Исследование квадратичной функции.


Управление образования г. Ковров
Владимирской области
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя образовательная школа №9
Исследование квадратичной функции.
Работа учениц 9 в классаСерукова Анастасия
Староверова АнастасияРуководитель: учитель математики
Зинина Евгения Викторовна
Ковров 2013
Содержание:
Введение;
Основная часть
1.1 История зарождения и развития квадратичной функции;
1.2 Определение квадратичной функции, её график и свойства.
1.3 Задачи, связанные с квадратичной функцией и их решение;
1.4 Квадратичная функция в жизни.
Заключение
Список литературы.
Введение.
В школе начиная с седьмого класса, мы начинаем изучать понятие «функция». Мы строим графики различных функций, изучаем их свойства, но зачем мы это делаем-не всегда понятно. Возникают вопросы: А где в жизни мы встретимся с функцией? Надо ли вообще её изучать? В прошлом году мы проводили исследование линейной функции и убедились, что мы часто сталкиваемся с ней в жизни и при изучении различных наук.
В этом году мы поставили перед собой цель: исследовать квадратичную функцию. Для решения поставленной цели мы сформулировали следующие задачи:
1) изучить историю зарождения и развития квадратичной функции;2) исследовать свойства квадратичной функции;3) изучить применение квадратичной функции при решении задач в математике и других науках;
4) изучить, где в жизни встречается квадратичная функция.
Основная часть
1.1 История зарождения и развития квадратичной функции
Функция — одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Начиная лишь с 17 века в связи с проникновением в математику идеи переменных понятие функции явно и вполне сознательно применяется. Термин «функция» (от лат. functio — деятельность, исполнение) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному. Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год): « Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых".. Наконец, общее определение функции (в свременной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год). Он писал: "Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать, или оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе".
В 1837 году немецкий математик П. Л. Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: "y есть функция переменной x (на отрезке a < x < b), если каждому значению x на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение y, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие — аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами".К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение. Общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу x множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y = f(x), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы x множества А называют значениями аргумента, а элементы их множества В — значениями функции; во втором случае x — прообразы, y — образы.
1.2 Определение квадратичной функции, её график и свойства.
Функция y = f(x) называется квадратичной, если ее значения могут быть вычислены с помощью формулы f(x) = aх2 + bx + c; а,b,с-заданные числа. График квадратичной функции называется парабола- геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки . Если a > 0 , то ветви параболы направлены вверх. Если a < 0 , то ветви параболы направлены вниз.


Расположение параболы на координатной плоскости

Итак, расположение графика квадратичной функции и её свойства зависят от значений a,b,c.
1.3 Задачи, связанные с квадратичной функцией и их решение
Рассмотрим несколько задач по теме «Квадратичная функция» и остановимся на подробном их решении.
Задача 1.
Найти сумму целых значений числа p, при которых вершина параболы
y = 1 3x2– 2px + 12p расположена выше оси Ox.
Решение.
Ветви параболы направлены вверх (a = 1/3 > 0). Так как вершина параболы лежит выше оси Ox, то парабола не пересекает ось абсцисс (рис. 1). Значит, функция y = 1/3x2 – 2px + 12p не имеет нулей,а уравнение1/3x2 – 2px + 12p = 0 не имеет корней. Это возможно, если дискриминант последнего уравнения окажется отрицательным.Вычислим его:
D/4 = p2 – 1/3·12p = p2 – 4p;
p2 – 4p < 0;
p(p – 4) < 0;
p принадлежит интервалу (0; 4).Сумма целых значений числа p из промежутка (0; 4): 1 + 2 + 3 = 6.
Ответ: 6.
Рис.1

Задача 2. На рисунке изображен график квадратичной функции. Какая из перечисленных формул задает эту функцию?

Решение
Так как ветви параболы направлены вниз, то ответом могут служить формулы под номером 2и 4. Координата абсциссы вершины параболы под номером 2: х=-2-2=1, а под номером 4: х=2-2=-1, значит данную функцию задаёт формула номер 4.
Ответ: 4.
Задача 3. На учебном полигоне произведен выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении не разрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту подъема снаряда, если начальная скорость снаряда ν0 = 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение.
Из курса физики известно, что путь s, пройденный телом при равноускоренном движении, изменяется в зависимости от времени по закону s = s0 + ν0 t + at2/ 2, где s0– начальный путь, ν0 – начальная скорость, a – ускорение, t – время.
В рассматриваемом случае s =0,v =300 м/с, а=-5 м/с ,значит,
S(t) = 300t – 5t2 .
Функция S(t) принимает наибольшее значение при
Ответ: наибольшая высота подъема снаряда равна 4500 м.
Задача 4.

По рисунку составьте уравнение зависимости координаты тела от времени х(t)
Решение Зависимость х(t) является  квадратичной   функцией  и график этой зависимости можно использовать для описания прямолинейного равноускоренного движения. х = х0 + υ0хt + ахt2/2, где t-время движения, υ0х – начальная скорость движения, ах- ускорение. Значит,  х = 2 + 3t + t2
Ответ: х = 2 + 3t + t2
Итак, мы убедились, что задачи с квадратичной функцией встречаются не только в математике, но и в физике. Видов задач много и мы рассмотрели только их малую часть.
1.4 Квадратичная функция в жизни.
Рассматривая траекторию полета камня, брошенного над горизонтом, линии струй фонтана, полет космической ракеты мы видим их разнообразие и явное сходство.
Параболы используются в радиолокации при создании узконаправленных антенн, в астрономии –радиотелескопы, ярким примером является Зеленчугская обсерватория. Для уменьшения размеров телескопов используются параболические зеркала. А также применение парабол мы наблюдаем в самолетостроении, в баллистике и автомобильной промышленности (для уменьшения сопротивления воздуха-обтекаемости). В спортивных состязаниях в таких видах, как метание копья и молота, толкание ядра и других видах легкой атлетики присутствует движение по параболе. Зададим вопрос, от чего зависит многообразие линий параболы и можем сказать: «От разных значений коэффициентов квадратичной функции, то есть параметров».
1.Зависимость перемещения тела от времени при равноускоренном движении прямо пропорционально квадрату времени движения S=at2/2.
2. При стрельбе на горизонтальной поверхности под различными углами к горизонту зависимость дальности полета снаряда от угла вылета выражается формулой:

Из этой формулы следует, что при изменении угла вылета снаряда от 90° до 0° дальность его падения сначала увеличится от нуля до некоторого максимального значения, а затем снова уменьшится до нуля. Из этой формулы следует, что максимальная дальность полета будет наблюдаться при бросании тела (при стрельбе) под углом 450;
3. Примерами зависимостей квадратичной функции являются зависимости мощности электрического тока P=I2R при постоянном сопротивлении, угол поворота при равнопеременном движении =0t+t2/2, кинетической энергии E=mv2/2 и другие формулы, связывающие различные физические величины.
4. Иллюстрацией вида графика квадратичной функции (параболы) является траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту
5.Основное уравнение МКТ идеального газа (различные формы записи)Р=1/3 рv2, где Р-давление, р-плотность, v-средняя квадратичная скорость.
6. При протекании электротока I(Ампер) через проводник, на концах его наводится разница потенциалов – электронапряжение U(Вольт), значит проводник имеет некоторое электрическое сопротивление R(Ом):
R=U/I =t*U/Q =U2/P, где Р-мощность преобразования энергии.
7. Квадратичная зависимость скорости света подтверждается астрономическими наблюдениями. Количественный преобразовательный коэффициент равен:
СZ = S*w2 = r2*w2 = (r*w)2, (метр2)
и есть полная площадь сечения материи, описывает количество материи для электрической индуктивности и выражено в квадратичной зависимости от величины «длинна» и величины «число витков».
Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Однако мало кто знает, что зона достижимости для пущенных нами камней вновь будет параболой. В данном случае мы говорим об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью. Если рассматривать такую огибающую в пространстве, то возникнет поверхность, образованная вращением этой параболы вокруг ее оси. Такая поверхность носит название параболоида вращения.
Как и другие конические сечения, парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно ее оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения
Очевидно, что пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в ее фокусе. На этом основана идея телескопов-рефлекторов, зеркала которых выполнены в виде параболоидов вращения. Любопытно, что параболоид вращения образует поверхность жидкости в цилиндрическом сосуде, если его вращать относительно своей оси.
Если параболоид вращения равномерно сжать к одной из плоскостей, проходящих через его ось, то получается поверхность, которая называется эллиптическим параболоидом. Это название объясняется тем, что любое плоское сечение этой поверхности - либо эллипс, либо парабола Уравнение эллиптического параболоида имеет вид . Если , то такой эллиптический параболоид будет параболоидом вращения.
Заключение
Итак, в ходе нашего исследования мы убедились, что свойства параболы широко используются в нашей жизни, и с движением по параболе мы очень часто сталкиваемся. Поэтому изучение квадратичной функции необходимо в школьном курсе алгебры.
Трудное сделаем легким, легкое привычным , привычное приятным!
Список используемой литературы:
1) Виленкин Н. Л. Функции в природе и технике. – М.: Просвещение, 1978
2) Гнеденко Б. В. Математика в современном мире. М: Просвещение, 1980
3) Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1997
4) Интернет ресурсы:
http://school-collection.edu.ru
http://copy.yandex.net


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Авторы:Ученицы средней школы №9Серукова АнастасияСтароверова АнастасияУчитель:Зинина Евгения Викторовна2013 год. задачи исследования: 1) изучить историю зарождения и развития квадратичной функции;2) исследовать свойства квадратичной функции;3) изучить применение квадратичной функции при решении задач в математике и других науках; 4) изучить, где в жизни встречается квадратичная функция. Содержание:Введение;Основная частьИстория зарождения и развития квадратичной функции;Определение квадратичной функции, её график и свойства.Задачи, связанные с квадратичной функцией и их решение;Квадратичная функция в жизни.Заключение термин «функция» (от лат. functio — деятельность, исполнение) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному. Готфрид Вильгельм фон Лейбниц Иоганн Бернулли Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год). Наконец, общее определение функции (в свременной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год). Леонард Эйлер. Николай Лобачевский. Ио́ганн Пе́тер Гу́став Лежён-Дирихле. К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение. Фридрих Фреге. Юлиус Дедекинд Пеано Джузеппе Свойства квадратичной функции Свойства квадратичной функции Координаты вершины параболы.Зависимость расположения графика функции от дискриминанта.


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Рассмотрим несколько задач по квадратичной функции  Значит, функция y = 1/3x2 – 2px + 12p не имеет нулей, а уравнение1/3x2 – 2px + 12p = 0 не имеет корней. Это возможно, если дискриминант последнего уравнения окажется отрицательным. Вычислим его:D = 4( p2 – 4p); p(p – 4) < 0;p принадлежит интервалу (0; 4).Сумма целых значений числа p из промежутка(0; 4): 1 + 2 + 3 = 6.     Квадратичная функция в жизниТраектория полёта камня РадиотелескопыРадиолокация Баллистика- наука, исследующая движение снарядов.СамолётостроениеАвтомобильная промышленность Метание копьяМетание молотаСПОРТ От чего зависит многообразие линий параболы ?От разных значений коэффициентов квадратичной функции, то есть параметров. Примеры:1. При стрельбе на горизонтальной поверхности под различными углами к горизонту зависимость дальности полета снаряда от угла вылета выражается формулой: Примеры зависимостей квадратичной функции   2) угол поворота при равнопеременном движении=0t+t2/2 E=mv2/2 4) Основное уравнение МКТ идеального газа  график зависимости на скорость света. парабола обладает оптическим свойствомАвтомобильная фараКарманный фонарикПараболоид вращения

Приложенные файлы

  • docx file 16
    проект.
    Размер файла: 580 kB Загрузок: 0
  • ppt file15
    презентация к проекту.
    Размер файла: 4 MB Загрузок: 0
  • pptx file 17
    презентация к проекту
    Размер файла: 4 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий