Урок в режиме модульной технологии: «Касательная к графику функции»

Автор:
Чернова Ирина Николаевна
преподаватель математики
КОГПОАУ «Техникум промышленности и народных промыслов г. Советска», 2014 год

Тема: Касательная к графику функции (2ч.)

Дидактическая цель:
создать условия для создания и осмысления блока новой учебной информации применение ее в знакомой и новой учебной ситуациях, проверки уровня усвоения системы знаний и умений средствами технологии модульного обучения.
Тип урока: комбинированный
Цели по содержанию:
Образовательные.
- Создать условия для усвоения понятия касательной, геометрического смысла производной, алгоритма написания уравнения касательной;
- Создать условия для применения геометрического смысла производной и алгоритма написания уравнения касательной при решении задач по образцу, самостоятельно выбирая метод решения и применения знания в нестандартной ситуации;
- Способствовать пониманию взаимосвязи между различными подтемами раздела «Производная».
Развивающие.
- Способствовать формированию умения устанавливать причинно-следственные связи в процессе работы с текстом путеводителя;
- Способствовать развитию логического мышления, умения самостоятельно работать, навыков самоконтроля;
- Способствовать развитию умения анализировать и оценивать свое владение системой знаний и умений по теме;
Воспитательная.
- Способствовать воспитанию трудолюбия, аккуратности, целеустремленности.
Уровневые цели для учащихся
I уровень – познакомиться с понятием касательной, геометрическим смыслом производной и уравнением касательной. Находить угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в указанной точке, находить тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох, составлять уравнение касательной в указанной точке для целых рациональных функции.
II уровень – составлять уравнение касательной в указанной точке для дробно-рациональных и сложных функций, применять знание геометрического смысла производной в измененных ситуациях.
III уровень – решать задачи по теме, самостоятельно выбирая метод решения и применения знания в нестандартной ситуации.
Методы: репродуктивный, частично-поисковый.
Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная
Технология: модульного обучения.
Средства обучения: путеводитель для учащихся; Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; под ред. А. Н. Колмогорова.- 20-е изд.- М.: Просвещение, 2011г.; справочники учащихся.











Ход урока
Этапы
Деятельность учителя
Деятельность учащихся

I. Оргмомент.



II. Целеполагание и мотивация.



III. Актуализация.

























IV. Первичное усвоение и осмысление учебного материала. систематизация и применение знаний и умений проверка уровня освоения. (см. путеводитель)
V. Рефлексия.


VI. Домашнее задания.

VII. Организованное окончание урока.
Приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку, наличие на столах оценочных листов и путеводителей.

Объявляет тему. Предлагает сформировать цели урока, прочитав цели учебных блоков. Записывает на доске цели по уровням.


Задает учащимся вопросы учебного блока № 1.


Обобщает: Итак, мы изучаем производную – одно из фундаментальных понятий математики. дифференциальное исчисление ( а именно так называют язык производной) было создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия. Дифференциальное исчисление возникло в связи с необходимостью решения ряда задач из функции, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Определять скорость прямолинейного движения мы научимся на следующем уроке, а сегодня на уроке мы узнаем, что такое касательная к графику функции, ее уравнение и в чем состоит геометрический смысл производной. В тетрадь пишем блок №2 начинаем работать.
1) Напоминает суть работы с путеводителем, объясняет, что оценка за урок (п. 1 за весь модуль) зависит от суммы n набранных баллов по всем учебным блокам. Если n
· 11 – то ученик получает оценку «5», при 7
· n
· 10 – «4», при 4
· n
· 6 – «3», при n < 4 – «2».
2) Консультирует учащихся, координирует их деятельность по завершении самостоятельных работ, демонстрирует ученику эталон ответа (решения).

Предлагает оценить свою деятельность на уроке, оценку поставить в оценочный лист. Предлагает ответить на вопросы блока № 5.

Предлагает записать домашнее задание в зависимости от достигнутых результатов на уроке.
Говорит: На этом урок закончен. Спасибо за работу. До свидания.

Приветствуют учителя, сообщают о наличие оценочных листов и путеводителей.

Работают с путеводителем, формулируют цели, определяют для себя объем работы на уроке и записывают цели в тетрадь.
Работают устно с учителем, отвечают на вопросы путеводителя (блока №1).























Слушают.







Работают с путеводителем, решают задания для самостоятельных работ, заполняют оценочные листы.
Работают с тестом путеводителя (блок № 5).


Учащиеся записывают уровневое домашнее задание.


















Приложение № 1
Оформление записей на доске
3.
а) f(x)= 1/3x, x0= -1

б) f(x)=
·x+5, x0=4
Число. Касательная к графику функции
Цели:
I. уровень: (запись)
II. уровень: (запись)
III. уровень: (запись)

2. Найдите производную
а) f(x)= 1/x4
б) f(x)= 1/x4
в) f(x)= x7-3x2-x+5
г) f(x)= (1+2x)(3-5x)
д) f(x)=
·4x+1
е) f(x)=4sin2x


На обратной стороне: n
· - «5»
7
· n
· 10 – «4»
4
· n
· 6 – «3»
n < 4 – «2»
















Приложение № 2
Оценочный лист учащегося
Фамилия

Имя

Учебные блоки
Количество баллов за основные задания
Количество баллов за корректирующие задания
Общее количество баллов за этап

№1
№2
№3
№4




Итоговое количество баллов


Оценка




















Путеводитель
Цель: повторить правила вычисления производной.
Указания учителя:
поработай устно с учителем, за каждый верно данный тобой ответ поставь в оценочный лист 1 балл.
Вопросы:
Что такое производная?
Найдите производную функции:
а) f(x)= x10+3x-3 г) f(x)= (1+2x)(3-5x)
б) f(x)= 1/x4 д) f(x)=
·4x+1
в) f(x)= x7-3x2-x+5 е) f(x)= 4 sin2x
Найдите значение производной функции в точке.
а) f(x)= 1/3x9, х0= -1
б) f(x)=
·x + 5, х0= 4
Учебный блок № 2
Цель: познакомиться с понятием касательной, геометрическим смыслом производной и уравнением касательной, находить угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в указанной точке, находить угол наклона касательной к положительному направлению оси Оx, составлять уравнение касательной в указанной точке для целых функций.
Указания учителя.
Внимательно прочитайте данный ниже материал.
I. Понятие касательной и геометрический смысл производной. Дана кривая на
Y ней выбрана точка М.
Возьмем еще одну точку
p p1 p2 на кривой – точку Р.
Проведем секущую МР().
L М Далее будем приближать
X точку Р по кривой L к точ-
2 1 ке М. Секущая МР, т.е.
прямая будет менять свое положение т перейдет в прямую 1, затем 2. часто бывает так, что можно обнаружить в этом процессе прямую, представляющую собой некое предельное положение секущей; эту прямую – предельное положение секущей – называют касательной к кривой L в точке М.
Существование производной функции f в точке x0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной к графику функции в этой точке. При этом угловой коэффициент касательной (k) равен значению производной функции в точке касания и равен тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox. В этом состоит геометрический смысл производной.
K = f(x0)=tg - запишите эту формулу в тетрадь.
Запишите в тетрадь геометрический смысл производной.
II. Вывод уравнения касательной.
Откройте учебник на с. 127 и прочитайте вывод уравнения касательной. y= f(x0)+ f(x0)(x-x0) – уравнение касательной (запиши его в тетрадь)
III. Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции. y= f(x) в точке x0 (запишите в тетрадь).
Найти значение функции в точке x0 (т.е. f(x0))
Найти производную функции (т.е. f(x)).
Найти значение производной в точке x0 (т.е. f(x0))
Найденные значения в п. 1 и в п. 3 подставить в формулу y= f(x0)+f(x0)(x-x0) и упростить ее.
Пример 1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=x3-2x2+3 в точке x0= -1
Дано: Решение: k= f(x0),
f(x)=x3-2x2+3 f(x)= (x3) - (2x2)+3= 3x2-4x
x0= -1 f(x0)= f(-)=3(-1)2 – 4(-1) = 3+4 = 7
Найти: k Ответ: k = 7
Пример 2. Определите, какой угол образует с осью x касательная проведенная к графику функции f(x)= 0,2x5 + 3 в точке x0 = -1.
Дано: Решение: f(x0)= tg
· =>
· = arctg f(x0)
f(x)= 0,2x5 + 3 f(x)= (0,2x5) + 3 = 0,2·5·x4 + 0= x4
x0= -1 f(x0)= f(-1)= (-1)4= 1
Найти:
· tg
·= 1 =>
·= arctg1

·=
·/4= 450
Ответ: 450
Пример 3. Составьте уравнения касательной к графику функции
f(x)=x3-3x2+2x-7 в точке x0= 1.
Решение:
Работаем по алгоритму:
f(x0)= f(1)= 13-3·12+2·1-7= -7
f(x)= (x3)-(3x2)+(2x)-7= 3x2-6x+2
f(x0)= f(1)= 3-12-6·1+2= -1
y= f(x0)+ f(x0)·(x-x0)
y= -7+(-1)·(x-1)= -7-x+1= -x-6
Ответ: y= -x-6
Если вы разобрались в примерах 1-3, то выполните письменно самостоятельную работу.

Задание для самостоятельной работы (на 10 минут)
I вариант II вариант
1) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции.
f(x)= x3-2x2+1 f(x)= x4-7x3+12x-45
в точке
x0= 2 x0= 1
( 1балл) (1 балл)

2) Определите, какой угол образует с осью x касательная проведенная к графику функции.
f(x)= 3x3 f(x)= -0,25x4
в точке
x0= 1/3 x0= 0
(1 балл) (1 балл)
3) Составьте уравнение касательной к графику функции.
f(x)= 2-x-x3 f(x)= x2-3x+5
в точке
x0= 2 x0= +1
(2 балла) (2 балла)
Указания учителя.
Если вы выполнили работу, то поднимите руку и попросите правильные ответы у учителя. Поставьте заработанные баллы в оценочный лист. Если вы набрали в .том блоке 4 балла, то переходите к следующему блоку, если же меньше, то прорешайте соответствующее задание другого варианта и поставьте баллы в графу «корректирующие задания».
Учебный блок № 3
Вы прошли I уровень усвоения материала.
Цель: применять знание геометрического смысла производной в измененных ситуациях; составлять уравнение касательной для дробно-рациональных и сложных функций.
Указания учителя.
Прочитайте данные ниже пояснения
Y



x1
·1
·3
x2 x3 X


Проведем касательные к графику функции f в точках х1 и х3 и отметим углы, которые они образуют с осью Ох.
Угол
·1 – острый, значит tg
·1 > 0 и f
·(х1), т.е. k1 тоже положительно.
Угол
·3 – тупой, значит tg
·3 < 0, т.к. тангенс тупого угла отрицателен и f
·(х3), т.е. k3 тоже отрицательно.
А в точке х2 касательная параллельна оси Ох, т.е. угол
·2=0 и tg
·2= 0, т.е. f
·(х2)= k2= 0
Пример 1. Найдите абсциссы точек графика функции f(х)= 3х4 - 6х2+ 2, в которых касательная параллельно оси Ох.
Решение: Т.к. касательная параллельна оси Ох, то угол
·= 0, т.е. tg
·= f(х0)= k= 0. Нужно найти точки х0.
f(х)= 3х4 - 6х2+ 2
f(х)= (3х4) - (6х2)+ 2= 12х3 – 12х
f(х)= 0, 12х3 – 12х= 0
12х(х2 – 1)= 0
12х = 0 или х2 – 1= 0
Х= 0 х= + 1
Ответ: 0; 1; - 1
Пример 2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(х)= 2
·3х – 5 в точке х0= 2.
Решение:
Работаем по алгоритму.
1. f(х0)= f(2)= 2·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 2·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 2
2. f(х)= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
·= 2·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15·(3х-5)
·= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15·3= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3. f(х0)= f(2)= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 3
4. y= f(х0) + f(х0)·(х-х0)
y= 2+3·(х-2)= 2 + 3х – 6= 3х – 4
Ответ: y= 3х – 4
Если вы разобрались в примерах то выполните письменно самостоятельную работу.

Задание для самостоятельной работы (15 минут)
I вариант II вариант
1. Найдите абсциссы точек графика функции f(х)= х3 - 3х+ 5, в которых касательная параллельна оси Ох
(2 балла).
1. Дана функция f(х)= 5+ 4х- 3х2. найдите абсциссу точки ее графика, в которой угловой коэффициент kHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15касательной к нему равен 10. (2 балла).

Составьте уравнение касательной к графику функции

2. f(х)=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2. f(х)= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

в точке

х0 = 2
(3 балла)
х0 = 3
(3 балла)


Указания учителя: Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть, проставьте набранное количество баллов в оценочный лист.
Если вы набрали 5 баллов, то переходите к следующему этапу, если же меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичное тому, в котором ошиблись.

Учебный блок № 4
Молодцы! Вы освоили решение заданий II уровня сложности.
Целью: дальнейшей вашей работы будет применение своих знаний и умений в более сложных (нестандартных ситуациях).

Задания для самостоятельной работы.
Составьте уравнение касательной к графику функции f(х)= х2+ 1 в точке х0= -1. выполните рисунок. (2 балла).
На графике функции f(х)= х3- 3х2+ 4х+ 1. найдите точку, в которой касательная образует с положительным направлением оси Ох угол 450. составьте уравнение этой касательной ( 3 балла).
В какой точке касательная к графику функции f(х)= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- 3х2+ 10х- 4 параллельна прямой y= 3+х. ( 3 балла).

Подсказки:
Составляйте уравнения касательной по алгоритму. Выполняя рисунок, сначала нарисуйте параболу f(х)= х2+ 1, а затем прямую – касательную.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 450, tg 450= 1, т.е. f
·(х0)= 1. найдите производную, приравняйте ее к 1.
Если две прямые параллельны то их угловые коэффициенты равны y=3+х HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 k= 1, значит такой же угловой коэффициент k будет и у касательной k= f
·(х0). Найдите производную приравняйте ее к 1.
Указания учителя.
Проверьте и оцените свои работы. Исправьте ошибки, если они есть, подсчитайте количество баллов, проставьте баллы в оценочный лист. Оцените свои работы в соответствии с суммой набранных баллов за весь урок.

Учебный блок №5
Цель: Оценить результаты своей деятельности.
Указания учителя:
Ответьте устно на вопросы:
- Что вы узнали на уроке?
- Чему научились?
- Что получилось хорошо или отлично?
- Что нужно сделать, чтобы повысить результат? (Ответ на этот вопрос запишите).

Запишите домашнее задание:
Если вы заработали на уроке оценку «5», то выполните дома № 257 (б) и № 259 (б) на стр. 131.
Если вы получили оценку «4», то сделайте дома № 255 (г) и № 257(г) на стр. 131.
Если у вас оценка «3» или «2», то решайте дома № 253(г) и № 255 (б, х0=2).

Приложенные файлы

  • doc kasatelnaja_k_grafiku_funkcii
    Автор: Чернова Ирина Николаевна преподаватель математики КОГПОАУ «Техникум промышленности и народных промыслов г. Советска», 2014 год
    Размер файла: 119 kB Загрузок: 4

Добавить комментарий