Исследовательская работа по теме «Теоремы тригонометрии»


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение«Средняя школа № 20»города Дзержинска Нижегородской областиГородская научно-практическая конференция «Старт в науку» Знаменитые теоремы  Теоремы синусов и косинусов Секция «Созидательная сила великих открытий в математике» Автор: Шилов Антон 9 класс, МБОУ СШ № 20 Тригонометрия – это раздел математики, изучающий тригонометрические функции.Слово тригонометрия впервые появляется в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса. Тригонометрия – слово греческое, и в буквальном переводе означает измерение треугольников. Таблица числовых значений хорд Таблица для определения соотношений между элементами треугольников Гиппарх Никейский ( 180 – 125 г. до н.э.) Первая таблица синусов, высчитанная по хордам в окружности «Альмагест» – самая значимая тригонометрическая работа всей античности Клавдий Птолемей (90 – 168 г н.э) Построил таблицы тангенсов, котангенсов и косекансов Присоединил к линиям синусов и косинусов линии тангенсов, котангенсов, секансов и косекансовУстановил основные соотношения между этими линиямиДал определения функциямУстановил формулу двойного угла Ал-Батани( ок. 900 г. н.э) Абу-ль-Вефа ( 940 – 997 г. н.э) Автор трактата о полном четырехстороннике Построил таблицы синусов и котангенсов Ал-Хорези (783 – 850 г. н.э) Насир-эд-Дин из Туса(1201 – 1274 г. н.э) Дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников Открыл «плоскую» теорему косинусов и формулы тригонометрических функций от кратных углов Разложил функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе Франсуа Виет (1540 – 1603 г.) Исаак Ньютон (1643 – 1727г.) Ввел понятие функции и принятую в наши дни символикуРазъяснил вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента Леонард Эйлер (1707 – 1783 г. н.э) Разработал метод проектирования сложных форм в 1920 году;Выразил тригонометрические функции как отношение координат x, y, z к длине элемента. Ричард Саусвелл (1888-1970) Основные понятия тригонометрии Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Теорема синусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a2 = b2 + c2 − 2bc cosα. Теорема косинусов Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), называются гармоническими колебаниями. Выражение, стоящее под знаком косинуса или синуса, называется фазой колебания: Тригонометрия в физике n1 - показатель преломления первой средыn2 - показатель преломления второй среды α-угол падения, β-угол преломления света Теория радуги sin β sin α n1 n2 = Тригонометрия в биологии Синус каротидный (сонный) Пещеристый синус Задача № 1. Для определения ширины непроходимого болота с вертолета, находящегося на высоте h, измерили углы α и β. Найдите ширину болота.Дано: ∟САD = α; ∟СВА = β; СD = h Найти: АВ. Решение:1) Из прямоугольного ∆АCD находим:АС = 2) Из ∆АВС теореме о внешнем угле треугольника: ∟АСВ = α  β3) По теореме синусов имеем: , откуда Ответ. Задача № 2. Вершина горы видна из точки А под углом 38о, а при приближении к горе на 200 м вершина стала видна под углом 42о. Найдите высоту горы.Дано: АВ=200 м, ∟САВ = α = 38о, ∟СВD = β = 42о, CD  DA.Найти: CD. Решение. 1) Введем обозначение ∟BCA = γ. Тогда из треугольника CBA по теореме синусов имеем: , откуда 2) Из треугольника СBD следует, что CD = CB·sin β = 1 764·sin 42o = 1 764·0,6691 = 1 180 м.Ответ: высота горы 1 180 м. Задача № 3. С наблюдательного пункта замечают под углом 63°30’ самолет, пролетающий над башней, высота которой 79,5 м. Прямая, соединяющая наблюдательный пункт с верхушкой башни, образует с горизонтальной плоскостью угол 20°45’. На какой высоте находится самолет?Дано: HC = 79,5 м, ∟HAC = 20°45’, ∟BAC = 63°30’ Найти: BC Решение. 1) ∟НАВ = ∟ВАС  ∟НАС = = 63°30’  20°45’ = 42°45’2) Из прямоугольного треугольника НАС следует, что м.3) ∟НВА = 900  ∟ВАС = 89°60’  63°30’ = 26°30’4) Из треугольника ВАН по теореме синусов следует, что , откуда BH = 224,5 · 0,6782 : 0,4462 = 341,2 мBC = ВН + НС = 341,2 +79,5 = 420,7 (м) Ответ: 420,7 м Задача № 4. В 12 -00 нарушитель свернул с основной магистрали и помчался по шоссе со скоростью 140км/ч. В это же время инспектор ГИБДД рванул по проселку со скоростью 70км/ч наперерез нарушителю. Успеет ли инспектор остановить нарушителя у перекрестка шоссе и проселка? Дано:  АВС, АВ = 2 км, ∟А = 200, ∟В = 500, vнарушителя = 140 км/ч, v ГАИ = 70 км/чСравнить: tнарушителя, tГАИРешение. 1) ∟С = 1800 – 200 – 500 = 1100 2) Из треугольника АВС по теореме синусов имеем:3) tнарушителя = АС : 140 = 1,6303 : 140 = 0,011645 ч, tГАИ = ВС : 70 = 0,7279 : 70 = 0,0104 ч, следовательно инспектор успеет остановить нарушителя.Ответ. Успеет. Задача № 5. Здание шириной 10 м имеет двускатную крышу с наклоном 350 с одной стороны и 410 с другой стороны. Найти длину скатов крыши с точностью до сантиметра. Дано: АС = 10 м, ∟А = 350, ∟С = 410Найти: АВ и ВСРешение.1) ∟В = 1800 – 350 – 410 = 10402) Из треугольника АВС по теореме синусов имеем:ВС = 591 см, АВ = 676 см.Ответ. ВС = 591 см, АВ = 676 см. Задача № 6. Два парохода начинают движение из одного и того же пункта и двигаются равномерно по прямым пересекающимся под углом 60°. Скорость первого 60 км/ч, скорость второго 70 км/ч. Вычислить на каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 3 часа. Дано: v1 = 60 км/ч, v2= 70 км/ч, ∟С = 600, t = 3 чНайти: АВРешение. 1) АС = 60 · 3 = 180 км, ВС = 70 · 3 = 210 км2) Из треугольника АВС по теореме косинусов находим АВ:АВ2 = 1802 + 2102 – 2 · 180 · 210 · соs 600 = = 32400 + 44100 – 37800 = 38700, откуда АВ = 196,7 кмОтвет. 196,7 км Задача № 7. В крышке парового цилиндра диаметром 350 мм надо просверлить 8 одинаковых отверстий для болтов. Найти расстояние между центрами отверстий, если эти центры должны находиться от края крышки на расстоянии 50 мм.Дано: ОС = ОD = 175 мм, ВС = АD = 50 ммНайти: АВРешение. 1) ∟СОD = 3600 : 8 = 4502) ОВ = ОА = 175 мм – 50 мм = 125 мм3) Из треугольника ОАВ по теореме косинусов находим АВ: АВ2 = 1252 + 1252 – 2 · 125 · 125 · соs 450 == 15625 + 15625 – 22097 = 9153, откуда АВ = 95,7 ммОтвет. 95,7 мм

Приложенные файлы

  • ppt fail.ppt
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий