 – 6x – 8y = 2,
-1x – 6y = 0.
13 EMBED Equation.3 1415
-y = -1x – (-1),
-1x – 6(-1x – 1) = 0,
5x = 6,
13 QUOTE 141513 QUOTE 1415
2. 2 Метод алгебраического сложения
Это эффективный метод решения систем уравнений. Сущность его в том, что к обеим частям одного из уравнений системы прибавляют соответствующие части другого уравнения, умноженные на одно и то же число, а другое уравнение оставляют без изменения. В результате, как правило, получается система, к которой применим метод подстановки.
Пример 1. Решить систему уравнений
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Решение. Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
В результате алгебраического сложения двух уравнений исходной системы получилось уравнение, более простое, чем первое и второе уравнения заданной системы. Этим более простым уравнением мы имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например второе. Тогда заданная система уравнений заменится более простой системой: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения находим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Подставив это выражение вместо у в первое уравнение системы, получим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Осталось подставить найденные значения х в формулу [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Если х = 2, то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Таким образом, мы нашли два решения системы: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Пример 2. Решите систему уравнений 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Метод подстановки в данном случае приводит к сложным выкладкам. Поэтому будем рассуждать иначе: прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, тогда получаем систему:
13 EMBED Equation.3 1415 т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
равносильную заданной. А теперь воспользуемся методом подстановки:
13 EMBED Equation.3 1415 т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Полученная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Первая система имеет решение 13 EMBED Equation.3 1415, а вторая 13 EMBED Equation.3 1415.
Значит, решение данной системы имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: (-8;5),(3;5),(8;-5),(-3;-5).
Пример 3. Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
9x + 29x = 35 + 3,
38x = 38,
x = 1.
y = 2.
Ответ: (1;2)
2.3 Метод введения новых переменных
Сущность его в том, некоторые выражения от исходных переменных принимаются за новые переменные, в результате чего получается более простая система уравнений, относительно новых переменных. После того как эта система буде решена, необходимо найти значения исходных переменных.
Пример 1. Решить систему уравнений [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Решение. Введем новую переменную [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Решим это уравнение относительно переменной t:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Оба эти значения удовлетворяют условию [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], а потому являются корнями рационального уравнения с переменной t. Но [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] значит, либо [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] откуда находим, что х = 2у, либо [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Таким образом, с помощью метода введения новой переменной нам удалось как бы «расслоить» первое уравнение системы, достаточно сложное по виду, на два более простых уравнения: х = 2 у; у 2х.
Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х2 - у2 = 3, о котором мы пока не вспоминали. Иными словами, задача сводится к решению двух систем уравнений:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Надо найти решения первой системы, второй системы и все полученные пары значений включить в ответ. Решим первую систему уравнений:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. Получим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Так как х = 2у, то находим соответственно х1 = 2, х2 = 2. Тем самым получены два решения заданной системы: (2; 1) и (-2; -1). Решим вторую систему уравнений: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]+
Снова воспользуемся методом подстановки: подставим выражение 2х вместо у во второе уравнение системы. Получим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Это уравнение не имеет корней, значит, и система уравнений не имеет решений. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы. Ответ: (2;1);(-2;-1). Пример 2. Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах.
Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы.
Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы. Так будет обстоять дело в примере 4. Пример 3. Решить систему уравнений [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Решение. Введем две новые переменные: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Учтем, что тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Это позволит переписать заданную систему в значительно более простом виде, но относительно новых переменных а и b:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Так как а = 1, то из уравнения а + 6 = 2 находим: 1 + 6 = 2; 6=1. Таким образом, относительно переменных а и b мы получили одно решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Возвращаясь к переменным х и у, получаем систему уравнений
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Так как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] то из уравнения 2x + y = 3 находим: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Таким образом, относительно переменных хиу мы получили одно решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.4 Графический метод решения систем уравнений
Этим методом можно пользоваться для приближенного решения систем уравнений. Он основан на геометрическом смысле уравнений с двумя переменными. Известно, каждому уравнению соответствует линия или множество точек плоскости, а решить систему уравнений, значит найти координаты течек пересечения этих линий.
Пример 1. Решить систему уравнений:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.
Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).
Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).
Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.
Пример 2. Решить систему уравнений:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.
Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).
Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).
Ответ: (-2; 5).
Пример 3. Решите графически систему уравнений: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решение. Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415задает окружность с центром в начале координат и радиусом 6. Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 - парабола, это уравнение можно переписать в виде: 13 EMBED Equation.3 1415. Вершиной этой параболы является точка (0; 6), ветви параболы направлены вниз, она пересекает ось Ох в точках (6; 0); (-6; 0).
Построим графики указанных линий и найдем их точки пересечения .
Из чертежа видно, что линии пересекаются трижды и точками пересечения являются А(-6; 0); В(0; 6); С(6; 0).
Ответ: (-6;0), (0;6), (6;0).
2.5 Решение системы n линейных уравнений с n переменными методом Крамера
Пусть дана система n-линейных уравнений с n-неизвестными х1, х2,..., хn:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, и её определитель называются соответственно матрицей системы (1) и определителем этой системы.
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть Аij (i, j =1, 2,...,n)– алгебраические дополнения элементов определителя (. Преобразуем систему (1) так, чтобы каждое из её уравнений содержало только одно неизвестное. Для этого умножим первое уравнение системы на А11, второе – на А21,..., n-е – на Аn1 и сложим их; затем умножим уравнения системы соответственно на А21, А22, ..., Аn2 и сложим их, и т.д., наконец, умножим уравнения системы соответственно на Аn1, Аn2, ..., Аnn и опять сложим. Получим новую систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Правые части уравнения системы (2) обозначим соответственно символами (1, (2, ..., (n, где
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда система уравнений (2)примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Если (((, то из этих уравнений находим
13 EMBED Equation.3 1415
Полученные формулы называются формулами Крамера; они дают решение системы (2), полученной из системы (1).
Формулы Крамера (5) являются единственным решением системы (1), поскольку система (2) выведена из системы (1). Таким образом, следует
Теорема: если определитель системы (1) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера.
Правило Крамера. Система n уравнений с n переменными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, определяемое следующим правилом: значение каждого из переменных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом переменном столбцом свободных членов.
Пример 1. Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Выписываем определитель системы и находим его по правилу треугольника (a11*a22*a33+a12*a23*a31+a21*a32*a13-a13*a22*a31-a12*a21*a33-a23*a32*a11)
13 EMBED Equation.3 1415
Определитель |A1| получаем из определителя системы |A| заменой столбца при переменной x1 на столбец свободных членов, остальные столбцы в определитель переписываем без изменений.
Согласно свойству определителей:
Если в определителе какие-либо 2 строки (столбца) пропорциональны, то определитель равен 0.
1-ый и 2-ой столбец пропорциональны, значит определитель равен 0.
13 EMBED Equation.3 1415
Определитель |A2| получаем из определителя системы |A| заменой столбца при переменной x2 на столбец свободных членов, остальные столбцы в определитель переписываем без изменений.
Пропорций нет, вычисляем по правилу треугольника.
13 EMBED Equation.3 1415
Определитель |A3| получаем из определителя системы |A| заменой столбца при переменной x3 на столбец свободных членов, остальные столбцы в определитель переписываем без изменений.
2-ой и 3-ий столбец пропорциональны, значит определитель равен 0.
13 EMBED Equation.3 1415
Находим переменные x1, x2, x3:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: x1=0; x2=2; x3=0.
Пример 2. Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: x1 = 1; x2 = 1; x3 = 1.
Пример 3. Решить систему уравнений:
Ответ: x1 = -152; x2 = 270; x3 = -254.
Пример 4. Решить систему уравнений:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Так как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]получаются из определителя [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]путем замены 1-го, 2-го или 3-го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Таким образом:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Итак, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- единственное решение.
Ответ: (1; 3; -2).
Пример 5. Рассмотрим применение систем линейных уравнений в решении задач.
Решить задачу: из двух сортов бензина образуются две смеси A и B . Смесь A содержит 60% бензина 1-го сорта и 40% 2-го сорта, смесь B содержит 80% бензина 1-го сорта и 20% 2-го сорта.
Сколько тонн смеси A и смеси B можно образовать, полностью, используя 50 тонн бензина 1-го сорта и 30 тонн бензина 2-го сорта?
Решение: Расположим все данные в таблице.
Наличие бензина
Вид смеси
Процентное содержание
1-го сорта
2-го сорта
1-го сорта
2-го сорта
50 т
30 т
А
60%
40%
В
80%
20%
Обозначим через x1 количество тонн смеси A , через x2 количество тонн смеси B , которые можно образовать из наличного бензина, полностью его используя. На каждую тонну смеси A идет 0,6т (60%) бензина 1-го сорта, на x1 тонн 0,6 x1 тонн бензина 1-го сорта. Аналогично, на x2 тонн смеси B уходит 0,8 x2 тонн бензина 1- го сорта. Следовательно, должно быть: 0,6 x1 + 0,8 x2 = 50.
Расход бензина второго сорта на смеси A и B составляет 0,4 x1 + 0,2 x2 тонн, то есть 0,4 x1 + 0,2 x2 = 30.
Итак, получили систему:
13 EMBED Equation.3 1415
Решаем ее методом Крамера:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: из 50 тонн бензина 1-го сорта и 30 тонн бензина 2-го сорта образуют 70 т смеси A и 10 т смеси B .
2.6 Решение систем уравнений методом Гаусса
Наиболее распространенным точным методом решения системы линейных уравнений является метод Гаусса. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему.
Пусть дана произвольная система линейных уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Будем производить над ней элементарные преобразования. Для этого выпишем матрицу из коэффициентов при неизвестных системы (1) с добавлением столбца свободных членов, другими словами расширенную матрицу 13 EMBED Equation.3 1415для системы (1):
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Предположим, что с помощью таких преобразований удалось привести матрицу 13 EMBED Equation.3 1415 к виду:
13 EMBED Equation.3 1415
где все диагональные элементы b11, b22,..., brr отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже диагональных, равны нулю. Матрице (3) соответствует система уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)13 EMBED Equation.3 1415
которая получается из системы (1) с помощью некоторого числа элементарных преобразований и, следовательно, равносильна системе (1). Если в системе (4) r=n, то из последнего уравнения, имеющего вид bnnxn=cn (где bnn
· 0), находим единственное значение xn, из предпоследнего уравнения – значение xn-1 (поскольку xn уже известно) и т.д., наконец, из первого уравнения – значение x1. Итак, в случае r=n система имеет единственное решение. Если же r
которая и является по существу общим решением системы (1).
Неизвестные х r+1, ..., х n называются свободными. Из системы (5) можно будет найти значения х1,..., х r.
Приведение матрицы
· к виду (3) возможно только в том случае, когда исходная система уравнений (1) совместна. Если же система (1) несовместна, то такое приведение невозможно. Это обстоятельство выражается в том, что в процессе преобразований матрицы
· в ней появляется строка, в которой все элементы равны нулю, кроме последнего. Такая строка соответствует уравнению вида:
0(х1+0(х2+...+0(хn=b,
которому не удовлетворяют никакие значения неизвестных, так как b
·0. В этом случае система несовместна.
В процессе приведения системы (1) к ступенчатому виду могут получаться уравнения вида 0=0. Их можно отбрасывать, так как это приводит к системе уравнений, эквивалентных прежней.
При решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя все преобразования над её строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразований матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.
Рассмотрим примеры решения систем методом Гаусса (или методом исключения неизвестных).
Пример 1. Решить систему методом Гаусса:
13 EMBED Equation.3 1415
x1 = 12
x2 = -4
x3 = -1
Ответ: (12;-4;-1).
Пример 2. Решить систему методом Гаусса:
13 EMBED Equation.3 1415
x1 = 3 x2 = 5 x3 = 4
Ответ: (3;5;4).
Пример 3. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений
13 EMBED Equation.3 1415 .
Решение: Выпишем расширенную матрицу 13 EMBED Equation.3 1415 данной системы и приведем ее к ступенчатому виду
13 EMBED Equation.3 1415.
Последовательно умножим первую строку на (–2) и прибавим ее ко второй строке, затем умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим
13 EMBED Equation.3 1415 .
Ко второй строке полученной матрицы прибавим третью строку, умноженную на 13 EMBED Equation.3 1415, затем во вновь полученной матрице умножим третью строку на 13 EMBED Equation.3 1415, четвертую – на (–1), затем последовательно умножим вторую строку на 2 и прибавим ее к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, получим
13 EMBED Equation.3 1415 .
Третью строку полученной матрицы умножим на 13 EMBED Equation.3 1415, четвертую – на 13 EMBED Equation.3 1415, затем третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Найденная матрица имеет треугольный вид; по этой матрице запишем систему уравнений, эквивалентную исходной системе,
13 EMBED Equation.3 1415 .
Последовательно находим неизвестные, начиная с последнего уравнения, 13 EMBED Equation.3 1415; подставим в третье уравнение найденное 13 EMBED Equation.3 1415, вычислим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; затем из второго уравнения находим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; из первого уравнения получим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вывод ко второй главе
Рассмотренные методы решения систем уравнений позволяют сделать следующие выводы:
Решение систем уравнений зависит от вида систем уравнений.
Нелинейные системы не имеют универсального способа решения, поэтому при решении конкретной системы уравнений нужно учитывать особенности заданных уравнений, переходя к равносильным системам.
Основные методы решения систем нелинейных уравнений:
метод подстановки;
метод введения новых переменных;
графический метод;
метод алгебраического сложения.
Метод Крамера применим только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Система n уравнений с n переменными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, определяемое следующим правилом: значение каждого из переменных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом переменном столбцом свободных членов.
В отличие от метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных, приводя систему к ступенчатому виду.
Глава 3 Применение различных методов
при решении экономических задач.
Во второй главе рассмотрены основные методы решения систем уравнений. Далее будет предложено решение экономических задач с нахождением наиболее удобного метода их решения.
Задача 3.1. В январе 2006 г. на счет в банке была положена некоторая сумма денег. В конце 2006 г. проценты по вкладу составили 2000 р. Добавив в январе 2007 г. на свой счет еще 18 000 р., вкладчик пришел в банк закрыть счет в декабре 2007 г. и получил 44 000 р. Какая сумма была положена на счет первоначально и сколько процентов в год начисляет банк?
Решение. Пусть вкладчик положил х рублей под у% .
В 2006 г. Процентная ставка будет 13 QUOTE 1415*у13 QUOTE 1415. Тогда в 2007 г.
После преобразований системы мы можем применить один из методов, рассмотренных во второй главе.
Однако следует учесть что:
Система нелинейных уравнений, поэтому исключим метод Крамера и метод Гаусса.
Графический метод также не подходит из-за громоздкости графика (слишком большие параметры).
Из оставшихся методов более всего подходит метод подстановки.
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
х=22000-200у,
-200у2+22000у-200000=0 \ч(-200)
у2-110у+1000=0
D=(-110)2=4*1000=810
х1 = 22000-200*100=2000 х2=22000-200*10=20000
Ответ: 2000 рублей под 100% годовых или 20000 под 100% годовых (реальнее второй вариант).
Задача 3.2. Пусть aij - количество продукции j, произведенной предприятием i, а bi - стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения aij и bi заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее методом Крамера и методом Гаусса.
13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415
Решение: Составим систему уравнений:
Решим систему методом Крамера
·= -1017
13 QUOTE 1415 = 231 * 9 * 1 + 238 * 8 * 10 + 216 * 5 * 11 - 216 * 9 *
*8 - 238 * 5 * 1 - - 231 * 10 * 11 = - 9153
13 QUOTE 1415 12 * 238 * 1 + 6 * 8 * 216 + 15 * 231 * 11 - 15 *
238 * 8 - 6 * 231 * 1 - 12 * 216 * 11 = - 7119
13 QUOTE 1415 = 12 * 9 * 216 + 6 * 231 * 10 + 15 * 5 * 238 - 15 * 9 *
231 - 6 * 5 * 216 - 12 * 10 * 238 = - 11187
x1 =
·1/
· = - 9153/ (- 1017) = 9
x2 =
·2/
· = - 7119/ (- 1017) = 7
x3 =
·3/
· = - 11187/ (- 1017) = 11
Решим систему уравнений методом Гаусса
13 QUOTE 1415
Ответ: цена 1-й продукции 9 руб., 2-ой продукции 7 руб., 3-ей – 11 руб.
Задача 3.3. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года 3/8 вклада, который составляет 800 тыс. руб., вложили в первый банк, 1/8 во второй банк и оставшуюся часть вклада в третий банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 907 тыс. руб. Если бы первоначально 1/8 вклада положили в первый банк, 4/8 вклада во второй банк, оставшуюся часть вклада в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов стала бы равна 894 тыс. руб. Если бы 4/8 вклада вложили в первый банк, 3/8 вклада во второй банк, оставшуюся часть вклада в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов была бы равна 903 тыс. руб. Какой процент начисляет каждый банк?
Решение. Введем следующие неизвестные:
x1 процент, начисляемый вкладчику в первом банке;
x2 процент, начисляемый вкладчику во втором банке;
x3 процент, начисляемый вкладчику в третьем банке.
Вклад в первый банк составил 13 EMBED Equation.3 1415тыс. руб.
Вклад во второй банк составил 13 EMBED Equation.3 1415тыс. руб.
Вклад в третий банк составил 13 EMBED Equation.3 1415тыс. руб.
Начислено в первом банке за год 13 EMBED Equation.3 1415тыс. руб.
Начислено во втором банке за год 13 EMBED Equation.3 1415 тыс. руб.
Начислено в третьем банке за год 13 EMBED Equation.3 1415 тыс. руб.
Всего на вклад в 800 тыс. руб., сделанный в три банка (в первый было начислено 300 тыс. руб., во второй 100 тыс. руб., в третий 400 тыс. руб.), было начислено за год:
907 800 = 107 тыс. руб.
Таким образом, первое уравнение системы 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично получим два других уравнения системы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
13 EMBED Equation.3 1415
Решим эту систему методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу A данной системы и приведем ее к ступенчатому виду. Для удобства решения переставим местами 1-ую и 2-ую строки. Последовательно умножим первую строку на (–3) и прибавим ее ко второй строке, затем умножим на (–4) и прибавим к третьей строке. Элементы второй строки умножим на 13 EMBED Equation.3 1415 и прибавим к элементам 3-ей строки. Вторую строку умножим на (-1), а третью на 13 EMBED Equation.3 1415 получим
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
При обратном ходе преобразований к элементам второй строки прибавим элементы третей, умноженные на (-5), также к элементам первой строки прибавим элементы третей, умноженные на (-3). Умножаем элементы второй строки на 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
К элементам первой строки прибавим элементы второй, умноженные на (-4).
13 EMBED Equation.3 1415
Система решена, она имеет единственное решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: первый банк выплачивает 15% годовых, второй банк 10% годовых, а третий банк 13%.
Задача 3.4. Из двух сортов бензина образуются две смеси A и B . Смесь A содержит 60% бензина 1-го сорта и 40% 2-го сорта, смесь B содержит 80% бензина 1-го сорта и 20% 2-го сорта.
Сколько тонн смеси A и смеси B можно образовать, полностью, используя 50 тонн бензина 1-го сорта и 30 тонн бензина 2-го сорта?
Решение: Расположим все данные в таблице.
Наличие бензина
Вид смеси
Процентное содержание
1-го сорта
2-го сорта
1-го сорта
2-го сорта
50 т
30 т
А
60%
40%
В
80%
20%
Обозначим через x1 количество тонн смеси A , через x2 количество тонн смеси B , которые можно образовать из наличного бензина, полностью его используя. На каждую тонну смеси A идет 0,6т (60%) бензина 1-го сорта, на x1 тонн 0,6 x1 тонн бензина 1-го сорта. Аналогично, на x2 тонн смеси B уходит 0,8 x2 тонн бензина 1- го сорта. Следовательно, должно быть: 0,6 x1 + 0,8 x2 = 50.
Расход бензина второго сорта на смеси A и B составляет 0,4 x1 + 0,2 x2 тонн, то есть 0,4 x1 + 0,2 x2 = 30.
Итак, получили систему:
13 EMBED Equation.3 1415
Система 2 уравнений с 2 переменными, следовательно, можем решить её методом Крамера.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: из 50 тонн бензина 1-го сорта и 30 тонн бензина 2-го сорта образуют 70 т смеси A и 10 т смеси B .
Заключение
В данной работе при исследование темы, материал представлен не только теоретически, но и практически.
В первой главе даны основные понятия систем уравнений, раскрыты их свойства и виды.
Также в данной работе рассмотрены основные методы решения систем уравнений, такие как: метод подстановки, метод алгебраического сложения уравнений, метод замены переменных, метод разложения на множители, графическое решение систем уравнений, метод Гаусса и метод Крамера.
На примерах решения экономических задач были выбраны методы, которые наиболее удобны для их решения. При написании третьей главы применены все теоретические знания, полученные в предыдущих главах.
Таким образом, задачи выполнены, и поставленная цель работы мной достигнута.
В процессе работы я узнала много нового:
Я научилась пользоваться научной литературой, сопоставлять и сравнивать различные точки зрения, выделять главное;
Теперь я знаю, какой путь решения систем уравнений наиболее простой и быстрый в конкретном случае, и еще в своей работе я изучила некоторые другие теоретические вопросы (например, определение матрицы и ее свойства).
Я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при решении задач не только в математике, но и таких сферах, как экономика. А также при сдаче в будущем школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ.
Список используемых источников и литературы
Ильин В.А., Куркина А.В. – «Высшая математика», М.:ТК Велби, изд-во Проспект, 2004г. – 600с.
http://uztest.ru/
http://vm.psati.ru
Лукинова С. Г. Высшая математика для экономистов. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебно-методический комплекс дисциплины. – Красноярск: КФ МЭСИ, 2004, - 120 с.
Высшая математика для экономистов. – / Под редакцией Н.Ш. Кремера. – М.:ЮНИТИ, 2002, 471 с.
Математический анализ и линейная алгебра. Учебно-методическое пособие. / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ВЗФЭИ. 2008.
http://www.eduhmao.ru.
http://dic.academic.ru.
http://www.schoolife.ru.
Седакова В.И., Рочева И.Г. Решение нелинейных систем уравнений в классах с углубленным изучением // Современные проблемы науки и образования. – 2007. – № 5 – С. 60-66.
http://e-science.ru.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Рольф, 2000. – 416 с.
http://ru.wikipedia.org.
Алгебра. 9 класс. Дополнительные главы к школьному учебнику. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. М.: Просвещение, 1997. - 224с.
http://www.box-m.org.
Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 10-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2008. – 224 с.
Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 10-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2008. – 224 с.
Мордкович А.Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 10-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2008. – 224 с.
Приложения.
Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
Матрицами называются массивы элементов, представленные в виде прямоугольных таблиц, для которых определены правила математических действий. Элементами матрицы могут являться числа, алгебраические символы или математические функции.
Расширенной матрицей системы называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из матрицы системы, к которой справа приписан вектор правых частей.
Матричная алгебра имеет обширные применения в различных отраслях знания – в математике, физике, информатике, экономике. Например, матрицы используется для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, нахождения значений физических величин в квантовой теории, шифрования сообщений в Интернете.
Матрица обозначается одной из заглавных букв латинского алфавита, а набор ее элементов помещается в круглые скобки:
(1)
Представленная формулой (1) матрица A имеет m строк и n столбцов и называется mЧn матрицей (“эм на эн матрицей”) или матрицей размера mЧn. Строки матрицы нумеруются сверху вниз, а столбцы – слева направо.
Рис. 1. Порядок нумерации строк и столбцов матрицы.
Матричный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, называется i,j-м элементом и записывается в виде ai j , а выражение A = || ai j || означает, что матрицаA составлена из элементов ai j .
Матрица размера 1Чn называется строчной или вектор-строкой.
Матрица размера nЧ1 называется столбцевой или вектор-столбцом. Для краткости вектор-строку и вектор-столбец обычно называют просто векторами.
Особую роль играют матрицы, у которых число строк совпадает с числом столбцов, то есть матрицы размера nЧn. Такие матрицы называются квадратными При ссылке на квадратную матрицу достаточно указать ее порядок. Например, матрица третьего порядка имеет размер 3Ч3.
Квадратная матрица порядка 1 отождествляется с единственным ее элементом.
Понятие определителя квадратной матрицы A порядка n = 1,2,3,...
Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
Для неквадратных матриц понятие определителя не вводится.
Для обозначения определителя квадратной матрицы A будем пользоваться обозначением [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
Пусть A - произвольная квадратная матрица порядка n. Если n=1, то матрица A состоит из одного числа A. Положим по определению, что определитель такой матрицы равен числуA, т.е. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Если n=2, то матрица A имеет вид
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Положим по определению, что определитель такой матрицы равен
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если n=3, то матрица A имеет вид
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Положим по определению, что определитель такой матрицы равен
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Приведение матрицы к верхней трапециевидной форме.
Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующих трёх типов:
1) Перестановка двух строк (столбцов) матрицы;
2) Умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;
3) Прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой её строки (столбца), умноженной на любое число.
Квадратное уравнение и нахождение его корней.
Квадратное уравнение алгебраическое уравнение общего вида
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] свободная переменная, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] коэффициенты, причём [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Выражение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называют квадратным трёхчленом.
Корень такого уравнения (корень квадратного трёхчлена) это значение переменной [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], обращающее квадратный трёхчлен в ноль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество.
Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называют первым или старшим, коэффициент [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называют вторым или коэффициентом при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]называется свободным членом этого уравнения.
Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля.
Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.
Общая формула вычисления корней:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (1),
где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] коэффициенты; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Подкоренное выражение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называется дискриминантом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] корней два;
при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях);
при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] корней на множестве действительных чисел нет.
Квадратичная функция
y = ax2 + bx + c, где a [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0. График квадратичной функции - парабола.
Вершина параболы (х0;у0): х0= - b/2а, у0(х0)
Свойства функции и вид её графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта D = b2 - 4ac.
a > 0, D > 0
a > 0, D = 0
a > 0, D < 0
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
a < 0, D > 0
a < 0, D = 0
a < 0, D < 0
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Окружность. Уравнение окружности.
Окружность [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], называемое её [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Уравнение окружности в декартовых координатах с центром в точке O (a; b) и радиусом R имеет следующий вид:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Такие примеры будут рассмотрены ниже.
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115
Виды систем
Совместные (есть решение)
Несовместные (нет решений)
Совместные определенные (одно решение)
Совместные неопределенные (множество решений)
(4),
r
(5),
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeСистема линейных уравненийРисунок 1Система линейных уравненийEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1Рисунок 2Рисунок 4Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 8Рисунок 9Рисунок 10Рисунок 11Рисунок 13Рисунок 14Рисунок 15Рисунок 16Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 17Рисунок 18Рисунок 19Рисунок 21Рисунок 23Рисунок 25Рисунок 27Рисунок 28Рисунок 29Рисунок 30Рисунок 32Рисунок 34Рисунок 35Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native Рисунок 86\Delta=\begin{vmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 1 & 3 & 2
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native\\ 2 & 10 & 9 \\ \end{vmatrix}=5,\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\ 110 & 10 & 9 \\ \end{vmatrix}=-760,\ \ Delta=delim{|}{matrix{3}{3}{5 {-1} 2 2 3 {-4} 1 2 3}}{|}=5*3*3+(-1)*(-4)*1+2*2*2-1*3*2-2(-1)*3-2(-4)*5=x_1=Delta_1/Delta;~ x_2=Delta_2/Delta;~ x_3=Delta_3/Delta;x_1=Delta_1/Delta=97/97=1;~ x_2=Delta_2/Delta=293/97=3;~ x_3=Delta_3/Delta=-194/97=-2x_1=1, x_2=3, x_3=-2Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native
Лицей №165 им.65-тия ГАЗ
Автозаводского района г.Н.Новгорода
Научное общество учащихся
Методы решения систем уравнений и их применение
при решении экономических задач
Выполнила: Авдеева Юлия
уч-ся 7а класса
Научный руководитель:
Лёвина Г.Е.,
учитель математики
Нижний Новгород
Содержание
Стр.
Введение
3
Глава 1
Системы уравнений. Основные понятия.
5
Глава 2
Методы решения систем уравнений
12
2.1
Метод подстановки
12
2.2
Метод алгебраического сложения
15
2.3
Метод введения новых переменных
18
2.4
Графический метод
22
2.5
Решение системы n линейных уравнений с n переменными методом Крамера
24
2.6
Решение систем уравнений методом Гаусса
31
Глава 3
Применение различных методов при решении экономических задач
37
Заключение
45
Список используемых источников и литературы
46
Приложения
48
Введение
Уметь решать систему уравнений нужно не только и не столько в задачах, начинающихся словами «решить систему », хотя такие задачи встречаются наиболее часто. Кроме этого, решение многих текстовых задач немыслимо без навыков работы с системами уравнений. Причем зачастую проблема состоит не в том, чтобы записать систему, адекватную текстовому условию задачи, а в том, чтобы эту систему решить!
Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет.
Существует множество методов решения системы уравнений: метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод замены переменных, графический метод и др. Подход зависит от типа системы. Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы (метод Крамера) и предложено несколько численных как точных (простейший метод Гаусса), так и приближённых (метод итераций).
Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.
При моделировании экономических задач, таких как задачи управления и планирования производства, определения оптимального размещения оборудования, оптимального плана производства, оптимального плана перевозок грузов (транспортная задача), распределения кадров и др., может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.
Математические модели таких задач представляются линейными уравнениями. Если задача многомерна, то ее математическая модель представляется системой линейных уравнений.
Данная работа актуальна с точки зрения освоения материала и для практического применения знаний не только в математике, но и в реальных жизненных ситуациях. Например, особенно часто применять такие знания требуется в экономической сфере.
Цель работы – исследовать теоретические и практические основы эффективности использования различных методов решения систем уравнений и их применения при решении экономических задач.
Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:
изучить теоретические основы систем уравнений;
рассмотреть основные методы решения систем уравнений;
исследовать эффективность методов на конкретных примерах при решении экономических задач.
Предметом исследования являются методы решения систем уравнения.
Глава I
Системы уравнений. Основные понятия.
Рассмотрим теоретические основы темы «Системы уравнений».
Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными и , и ставится задача найти все пары чисел , таких, что при подстановке их в эти уравнения получаются верные числовые равенства, то говорят, что задана система уравнений и записывают её с помощью фигурной скобки в следующем виде
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Решить систему уравнений – значит найти множество всех пар чисел , таких, что при подстановке числа вместо х и числа вместо y получаются верные числовые равенства. Это множество будем называть решением системы уравнений.
Аналогично можно определить понятие системы уравнений с тремя или с большим числом неизвестных.
Система линейных уравнений это объединение из n линейных
уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:
Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.
Если даны два уравнения и , и ставится задача найти все пары чисел , которые удовлетворяют хотя бы одному из заданных уравнений, то говорят, что задана совокупность уравнений и записывают её в виде:
Решить совокупность уравнений – значит найти пары чисел , которые удовлетворяют хотя бы одному из заданных уравнений.
Две системы уравнений называются равносильными, если их решения совпадают.
Утверждения о равносильности систем уравнений:
Если изменить порядок уравнений системы (1), то полученная система будет равносильна системе (1).
Если одно из уравнений системы (1) заменить на равносильное ему уравнение, то полученная система уравнений будет равносильна системе (1).
Если первое уравнение системы (1) заменить уравнением, рав ным сумме первого уравнения, умноженного на некоторое отличное от нуля число а, и второго уравнения, умноженного на некоторое отличное от нуля число 13 EMBED Equation.3 1415, то полученная система уравнений будет равносильна системе (1); другими словами, для любых 13 EMBED Equation.3 1415 и а таких, что а
· 0, 13 EMBED Equation.3 1415
· 0, системы уравнений
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
равносильны.
Пусть в системе уравнений (1) одно из уравнений записано в таком виде, что в его левой части находится одно из неизвест ных, например х, в первой степени, а в правой части функция относительно у. Тогда можно сказать, что неизвестное х выраже но через неизвестное у. Если неизвестное х выражено через у из первого уравнения системы (1), то, подставив во второе уравнение системы (1) вместо х эту функцию от у, получим систему, равносильную системе (1). Другими словами, равносильны следующие две системы:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Если первое уравнение системы (1) равносильно совокупности k уравнений
P1 (x, y) = 0, , Pk (x, y) = 0,
то система (1) равносильна совокупности k систем уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Аналогичные утверждения могут быть сформулированы и для систем с большим числом уравнений и неизвестных.
При решении систем уравнений, их заменяют более простыми, равносильными им системами. Так же как и при решении уравнений, при решении систем уравнений важно знать при каких преобразованиях система переходит в равносильную ей систему. Очевидно, что при замене одного уравнения системы равносильным ему уравнением, система переходит в равносильную ей систему уравнений (в частности, можно переносить члены уравнения из одной части уравнения в другую с изменением знака, и умножать обе части уравнения на одно и то же отличное от нуля число).
Система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение.
Несовместной называется линейная система, не имеющая решения.
Неопределенной называется линейная система, имеющая бесконечное множество решений. Чаще всего неопределенной оказывается система уравнений, в которой количество уравнений меньше количества неизвестных.
Примером несовместной системы является следующая система:
13 EMBED Equation.3 1415
Как правило, несовместными оказываются системы уравнений, в которых количество уравнений больше количества неизвестных, однако это вовсе не означает, что если количество уравнений меньше количества неизвестных, то система непременно является совместной
Пример 1.1. Доказать, что система уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
несовместна.
Решение: Из первых двух уравнений этой системы находим, что
х = 4 и у = 2.
при подстановке найденных значений в третье уравнение получаем: неверное равенство
42 + 22 = 16 + 4 = 20 = 10.
Следовательно, исходная система несовместна.
Геометрический смысл полученного результата состоит в том, что окружность
х2 + у2 = 10
не проходит через точку А(4; 2) пересечения прямых
x - у = 2 и x + у = 6.
Может оказаться, что система уравнений несовместна и в случае, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. В случае двух уравнений с двумя неизвестными это означает, что линии н плоскости неизвестных x и у, соответствующие первому и втором уравнениям, не имеют общих точек.
Несовместной может оказаться и система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных. Например, несовместна система уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных. Пусть дана система
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. коэффициенты при x и y не пропорциональны, то система имеет единственное решение. Это решение графически иллюстрируется как точка пересечения двух прямых.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то система решений не имеет. В этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны и не совпадают.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то система имеет бесконечное множество решений. В этом случае прямые совпадают друг с другом.
Пример 1.2. При каких значениях параметра k система уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
имеет решения?
Решение: Составляет пропорцию, заключаем, что при k
· 0
13 EMBED Equation.3 1415,
Следовательно система не имеет решений. При этом запись
(-2) : (-1)
· 5k : 0
следует понимать так: отношение (-2) к (-1) не равно отношению 5k к 0.
При k = 0 получаем, что
13 EMBED Equation.3 1415,
то есть система имеет бесконечно много решений. Равенство пропорций (-2) : (-1) = 0 : 0 имеет место, поскольку справедливы равенства
(-2) = 2 * (-1) и 0 = 2 * 0.
Ответ: Система имеет решения только при k = 0.
Далее при решении систем уравнений буду рассматривать все виды этих систем.
Вывод к первой главе
Все системы можно разделить на виды:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
Число переменных может не равняться числу уравнений.
Решить систему – значит найти все ее решения.
Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.
Глава 2 Методы решения систем уравнений
Как уже говорилось в первой главе решить систему уравнений – значит найти множество всех пар чисел , таких, что при подстановке числа вместо х и числа вместо y получаются верные числовые равенства. Существуют различные приёмы решения систем уравнений. Рассмотрим основные методы.
2.1. Метод Подстановки
Заключается в следующем:
1. Выразить у через х из одного уравнения системы. 2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы. 3. Решить полученное уравнение относительно х. 4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге. 5. Записать ответ в виде пар значений (х; у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге. Переменные х и у, разумеется, равноправны, поэтому с таким же успехом мы можем на первом шаге алгоритма выразить не у через х, а х через у из одного уравнения. Обычно выбирают то уравнение, которое представляется более простым, и выражают ту переменную из него, для которой эта процедура представляется более простой.
Пример 1. Решить систему уравнений13 QUOTE 1415 Решение. 1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 - 3у. 2) Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - 3у) у 2. 3) Решим полученное уравнение:
13 QUOTE 1415
3у2 – 5у + 2 = 0,
4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу.
Пример 2. Решить систему уравнений13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Из первого уравнения системы находим, что 13 EMBED Equation.3 1415
Данная система равносильна системе 13 EMBED Equation.3 1415
Подставляя выражение 4-2x вместо y во второе уравнение системы, получим на основании утверждения 4 о равносильности систем уравнений, что исходная система равносильна системе
13 EMBED Equation.3 1415
которую после тождественных преобразований можно переписать в виде
13 EMBED Equation.3 1415
Подставляя вместо него значение, равное 1, в первое уравнение системы, найдем после тождественных преобразований, что она равносильна системе
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, исходная система имеет единственное решение (1;2).
Ответ: (1;2).
Пример 3. Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
2y = 26 – 5x ,
·:2
y = 13 – 2,5x ,
4x – 3(13 – 2,5x) = 7 ,
4x – 39 + 7,5x = 7 ,
11,5x = 46 ,
x = 4.
y = 3.
Ответ: (4;3).
Пример 4. Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
z = 1 – 3x – 4y,
2x +3y+(1 – 3x – 4y) = 0,
-1x – 1y= -1.
5x + 2y+2(1 – 3x – 4y),
5x + 2y+2 – 6x – 8y = 2,
-1x – 6y = 0.
13 EMBED Equation.3 1415
-y = -1x – (-1),
-1x – 6(-1x – 1) = 0,
5x = 6,
13 QUOTE 141513 QUOTE 1415
2. 2 Метод алгебраического сложения
Это эффективный метод решения систем уравнений. Сущность его в том, что к обеим частям одного из уравнений системы прибавляют соответствующие части другого уравнения, умноженные на одно и то же число, а другое уравнение оставляют без изменения. В результате, как правило, получается система, к которой применим метод подстановки.
Пример 1. Решить систему уравнений
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Решение. Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
В результате алгебраического сложения двух уравнений исходной системы получилось уравнение, более простое, чем первое и второе уравнения заданной системы. Этим более простым уравнением мы имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например второе. Тогда заданная система уравнений заменится более простой системой: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения находим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Подставив это выражение вместо у в первое уравнение системы, получим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Осталось подставить найденные значения х в формулу [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Если х = 2, то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Таким образом, мы нашли два решения системы: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Пример 2. Решите систему уравнений 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Метод подстановки в данном случае приводит к сложным выкладкам. Поэтому будем рассуждать иначе: прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, тогда получаем систему:
13 EMBED Equation.3 1415 т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
равносильную заданной. А теперь воспользуемся методом подстановки:
13 EMBED Equation.3 1415 т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Полученная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Первая система имеет решение 13 EMBED Equation.3 1415, а вторая 13 EMBED Equation.3 1415.
Значит, решение данной системы имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: (-8;5),(3;5),(8;-5),(-3;-5).
Пример 3. Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
9x + 29x = 35 + 3,
38x = 38,
x = 1.
y = 2.
Ответ: (1;2)
2.3 Метод введения новых переменных
Сущность его в том, некоторые выражения от исходных переменных принимаются за новые переменные, в результате чего получается более простая система уравнений, относительно новых переменных. После того как эта система буде решена, необходимо найти значения исходных переменных.
Пример 1. Решить систему уравнений [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Решение. Введем новую переменную [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Решим это уравнение относительно переменной t:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Оба эти значения удовлетворяют условию [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], а потому являются корнями рационального уравнения с переменной t. Но [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] значит, либо [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] откуда находим, что х = 2у, либо [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Таким образом, с помощью метода введения новой переменной нам удалось как бы «расслоить» первое уравнение системы, достаточно сложное по виду, на два более простых уравнения: х = 2 у; у 2х.
Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х2 - у2 = 3, о котором мы пока не вспоминали. Иными словами, задача сводится к решению двух систем уравнений:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Надо найти решения первой системы, второй системы и все полученные пары значений включить в ответ. Решим первую систему уравнений:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. Получим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Так как х = 2у, то находим соответственно х1 = 2, х2 = 2. Тем самым получены два решения заданной системы: (2; 1) и (-2; -1). Решим вторую систему уравнений: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]+
Снова воспользуемся методом подстановки: подставим выражение 2х вместо у во второе уравнение системы. Получим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Это уравнение не имеет корней, значит, и система уравнений не имеет решений. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы. Ответ: (2;1);(-2;-1). Пример 2. Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах.
Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы.
Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы. Так будет обстоять дело в примере 4. Пример 3. Решить систему уравнений [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Решение. Введем две новые переменные: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Учтем, что тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Это позволит переписать заданную систему в значительно более простом виде, но относительно новых переменных а и b:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Так как а = 1, то из уравнения а + 6 = 2 находим: 1 + 6 = 2; 6=1. Таким образом, относительно переменных а и b мы получили одно решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Возвращаясь к переменным х и у, получаем систему уравнений
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Так как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] то из уравнения 2x + y = 3 находим: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Таким образом, относительно переменных хиу мы получили одно решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2.4 Графический метод решения систем уравнений
Этим методом можно пользоваться для приближенного решения систем уравнений. Он основан на геометрическом смысле уравнений с двумя переменными. Известно, каждому уравнению соответствует линия или множество точек плоскости, а решить систему уравнений, значит найти координаты течек пересечения этих линий.
Пример 1. Решить систему уравнений:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.
Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).
Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).
Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.
Пример 2. Решить систему уравнений:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.
Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).
Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).
Ответ: (-2; 5).
Пример 3. Решите графически систему уравнений: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решение. Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415задает окружность с центром в начале координат и радиусом 6. Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 - парабола, это уравнение можно переписать в виде: 13 EMBED Equation.3 1415. Вершиной этой параболы является точка (0; 6), ветви параболы направлены вниз, она пересекает ось Ох в точках (6; 0); (-6; 0).
Построим графики указанных линий и найдем их точки пересечения .
Из чертежа видно, что линии пересекаются трижды и точками пересечения являются А(-6; 0); В(0; 6); С(6; 0).
Ответ: (-6;0), (0;6), (6;0).
2.5 Решение системы n линейных уравнений с n переменными методом Крамера
Пусть дана система n-линейных уравнений с n-неизвестными х1, х2,..., хn:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, и её определитель называются соответственно матрицей системы (1) и определителем этой системы.
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть Аij (i, j =1, 2,...,n)– алгебраические дополнения элементов определителя (. Преобразуем систему (1) так, чтобы каждое из её уравнений содержало только одно неизвестное. Для этого умножим первое уравнение системы на А11, второе – на А21,..., n-е – на Аn1 и сложим их; затем умножим уравнения системы соответственно на А21, А22, ..., Аn2 и сложим их, и т.д., наконец, умножим уравнения системы соответственно на Аn1, Аn2, ..., Аnn и опять сложим. Получим новую систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Правые части уравнения системы (2) обозначим соответственно символами (1, (2, ..., (n, где
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда система уравнений (2)примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Если (((, то из этих уравнений находим
13 EMBED Equation.3 1415
Полученные формулы называются формулами Крамера; они дают решение системы (2), полученной из системы (1).
Формулы Крамера (5) являются единственным решением системы (1), поскольку система (2) выведена из системы (1). Таким образом, следует
Теорема: если определитель системы (1) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера.
Правило Крамера. Система n уравнений с n переменными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, определяемое следующим правилом: значение каждого из переменных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом переменном столбцом свободных членов.
Пример 1. Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Выписываем определитель системы и находим его по правилу треугольника (a11*a22*a33+a12*a23*a31+a21*a32*a13-a13*a22*a31-a12*a21*a33-a23*a32*a11)
13 EMBED Equation.3 1415
Определитель |A1| получаем из определителя системы |A| заменой столбца при переменной x1 на столбец свободных членов, остальные столбцы в определитель переписываем без изменений.
Согласно свойству определителей:
Если в определителе какие-либо 2 строки (столбца) пропорциональны, то определитель равен 0.
1-ый и 2-ой столбец пропорциональны, значит определитель равен 0.
13 EMBED Equation.3 1415
Определитель |A2| получаем из определителя системы |A| заменой столбца при переменной x2 на столбец свободных членов, остальные столбцы в определитель переписываем без изменений.
Пропорций нет, вычисляем по правилу треугольника.
13 EMBED Equation.3 1415
Определитель |A3| получаем из определителя системы |A| заменой столбца при переменной x3 на столбец свободных членов, остальные столбцы в определитель переписываем без изменений.
2-ой и 3-ий столбец пропорциональны, значит определитель равен 0.
13 EMBED Equation.3 1415
Находим переменные x1, x2, x3:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: x1=0; x2=2; x3=0.
Пример 2. Решить систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: x1 = 1; x2 = 1; x3 = 1.
Пример 3. Решить систему уравнений:
Ответ: x1 = -152; x2 = 270; x3 = -254.
Пример 4. Решить систему уравнений:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Так как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]получаются из определителя [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]путем замены 1-го, 2-го или 3-го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Таким образом:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Итак, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- единственное решение.
Ответ: (1; 3; -2).
Пример 5. Рассмотрим применение систем линейных уравнений в решении задач.
Решить задачу: из двух сортов бензина образуются две смеси A и B . Смесь A содержит 60% бензина 1-го сорта и 40% 2-го сорта, смесь B содержит 80% бензина 1-го сорта и 20% 2-го сорта.
Сколько тонн смеси A и смеси B можно образовать, полностью, используя 50 тонн бензина 1-го сорта и 30 тонн бензина 2-го сорта?
Решение: Расположим все данные в таблице.
Наличие бензина
Вид смеси
Процентное содержание
1-го сорта
2-го сорта
1-го сорта
2-го сорта
50 т
30 т
А
60%
40%
В
80%
20%
Обозначим через x1 количество тонн смеси A , через x2 количество тонн смеси B , которые можно образовать из наличного бензина, полностью его используя. На каждую тонну смеси A идет 0,6т (60%) бензина 1-го сорта, на x1 тонн 0,6 x1 тонн бензина 1-го сорта. Аналогично, на x2 тонн смеси B уходит 0,8 x2 тонн бензина 1- го сорта. Следовательно, должно быть: 0,6 x1 + 0,8 x2 = 50.
Расход бензина второго сорта на смеси A и B составляет 0,4 x1 + 0,2 x2 тонн, то есть 0,4 x1 + 0,2 x2 = 30.
Итак, получили систему:
13 EMBED Equation.3 1415
Решаем ее методом Крамера:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: из 50 тонн бензина 1-го сорта и 30 тонн бензина 2-го сорта образуют 70 т смеси A и 10 т смеси B .
2.6 Решение систем уравнений методом Гаусса
Наиболее распространенным точным методом решения системы линейных уравнений является метод Гаусса. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему.
Пусть дана произвольная система линейных уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Будем производить над ней элементарные преобразования. Для этого выпишем матрицу из коэффициентов при неизвестных системы (1) с добавлением столбца свободных членов, другими словами расширенную матрицу 13 EMBED Equation.3 1415для системы (1):
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Предположим, что с помощью таких преобразований удалось привести матрицу 13 EMBED Equation.3 1415 к виду:
13 EMBED Equation.3 1415
где все диагональные элементы b11, b22,..., brr отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже диагональных, равны нулю. Матрице (3) соответствует система уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)13 EMBED Equation.3 1415
которая получается из системы (1) с помощью некоторого числа элементарных преобразований и, следовательно, равносильна системе (1). Если в системе (4) r=n, то из последнего уравнения, имеющего вид bnnxn=cn (где bnn
· 0), находим единственное значение xn, из предпоследнего уравнения – значение xn-1 (поскольку xn уже известно) и т.д., наконец, из первого уравнения – значение x1. Итак, в случае r=n система имеет единственное решение. Если же r
которая и является по существу общим решением системы (1).
Неизвестные х r+1, ..., х n называются свободными. Из системы (5) можно будет найти значения х1,..., х r.
Приведение матрицы
· к виду (3) возможно только в том случае, когда исходная система уравнений (1) совместна. Если же система (1) несовместна, то такое приведение невозможно. Это обстоятельство выражается в том, что в процессе преобразований матрицы
· в ней появляется строка, в которой все элементы равны нулю, кроме последнего. Такая строка соответствует уравнению вида:
0(х1+0(х2+...+0(хn=b,
которому не удовлетворяют никакие значения неизвестных, так как b
·0. В этом случае система несовместна.
В процессе приведения системы (1) к ступенчатому виду могут получаться уравнения вида 0=0. Их можно отбрасывать, так как это приводит к системе уравнений, эквивалентных прежней.
При решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя все преобразования над её строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразований матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.
Рассмотрим примеры решения систем методом Гаусса (или методом исключения неизвестных).
Пример 1. Решить систему методом Гаусса:
13 EMBED Equation.3 1415
x1 = 12
x2 = -4
x3 = -1
Ответ: (12;-4;-1).
Пример 2. Решить систему методом Гаусса:
13 EMBED Equation.3 1415
x1 = 3 x2 = 5 x3 = 4
Ответ: (3;5;4).
Пример 3. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений
13 EMBED Equation.3 1415 .
Решение: Выпишем расширенную матрицу 13 EMBED Equation.3 1415 данной системы и приведем ее к ступенчатому виду
13 EMBED Equation.3 1415.
Последовательно умножим первую строку на (–2) и прибавим ее ко второй строке, затем умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим
13 EMBED Equation.3 1415 .
Ко второй строке полученной матрицы прибавим третью строку, умноженную на 13 EMBED Equation.3 1415, затем во вновь полученной матрице умножим третью строку на 13 EMBED Equation.3 1415, четвертую – на (–1), затем последовательно умножим вторую строку на 2 и прибавим ее к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, получим
13 EMBED Equation.3 1415 .
Третью строку полученной матрицы умножим на 13 EMBED Equation.3 1415, четвертую – на 13 EMBED Equation.3 1415, затем третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Найденная матрица имеет треугольный вид; по этой матрице запишем систему уравнений, эквивалентную исходной системе,
13 EMBED Equation.3 1415 .
Последовательно находим неизвестные, начиная с последнего уравнения, 13 EMBED Equation.3 1415; подставим в третье уравнение найденное 13 EMBED Equation.3 1415, вычислим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; затем из второго уравнения находим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; из первого уравнения получим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вывод ко второй главе
Рассмотренные методы решения систем уравнений позволяют сделать следующие выводы:
Решение систем уравнений зависит от вида систем уравнений.
Нелинейные системы не имеют универсального способа решения, поэтому при решении конкретной системы уравнений нужно учитывать особенности заданных уравнений, переходя к равносильным системам.
Основные методы решения систем нелинейных уравнений:
метод подстановки;
метод введения новых переменных;
графический метод;
метод алгебраического сложения.
Метод Крамера применим только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Система n уравнений с n переменными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, определяемое следующим правилом: значение каждого из переменных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом переменном столбцом свободных членов.
В отличие от метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных, приводя систему к ступенчатому виду.
Глава 3 Применение различных методов
при решении экономических задач.
Во второй главе рассмотрены основные методы решения систем уравнений. Далее будет предложено решение экономических задач с нахождением наиболее удобного метода их решения.
Задача 3.1. В январе 2006 г. на счет в банке была положена некоторая сумма денег. В конце 2006 г. проценты по вкладу составили 2000 р. Добавив в январе 2007 г. на свой счет еще 18 000 р., вкладчик пришел в банк закрыть счет в декабре 2007 г. и получил 44 000 р. Какая сумма была положена на счет первоначально и сколько процентов в год начисляет банк?
Решение. Пусть вкладчик положил х рублей под у% .
В 2006 г. Процентная ставка будет 13 QUOTE 1415*у13 QUOTE 1415. Тогда в 2007 г.
После преобразований системы мы можем применить один из методов, рассмотренных во второй главе.
Однако следует учесть что:
Система нелинейных уравнений, поэтому исключим метод Крамера и метод Гаусса.
Графический метод также не подходит из-за громоздкости графика (слишком большие параметры).
Из оставшихся методов более всего подходит метод подстановки.
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
х=22000-200у,
-200у2+22000у-200000=0 \ч(-200)
у2-110у+1000=0
D=(-110)2=4*1000=810
х1 = 22000-200*100=2000 х2=22000-200*10=20000
Ответ: 2000 рублей под 100% годовых или 20000 под 100% годовых (реальнее второй вариант).
Задача 3.2. Пусть aij - количество продукции j, произведенной предприятием i, а bi - стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения aij и bi заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее методом Крамера и методом Гаусса.
13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415
Решение: Составим систему уравнений:
Решим систему методом Крамера
·= -1017
13 QUOTE 1415 = 231 * 9 * 1 + 238 * 8 * 10 + 216 * 5 * 11 - 216 * 9 *
*8 - 238 * 5 * 1 - - 231 * 10 * 11 = - 9153
13 QUOTE 1415 12 * 238 * 1 + 6 * 8 * 216 + 15 * 231 * 11 - 15 *
238 * 8 - 6 * 231 * 1 - 12 * 216 * 11 = - 7119
13 QUOTE 1415 = 12 * 9 * 216 + 6 * 231 * 10 + 15 * 5 * 238 - 15 * 9 *
231 - 6 * 5 * 216 - 12 * 10 * 238 = - 11187
x1 =
·1/
· = - 9153/ (- 1017) = 9
x2 =
·2/
· = - 7119/ (- 1017) = 7
x3 =
·3/
· = - 11187/ (- 1017) = 11
Решим систему уравнений методом Гаусса
13 QUOTE 1415
Ответ: цена 1-й продукции 9 руб., 2-ой продукции 7 руб., 3-ей – 11 руб.
Задача 3.3. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года 3/8 вклада, который составляет 800 тыс. руб., вложили в первый банк, 1/8 во второй банк и оставшуюся часть вклада в третий банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 907 тыс. руб. Если бы первоначально 1/8 вклада положили в первый банк, 4/8 вклада во второй банк, оставшуюся часть вклада в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов стала бы равна 894 тыс. руб. Если бы 4/8 вклада вложили в первый банк, 3/8 вклада во второй банк, оставшуюся часть вклада в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов была бы равна 903 тыс. руб. Какой процент начисляет каждый банк?
Решение. Введем следующие неизвестные:
x1 процент, начисляемый вкладчику в первом банке;
x2 процент, начисляемый вкладчику во втором банке;
x3 процент, начисляемый вкладчику в третьем банке.
Вклад в первый банк составил 13 EMBED Equation.3 1415тыс. руб.
Вклад во второй банк составил 13 EMBED Equation.3 1415тыс. руб.
Вклад в третий банк составил 13 EMBED Equation.3 1415тыс. руб.
Начислено в первом банке за год 13 EMBED Equation.3 1415тыс. руб.
Начислено во втором банке за год 13 EMBED Equation.3 1415 тыс. руб.
Начислено в третьем банке за год 13 EMBED Equation.3 1415 тыс. руб.
Всего на вклад в 800 тыс. руб., сделанный в три банка (в первый было начислено 300 тыс. руб., во второй 100 тыс. руб., в третий 400 тыс. руб.), было начислено за год:
907 800 = 107 тыс. руб.
Таким образом, первое уравнение системы 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично получим два других уравнения системы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
13 EMBED Equation.3 1415
Решим эту систему методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу A данной системы и приведем ее к ступенчатому виду. Для удобства решения переставим местами 1-ую и 2-ую строки. Последовательно умножим первую строку на (–3) и прибавим ее ко второй строке, затем умножим на (–4) и прибавим к третьей строке. Элементы второй строки умножим на 13 EMBED Equation.3 1415 и прибавим к элементам 3-ей строки. Вторую строку умножим на (-1), а третью на 13 EMBED Equation.3 1415 получим
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
При обратном ходе преобразований к элементам второй строки прибавим элементы третей, умноженные на (-5), также к элементам первой строки прибавим элементы третей, умноженные на (-3). Умножаем элементы второй строки на 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
К элементам первой строки прибавим элементы второй, умноженные на (-4).
13 EMBED Equation.3 1415
Система решена, она имеет единственное решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: первый банк выплачивает 15% годовых, второй банк 10% годовых, а третий банк 13%.
Задача 3.4. Из двух сортов бензина образуются две смеси A и B . Смесь A содержит 60% бензина 1-го сорта и 40% 2-го сорта, смесь B содержит 80% бензина 1-го сорта и 20% 2-го сорта.
Сколько тонн смеси A и смеси B можно образовать, полностью, используя 50 тонн бензина 1-го сорта и 30 тонн бензина 2-го сорта?
Решение: Расположим все данные в таблице.
Наличие бензина
Вид смеси
Процентное содержание
1-го сорта
2-го сорта
1-го сорта
2-го сорта
50 т
30 т
А
60%
40%
В
80%
20%
Обозначим через x1 количество тонн смеси A , через x2 количество тонн смеси B , которые можно образовать из наличного бензина, полностью его используя. На каждую тонну смеси A идет 0,6т (60%) бензина 1-го сорта, на x1 тонн 0,6 x1 тонн бензина 1-го сорта. Аналогично, на x2 тонн смеси B уходит 0,8 x2 тонн бензина 1- го сорта. Следовательно, должно быть: 0,6 x1 + 0,8 x2 = 50.
Расход бензина второго сорта на смеси A и B составляет 0,4 x1 + 0,2 x2 тонн, то есть 0,4 x1 + 0,2 x2 = 30.
Итак, получили систему:
13 EMBED Equation.3 1415
Система 2 уравнений с 2 переменными, следовательно, можем решить её методом Крамера.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: из 50 тонн бензина 1-го сорта и 30 тонн бензина 2-го сорта образуют 70 т смеси A и 10 т смеси B .
Заключение
В данной работе при исследование темы, материал представлен не только теоретически, но и практически.
В первой главе даны основные понятия систем уравнений, раскрыты их свойства и виды.
Также в данной работе рассмотрены основные методы решения систем уравнений, такие как: метод подстановки, метод алгебраического сложения уравнений, метод замены переменных, метод разложения на множители, графическое решение систем уравнений, метод Гаусса и метод Крамера.
На примерах решения экономических задач были выбраны методы, которые наиболее удобны для их решения. При написании третьей главы применены все теоретические знания, полученные в предыдущих главах.
Таким образом, задачи выполнены, и поставленная цель работы мной достигнута.
В процессе работы я узнала много нового:
Я научилась пользоваться научной литературой, сопоставлять и сравнивать различные точки зрения, выделять главное;
Теперь я знаю, какой путь решения систем уравнений наиболее простой и быстрый в конкретном случае, и еще в своей работе я изучила некоторые другие теоретические вопросы (например, определение матрицы и ее свойства).
Я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при решении задач не только в математике, но и таких сферах, как экономика. А также при сдаче в будущем школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ.
Список используемых источников и литературы
Ильин В.А., Куркина А.В. – «Высшая математика», М.:ТК Велби, изд-во Проспект, 2004г. – 600с.
http://uztest.ru/
http://vm.psati.ru
Лукинова С. Г. Высшая математика для экономистов. Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебно-методический комплекс дисциплины. – Красноярск: КФ МЭСИ, 2004, - 120 с.
Высшая математика для экономистов. – / Под редакцией Н.Ш. Кремера. – М.:ЮНИТИ, 2002, 471 с.
Математический анализ и линейная алгебра. Учебно-методическое пособие. / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ВЗФЭИ. 2008.
http://www.eduhmao.ru.
http://dic.academic.ru.
http://www.schoolife.ru.
Седакова В.И., Рочева И.Г. Решение нелинейных систем уравнений в классах с углубленным изучением // Современные проблемы науки и образования. – 2007. – № 5 – С. 60-66.
http://e-science.ru.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Рольф, 2000. – 416 с.
http://ru.wikipedia.org.
Алгебра. 9 класс. Дополнительные главы к школьному учебнику. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. М.: Просвещение, 1997. - 224с.
http://www.box-m.org.
Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 10-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2008. – 224 с.
Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 10-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2008. – 224 с.
Мордкович А.Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 10-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2008. – 224 с.
Приложения.
Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
Матрицами называются массивы элементов, представленные в виде прямоугольных таблиц, для которых определены правила математических действий. Элементами матрицы могут являться числа, алгебраические символы или математические функции.
Расширенной матрицей системы называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из матрицы системы, к которой справа приписан вектор правых частей.
Матричная алгебра имеет обширные применения в различных отраслях знания – в математике, физике, информатике, экономике. Например, матрицы используется для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, нахождения значений физических величин в квантовой теории, шифрования сообщений в Интернете.
Матрица обозначается одной из заглавных букв латинского алфавита, а набор ее элементов помещается в круглые скобки:
(1)
Представленная формулой (1) матрица A имеет m строк и n столбцов и называется mЧn матрицей (“эм на эн матрицей”) или матрицей размера mЧn. Строки матрицы нумеруются сверху вниз, а столбцы – слева направо.
Рис. 1. Порядок нумерации строк и столбцов матрицы.
Матричный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, называется i,j-м элементом и записывается в виде ai j , а выражение A = || ai j || означает, что матрицаA составлена из элементов ai j .
Матрица размера 1Чn называется строчной или вектор-строкой.
Матрица размера nЧ1 называется столбцевой или вектор-столбцом. Для краткости вектор-строку и вектор-столбец обычно называют просто векторами.
Особую роль играют матрицы, у которых число строк совпадает с числом столбцов, то есть матрицы размера nЧn. Такие матрицы называются квадратными При ссылке на квадратную матрицу достаточно указать ее порядок. Например, матрица третьего порядка имеет размер 3Ч3.
Квадратная матрица порядка 1 отождествляется с единственным ее элементом.
Понятие определителя квадратной матрицы A порядка n = 1,2,3,...
Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
Для неквадратных матриц понятие определителя не вводится.
Для обозначения определителя квадратной матрицы A будем пользоваться обозначением [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
Пусть A - произвольная квадратная матрица порядка n. Если n=1, то матрица A состоит из одного числа A. Положим по определению, что определитель такой матрицы равен числуA, т.е. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Если n=2, то матрица A имеет вид
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Положим по определению, что определитель такой матрицы равен
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если n=3, то матрица A имеет вид
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Положим по определению, что определитель такой матрицы равен
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Приведение матрицы к верхней трапециевидной форме.
Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующих трёх типов:
1) Перестановка двух строк (столбцов) матрицы;
2) Умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;
3) Прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой её строки (столбца), умноженной на любое число.
Квадратное уравнение и нахождение его корней.
Квадратное уравнение алгебраическое уравнение общего вида
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] свободная переменная, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] коэффициенты, причём [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Выражение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называют квадратным трёхчленом.
Корень такого уравнения (корень квадратного трёхчлена) это значение переменной [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], обращающее квадратный трёхчлен в ноль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество.
Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называют первым или старшим, коэффициент [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называют вторым или коэффициентом при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]называется свободным членом этого уравнения.
Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля.
Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.
Общая формула вычисления корней:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (1),
где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] коэффициенты; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Подкоренное выражение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называется дискриминантом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] корней два;
при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях);
при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] корней на множестве действительных чисел нет.
Квадратичная функция
y = ax2 + bx + c, где a [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0. График квадратичной функции - парабола.
Вершина параболы (х0;у0): х0= - b/2а, у0(х0)
Свойства функции и вид её графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта D = b2 - 4ac.
a > 0, D > 0
a > 0, D = 0
a > 0, D < 0
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
a < 0, D > 0
a < 0, D = 0
a < 0, D < 0
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Окружность. Уравнение окружности.
Окружность [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], называемое её [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Уравнение окружности в декартовых координатах с центром в точке O (a; b) и радиусом R имеет следующий вид:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Такие примеры будут рассмотрены ниже.
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115
Виды систем
Совместные (есть решение)
Несовместные (нет решений)
Совместные определенные (одно решение)
Совместные неопределенные (множество решений)
(4),
r
(5),
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeСистема линейных уравненийРисунок 1Система линейных уравненийEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1Рисунок 2Рисунок 4Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 8Рисунок 9Рисунок 10Рисунок 11Рисунок 13Рисунок 14Рисунок 15Рисунок 16Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 17Рисунок 18Рисунок 19Рисунок 21Рисунок 23Рисунок 25Рисунок 27Рисунок 28Рисунок 29Рисунок 30Рисунок 32Рисунок 34Рисунок 35Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native Рисунок 86\Delta=\begin{vmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 1 & 3 & 2
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native\\ 2 & 10 & 9 \\ \end{vmatrix}=5,\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\ 110 & 10 & 9 \\ \end{vmatrix}=-760,\ \ Delta=delim{|}{matrix{3}{3}{5 {-1} 2 2 3 {-4} 1 2 3}}{|}=5*3*3+(-1)*(-4)*1+2*2*2-1*3*2-2(-1)*3-2(-4)*5=x_1=Delta_1/Delta;~ x_2=Delta_2/Delta;~ x_3=Delta_3/Delta;x_1=Delta_1/Delta=97/97=1;~ x_2=Delta_2/Delta=293/97=3;~ x_3=Delta_3/Delta=-194/97=-2x_1=1, x_2=3, x_3=-2Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native
Приложенные файлы
