Урок в режиме модульной технологии по теме: «Тригонометрические уравнения»


Автор урока: Чернова Ирина Николаевна,
преподаватель математики КОГПОАУ
«Техникум промышленности и народных
промыслов города Советска»
МОДЕЛЬ УРОКА ПО ТЕМЕ
«РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»
Тема: Решение тригонометрических уравнений.
Дидактическая цель: Создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной информации, применения их в знакомой и новой учебной ситуациях, проверки уровня усвоения системы знаний и умений средствами технологии модульного обучения.
Цели по содержанию:
Образовательные:
Создать условия для выработки умения решать простейшие тригонометрические уравнения, решать тригонометрические уравнения по заданному алгоритму, решать тригонометрические уравнения, самостоятельно выбирая метод решения и применяя знания в нестандартной ситуации;
Способствовать пониманию взаимосвязи между различными типами тригонометрических уравнений;
Развивающие:
Способствовать формированию умения устанавливать причинно-следственные связи в процессе самостоятельной работы с текстом путеводителя;
Способствовать развитию умения анализировать и оценивать свое владение системой знаний по теме.
Воспитательная:
Способствовать формированию математической культуры личности (способствовать развитию математически правильной письменной речи).
Уровневые цели для учащихся.
1 УРОВЕНЬ – решать простейшие тригонометрические уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным.
2 УРОВЕНЬ – решать уравнения методом разложения на множители и однородные тригонометрические уравнения.
УРОВЕНЬ – решать тригонометрические уравнения, самостоятельно выбирая метод решения (применяя знания в нестандартной ситуации).
Методы: репродуктивный, частично-поисковый.
Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная.
Технология: модульного обучения.
Средства обучения: путеводитель для учащихся, учебник А.Н. Колмогорова «Алгебра начала анализа 10-11», справочник учащихся.

ХОД УРОКА
Этапы Деятельность учителя Деятельность уч-ся
1.Оргмомент Приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку, наличие на столах оценочных листов и путеводителей. Приветствуют учителя, сообщают о наличии на столах оценочных листов и путеводителей.
2.Целеполагание и мотивация. Объявляет тему. Предлагает сформулировать тему урока, прочитав цели учебных блоков. Записывает на доске цели по уровням.
Почему важно уметь решать тригонометрические уравнения? Работают с путеводителем, формулируют цели. Определяют для себя объем работы на уроке, записывают цели в тетрадь.
3.Актуализация. Предлагает найти среди данных уравнений тригонометрические:
Предлагает указать среди уравнений те, которые не имеют корней и объяснить почему. Указывают тригонометрические уравнения.
Отвечают на вопрос учителя.
4.Первичное усвоение, осознание и осмысление учебного материала, проверка уровня усвоения. 1.Разъясняет суть работы с путеводителем. Объясняет, что оценка за урок(т.е. за весь модуль) зависит от суммы набранных баллов по всем учебным блокам.
Если n≥26 , то ученик получает «5», при 20 ≤n≤ 25 – оценка «4», при 12≤n≤ 19 – оценка «3», при n<12 – оценка «2».
2.Консультирует учащихся, координирует их деятельность по завершении самостоятельных работ, демонстрирует ученику эталон ответа. Слушают.
Работают с путеводителем, заполняют оценочные листы.
5.Рефлексия. Предлагает оценить свою деятельность на уроке, оценку поставить в оценочный лист.
Предлагает ответить на вопросы блока № 6. Работа по вопросам путеводителя (блок № 6).
6.Домашнее задание. Учащиеся записывают уровневое домашнее задание.


Приложение № 1
Оформление записей на доске.
На обратной стороне:
Если n≥26 , то ученик получает «5»,
при 20 ≤n≤25 – оценка «4»,
при 12≤n≤19 – оценка «3»,
при n<12 – оценка «2».
18.01.02. Решение тригонометрических уравнений.
Цели:
1 уровень – решать простейшие тригонометрические уравнения и уравнения, сводящиеся к «квадратным».
2 уровень – решать уравнения методом разложения на множители и однородные тригонометрические уравнения.
3 уровень – решать уравнения, самостоятельно выбирая метод решения (применяя знания в нестандартной ситуации). На обратной стороне.
Приложение № 2
П У Т Е В О Д И Т Е Л Ь
Учебный блок № 1
Цель: Закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.
Указания учителя: Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений. Для этого посмотрите в справочнике таблицу «Решение простейших тригонометрических уравнений». Выполните письменно самостоятельную работу.
Задание самостоятельной работы.
( на 10 минут).
1 вариант 2 вариант
а) соs х = ½ (1 балл) а) sin х =- ½ (1 балл)
б) sin х = - √3/2 (1 балл) б) соs х =√3/2 (2 балла)
в) tg х = 1 (1 балл) в) сtg х = -1 (1 балл)
г) соs (х + π/3) = 0 (2 балла) г) sin (х- π/3) =0 (2 балла)
д) 2 соs х = 1 (2 балла) д) 4sin х = 2 (2 балла)
е) sin 4х = 1 (2 балла) е) соs 4х =0 (2 балла)
Если вы выполнили работу, то поднимите руку и возьмите правильные ответы у учителя. Исправьте свои ошибки и проставьте число заработанных баллов в оценочный лист. Если вы набрали 7 и более баллов, то переходите к следующему учебному блоку. Если же у вас набрано менее 7 баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка, и проставьте набранные баллы в графу «Корректирующие задания»
Учебный блок № 2
Цель: Сформировать умение решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.
Указания учителя: Прочитайте внимательно данные ниже пояснения. Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что, пользуясь изученными формулами (над доской и в справочниках), надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin х или соs х) или комбинацию функций обозначить через t, получив при этом квадратное уравнение относительно t.
Пример 1. Решить уравнение –1 + 3 tg2х + 2 tgх=0
Решение. Запишем сначала это уравнение в стандартном виде, т.е. на 1 месте слагаемое, у которого наибольшая степень.
3 tg2х + 2 tgх-1=0
Пусть tgх=t , тогда уравнение примет вид 3 t2 + 2t-1=0
а=3, b=2, с= -1
Д=b2 –4ас; Д=22-4*3*(-1)=4+12=16, √Д=4
- b±√Д -2+4 -2-4
t=-----------; t1= ----------= 1/3 ; t2= ----------= - 1;
2а 6 6Вернемся к подстановке: tgх=t, а т.к. t=1/3 и t=- 1, то
tgх=1/3 tgх= - 1
х=аrсtgх1/3 + πn, n Z х= - π/4 + πn, n Z
Ответ: х=аrсtgх1/3 + πn, n Z
х= - π/4 + πn, n Z
Пример 2. Решить уравнение 4-соs2х=4sinх
Решение. Так как 4sin2х+ соs2х =1, то
соs2х = 1- sin2х
Подставим в уравнение вместо соs2х выражение 1- sin2х
Получим: 4- (1- sin2х) = 4 sinхРаскрываем скобки и переносим слагаемое из правой части в левую.
4- 1+ sin2х - 4 sinх=0
sin2х-4 sinх+3=0
Пусть sinх=t,
Тогда уравнение примет вид: t2-4t+3=0
а=1, b= -4, с=3
Д=4, t1=3, , t2=1
Возвращаемся к подстановке: sinх=t, а т.к. t=3, t=1, то
sinх=3
Уравнение корней не имеет, т.к. 3 Е (sinх)
Е (sinх)=[-1; 1]
sinх=1 – частный случай
х=/2+2n, nZ
Ответ: х=/2+2n, nZ
Если вы разобрались в примерах 1 и 2, то выполните письменно самостоятельную работу.
Задания для самостоятельной работы.
(10 минут).
1 вариант 2 вариант
а) tg2х - 3tgх+2 = 0 (2 балла) а) 2+ соs2х-3 соsх=0 (2 балла)
б) 2 соs2х+5sinх-4=0 (3 балла) б) 4-5 соsх- 2sin2х =0 (3 балла)
Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть, проставьте количество баллов в оценочные листы.
Если вы набрали 5 баллов, то переходите к следующему этапу, если же меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичное тому, в котором ошиблись.
Учебный блок № 3
Вы прошли первый уровень усвоения материала.
Цель: Сформировать навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.
Указания учителя: Внимательно прочитайте данное ниже пояснение и выполните задания.
Метод разложения на множители.
Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит произведение нескольких множителей, а в другой 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде совокупности более простых уравнений.
Самыми распространенными способами разложения на множители являются: вынесение общего множителя за скобки, группировки, применение формул сокращенного умножения.
Пример 1. Решить уравнение: 2 соs2х + √3соsх=0
Решение. Вынесем общий множитель соsх за скобки, получим:
Соsх (2 соsх + √3)=0
Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0.
Соsх=0 или 2 соsх + √3=0
2 соsх= - √3
соsх= - √3/2
х=аrссоs (- √3/2) +2n, nZ
х=5/6 +2n, nZ
Ответ: х=/2+n, nZ
х=5/6 +2n, nZ
Пример 2. Решить уравнение 3sin2х – соsх = 0
Решение. Разложим по формуле: sin2х (sin2х= 2sinх соsх)
3*2sinх соsх – соsх=0
6sinх соsх– соsх=0
Вынесем за скобки общий множитель соsх , получим: соsх (6sinх-1)=0
соsх=0 или 6sinх-1=0
х=/2+n, nZ 6sinх=1
sinх= 1/6
х=(-1)k аrcsinх 1/6 + k, kZ
Ответ: х=/2+n, nZ
х=(-1)k аrc sinх 1/6 + k, kZ
Выполните письменно самостоятельную работу.
Задание для самостоятельной работы.
(на 10 минут).
1 вариант 2 вариант
а) sin2х – sinх=0 (2 балла) а) сtg2х -4сtgх = 0 (2 балла)
б) 3соsх + 2 sin2х=0 (3 балла) б) 5 sin2х-2 sinх = 0 (3 балла)
Проверьте свою работу, взяв правильные ответы у учителя. Проставьте набранные баллы в оценочный лист. Если вы набрали 5 баллов, то переходите к следующему блоку. Если меньше, то решите задание другого варианта.
Учебный блок № 4
Цель: Сформировать навык решения однородных уравнений.
Указания учителя: Однородным тригонометрическим уравнением 1 степени являются уравнения вида а sinх + b соsх = 0 , где а и b – числа, причем а ≠ 0 и в≠ 0.
Однородным тригонометрическим уравнением 2 степени является уравнение вида
а sin2х + b sinх соsх + с соs2х = 0, где а, в, с – некоторые числа, причем а ≠ 0, в≠ 0, с≠ 0 (каждое слагаемое этого уравнения имеет 2-ую степень).
Пример 1. Решить уравнение 5 sinх-2 соsх=0
Решение. Это уравнение является однородным 1 степени. Такие уравнения решаются методом деления левой и правой части на соsх5 sinх-2 соsх=0 / : соsх, соsх≠0
5 sinх 2 соsх 0
------- - ---------- = ------
соsх соsх соsх5tgх-2=0
5tgх=2
tgх=2/5
х=аrсtgх 2/5 +n, nZ
Ответ: х=аrсtgх 2/5 +n, nZ
Пример 2. Решить уравнение 12 sin2х + 3 sin2х-2 соs2х=2
Решение. Пока это уравнение не является однородным. Но его можно превратить в однородное, разложив sin2х по формуле: sin2х=2 sinх соsх12 sin2х + 3*2 sinх соsх-2 соs2х=2
12 sin2х + 6 sinх соsх-2 соs2х=2
Число 2 представим как 2х1, а т.к. 1= соs2х+ sin2х, то
2=2 (соs2х+sin2х) = 2 соs2х+2 sin2х
12 sin2х + 6 sinх соsх-2 соs2х=2 соs2х+2 sin2х
12 sin2х + 6 sinх соsх-2 соs2х-2 соs2х-2 sin2х=0
10 sin2х +6 sinх соsх-4 соs2х=0
Теперь это уравнение стало однородным второй степени. Оно решается методом деления на соs2х
10 sin2х +6 sinх соsх-4 соs2х=0 / : соs2х, соs2х≠0
10 sin2х 6 sinх соsх 4 соs2х 0
----------- + --------------- - ------------ = ---------
соs2х соs2х соs2х соs2х10tg2х + 6 tgх –4 = 0
tgх=t10 t2х + 6t –4 = 0
Д=36+160=196; √Д=14
-6+14
t1= ------------= 2/5
20
-6-14
t2= ------------= -1
20
tgх=2/5
х=аrc tgх2/5 +n, nZ
tgх=-1
х=- /4 +n, nZ
Ответ: аrc tgх2/5 +n, nZ
х=- /4 +n, nZ
Выполните письменно самостоятельную работу.
Задание для самостоятельной работы.
( на 10 минут).
1 вариант 2 вариант
а) sinх – соsх=0 (2 балла) а) 5sinх + 6соsх = 0 (2 балла)
б) sin2х- sin2х = 3соs2х (3 балла) б) 3sin2х- 2sin2х + 5соs2х (3 балла)
Указания учителя: Если вы набрали 5 баллов, то можно переходить к следующему учебному блоку. Если набрано менее 5 баллов, то нужно решить тот номер другого варианта, где допущена ошибка.
Учебный блок № 5
Указания учителя: Молодцы. Вы усвоили решение уравнений 2 уровня сложности.
Теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Для этого воспользуйтесь основными тригонометрическими формулами и формулами приведения из справочника.
Выполните письменно самостоятельную работу.

Задание для самостоятельной работы.
1 вариант 2 вариант
а) соs2х-5sinх –3 = 0 (1 балл) а) соs2х-3sinх = 2 (1 балл)
б) sin2х + соs2х = 0 (2 балла) б) sin2х + соs2х = 0 (2 балла)
в) соs2х-соs2х = sinх (2 балла) в) 6-10соs2х+4соs2х = sin2х (2 балла)
г) 5-5соs (π/2-х) =2 соs2 (π-х) (2 балла) г) соs2 (π/2+х) - соs2 (2π+х) =0(2 балла)
Указания учителя: Проверьте и оцените свои работы. Исправьте ошибки, если они есть, подсчитайте баллы. Проставьте количество баллов в оценочный лист. Оцените свои работы.
Учебный блок № 6.
Цель: Оцените результаты своей деятельности.
Ответьте письменно на вопросы:
что узнали на уроке?
Чему научились?
Какие трудности испытали?
Что нужно сделать, чтобы повысить результат?
Запишите домашнее задание.
1.Если вы заработали на уроке оценку «5», то выполните дома № 24(2) с.94.
2.Если вы получили оценку «4», то № 170 с.81.
3.Если вы получили оценку «3» или «2», то сделайте дома № 166 и № 168 (б,г) с.80.

Приложение № 3
ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ УЧАЩЕГОСЯ
Фамилия ________________________________________________________________________
Имя ____________________________________________________________________________
Учебные блоки Количество баллов за основные задания Корректирующие задания Общее количество баллов за этап
№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5 Итоговое количество баллов Оценка

Приложенные файлы

  • docx trigonometricheskie_uravnenija
    Автор урока: Чернова Ирина Николаевна, преподаватель математики КОГПОАУ «Техникум промышленности и народных промыслов города Советска»
    Размер файла: 28 kB Загрузок: 4

Добавить комментарий