Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:
Применение свойств функции при решении уравнений и неравенствВыполнила работу:Галаева ЕкатеринаМБОУ СОШ №149Московского районаУченицы 11 «А» классаНаучный руководитель:Фадеева И. А.Учитель математики Основные направления:Изучение свойств функции: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность Узнать основные утверждения, которые наиболее часто используются при решении уравнений, неравенств и системРешение задач из материалов КИМ для подготовке к ЕГЭ МонотонностьФункция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.f(x1)≤f(x2) x1≤x 2 f(x1)≤f(x2) x1≥x 2 Утверждение 1. Если функция у = f(x) монотонна, то уравнение f(x) = с имеет не более одного корня.3𝑥+4𝑥=5𝑥x=2 3𝑥+4𝑥=5𝑥| :5𝑥35𝑥+45𝑥=1f(x)=35𝑥+45𝑥- монотонно убывающая, значит, других решений нет. Ответ: x=2 Утверждение 2. Если функция у = f(x) монотонно возрастает, а функция у = g(x) монотонно убывает, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного корня.2-x = lg(x +11) +1g(x) = 2-x является монотонно убывающей, а функция f(x)= lg(x + 11) + 1 монотонно возрастающей на области определения 𝑥≻−11, значит, уравнение f(х) = g(x) имеет не более одного корня. Подбором определяем, что х =-1 . Выше изложенное утверждение обосновывает единственность решения. а) f (х) ≤ g(x) в том и только в том случае, когда х ϵ (- ∞;x0];б) f (х) ≥ g(x) в том и только в том случае, когда х ϵ [х0; +∞).Наглядный смысл этого утверждения очевиденУтверждение 3. Если функция у = f (х) монотонно возрастает на всей числовой прямой, функция у = g(x) монотонно убывает на всей числовой прямой и f (х0) =g(x0), то справедливы следующие утверждения: Решить неравенство3𝑥5−5>𝑙𝑜𝑔3(5−𝑥)+2 Решение. Функция f(х) = 3𝑥5−5 монотонно возрастает на всей числовой прямой, а функция g(x) = 𝑙𝑜𝑔3(5−𝑥)+2 монотонно убывает на всей области определения. Поэтому неравенство f (х) > g(x) выполняется, если х > 2. Добавим область определения неравенства. Таким образом, получим системух > 2,5 — х > 0, откуда 2 < х < 5.Ответ: (2; 5). Утверждение 4. Если функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и f (f (х))=х имеют одно и то же множество корней, независимо от количество вложений.Следствие. Если n - натуральное число, а функция у = f(х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и n разимеют одно и то же множество корней. Решить уравнение 𝟏𝒙+𝒙𝟐+𝒙𝟒+𝒙𝟖+𝟏=𝒙𝟏𝟓. Ответ: 𝑥=85−12 Решение. При x≥1 правая часть уравнения не меньше 1, а левая часть меньше 1. Следовательно, если уравнение имеет корни, то любой из них меньше 1. При x≤0 правая часть уравнения неположительная, а левая часть положительна, в силу того что𝑥2+𝑥4+𝑥8+1 >𝑥. Таким образом, любой корень данного уравнения принадлежит интервалу (0; 1) Умножив обе части данного уравнения на х, и разделив на x числитель и знаменатель левой части, получим 𝟏𝟏+𝟏+𝟏+𝟏+𝟏𝒙𝟖=𝒙𝟏𝟔 Откуда 𝟏+𝟏+𝟏+𝟏+𝟏𝒙𝟖=𝟏𝒙𝟏𝟔 . Обозначив 𝟏𝒙𝟏𝟔 через t , где t >0, получим уравнение 1+1+1+1+1𝑥8 = t. Рассмотрим возрастающую на своей области определения функцию f(t)= 1+𝑡. Полученное уравнение можно записать в виде f(f(f(f(t))))=t, и по следствию утверждения 4 оно имеет то же множество решений, что и уравнение f(t)=t , т.е. уравнение 1+𝑡 = t, откуда 𝑡 −𝑡 −1= 0. Единственным положительным корнем этого квадратного относительно 𝑡 уравнение является 5+12. Значит, 𝑡=5+12, откуда 1𝑥8=5+12, т.е. 𝑥8=25+1, или 𝑥8=5−12. Ответ: 𝑥=85−12 Утверждение 1. Если max f (x) = с и min g(x) = с, то уравнение f(x)=g(x) имеет то же множество решений, что и система𝒇 (𝐱) = с 𝐠(𝐱) = с Ограниченность cos𝑥= 𝑥2+1Максимальное значение левой части равно 1 и минимальное значение правой части 1 , значит, решение уравнения сводиться к системе уравнений:cos𝑥=1𝑥2+1=1 , из второго уравнения находим возможный претендент x=0 , и убеждаемся, что он является решением и первого уравнения. Ответ: x=1. Решить уравнение 𝟒𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙+𝟑𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙=𝟕 Решение.Так как sin3x≤1 и cos4x≤1, левая часть данного уравнения не превосходит 7. Равной 7 она может быть в том и только том случае, если𝑠𝑖𝑛3𝑥=1,3𝑐𝑜𝑠4𝑥=1, откуда 𝑥=𝜋6+2𝜋𝑛3𝑥=𝜋𝑘2, где k,n ϵ Z. Остается установить, существуют ли такие целые k и n, при которых последняя система имеет решения. Ответ: −𝜋2+2𝜋𝑙,𝑙 𝜖 Z В задачах с неизвестными x и параметром a под областью определения понимают множество всех упорядоченных пар чисел (x;a) , каждая из которых такова, что после подстановки соответствующих значений x и a во все входящие в задачу соотношения они будут определены. Пример 1. При каждом значение параметра a решите неравенство log𝑎−𝑥(𝑥−𝑎−1)≥−1. Решение. Найдем область определения этого неравенства. 𝑥−𝑎−1>0,𝑎−𝑥>0,𝑎−𝑥≠1,Из которых видно, что система𝑥>𝑎+1,𝑥<𝑎,𝑥≠𝑎+1,Не имеет решений. Значит, область определения неравенства не содержит никаких пар чисел x и a , а поэтому неравенство не имеет решений. Область определенияОтвет: при любых значениях параметра a неравенство не имеет решений. Инвариантность, т.е. неизменность уравнения или неравенства относительно замены переменной каким-либо алгебраическим выражением от этой переменной. Простейшим примером инвариантности является четность: если 𝑦=𝑓(𝑥) – четная функция, то уравнение 𝑓𝑥=0 инвариантно относительно замены x и –x , поскольку 𝑓−𝑥=𝑓(𝑥) = 0. Инвариантность Найти корни уравнения 𝒇𝒙=𝟑𝟏, если 𝒙≠𝟎 и 𝟐𝒇𝒙+𝒇𝟒𝒙=𝟔𝒙. Решение. Заметим, что пара 𝒇𝒙 и 𝒇𝟒𝒙 инварианта относительно замене 𝒙 на 𝟒𝒙. Заменив 𝑥 на 4𝑥 в равенстве 2𝑓𝑥+𝑓4𝑥=6𝑥, получим 2𝑓4𝑥+𝑓𝑥=24𝑥. Умножив обе части данного равенства 2𝑓𝑥+𝑓4𝑥=6𝑥 на 2 и вычтя из полученного равенства почленно равенство 2𝑓4𝑥+𝑓𝑥=24𝑥, находим 3𝑓𝑥=12𝑥−24𝑥, откуда 𝒇𝒙=𝟒𝒙−𝟖𝒙. Теперь осталось решить уравнение 4𝑥−8𝑥=31, откуда 4𝑥2−31𝑥−8=0.Корнями уравнения являются числа 𝑥=−0,25 и 𝑥=8.Ответ: −0,25;8. Найти все значения a , для каждого из которых уравнение 8𝑥6+(𝑎−𝑥)3+𝑥2− 𝑥−𝑎 =0 имеет более трех различных решений. Решение задач с параметромСвойство монотонности |x|= 1+1−8𝑎4 положительноX= ± 1+1−8𝑎4 |x|=1−1−8𝑎4Для существования двух корней числитель должен быть положителен. Поэтому 1−1−8𝑎>0, 𝑎>0, 𝑎≠18. При 𝑎=18 корни первого и второго уравнения совпадают, что не отвечает требованию условия: наличие более трех корней. Ответ: 0<𝑎< 18. Найти все значения a, при каждом из которых уравнение 4𝑥−3𝑥−𝑥+𝑎=9|𝑥−3| имеет два корня. Преобразуем уравнение к виду 4𝑥−3𝑥−𝑥+𝑎−9𝑥−3=0И рассмотрим функцию f(x)=4𝑥−3𝑥−𝑥+𝑎−9𝑥−3 , определенную и непрерывную на всей числовой прямой . График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида y=kt+l. f(x)= 4𝑥−3𝑥−𝑥+𝑎−9 𝑥−3 При любом раскрытие модуля первого выражения k не превосходит 8, поэтому возрастание и убывание функции f(x) будет зависеть от раскрытия второго модуля. При x>3 функция f(x) будет убывать, а при x<3 − возрастать. То есть, при x=3 функция будет принимать наибольшее значение. Для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы f(3)>0. Свойство монотонности f(3)=12-|9-|3+a||>0 |9-|3+a||<12−12< 9-|3+a| <12−21< -|3+a| <3 −3< |3+a| <21 |3+a| <21−21< 3+a <21−24< a <18.Ответ: −24<a <18 Найти все значения параметра а, при каждом из которых для любого действительного значения х выполнено неравенство𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑎2 — а — 1+ 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑎2 — 6𝑎 +10≤ 4𝑐𝑜𝑠𝑥+ 2𝑎2 — 7𝑎 + 6+4. Перепишем неравенство в виде𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑎2 — а — 1+ 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑎2 — 6𝑎 +10− 4𝑐𝑜𝑠𝑥− 2𝑎2 — 7𝑎 + 6−4≤0,введем новую переменную t = 𝑐𝑜𝑠𝑥 и рассмотрим функцию f(t) = 𝑡+𝑎2 — а — 1+ 2𝑡 + 𝑎2 — 6𝑎 +10− 4𝑡− 2𝑎2 — 7𝑎 + 6−4, определенную и непрерывную на всей числовой прямой. График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида у = 𝑘𝑡 + 𝑙, где к < 0 (поскольку при любом варианте «раскрытия» модулей коэффициент при t будет отрицательным). Следовательно, функция y= f (х) убывает на (—∞; +∞). Так как 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑥, то t ϵ [—1; 1]. В силу монотонного убывания функции у= f (t) достаточно проверить левый край данного отрезка. max−1;1 f(t) = f(—1) =|а2 −а−2| +|а2 −6а + 8|−|2а2 − 7а + 6|. Заметим, что 𝑢+𝑣≤𝑢+𝑣. А истинным является 𝑢+𝑣≥𝑢+𝑣. Значит, 𝑢+𝑣=𝑢+𝑣, что возможно, только если числа и и v одного знака либо какое-нибудь из них равно нулю. 𝑢 = а2 — а — 2, 𝑣 = а2 −6а + 8; (а2 −а−2) (а2 −6а + 8) ≥ 0. Разложив квадратные трехчлены на множители, получим неравенство(𝑎+1) (𝑎 − 2)2(𝑎 − 4) ≥0,из которого находим, что а ϵ (—∞; —1] U {2} U [4; +∞).Ответ: (—∞; — 1] U {2} U [4; +∞). Пример 2. Найти все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений имеет хотя бы одно решение. 𝑦+𝑎=6sin𝑥𝑦4+𝑧2=6𝑎𝑎−32=𝑧2+6𝑧+𝑠𝑖𝑛22𝑥+9 Решение. Поскольку𝑦≥0 и sin x≤1, из первого уравнения следует, что a≤6. Поскольку 𝑦4+𝑧2≥0, из второго уравнения системы следует, что a ≥0. Таким образом, 0≤𝑎≤6.Третье уравнение системы, раскрывая скобки в левой его части и приводя подобные слагаемые, можно переписать так: 𝒂𝟐−𝟔𝒂=𝒛𝟐+𝟔𝒛+𝒔𝒊𝒏𝟐𝟐𝒙. Поскольку 𝑧2+6𝑧+𝑠𝑖𝑛22𝑥≥0, из последнего уравнения следует, что 𝑎2−6𝑎≥0, откуда a ∈ (−∞;0 ∪ 6;+∞) . Учитывая все 3 неравенства 0≤𝑎≤6 , получаем, что допустимыми значениями параметра a являются только 0 и 6 .Пусть a=0. Тогда из второго уравнения данной системы получим y=𝑧=0 .Поэтому первое уравнение системы примет вид sin x =0, откуда x=𝜋𝑛, n ∈ Z.При a=0, x =𝜋𝑛 , n ∈ Z, y=𝑧=0 третье уравнение системы, очевидно, выполнено.Пусть a=𝟔. Тогда левая часть первого уравнения данной системы не меньше 6, а правая не больше 6. Равенство возможно, если y=0, 𝑥=𝜋2+2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍. Тогда второе уравнение данной системы принимает вид 𝑧2=36, и, значит, z=±6.При a=6 и x=𝜋2+2𝜋𝑘, 𝑘 ∈𝑍, последнее уравнение данной системы принимает вид𝑧2+6𝑧=0. Из двух значений z=±6 только z=−6 принимает вид 𝑧2+6𝑧=0. Ответ: (𝜋𝑛;0;0 ), 𝑛 ∈𝑍, при 𝑎=0;(𝜋2+2𝜋𝑘;0; −6), k∈𝑍, при a=6 Свойство ограниченности Решение. Необходимо выполнение условия𝒙𝟎=−𝒙𝟎−𝟏𝟒,откуда 𝒙𝟎=−𝟕.При x=−7 уравнение примет вид 𝑎−52=2𝑎−5.Получим уравнение 𝑎−52=2𝑎−5, откуда 𝑎−5=0 или 𝑎−5=2. Корнями двух последних уравнений являются 𝑎=5, 𝑎=3, 𝑎=7. При этих значениях параметра число -7 является корнем уравнения. При 𝑎=5 уравнение примет вид 𝑥+72=2𝑥+7. Корнями того уравнения являются числа −9, −7, −5. Значит, при 𝑎=5 уравнение имеет больше одного корня. При 𝑎=3 и 𝑎=7 уравнение принимает вид 𝑥+74+16=𝑥+5+𝑥+9. Теперь раскрываем модуль При 𝑥≥−5 уравнение сводится к уравнению 𝑥+74+16=2(𝑥+7), откуда 𝑥+74−4𝑥+72+16=0. Последнее уравнение, квадратное относительно 𝑥+72, не имеет корней в силу отрицательности дискриминанта. При −9≤𝑥≤−5 уравнение принимает вид 𝑥+74+16=4 и имеет единственный корень 𝑥=−7.При 𝑥<−9 получаем уравнение 𝑥+74+16=−2(𝑥+7), откуда 𝑥+74−4𝑥+72+16=0. И оно тоже не имеет корней как и при 𝑥≥−5.Следовательно, при 𝑎=3 и 𝑎=7 данное уравнение имеет единственный корень.Ответ: {3;7}. Пример 3. Найти все значения параметра a,при каждом из которых уравнение 𝑥+74+𝑎−54=𝑥+𝑎+2+𝑥−𝑎+12 имеет единственный корень. Свойство инвариантности Свойство инвариантностиПример 4. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений 3∙2𝑦+5𝑦+3𝑥+4=5𝑦2+3𝑎𝑥2+𝑦2=1 имеет единственное решение. Решение. Заметим, что если (𝑥0 ;𝑦0) –решение системы, то и (𝑥0 ;−𝑦0)− Решение системы. Следовательно , для единственности решения необходимо, чтобы выполнялось условие −𝒚𝟎=𝒚𝟎,т.е. 𝒚𝟎=𝟎.При y=0 система имеет вид 𝟕+𝟑𝒙=𝟑𝒂,𝒙𝟐=𝟏.Если x=1, то 𝑎=103 ;если 𝑥=−1, то 𝑎=43. Пусть a=𝟒𝟑. Тогда данная система имеет вид𝟑∙𝟐𝒚+𝟓=−𝟑𝒙+𝟓𝒚𝟐𝒙𝟐+𝒚𝟐=𝟏.Поскольку 𝑦≥0, следует, что 𝑥≤1, 𝑦≤1. Тогда 𝑦≥𝑦2 , 3≥−3𝑥. Таким образом, 3∙2𝑦≥3≥−3𝑥, 5𝑦≥5𝑦2. Следовательно, 3∙2𝑦+5𝑦≥−3𝑥+5𝑦2, причём знак равенства возможен только в случае, когда 3∙2𝑦=3=−3𝑥 и 5𝑦=5𝑦2.Получаем систему 3∙2𝑦=3,−3𝑥=3,5𝑦=5𝑦2,𝑥2+𝑦2=1, откуда 𝑥=−1,𝑦=0.Значит, при a=34 данная система имеет единственное решение (-1;0).При a=𝟏𝟎𝟑 система имеет более одного корня. Ответ: a=𝟒𝟑. Итоги моей работыВ своей работе я изучила свойства функций: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность. Узнала очень много основных утверждений. Данные знания значительно упрощают задания с параметрами, которые имеют ужасающий вид. Систематизация задач по внешнему виду.Решение заданий типа 20. Цели, которые я поставила перед собой были достигнуты. Спасибо за внимание!
Приложенные файлы
